2021-2022学年高二物理竞赛课件：几率分布+.pptx

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1、几率分布几率分布(1)粒子在原点出现的几率要么最大（n偶），要么为0（n为奇）(3)当n越大时，其几率密度分布与经典几率密度分布越来越接近，当n时，量子和经典无差别，这也表现当量子数很大时，量子体系过渡到经典情况。(2)粒子可在经典禁区中出现几率分布几率分布-22-44|10|2 n()n=2n=1n=0-11-1 0 10()例例 电子被关在具有理想反射壁的三维电子被关在具有理想反射壁的三维 势阱中，求电子的能级和波函数。势阱中，求电子的能级和波函数。本例题的目的是本例题的目的是介绍分离变量法介绍分离变量法xyz按题意，相当于电子处在下列势场中：0 0 xa,0yb,0zcx0，xay0，y

2、bz0，zc势阱外：U,而有限，势阱内：U=0,Schrodinger方程为分离变量法分离变量法令则有两边同除则有ExEyEz分别仅与分别仅与x x、y y和和z z有关的有关的项相加等于常数，要成立项相加等于常数，要成立只有这三项都必须为常数。只有这三项都必须为常数。0 xa (1)0ya (2)0za (3)对方程(1),其解为同理，对方程(2)ny1，2，3同理，对方程(3)nz1，2，3最后我们有阱内0 阱外例例.求三维谐振子能级求三维谐振子能级 和本征函数。和本征函数。本例题目的是利用一维谐振本例题目的是利用一维谐振子已知结论来讨论其它问题子已知结论来讨论其它问题解：解：l（1 1）

3、三维谐振子）三维谐振子 Hamilton Hamilton 算符算符（2 2）本征方程及其能量本征值）本征方程及其能量本征值解得能量本征函数和本征值为：解得能量本征函数和本征值为：则波函数三方向的分量则波函数三方向的分量 分别满足如下三个方程：分别满足如下三个方程：如果系统如果系统 Hamilton Hamilton 量可以写成量可以写成 则必有：则必有：例例 荷电荷电 q 的谐振子，受到沿的谐振子，受到沿 x 方向外方向外 电场电场 作用，求能量本征值和本征函数作用，求能量本征值和本征函数。本例题目的是利用本例题目的是利用一维谐振子已知结一维谐振子已知结论来讨论其它问题论来讨论其它问题受沿受

4、沿 x 方向外电场作用的带方向外电场作用的带电谐振子的势能可表示为电谐振子的势能可表示为：相应的相应的SchrodingerSchrodinger方程可写成方程可写成解：解：带电粒子在电场中所受到的作用势对应于不同的对应于不同的n n 或不同的或不同的，厄米方程的解为，厄米方程的解为 H Hn n()，H Hn n()称为称为厄米多项式厄米多项式，可表示成：，可表示成：(6)其最高次幂是n，其系数为 两个递推公式因此我们可得到线性谐振子的波函数为因此我们可得到线性谐振子的波函数为归一化系数归一化系数利用利用得到得到谐振子的能量取分立值：谐振子的能量取分立值：原因是：原因是：在本问题中，粒子在原

5、点附近作简谐振荡，由于在本问题中，粒子在原点附近作简谐振荡，由于谐振子的势能谐振子的势能U(x)，当x趋于无限大，即 因此，粒子不可能出现在无限远处因此，粒子不可能出现在无限远处。结论：结论：谐振子问题属于束缚态问题谐振子问题属于束缚态问题。a.能量量子化能量量子化一一般般而而言言，只只要要是是束束缚缚态态，其其能能级肯定是分立的。级肯定是分立的。b.均匀分布的能级均匀分布的能级c.不为零的基态能量不为零的基态能量由 ，可知相邻能级间的间隔这正是这正是planck当初的假设当初的假设！经典经典能量能量量子量子在本问题中，基态对应于n0的情况。当n0时，典型的量子效应典型的量子效应 ！d.和经典谐振子的比较和经典谐振子的比较经典力学中，粒子在x范围内出现的几率粒子通过x所需要的时间 粒子在x范围内出现的几率 0X经经典典力力学学中中粒粒子子在在原原点点x0 0处处出出现的几率最小。现的几率最小。（因为粒子在x0处的速度最大）经典情况波函数波函数n=0n=1n=2-3 -2 -1 0 1 2 3E0E1E2