2021-2022学年高二物理竞赛课件：量子力学之波函数和薛定谔方程.pptx

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1、第二章第二章 波函数和波函数和 薛定薛定谔方程方程 微微观粒粒子子的的基基本本属属性性不不能能用用经典典语言言确确切切描描述。述。量子力学用波函数描述微量子力学用波函数描述微观粒子的运粒子的运动状状态，波函数所遵从的方程波函数所遵从的方程薛定薛定谔方程是量子力学方程是量子力学的基本方程。的基本方程。这一章开始介绍量子力学的基本理论与方法。主要介绍：1.二个基本假设：A.微观粒子行为由波函数描述,波函数具有统计意义。B.描述微观粒子行为的波函数由薛定谔方程解出。2.用定态薛定谔方程求解三个简单问题：A.一维无限深势阱 B.一维谐振子 C.势垒贯穿（隧道效应）2.1.物物质波的波函数及其波的波函数

2、及其统计解解释1.波函数波函数：概率波的数学表达形式，概率波的数学表达形式，描述微描述微观客体的运客体的运动状状态一般表示一般表示为复指数函数形式复指数函数形式例：例：一一维自由粒子的波函数自由粒子的波函数经典描述：典描述：沿沿 x 轴匀速直匀速直线运运动量子描述：量子描述：类比：比：单色平面波色平面波一定一定沿直沿直线传播播以坐以坐标原点原点为参考点，参考点，（取（取实部）部）推广推广：三三维自由粒子波函数自由粒子波函数2.波函数的波函数的强度度模的平方模的平方波函数与其共波函数与其共轭复数的复数的积例：例：一一维自由粒子：自由粒子：3.波函数的波函数的统计解解释光光栅衍射衍射电子衍射子衍射

3、类比比I大大处 到达光子数多到达光子数多I小小处 到达光子数少到达光子数少I=0 无光子到达无光子到达各光子起点、各光子起点、终点、路点、路径均不确定径均不确定用用I对屏上光子数分布作屏上光子数分布作概率性描述概率性描述各各电子起点、子起点、终点、路径点、路径均不确定均不确定对屏上屏上电子数分布子数分布作概率性描述作概率性描述电子到达子到达该处概率大概率大电子到达子到达该处概率概率为零零电子到达子到达该处概率小概率小光光栅衍射衍射电子衍射子衍射一般：一般：t 时刻时刻,到达空间到达空间 r（x,y,z）处某体积处某体积dV内的粒子数内的粒子数 t 时刻，出现在空间（时刻，出现在空间（x,y,z

4、）点附近单位体积内的）点附近单位体积内的粒子数与总粒子数之比粒子数与总粒子数之比 t 时刻，粒子出现在空间（时刻，粒子出现在空间（x,y,z）点附近单位体积）点附近单位体积内的概率内的概率 t 时刻，粒子在空间分布的概率密度时刻，粒子在空间分布的概率密度 的物理意义：的物理意义：物质波的波函数不描述介质中运动物质波的波函数不描述介质中运动状态（相位）传播的过程状态（相位）传播的过程概率密度，粒子在空间分布的统计规律概率密度，粒子在空间分布的统计规律概率幅概率幅注意：干涉项干涉项4 4、波函数的波函数的归一化条件和一化条件和标准条件准条件粒子在整个空粒子在整个空间出出现的概率的概率为1 1 归一

5、化条件一化条件对微微观客体的数学描述：客体的数学描述：脱离日常生活脱离日常生活经验，避免借用，避免借用经典典语言引起言引起的表的表观矛盾矛盾标准条件准条件2.2.、态的迭加原理、态的迭加原理 态迭加原理是量子力学中一个很重要的原理，这一节先作一些初步介绍，随着学习量子力学内容的不断深入，会不断加深对态迭加原理的理解。一、量子态和波函数一、量子态和波函数 用波函数用波函数 （r,t）来描述微观粒子的量子态。来描述微观粒子的量子态。当当（r,t）给定后，如果测量其位置，粒子出给定后，如果测量其位置，粒子出现在点的几率密度为现在点的几率密度为 。波函数的统计解释也是波粒二项性的一种体现。波函数的统计

6、解释也是波粒二项性的一种体现。经典波：遵从迭加原理，两个可能的波动过程经典波：遵从迭加原理，两个可能的波动过程迭加后也是一个可能的波动过程。如：惠更斯迭加后也是一个可能的波动过程。如：惠更斯原理。原理。描述微观粒子的波是几率波，是否可迭加？意描述微观粒子的波是几率波，是否可迭加？意义是否与经典相同？义是否与经典相同？二、量子力学的态的迭加原理二、量子力学的态的迭加原理1、经典物理中，光波或声波遵守态迭加原理：二列经典波1与2线性相加，=a1+b2,相加后的也是一列波，波的干涉、衍射就是用波的迭加原理加以说明的。量子力学的二个态的迭加原理（P22倒7行）：如果1与2是体系的可能状态，那么它们的

7、线性迭加态=c11+c22，（c1、c2是复数）也是这个体系的一个可能状态。2、例：以双缝衍射实验（见上面图），推广到任意多态的一般态迭加原理：衍射图样的产生证实了干涉项的存在。3、态的迭加原理 如果1、2、3是体系可能的状态，则它们的线性迭加态=c11+c22+c33=cii 也是体系的一个可能状态。当体系处在迭加态时，体系部分处在1态、也部分处在2态，等，即各有一定几率处在迭加之前的各个态i。4、说明：说明：（1）量子力学使用最多的是把可以实现的）量子力学使用最多的是把可以实现的态分解为某一个算符本征态的迭加。态分解为某一个算符本征态的迭加。（2）如同经典波的分解和迭加，量子力学）如同经典

8、波的分解和迭加，量子力学的态的迭加也是波函数的迭加，而不是的态的迭加也是波函数的迭加，而不是的迭加。的迭加。三、三、一个结论：一个结论：任何一个波函数都可以看作是各种不同动量的平任何一个波函数都可以看作是各种不同动量的平面波的迭加。面波的迭加。数学表示式：其中，是动量一定的平面波。这在数学上是成立的，这正好是非周期函数的富叶立展开。一维情况：说明：说明：1、在态、在态（r,t）的粒子，它的动量没有确的粒子，它的动量没有确定的值，由上式可知：粒子可处于任何定的值，由上式可知：粒子可处于任何一个态一个态p（r,t），但是当粒子的状态确，但是当粒子的状态确定后，粒子动量集于某一确定值的几率定后，粒子动量集于某一确定值的几率是一定的。是一定的。2、由于量子力学的态的迭加原理是几率波、由于量子力学的态的迭加原理是几率波的迭加，所以的迭加，所以1+1=21不是新的态，不是新的态，只不过未归一化。在态只不过未归一化。在态=c11+c21进行进行测量时，发现粒子要么处在测量时，发现粒子要么处在1，要么处，要么处在在2。