第三节泰勒级数展开精选文档.ppt

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1、第三节泰勒级数展开本讲稿第一页，共十五页证明：证明：证明：证明：如图，为避免涉及在圆周如图，为避免涉及在圆周CR上级数的上级数的收敛或者发散问题，作比收敛或者发散问题，作比CR小，但包含小，但包含z且与且与CR同心的圆周同心的圆周应用柯西公式得应用柯西公式得下面我们把下面我们把 展开为幂级数，且展开式以展开为幂级数，且展开式以z0为中心，为中心，右边第二个式子可得右边第二个式子可得代入（代入（1）可得）可得（1）本讲稿第二页，共十五页代入代入然后逐项积分可得然后逐项积分可得根据柯西公式根据柯西公式上式就是以上式就是以z0为为中心的中心的泰勒级数泰勒级数泰勒级数泰勒级数下面证明以上得到的泰勒级数

2、是下面证明以上得到的泰勒级数是唯一唯一唯一唯一的的本讲稿第三页，共十五页如果另有一个以如果另有一个以z0为中心的不同于上面的泰勒级数为中心的不同于上面的泰勒级数则有则有令令zz0，得，得然后求导一次，令然后求导一次，令zz0，可得，可得然后求导一次，令然后求导一次，令zz0，可得，可得依次进行下去，可得到与前完全一样的展开式，这样就证明了依次进行下去，可得到与前完全一样的展开式，这样就证明了解析函数可以展开为解析函数可以展开为唯一唯一唯一唯一的泰勒级数，的泰勒级数，泰勒级数与解析函数有泰勒级数与解析函数有密切的关系。密切的关系。本讲稿第四页，共十五页例例例例1 1在在z00的邻域上把的邻域上把

3、 展开展开解：解：函数函数 的各阶导数的各阶导数 并且有并且有由此可以写出由此可以写出 在在z00的邻域上的泰勒级数的邻域上的泰勒级数由由可知泰勒级数的收敛半径为无限大，只要可知泰勒级数的收敛半径为无限大，只要z是有限的，则泰勒级数就是收敛的！是有限的，则泰勒级数就是收敛的！例例例例2 2在在z00的邻域上把的邻域上把 展开展开解：解：的前四阶导数是的前四阶导数是往后依次重复往后依次重复二、解析函数展为泰勒级数举例：二、解析函数展为泰勒级数举例：本讲稿第五页，共十五页在在z00处，处，f1(z)和前四阶导数的值是和前四阶导数的值是由此可以写出由此可以写出sinz在在z00的邻域上的泰勒级数的邻

4、域上的泰勒级数同样也可求得其收敛半径为无限大！同样也可求得其收敛半径为无限大！同理可求得同理可求得cosz在在z00的邻域上的泰勒级数为的邻域上的泰勒级数为可求得其收敛半径为无限大！可求得其收敛半径为无限大！本讲稿第六页，共十五页例例3在在z01的邻域上把的邻域上把 展开展开解：解：多值函数多值函数f(z)lnz的支点在的支点在而现在的展开中心而现在的展开中心z01不是支点，在它的邻域上，各个单值分支相互独立，各自不是支点，在它的邻域上，各个单值分支相互独立，各自是一个单值函数，可按照单值函数的展开方法加以展开。是一个单值函数，可按照单值函数的展开方法加以展开。展开系数计算如下：展开系数计算如

5、下：由泰勒展开的公式我们由泰勒展开的公式我们可以写出可以写出lnz在在z01的的邻域上的泰勒级数如下：邻域上的泰勒级数如下：本讲稿第七页，共十五页同时可求得其收敛半径为同时可求得其收敛半径为1，则有，则有在上述展开式中，在上述展开式中，n0的那个单值分支叫做的那个单值分支叫做lnz的的主值主值主值主值例例4在在z00的邻域上把的邻域上把 展开展开解：解：（m不是整数）不是整数）先计算展开系数先计算展开系数本讲稿第八页，共十五页由此我们可以写出由此我们可以写出 在在z00的邻域上的泰勒级数的邻域上的泰勒级数可求得收敛半径为可求得收敛半径为1，由此可得，由此可得本讲稿第九页，共十五页其中其中这许多

6、单值分支中，这许多单值分支中，n0，即，即1m1的这个分支叫做的这个分支叫做主值主值主值主值同时也是指数为非整数的同时也是指数为非整数的二项式定理二项式定理二项式定理二项式定理本讲稿第十页，共十五页本讲稿第十一页，共十五页本讲稿第十二页，共十五页复变函数的泰勒级数和实变函数的运算法则复变函数的泰勒级数和实变函数的运算法则复变函数的泰勒级数和实变函数的运算法则复变函数的泰勒级数和实变函数的运算法则一样，但要注意复数运算和实数运算的异同，一样，但要注意复数运算和实数运算的异同，一样，但要注意复数运算和实数运算的异同，一样，但要注意复数运算和实数运算的异同，在计算的时候，考虑全面！在计算的时候，考虑全面！本讲稿第十三页，共十五页本讲稿第十四页，共十五页解析函数的一个等价命题解析函数的一个等价命题函数 f(z)在B内解析的充分必要条件为 f(z)在B内任一点的邻域内可展成幂级数本讲稿第十五页，共十五页