物理竞赛相对论近代幻灯片.ppt

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1、物理竞赛相对论近代第1页，共69页，编辑于2022年，星期日爱因斯坦的狭义相对论基本假设爱因斯坦的狭义相对论基本假设1 1）相对性原理相对性原理 一切物理规律在任何惯性系中形式相同一切物理规律在任何惯性系中形式相同2 2）光速不变原理光速不变原理 光在真空中的速率恒定不变光在真空中的速率恒定不变 C，与发射体的运动状态无关。与发射体的运动状态无关。正变换正变换洛仑兹变换洛仑兹变换u 是是S系相对系相对S系沿系沿X正方向的速度正方向的速度.第2页，共69页，编辑于2022年，星期日例：假定一粒子在例：假定一粒子在S系中的系中的xy平面内以平面内以u=的恒定速度相对于的恒定速度相对于S系运动，系运

2、动，而且它的轨道同而且它的轨道同x轴成轴成60角。如果角。如果S系沿系沿x轴相对轴相对S系以系以v=0.6c 运动，运动，试求：试求：由由S系所确定的粒子的运动方程。系所确定的粒子的运动方程。60 xxSSuV=o.6czzyyS系粒子的运动方程系粒子的运动方程0.3ct第3页，共69页，编辑于2022年，星期日原时最短原时最短 时间膨胀时间膨胀两事件发生在两事件发生在S S 系中同一地点系中同一地点两地时两地时原时原时时间膨胀时间膨胀xxSSuzzyy在某一参考系中，同一地点先后发生两个在某一参考系中，同一地点先后发生两个事件的时间间隔之间的关系事件的时间间隔之间的关系若两事件发生在若两事件

3、发生在S S 系中同一地点，情况亦如此。系中同一地点，情况亦如此。第4页，共69页，编辑于2022年，星期日长度收缩长度收缩 棒棒静止时静止时测得它的长度测得它的长度l 0 静长静长棒以极高的速度相对棒以极高的速度相对S S 系运动系运动S 系测得棒的长度值是系测得棒的长度值是 l 测量测量长度长度AB 原长最长原长最长 测量长度收缩测量长度收缩。物体沿物体沿运动方向运动方向(参照系的运动方向）缩短了参照系的运动方向）缩短了运动系（如运动系（如S系）测棒的长度要同时测。即：系）测棒的长度要同时测。即：t=0在不同参考系中测量物体的长度问题在不同参考系中测量物体的长度问题第5页，共69页，编辑于

4、2022年，星期日例：运动的棒。一根静止长度为例：运动的棒。一根静止长度为 l0 棒，以速度棒，以速度 v向右运动向右运动(如图如图)，以，以棒为棒为S系，求在实验室坐标系系，求在实验室坐标系 s 中棒的长度与取向。中棒的长度与取向。0ABxyv解：解：yx即收缩又转向。即收缩又转向。第6页，共69页，编辑于2022年，星期日例：柱形容器以速度例：柱形容器以速度 v 沿沿S系的系的 x方向高速运动，容器静止时长方向高速运动，容器静止时长度为度为 l0。设。设 t=0时刻由容器的尾端放出高速粒子，粒子相对于时刻由容器的尾端放出高速粒子，粒子相对于容器的速度为容器的速度为u，求在，求在S系中观察到

5、粒子从尾端运动到前端的时系中观察到粒子从尾端运动到前端的时间。间。解：建解：建S坐标系坐标系由洛仑兹变由洛仑兹变 换换xyvuyx第7页，共69页，编辑于2022年，星期日此题能否用时间膨胀？此题能否用时间膨胀？不能，因事件发生在两地。不能，因事件发生在两地。能否用长度收缩？能否用长度收缩？不能，因粒子所经过的路径不不能，因粒子所经过的路径不同时测的。同时测的。xyvuyx第8页，共69页，编辑于2022年，星期日第十二届非物理专业物理竞赛第十二届非物理专业物理竞赛1995年年在惯性系在惯性系S中有一个静止的等边三角形薄片中有一个静止的等边三角形薄片P。现令。现令P相对相对S以以V作匀速作匀速

6、运动，且运动，且V在在P所确定的平面上，若因相对论效应而使在所确定的平面上，若因相对论效应而使在S中测量中测量P恰为恰为一等腰直角三角形薄片，则可判定一等腰直角三角形薄片，则可判定V的方向是的方向是，V的大小为的大小为。SS运动结果使运动结果使等腰直角三角形等腰直角三角形的两直角边的两直角边关于斜边对称，且斜边所对内角较静关于斜边对称，且斜边所对内角较静止时增大。则三角形应沿止时增大。则三角形应沿Y方向（即方向（即三角形的高）运动三角形的高）运动设静止时边长为设静止时边长为a，高为，高为运动时斜边长不变，则高变为运动时斜边长不变，则高变为 a/2V第9页，共69页，编辑于2022年，星期日第十

7、六届物理竞赛第十六届物理竞赛 高速列车内有一滑轨高速列车内有一滑轨ABAB沿车身长度方向固定放置，列车沿车身长度方向固定放置，列车以以0.6c0.6c的速率相对地面匀速直线运动。列车上的观测者的速率相对地面匀速直线运动。列车上的观测者侧得滑轨长为侧得滑轨长为10m,10m,另有一小滑块另有一小滑块D D在在10s10s内由滑轨的内由滑轨的A A端滑端滑到到B B端，如图，则地面上的观测者测得滑轨的长度为端，如图，则地面上的观测者测得滑轨的长度为m,m,地面上的观测者测得滑块移动的距离为地面上的观测者测得滑块移动的距离为。A AB BD D0.6c0.6c解：解：解：解：地面上的观测者测地面上的

8、观测者测得滑轨的长度为得滑轨的长度为地面上的观测者测得滑块移动的距离地面上的观测者测得滑块移动的距离第10页，共69页，编辑于2022年，星期日 m 称称 为为 相对论质量，相对论质量，m0 静止质量静止质量相对论质量相对论质量相对论动能相对论动能相对论能量相对论能量爱因斯坦称爱因斯坦称 E0=m0c2 为静止能量，为静止能量，它实际是物体内能的总和。它实际是物体内能的总和。这样，这样，mc 2=Ek+m0 c 2 即为物体的总能量。即为物体的总能量。记作：记作：E=mc 2 质能关系质能关系相对论动力学相对论动力学第11页，共69页，编辑于2022年，星期日孤立系统内部进行一个过程时孤立系统

9、内部进行一个过程时,总能量守恒，总质量守恒总能量守恒，总质量守恒,称系统的称系统的（静）质量亏损（静）质量亏损 为简便起见将质量亏损就用为简便起见将质量亏损就用 表示。表示。当过程前后，系统可看成由一些独立质点组成时（如核反应），当过程前后，系统可看成由一些独立质点组成时（如核反应），质量亏损质量亏损：E=m c2Ek系统释放的能量系统释放的能量第12页，共69页，编辑于2022年，星期日例例 热核反应：热核反应：释放能量：释放能量：第13页，共69页，编辑于2022年，星期日第十八届物理竞赛题第十八届物理竞赛题静止时质量面密度为静止时质量面密度为 的匀质等边三角形薄板，若因在三角的匀质等边三

10、角形薄板，若因在三角形所处平面内高速运动而成为一个等腰直角三角形薄板，那么形所处平面内高速运动而成为一个等腰直角三角形薄板，那么它的运动速度大小为它的运动速度大小为，此时板的质量面密度为，此时板的质量面密度为。SV第14页，共69页，编辑于2022年，星期日例：一个处于静止状态的物体，自发地分裂为朝相反方例：一个处于静止状态的物体，自发地分裂为朝相反方向运动的两部分，这两部分的静止质量分别为向运动的两部分，这两部分的静止质量分别为m m0101=3kg=3kg 和和 m m0202=5.33kg=5.33kg，速度分别为，速度分别为0.8c 0.8c 和和0.6c0.6c，求：该物体的静质量求

11、：该物体的静质量 m m0.0.解：此孤立系统分裂前后总能量守恒，总质量守恒。解：此孤立系统分裂前后总能量守恒，总质量守恒。m0=11.66kg第15页，共69页，编辑于2022年，星期日例：已知一个电子的静能量为例：已知一个电子的静能量为0.511Mev,0.511Mev,现该电子现该电子被一个电子同步加速器加速后，能量的增量为被一个电子同步加速器加速后，能量的增量为20Mev20Mev（即（即E Ek k=20Mev),=20Mev),试求电子的质量与静止质量试求电子的质量与静止质量之比。之比。解：由 mc2=E0+Ek第16页，共69页，编辑于2022年，星期日例：某高速运动的粒子的动能

12、等于其静止能量的例：某高速运动的粒子的动能等于其静止能量的n倍，则该倍，则该粒子的运动速率为粒子的运动速率为，其动量为，其动量为m0c,其中其中m0为粒子为粒子静止质量，静止质量，c为真空光速。为真空光速。第17页，共69页，编辑于2022年，星期日由爱因斯坦光子理论，由爱因斯坦光子理论，能量和动量的关系：能量和动量的关系：对光子：对光子：光子能量光子能量 E=pc 第18页，共69页，编辑于2022年，星期日一光电效应现象一光电效应现象逸出的电子叫光电子逸出的电子叫光电子.光照到金属表面时光照到金属表面时,电子从表面逸出的现象电子从表面逸出的现象.1.2 1.2 光电效应光电效应二二.爱因斯

13、坦的光子理论爱因斯坦的光子理论一束光就是以速率一束光就是以速率C运动着的光子流。运动着的光子流。光的发射、传播、吸收都是量子化的。光的发射、传播、吸收都是量子化的。光子能量光子能量（不是（不是nh ）光强光强光能流密度光能流密度N-单位时间通过单位面积的光子数单位时间通过单位面积的光子数.第19页，共69页，编辑于2022年，星期日三三.爱因斯坦方程爱因斯坦方程当金属中的一个电子吸收一个的光子能量时当金属中的一个电子吸收一个的光子能量时或或:利用爱因斯坦方程可对光电效应解释如下利用爱因斯坦方程可对光电效应解释如下:1.入射光强入射光强,光子数目多光子数目多,则对应光电子多则对应光电子多,光电流

14、强度大光电流强度大.2.光电子离开金属表面的动能与光子频率有关光电子离开金属表面的动能与光子频率有关3.存在红限频率存在红限频率 电子离开金属电子离开金属,需要有初动能需要有初动能,才有可能到达阳极才有可能到达阳极.即呈现光电即呈现光电流流.否则否则,光电子的初动能光电子的初动能:第20页，共69页，编辑于2022年，星期日红限红限只有当光频率只有当光频率时时,即可出现光电流即可出现光电流,光电效应光电效应.值与材料有关值与材料有关.4.截止电压截止电压Uc与电子初动能有关与电子初动能有关:第21页，共69页，编辑于2022年，星期日四四.光的二象性光的二象性波动性特征：波动性特征：粒子性特征

15、：粒子性特征：第22页，共69页，编辑于2022年，星期日1921年诺贝尔物理年诺贝尔物理学奖获得者学奖获得者 爱因斯坦爱因斯坦德国人德国人Albert Einstein1879-1955对理论物理学的对理论物理学的贡献贡献第23页，共69页，编辑于2022年，星期日例例1.己知己知:钠光灯钠光灯,黄光黄光照射光电池照射光电池.当截止电压当截止电压时时,可以遏止电子到达阳极可以遏止电子到达阳极.求求:若用若用的光照射该光电池的光照射该光电池,截止电压截止电压解解:由由二式相减二式相减,得得第24页，共69页，编辑于2022年，星期日X射线射线0 00 0(0 0)探测器探测器石墨石墨 ：散射角

16、：散射角实验表明：实验表明：与与 和散射物质无关和散射物质无关康普顿波长康普顿波长散射中出现散射中出现的现象，称为的现象，称为康普顿散射。康普顿散射。1.4 康普顿散射康普顿散射 1922-1923，Compton 作了作了X 射线经石墨的散射实验：射线经石墨的散射实验：埃（实验值）埃（实验值）第25页，共69页，编辑于2022年，星期日e自由电子（静止）自由电子（静止）光子与电子碰撞光子与电子碰撞失去一部分能量，失去一部分能量，所以频率变小，所以频率变小，波长变大了。波长变大了。二二.康普顿利用光子理论解释康普顿利用光子理论解释e第26页，共69页，编辑于2022年，星期日联立解得：联立解得

17、：第27页，共69页，编辑于2022年，星期日康普顿康普顿（Arthur H.Compton，美国，美国人，人，1892-1962）1927年获诺贝尔物年获诺贝尔物理奖理奖发现发现X射线的波长射线的波长经散射后有所增长经散射后有所增长的效应的效应第28页，共69页，编辑于2022年，星期日例例.己知己知:一个静止电子与一能量为一个静止电子与一能量为的光子碰撞的光子碰撞.求求:弹性碰撞后弹性碰撞后,电子可能获得的最大动能电子可能获得的最大动能.解解:因能量守恒因能量守恒,光子所损失的能量就是电子所获得的能光子所损失的能量就是电子所获得的能量量.求光子所损失的最大能量求光子所损失的最大能量.散射光

18、波长散射光波长:散射光子的波长最长散射光子的波长最长,能量最小能量最小.最大最大.当散射角当散射角时时,第29页，共69页，编辑于2022年，星期日散射光子的最小能量散射光子的最小能量入射光子经散射后损失的最大能量入射光子经散射后损失的最大能量:电子所获得的最大能量为电子所获得的最大能量为:=61.5 eV第30页，共69页，编辑于2022年，星期日例：在一次康普顿散射中，入射光子传递给电子的最大能例：在一次康普顿散射中，入射光子传递给电子的最大能量为量为Ek，电子的静止质量为，电子的静止质量为m0，则入射光子的能量为，则入射光子的能量为。第31页，共69页，编辑于2022年，星期日由相对论的

19、能量动量关系：由相对论的能量动量关系：代入上式：代入上式：第32页，共69页，编辑于2022年，星期日1.5 粒子的波动性粒子的波动性一一.德布罗意假设（德布罗意假设（1924）L.V.de Broglie（法，（法，1892-1986）实物粒子具有二象性实物粒子具有二象性爱因斯坦爱因斯坦德布罗意关系式德布罗意关系式 德布罗意波长德布罗意波长（de Broglie wavelength）与实物粒子相联系的波与实物粒子相联系的波 物质波物质波（德布罗意波）（德布罗意波）,其其 、和粒子的和粒子的 p、E的关系：的关系：第33页，共69页，编辑于2022年，星期日 约恩逊约恩逊（Jonsson）实

20、验实验（1961）电子的单、双、三、四缝衍射实验：电子的单、双、三、四缝衍射实验：质子、中子、原子、分子质子、中子、原子、分子也有波动性。也有波动性。第34页，共69页，编辑于2022年，星期日二二.德布罗意波长德布罗意波长由由得得当当Vc时时,可以取可以取:其中其中m0为物质的静止质量为物质的静止质量第35页，共69页，编辑于2022年，星期日例题例题：m=0.01kg，v=300m/s的子弹的子弹h极其微小极其微小,宏观物体的波长小得实验宏观物体的波长小得实验难以测量难以测量,“宏观物体只表现出粒子性宏观物体只表现出粒子性”例题例题2:计算被电场加速运动的电子的物质波长计算被电场加速运动的

21、电子的物质波长.设加速电压为设加速电压为电子静止质量电子静止质量 me=9.1 10-31 kg第36页，共69页，编辑于2022年，星期日当当V1 n1第51页，共69页，编辑于2022年，星期日基态氢原子电离基态氢原子电离:由玻尔理论得出的谱线系与实验事实吻合由玻尔理论得出的谱线系与实验事实吻合3 3、玻尔氢原子理论的困难和意义、玻尔氢原子理论的困难和意义满意解释了满意解释了H H、类、类H H原子谱线原子谱线,但仍存在缺陷。但仍存在缺陷。使氢原子中的电子脱离原子核的束缚叫氢原子的电离，使氢原子中的电子脱离原子核的束缚叫氢原子的电离，其电离所必需的最小能量叫电离能。其电离所必需的最小能量叫

22、电离能。基态氢原子电离能基态氢原子电离能等于等于E电离电离=-E1。第52页，共69页，编辑于2022年，星期日第十八届物理竞赛第十八届物理竞赛1）通过推导，用氢原子玻尔半径）通过推导，用氢原子玻尔半径R1,电子电量绝对值电子电量绝对值e及真空介电常数及真空介电常数 来表述氢原子基态的电离能来表述氢原子基态的电离能E电离电离。2）讨论由一个讨论由一个 子和氦核组成的类氢离子，子和氦核组成的类氢离子，子的质量为电子质量子的质量为电子质量的的207倍，电量与电子电量相同，对此种离子，玻尔的轨道量子化理论同倍，电量与电子电量相同，对此种离子，玻尔的轨道量子化理论同样适用。若已知氢原子的样适用。若已知

23、氢原子的R1=5.310-2nm,E 电离电离=13.6ev,试求这种类氢试求这种类氢离子的玻尔半径离子的玻尔半径R1 和基态电离能和基态电离能E电离。电离。（计算时不考虑氦核的运动）（计算时不考虑氦核的运动）解：玻尔半径即为基态半径，电子质量为解：玻尔半径即为基态半径，电子质量为 m第53页，共69页，编辑于2022年，星期日第54页，共69页，编辑于2022年，星期日在氢原子中在氢原子中,电子的势能电子的势能将将 代入定态薛定谔方程中代入定态薛定谔方程中,得得其中其中 r 为电子到质子的距离。由于势能具有球对称为电子到质子的距离。由于势能具有球对称,所以利用所以利用球坐标的薛定谔方程比较方

24、便。球坐标的薛定谔方程比较方便。四四.氢原子的量子力学处理氢原子的量子力学处理描述微观粒子的状态用描述微观粒子的状态用，求解它的方程是薛定谔方程，求解它的方程是薛定谔方程薛定谔方程的第一个应用薛定谔方程的第一个应用,是合理的解决了氢原子的问题。是合理的解决了氢原子的问题。求解薛定谔方程得出：能量量子化求解薛定谔方程得出：能量量子化,电子的角动量、自旋角电子的角动量、自旋角动量的量子化。动量的量子化。给出描述电子状态的给出描述电子状态的 4 个量子数。个量子数。第55页，共69页，编辑于2022年，星期日1.1.主量子数主量子数,能量量子化能量量子化能级能级 能量是量子化的能量是量子化的 当当

25、时，时，En连续值连续值求解求解薛定谔方程得出几个重要结论薛定谔方程得出几个重要结论n=1,E1=-13.6 eV (基态基态)n=2,E2=-3.4 eVn=3,E3=-1.5 eV0En(ev)r-13.6-3.4-1.5第56页，共69页，编辑于2022年，星期日电子绕核转动的角动量的大小电子绕核转动的角动量的大小:为副量子数或角量子数为副量子数或角量子数.,当当n给定给定,可有可有n个值个值.若若 n=1,=0,有有1个值个值.n=2,=0 ,=1 ,有有2个值个值.=1 ,=0 ,n=3=2 ,有有3个值个值.2.（轨道）角量子数轨道）角量子数 ,角动量量子化角动量量子化第57页，共

26、69页，编辑于2022年，星期日3.3.磁量子数磁量子数m l,角动量在空间取向的量子化角动量在空间取向的量子化电子转动相当圆电流电子转动相当圆电流.圆电流的磁矩在外磁场中有一定圆电流的磁矩在外磁场中有一定的取向的取向.电子角动量与磁矩方向相反电子角动量与磁矩方向相反,则角动量在外磁场则角动量在外磁场中也有一定的取向中也有一定的取向.薛定谔方程给出角动量薛定谔方程给出角动量 在外磁场在外磁场Z方向的投影值是不连续的方向的投影值是不连续的,即量子即量子化的化的.表示为表示为:称称 为磁量子数为磁量子数.当当 给定给定,在在z方向取值可有方向取值可有(2 +1)种可种可能能.这个结论称为角动量的空

27、间量子化这个结论称为角动量的空间量子化.r-e,mezLzvLBiz第58页，共69页，编辑于2022年，星期日斯特恩盖拉赫实验（斯特恩盖拉赫实验（19211921）电子不是质点，电子不是质点，有固有的自旋角动量有固有的自旋角动量 和和相应的自旋磁矩相应的自旋磁矩 仿照仿照，假设假设，s 自旋量子数自旋量子数，Sz自旋磁量子数自旋磁量子数第59页，共69页，编辑于2022年，星期日 描述原子中电子的运动状态需要一组量子数描述原子中电子的运动状态需要一组量子数主量子数主量子数 n=1,2,3,决定能量的主要因素；决定能量的主要因素；角（轨道）量子数角（轨道）量子数l=0,1,2(n-1)，对能量

28、有对能量有 一定影响；一定影响；磁量子数磁量子数 ，引起磁场中的能引起磁场中的能 级分裂；级分裂；自旋磁量子数自旋磁量子数 ，产生能级精细结构。产生能级精细结构。另有另有自旋量子数自旋量子数 ，自旋角动量自旋角动量不变，不变，可不计可不计入。入。第60页，共69页，编辑于2022年，星期日 五五 对氢原子光谱的解释对氢原子光谱的解释当氢原子和外界交换能量时当氢原子和外界交换能量时,其能量状态将发生变化其能量状态将发生变化.交换方式以一个原子吸收或放出一个光子的方式进行交换方式以一个原子吸收或放出一个光子的方式进行.当吸收光子时当吸收光子时,氢原子从低能态跃迁到高能态氢原子从低能态跃迁到高能态;

29、当放出光子时当放出光子时,氢原子从高能态跃迁到低能态氢原子从高能态跃迁到低能态.其数量关系也满足玻尔频率条件其数量关系也满足玻尔频率条件:-为高能级值为高能级值-为低能级值为低能级值第61页，共69页，编辑于2022年，星期日氢原子从高能级跃迁到低能级时氢原子从高能级跃迁到低能级时,放出光子的频率为放出光子的频率为:此式称为频率公式此式称为频率公式.若将氢原子能级公式代入上式若将氢原子能级公式代入上式,可得可得计算值与实验值相符计算值与实验值相符第62页，共69页，编辑于2022年，星期日氢原子光谱系与能级图示如下氢原子光谱系与能级图示如下:赖曼系赖曼系巴尔末系巴尔末系帕邢系帕邢系 布喇开系布

30、喇开系n 1234E0-13.6-3.39-1.51-0.85第63页，共69页，编辑于2022年，星期日例题例题:氢原子光谱的巴耳末线系中氢原子光谱的巴耳末线系中,有一光谱有一光谱线的波长为线的波长为4340 .试求试求:(1)与这一谱线相应的光子能量为多少与这一谱线相应的光子能量为多少ev?(2)该谱线是由能级该谱线是由能级En跃迁到能级跃迁到能级Ek产生的产生的,n和和k各为多少各为多少?(3)最高能级为最高能级为E5的大量氢原子的大量氢原子,最多可以发射几个最多可以发射几个线系线系,共几条谱线共几条谱线?并在氢原子能级图中表示出来并在氢原子能级图中表示出来,并说明波长最短的是哪一条谱线

31、并说明波长最短的是哪一条谱线?解解:(1)第64页，共69页，编辑于2022年，星期日(2)在巴耳末系在巴耳末系,其其k=2.EnEk第65页，共69页，编辑于2022年，星期日(3)可发射可发射4个线系个线系,共有共有10条谱线条谱线.n=5n=4n=3n=2n=1波长最短的波长最短的是由赖曼系是由赖曼系中由中由n=5跃跃迁到迁到n=1的的谱线谱线.第66页，共69页，编辑于2022年，星期日例：例：能量为能量为15eV的光子，被处于基态的氢原子吸的光子，被处于基态的氢原子吸收，使氢原子电离。此光电子的德布罗意波长为收，使氢原子电离。此光电子的德布罗意波长为。第67页，共69页，编辑于202

32、2年，星期日多电子原子结构较复杂多电子原子结构较复杂,原子中电子的状态仍可用四原子中电子的状态仍可用四个量子数来确定，这些电子如何分布个量子数来确定，这些电子如何分布?六六.原子的壳层结构原子的壳层结构1.泡利不相容原理泡利不相容原理 泡利泡利（奥地利，（奥地利，1945，Nob）1925年提出：年提出：“一个原子内不可能有四个量子数全同的电子一个原子内不可能有四个量子数全同的电子”2.能量最低原理能量最低原理 即电子总是处于可能的最低能级即电子总是处于可能的最低能级同一个同一个n 组成一个组成一个壳层壳层（K,L,M,N,O,P），），相同相同 n,l 组成一个组成一个支壳层支壳层（s,p,d,f,g,h），），一支壳层内电子可有（一支壳层内电子可有（2l+1）2种量子态，种量子态，mml lmms s第68页，共69页，编辑于2022年，星期日原子中各壳层最多可容纳的电子数表原子中各壳层最多可容纳的电子数表0 1 2 3 4 5 6 s p d f g h i 1,k 2,L 3,M 4,N 5,O 6,P 7,Q2226826101826101432261014185026101418227226101418222698第69页，共69页，编辑于2022年，星期日