D平面方程同济大学高等数学.pptx

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1、例例1.1.求过三点求过三点即解:取该平面 的法向量为的平面 的方程.利用点法式得平面 的方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 第1页/共16页此平面的三点式方程也可写成 一般情况:过三点的平面方程为说明说明:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页/共16页特别特别,当平面与三坐标轴的交点分别当平面与三坐标轴的交点分别为为此式称为平面的截距式方程.时,平面方程为 分析:利用三点式 按第一行展开得 即机动 目录 上页 下页 返回 结束 第3页/共16页二、平面的一般方程二、平面的一般方程设有三元一次方程 以上两式相减,得平面的点法式方程此方程称为平面的一般任取一组满足上述方程的数则显然方程

2、与此点法式方程等价,的平面,因此方程的图形是法向量为 方程.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页/共16页特殊情形特殊情形 当 D=0 时,A x+B y+C z=0 表示 通过原点的平面;当 A=0 时,B y+C z+D=0 的法向量平面平行于 x 轴;A x+C z+D=0 表示 A x+B y+D=0 表示 C z+D=0 表示 A x+D=0 表示 B y+D=0 表示平行于 y 轴的平面;平行于 z 轴的平面;平行于 xoy 面 的平面;平行于 yoz 面 的平面；平行于 zox 面 的平面.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第5页/共16页例例2.求通过求通过 x 轴和点

3、轴和点(4,3,1)的平的平面方程面方程.例3.用平面的一般式方程导出平面的截距式方程.解:因平面通过 x 轴,设所求平面方程为代入已知点得化简,得所求平面方程(P327 例4,自己练习)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6页/共16页三、两平面的夹角三、两平面的夹角设平面1的法向量为 平面2的法向量为则两平面夹角 的余弦为即两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第7页/共16页特别有下列结论：特别有下列结论：机动 目录 上页 下页 返回 结束 第8页/共16页因此有例例4.一平面通过两点一平面通过两点垂直于平面:x+y+z=0,求其方程.解:

4、设所求平面的法向量为即的法向量约去C,得即和则所求平面故方程为 且机动 目录 上页 下页 返回 结束 第9页/共16页外一点,求例例5.设设解:设平面法向量为在平面上取一点是平面到平面的距离d.,则P0 到平面的距离为(点到平面的距离公式)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第10页/共16页例例6.解解:设球心为求内切于平面 x+y+z=1 与三个坐标面所构成则它位于第一卦限,且因此所求球面方程为四面体的球面方程.从而机动 目录 上页 下页 返回 结束 第11页/共16页内容小结内容小结1.平面基本方程:一般式点法式截距式三点式机动 目录 上页 下页 返回 结束 第12页/共16页2.平面与平面之间的关系平面平面垂直:平行:夹角公式:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13页/共16页思考与练习思考与练习P330 题4,5,8第六节 目录 上页 下页 返回 结束 作业P330 2,6,7,9第14页/共16页备用题备用题求过点 且垂直于二平面 和 的平面方程.解:已知二平面的法向量为取所求平面的法向量 则所求平面方程为化简得机动 目录 上页 下页 返回 结束 第15页/共16页感谢您的欣赏！第16页/共16页