水静力学幻灯片.ppt

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1、水静力学第1页，共72页，编辑于2022年，星期日2023/4/121 水的静静力力学学是研究液体在静止或相对静止状态下的力学平衡规律及其在工程实际中的应用。所谓“静止”是指液体不仅在质点之间没有相对运动，液体与地球之间也没有相对运动，如湖中的水，没有泄流的管流等。所谓“相对静止”是指液体质点之间没有相对运动，但液体整体相对于地球有运动，如车厢中放置的水，等速旋转的容器中的液体等。第2页，共72页，编辑于2022年，星期日2023/4/122一、静水压强及其特性1.静水压力与压强静静水水压压力力是指静止的液体作用在与液体接触的表面上的压力，一般用 P 表示。在下图的平板闸门上，取一面积A，作用

2、在其上的压力为P，则该面上的平均压强（静水压强）为：1 静水压强及其特性第3页，共72页，编辑于2022年，星期日2023/4/123当A0 时，即趋于点 K 时，点 K 的静水压强：二、静水压强的特性1.静止压强垂直于受压面，并指向受压面的内部。该特性可用反证法证明（图2-2）。取一液体块M，将其切成两块，只研究部分。在其上取一点A，如果作用在点A上的压强p不是垂直于N-N面，那么，它就应分成水平方向的压强px和垂直方向的压强py，并有p=px+py。由于静止的液体没有相对运动，内摩擦力不存在，px=0，故p=py，这就证明了静止压强必垂直于受压面。第4页，共72页，编辑于2022年，星期日

3、2023/4/124如果静止压强不是指向受压面之内，而是指向外，则部分就要受到拉力。但事实上，液体是不能承受拉力的，一旦有拉力，液体的静止就要受到破坏，故静水压强的方向只能指向受压面的内部。证毕。第5页，共72页，编辑于2022年，星期日2023/4/1252.静止液体中任一点的静水压强在各个方向上大小相等。证明如下（图2-3）：在静止液体内取一微小正四面体ABCD，且它的三个棱边与坐标轴平行，这三个棱边的长度分别为x、y、z。这个四面体的四个表面都受到周围液体给它们的压力，但由于这四个面的方向各不相同，各自受到的静水压力的方向亦不相同，它们分别用Px、Py、Pz和Pn表示，其对应的平均压强分

4、别为px、py、pz和pn。不难看出：第6页，共72页，编辑于2022年，星期日2023/4/126（x为斜面的面积），且Pn在三个坐标轴上的分力可表示为：由几何学可知，这样的四面体的体积为由x、y、z 为边长的长方体的体积的1/6，故四面体的质量为：四面体受到的质量力的分力为：第7页，共72页，编辑于2022年，星期日2023/4/127由于这个四面体是处于静止的，表明作用于它的所有外力（表面力和质量力）之和在三个坐标轴上的投影之和等于0：式中于是同 除得：第8页，共72页，编辑于2022年，星期日2023/4/128当令四面体缩小至一点A时，于是 。类推得：表明四面体各面受到的压强都相等，

5、与受压面无关。证毕。应当指出应当指出，同一点各个方向的压强都相等，但不同点的压强不一定相等（例如A点的压强不等于B点的压强）。第9页，共72页，编辑于2022年，星期日2023/4/1292 液体的平衡微分方程一、静止液体的受力分析在静止液体中，取一微小六面体（图2-4），其中心点为 。六面体的边长分别为dx、dy、dz。(一)表面力因静止液体没有内摩擦力，作用在六面体上的表面力只有周围液体给它们的压压力力。先分析一下x轴上的力。第10页，共72页，编辑于2022年，星期日2023/4/1210过A点作平行于x轴的直线，该直线与左右两面分别相交于M和N两点。设A点的压强为 ，压强在x轴上的梯度

6、为 ，它的几几何何意意义义是压强在x轴上变化率，其物物理理意意义义为：在x轴上，每增加1个单位的距离，其压强的改变量。从A点到M点的距离为 ，从A点到M点压强的改变量为：令压强沿x轴的正向是增加的，则M点的压强为：N点的压强为：左右两面所受到的表面力为：第11页，共72页，编辑于2022年，星期日2023/4/1211(二)质量力由于液体为静止的，质量力只有重力。x 轴上的分力为：二、静止液体的平衡微分方程根据液体平衡条件，施加到六面体上的所有外力的代数和等于0，且且各力的三个轴上的分力也为0。于是：第12页，共72页，编辑于2022年，星期日2023/4/1212化简并除以质量 ，得单位质量

7、的液体表达式：或同理方程左边的第一项为单位质量力，左边第二项为单位质量的表面力。由此得出，对对于于单单位位质质量量的的液液体体而而言言，各各坐坐标标轴轴上上质质量量力力与与表表面面力力相相等等。上式是由瑞士学者是欧拉（Euler）推导的，故又称欧拉平衡微分方程。第13页，共72页，编辑于2022年，星期日2023/4/1213三、液体平衡微分方程的理论意义(一)静水压强的分布规律将上三式分别乘以dx、dy、dz，并将三式等号两边相加得：上式左边括号内为压强 p 的全微分，故可写成：对上式求积分得：不难看出，静水压强的大小是由单位质量力决定的。第14页，共72页，编辑于2022年，星期日2023

8、/4/1214(二)液体的等压面液体的等等压压面面是指液体中压强相等的点所组成的面，它可以是平面，也可以是曲面。既然在等压面上各点的压强相等，即 ，由上式得 于是：这就是液体等压面的平衡微分方程等压面的平衡微分方程。第15页，共72页，编辑于2022年，星期日2023/4/1215由于X、Y、Z是单位质量力 f 在三个轴上分量，而 dx、dy、dz 也可把看成是在等压面上的微小位移 ds 在三个坐标轴上的投影，则但 f 和 s 都不为0，于是这两个矢量必正交，表明质量力与等压面垂直。由由于于质质量量力力只只有有重重力力，故故等等压压面面必必然为水平面然为水平面。在自由水面上，各点均与大气接触，

9、各点受到的大气压强都相等，因此，自由水面也是等压面自由水面也是等压面。第16页，共72页，编辑于2022年，星期日2023/4/12163 重力作用下液体的平衡在实际工程中，作用于大部分静止液体的质量力只有重力。一、水的静力学方程图2-5为一封闭容器中的静止液体。在质量力只有重力的情况下：将它们代入平衡微分方程得：第17页，共72页，编辑于2022年，星期日2023/4/1217积分后得：c 可由边界条件确定。设作用在液体自由表面上的压强为 p0，自由表面所处的高度为 z0，于是：代入上式得：为水深 h，故 上式即为水的静力学基本方程水的静力学基本方程。事实上，它是计算某一深度静水压强的基本公

10、式。第18页，共72页，编辑于2022年，星期日2023/4/1218上式的物物理理意意义义为：静止液体内部任一点的静水压强由两部分组成，一部分是在自由表面上由大气施加的压强，根据巴斯加原理，它等值地传递到液体内部的各点（当然也包括本点）。另一部分是该点以上的液体给该点的压强，因因此，p 相当于大气压强和其上水的压强之和。由上式可以看出，只有在均质液体（）且连通的静止液体中，位于同一深度（h）的各点压强才相等，这也是水平面就是等压面的充要条件。第19页，共72页，编辑于2022年，星期日2023/4/1219二、绝对压强、相对压强和真空压强的大小必须有一个基准，不同的基准可得出不同的压强值来。

11、(一)绝对压强在水力学中，如果以没有气体的完全真空作为0算起的话，则这种压强值称为绝对压强绝对压强，常用符号 表示（见图2-6）。(二)相对压强在许多水力学问题上，大都受到大气压强的影响，以当地大气压强为0算起的压强称作相相对对压压强强，以符号 p 表示。因此，第20页，共72页，编辑于2022年，星期日2023/4/1220(三)真空由于绝对压强的起点最低，故总是正的，但相对压强要视具体情况而定。如果液体中某处的绝对压强大于大气压的话，相对压强为正（图2-6的A点），若液体中某处的绝对压强小于大气压强，则该处相对压强为负（如图中的B点），常常把相对压强为负的情况称为负负压压，把负压的绝对值称

12、为真真空空或真真空空值值，常用符号 pv 表示，因此真空总是正值：第21页，共72页，编辑于2022年，星期日2023/4/1221(四)压强高度在静力学基本方程中，p为绝对压强。若将 p 改为表示相对压强，则如果 p0 就是由大气施加到自由表面的压强，则 ；，因为常数，所以液柱高度就反映压强的大小，只是单位不同而已。所以在工程中，常用 h 来表示压强的大小，h 称为压强高度压强高度。大家知道，一个标准大气压为 ，但在工程中为计算方便，一个大气压常取 ，这个数据称作工程大气压工程大气压。于是，一个工程大气压相当于水柱高度第22页，共72页，编辑于2022年，星期日2023/4/1222(五)真

13、空高度（真空度）真空压强也可用水柱高度来表示：称为真空高度或真空度。当完全真空时，最大真空度为10m。但事实上，这样的真空度是不可能实现的，因为当绝对压强降低到水的汽化压强时，就要汽化，产生蒸气，气体膨胀而产生的压强与液体压强相抗衡，使液体压强不能继续下降，这时的绝对压强 就等于汽化压强 E。因此，最大真空值为：第23页，共72页，编辑于2022年，星期日2023/4/1223三、位置水头、压强水头、测压管水头由静止液体的平衡方程 得：这里的 z 和 p 都没有下标，表明对任一点都成立，即：第24页，共72页，编辑于2022年，星期日2023/4/1224表明任一点 z 和 之和不变（常数）。

14、式中的 z为任一点在基基准准面面以上的几何高度，该值称为位置水头位置水头。是这个点的压强高度，在水力学中称为压压强强水水头头，二者之和称为测压管水头测压管水头。上式也可以这么说，静静止止水水体体内内任任一一点点的的测测压压管管水水头头相相等等（图2-8）。第25页，共72页，编辑于2022年，星期日2023/4/1225四、静止液体的能量守恒规律事实上，静止液体内各点测压管水头相等反映了能量守恒规律，下面就此作些证明。设在液体内部取一质量为m的质点（如图2-8a、b），其重心位于基准面以上的高度为z，则该点所具有的势能为mgz，将其除以重力mg得单位重量的势能为：因此，位位置置水水头头 z 就

15、就表表示示单单位位重重量量的的液液体体所所具具有有的的势势能能，这这种种势势能能称称位位置置势势能能，简称位位能能。令该质点的压强为p，若在该质点处设置一开口的测压管，则在该压强作用下液体将沿测压管上升 后才停下来，这种由压强引起的势能增加量为：第26页，共72页，编辑于2022年，星期日2023/4/1226所以单位重量的液体势能增加量为：我们把这种由压强转换成的势能称为压压强强势势能能，简称压压能能，即压强水头等于压能，而把称为总势能总势能。显见，取取点点的的位位置置越越高高，其其位位能能越越大大，但但压压能能越越小小，反反之之亦亦然然。其其总总势势能能是是不不变变的的，这这就就是是静静止

16、止液液体体的的能能量量守守恒恒规规律。律。第27页，共72页，编辑于2022年，星期日2023/4/12274 压强测量测量液体压强的仪器很多，这里只介绍几种。一、测压管图2-8就是最简单的测压管，管中液柱高度就反映了连接点的压强，因为 。如果压强很小时，上升高度很低，测量误差较大，为此可将测压管倾斜（图2-9），这样，较小的压强作用就可使测压管上升较长，或者在测压管中加入较轻的液体，这样也可使较小的压强产生较高的液柱。第28页，共72页，编辑于2022年，星期日2023/4/1228二、U型水银测压计当压强较大时，所需测压管较长，很不方便，这时可用U型管（图2-10），该管里面充斥着较重的水

17、银，但求算略为复杂些。例如求图2-10中A点的压强，可先确定等压面1-2，1点的压强为：，2点的压强为：。因1点和2点在同一等压面上，故第29页，共72页，编辑于2022年，星期日2023/4/1229三、比压计（压差计）有时不必测出压强的大小，而是需要知道两种液体之间的压强差或测压管水头差，这时可将几根测压管或U型管串联起来并封闭，给里面正压或负压，形成压差计（图2-11、图2-12）。设图2-11中的气体压强为 ，则A点的压强除了抵消测压管中的压强 外，还把液体压高了 ，于是，同样，第30页，共72页，编辑于2022年，星期日2023/4/1230A、B两点的压强差为：经整理得：这就是A、

18、B两点的测压管水头差。如果压强差很大，可用图2-12的水银压差计。选取基准面0-0和等压面1-2，则1点的压强为：2点的压强为：第31页，共72页，编辑于2022年，星期日2023/4/1231即同除 并整理得：这就是两点的测压管水头差。第32页，共72页，编辑于2022年，星期日2023/4/12325 作用于平面上的静水总压力在工程中，经常遇到求算作用在过水构筑物（含水坝、管道、水池等）上的静水总压力，据此决定构筑物的大小、厚度和强度。求算静水总压力实质上是解决静止液体对受压面产生的各种力的合力之大小、方向和作用点问题。一、静水压强分布图绘好静水压强分布图是一项基础性工作（图2-16）。绘

19、制的方法是：将各点压强的大小按比例用线条表示，压强的方向用箭头表示，线条另一端用线连起来，即得相对压强分布图。由可知，压强的大小沿水深呈线性增加，压强的方向为垂直于受压面，并指向其内部。按上述原则很容易绘制。第33页，共72页，编辑于2022年，星期日2023/4/1233具具体体的的做做法法：先垂直于受压面划有代表性的几条线段，并在受压面端标上箭头，以箭头顶端为圆心，以该点到自由表面的距离为半径在线段上取点，然后将各点连线即得。第34页，共72页，编辑于2022年，星期日2023/4/1234一、平面上静水总压力的计算-解析法如在一水体中倾斜放置一矩形平面EF（图2-17），平面的倾斜角为，

20、面积为A，平面的形心点为C，在理论力学中已经谈到，所谓形心就是形状的中心，对于矩形而言，就是两对称轴的交点。在EF平面上建立坐标系，以EF平面的延长面与水面的交线为 x 轴，与之相垂直的为 y 轴。为了分析方便，把 xoy 面绕 oy 轴转动90度，使我们清楚地看出平面的形状。第35页，共72页，编辑于2022年，星期日2023/4/1235(一)静水总压力的大小我们在面上任取一点M，并围绕M点取一微小面积dA，则M点在液面下的淹没深度为 h，根据静力学基本公式，M点的压强为：微小面积dA上的静水压力为：那么，整个平面 EF 的静水总压力为：所以 第36页，共72页，编辑于2022年，星期日2

21、023/4/1236根据材料力学中的静矩（或面积矩）概念，为平面对轴的静矩，其数值应为平面 EF 形心点在 y 轴上的坐标 yc 与整个面积 A 的乘积，即：于是 令 即形心点所在的水深，则 由此可以得出结论：作作用用于于任任一一平平面面上上的的静静水水总总压压力力等等于于平平面面形形心心点点的的静静水水压压强强与与平平面面面面积积的的乘乘积积，而形心点的压强可理解为整个平面的平均压强。第37页，共72页，编辑于2022年，星期日2023/4/1237(二)静水总压力的方向毋须讳言，因为静水压力 dp 的作用方向垂直于 dA 并指向其内，平面上各点的压力方向均平行，故整整个个平平面的静水总压力

22、的方向也垂直于平面面的静水总压力的方向也垂直于平面 EF 并指向内部并指向内部。(三)静水总压力的作用点静水总压力的作用点可用表示 ，只要求出xD、yD 就可确定点 D。由理论力学的力矩定理可知，合合力力对对某某轴轴的的矩矩等等于于各各分分力力对对这这个个轴轴的的矩矩的的代代数数和和，简言之，就是：合合力力矩矩等等于于力力矩矩和和。就静水总压力来说，可把它理解为平面上各点的静水压力之合压力，这个合压力对ox 轴的矩 M0为静水总压力 P 乘以作用点与 ox 轴的距离 yD，即 第38页，共72页，编辑于2022年，星期日2023/4/1238平面上任一点对 ox 轴的矩为 ，故由理论力学可知，

23、为平面对 ox 轴的惯性矩。根据惯性矩的平行移轴定理：式中为面积 A 对通过形心点 c 并与 ox 轴平行的形心轴的惯性矩，简称形心轴的惯性矩（P28给出常见平面形状的惯性矩）。将其代入上式：第39页，共72页，编辑于2022年，星期日2023/4/1239于是 因 ，故 ，即总压力的作用点必在形心点以下。按理说，我们还必须求出 xD，但本题和许多实际工程上所设计的受压面都为规则图形，具有对称性，总压力的作用点必在与 oy 平行的对称轴上，即 ，无须专门计算。第40页，共72页，编辑于2022年，星期日2023/4/1240三、平面上静水总压力的计算-压强分布图法事实上，当压强分布图很清楚的话

24、，计算很简单。这表明静水总压力应等于平面上各点压强的总和，而各点压强的总和实质上是该平面上静水压强分布图所构成的体积，（或曰：压强分布图中的线段为压强，对 x 和 y 轴积分意为体积，该该体体积积等等于于压压强强分分布布图图乘乘以以宽宽度度），总压力的作用线应通过压强分布图的形心（因为按说应通过整个体积的形心，但从侧面看就是压强分布图的形心）。第41页，共72页，编辑于2022年，星期日2023/4/1241无论用解析法还是用压强分布图法，其结果是一样的。例如(图2-18)：压强分布图的面积为：体积为(即总压力)：与利用解析法相同。第42页，共72页，编辑于2022年，星期日2023/4/12

25、426 作用于曲面上的静水总压力 在曲面上，各点的静水压力方向是不一致的，这给求算静水总压力带来难度，但基本解题思路是雷同的。我们可以将总总压压力力 P 分分解解为为水水平平分分力力 Px 和和垂垂直直分分力力 Py，然后再合成为 P。以图2-20为例来讲解。这是一个二向曲面。所谓二向曲面就是曲面上的点只随两个坐标轴而变，如圆筒纵切而剩余的部分就是二向曲面。第43页，共72页，编辑于2022年，星期日2023/4/1243在图中，左侧受水压力作用，在曲面上取一微小面积 dA，其法线与水平轴的交角为，所在深度为h，这个微小面积可分解为垂垂直直投投影影面面积积（法线方向与 x 轴平行）和水水平平投

26、投影影面面积积（法线方向与 z 轴平行）（见图中右侧）。则 第44页，共72页，编辑于2022年，星期日2023/4/1244一、总压力的水平分力 而 为 对水平轴 ox 的静矩，类比 得 为垂直投影面的形心在液面下的深度。于是，的作用线通过压强分布图的形心，方向向右。第45页，共72页，编辑于2022年，星期日2023/4/1245二、总压力的垂直分力 表示以 为底面积、高为 h 的体积柱，实际上是曲面 EFGH 所构成的体积，这个体积 V 在水力学中有一个单独的名称压力体压力体。于是：不难看出，的物理意义就是压力体的水重（）。的作用线应通过压力体的体积中心，方向非上即下(后定)。第46页，

27、共72页，编辑于2022年，星期日2023/4/1246三、压力体由上例可见，垂直分力 的方向是向上的，但有时不能立即看出其方向来，为此，有必要对其作出规定。所谓压压力力体体是是指指由由曲曲面面本本身身、曲曲面面下下边边缘缘向向自自由由水水面面所所作作的的垂垂直直平平面面和和自自由由水水面面（或或自自由由水水面面的的延延长长面面）共共同同构构成成的的水水的的体体积积，这个压力体产生的垂直分力 Pz 的方向可用水对曲面的垂直作用方向很容易地确定。经比较图-21得出：当压力体内有水时，方向向下（有有水水向向下下）；当压力体内无水时，方向向上（无无水水向向上上）。在上例中，因压力体内无水，故方向向上

28、，Pz 的作用线应通过压力体的体积中心。第47页，共72页，编辑于2022年，星期日2023/4/1247如果曲面形状很复杂（图2-22），则要先找出曲面与垂直面的相切点，由相切点把曲面分成几部分，再据上述方法找出垂直分力的方向，有相互抵消的部分剔除，剩余部分计算压力体的代数和。第48页，共72页，编辑于2022年，星期日2023/4/1248四、静水总压力 P 当Px和Py求出后，根据力的合成法则：P的作用线与水平面的夹角为：Px的作用线与Py的作用线相交于点k，过k点作P的延长线，该线与曲面的交点D即为总压力的作用点。第49页，共72页，编辑于2022年，星期日2023/4/1249对于倾

29、斜的平面来说，它是曲面的一个特例，也可用分解法求其大小、方向和作用点（图2-23）。对于三向曲面来说，总压力的大小、方向和作用点的求法与上述相同。第50页，共72页，编辑于2022年，星期日2023/4/1250第51页，共72页，编辑于2022年，星期日2023/4/1251第52页，共72页，编辑于2022年，星期日2023/4/1252第53页，共72页，编辑于2022年，星期日2023/4/1253第54页，共72页，编辑于2022年，星期日2023/4/1254第55页，共72页，编辑于2022年，星期日2023/4/1255点1与点2和点3与点4分别符合关系式中间测压管与右侧测压管

30、的高度同高，而左侧测压管最高，因为左侧测压管中的液体重度较小，产生的高度相对较高。第56页，共72页，编辑于2022年，星期日2023/4/1256第57页，共72页，编辑于2022年，星期日2023/4/1257第58页，共72页，编辑于2022年，星期日2023/4/1258设水银比压计右侧液面距泵管轴线高差为H，泵管直径为D。吸水管与水银比压计交接的断面中心压强为p1，压水管与水银比压计交接的断面中心压强为p2。第59页，共72页，编辑于2022年，星期日2023/4/1259第60页，共72页，编辑于2022年，星期日2023/4/1260设想该板由三块板竖排对接而成的，其宽均为B，其

31、上总压力分别为P1、P2、P3，且P1=P2=P3。三梁分别位于三板的作用点上，只有这样，才能使各横梁负荷相等。设每块板下缘距水面高度分别为h1、h2和H。第61页，共72页，编辑于2022年，星期日2023/4/1261第62页，共72页，编辑于2022年，星期日2023/4/1262第63页，共72页，编辑于2022年，星期日2023/4/1263设平板闸门的底部与水底的交点为B，启闭力T作用于B点且垂直向上，作用于B点、垂直于平板闸门且指向左侧的力T1为T的分力。于是第64页，共72页，编辑于2022年，星期日2023/4/1264根据力矩和等于和力矩，则第65页，共72页，编辑于202

32、2年，星期日2023/4/1265第66页，共72页，编辑于2022年，星期日2023/4/1266第67页，共72页，编辑于2022年，星期日2023/4/1267 令弧形闸门垂直投影面的高度为H，则故作用于弧形闸门上静水总压力的方向为通过转轴且与水平面呈14.5度的轴线上，方向指向弧形闸门。第68页，共72页，编辑于2022年，星期日2023/4/1268第69页，共72页，编辑于2022年，星期日2023/4/1269故压力中心的位置在形心点下约1cm的地方。第70页，共72页，编辑于2022年，星期日2023/4/1270 因水越深，其总压力的作用点越高。当作用点高于铰支承时，翻板门即可沿顺时针方向自动开启。于是，本题实质是给定作用点，而让求水深的问题。h=2m第71页，共72页，编辑于2022年，星期日2023/4/1271第72页，共72页，编辑于2022年，星期日2023/4/122023/4/127272