2021-2022学年高二物理竞赛课件：位力定理.pptx

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1、位力定理位力定理2位力定理位力定理则在此势场中则在此势场中束缚定态束缚定态 上的动能与势能的平上的动能与势能的平均值之间满足如下关系：均值之间满足如下关系：设粒子属于能量本征值设粒子属于能量本征值 的本征态为的本征态为 ，即，即 如势场如势场 为为 的的 次齐次函数次齐次函数几个特例：几个特例：3第一式对第一式对 求导得求导得上式左乘上式左乘 ，并利用第二式和归一化条件，得，并利用第二式和归一化条件，得到对束缚态到对束缚态 ，有，有此式即为此式即为Feynman-Hellmann定理。定理。比较重要！比较重要！其共轭方程为其共轭方程为又设又设 是是 从而是从而是 的参数的参数,4动量在径向方向

2、的分量定义为动量在径向方向的分量定义为求出求出 在球坐标中的表达式在球坐标中的表达式注意三问题注意三问题：1.求算符的表达式勿忘作用任意波函数求算符的表达式勿忘作用任意波函数 2.不论何种坐标系，不论何种坐标系，是不变的是不变的 3.拉普拉斯算符在球坐标中的表示拉普拉斯算符在球坐标中的表示解：根据题意，利用解：根据题意，利用 有有任取一波函数任取一波函数 ，则，则5力学量力学量 为守恒量的条件是为守恒量的条件是 不含不含 ，且，且 与与哈密顿哈密顿 对易。对易。力学量力学量 平均值随时间的变化率为平均值随时间的变化率为 力学量完全集是一组线性无关的相互对易的力力学量完全集是一组线性无关的相互对

3、易的力 学量，它们的共同本征函数全体集合可以用来学量，它们的共同本征函数全体集合可以用来 表示粒子的运动态。表示粒子的运动态。在力学量完全集中，力学量的个数为粒子运动在力学量完全集中，力学量的个数为粒子运动 的维数。的维数。例如对在三维中心力场中运动的粒子，力学量例如对在三维中心力场中运动的粒子，力学量 完全集可以是完全集可以是 或或 或或 。守恒量完全集：若力学量完全集中含有哈密顿守恒量完全集：若力学量完全集中含有哈密顿 算符，则该力学量完全集称为守恒量完全集。算符，则该力学量完全集称为守恒量完全集。67将式将式 代入代入得得由于由于 是任意的，所以有是任意的，所以有在球坐标中，在球坐标中，

4、将其代入上式得将其代入上式得此算符是此算符是否否厄米算符？厄米算符？两种方两种方案案利用本题利用本题pr定义定义8 粒子作一维运动，粒子作一维运动，,定态波函数为定态波函数为(2)利用利用(1)推导求和公式推导求和公式(3)证明证明学会利用公式学会利用公式(1)证明证明 并求系数并求系数思路：如何思路：如何9证明：证明：（1）通过）通过可以看到，要证明可以看到，要证明利用公式利用公式是一思路（以一维为例）。是一思路（以一维为例）。这样通过对动量算符求导可得到动量这个因子。这样通过对动量算符求导可得到动量这个因子。故故两边对能量本征态求两边对能量本征态求矩阵矩阵元，有元，有从而有从而有10（2）

5、证明）证明要用到上述结论要用到上述结论由此可得到由此可得到所以有所以有11同理同理所以所以又因为又因为利用对易关系利用对易关系即可证出。即可证出。由于由于(3)要证明要证明易推知易推知12 已知已知 是是 和和 的共同本征函数，本征值的共同本征函数，本征值 分别为分别为 和和 ，令，令 。(1)证明证明 仍是仍是 和和 的共同本征函数，的共同本征函数，求出它们的本征值；求出它们的本征值；(2)推导公式推导公式分析：分析：第一问思路比较明确，最多利用一下对易关系。第一问思路比较明确，最多利用一下对易关系。第二问需要考虑对波函数的性质有一定的理解。第二问需要考虑对波函数的性质有一定的理解。证明：（证明：（1）而而故故13 关键是要理解关键是要理解已经证明已经证明是算符是算符属于本征值属于本征值的本征函数的本征函数的本征值的本征值是非简并的是非简并的而而征值征值也是算符也是算符属于本属于本的本征函数的本征函数但又知但又知关键是如何求常数关键是如何求常数考虑用球谐函数的正交归一性和角动量算符的考虑用球谐函数的正交归一性和角动量算符的对易关系对易关系函数最多相差一常数。即函数最多相差一常数。即 故这两个本征故这两个本征14将式将式两边取厄米共轭，有两边取厄米共轭，有以上两式相乘并对全空间积分，有以上两式相乘并对全空间积分，有利用利用容易得到容易得到