变化率问题导数的概念.pptx

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1、微积分主要与四类问题的处理相关:一、已知物体运动的路程作为时间的函数一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速求物体在任意时刻的速度与加速度等度等;二、求曲线的切线二、求曲线的切线;三、求已知函数的最大值与最小值三、求已知函数的最大值与最小值;四、求长度、面积、体积和重心等。四、求长度、面积、体积和重心等。导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。值等问题最一般、最有效的工具。第1页/共28页问题1 气球膨胀率 在吹气球的过程中,可发现,随着气球内空气容量

2、的增加,气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度,如何描述这种现象呢?气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是若将半径 r 表示为体积V的函数,那么当空气容量V从0L增加到1L,气球半径增加了气球的平均膨胀率为当空气容量V从1L增加到2 L,气球半径增加了气球的平均膨胀率为 随着气球体积逐渐变大,它的平均膨胀率逐渐变小第2页/共28页思考?当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?第3页/共28页问题2 高台跳水 在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度 h(单位:m)与起跳后的时间 t(单位:s)存在函数关系 如果用运动员在某段时间内的平均速度 描述其运动状态

3、,那么:在0 t 0.5这段时间里,在1 t 2这段时间里,计算运动员在 这段时间里的平均速度,并思考下面的问题:探 究:(1)运动员在这段时间里是静止的吗?(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?第4页/共28页定义:平均变化率:式子 称为函数 f(x)从x1到 x2的平均变化率.令x=x2 x1,y=f(x2)f(x1),则第5页/共28页理解：1，式子中x、y的值可正、可负，但的x值不能为0，y的值可以为02，若函数f(x)为常函数时，y=0 3,变式第6页/共28页 思考?观察函数f(x)的图象平均变化率表示什么?OABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-

4、x1f(x2)-f(x1)直线AB的斜率第7页/共28页练习:1.甲用5年时间挣到10万元,乙用5个月时间挣到2万元,如何比较和评价甲、乙两人的经营成果?2.已知函数 f(x)=2 x+1,g(x)=2 x,分别计算在下列区间上 f(x)及 g(x)的平均变化率.(1)3,1;(2)0,5 .第8页/共28页做两个题吧!1、已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2)及临近一点B(-1+x,-2+y),则y/x=()A 3 B 3x-(x)2C 3-(x)2 D 3-x Dl2、求y=x2在x=x0附近的平均速度。2x0+x 第9页/共28页小结：1.函数的平均变化率l2.求函数

5、的平均变化率的步骤:(1)求函数的增量y=f(x2)-f(x1);(2)计算平均变化率第10页/共28页一、复习1.平均变化率:平均变化率的几何意义:割线的斜率OABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=xf(x2)-f(x1)=y第11页/共28页理解：1，式子中x、y的值可正、可负，但的x值不能为0，y的值可以为02，若函数f(x)为常函数时，y=0 3,变式第12页/共28页l求函数的平均变化率的步骤:(1)求函数的增量y=f(x2)-f(x1);(2)计算平均变化率第13页/共28页1.1.2 导数的概念在高台跳水运动中,平均速度不能反映他在这段时间里运动状态，需要用

6、瞬时速度描述运动状态。我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.又如何求瞬时速度呢?第14页/共28页 平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势.l如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?求：从2s到(2+t)s这段时间内平均速度第15页/共28页t0时时,在在2,2+t 这段时这段时间内间内当t=0.01时,当t=0.01时,当t=0.001时,当t=0.001时,当t=0.0001时,当t=0.0001时,t=0.00001,t=0.00001,t=0.000001,t=0.000001,平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势.l如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?第1

7、6页/共28页 当 t 趋近于0时,即无论 t 从小于2的一边,还是从大于2的一边趋近于2时,平均速度都趋近与一个确定的值 13.1.从物理的角度看,时间间隔|t|无限变小时,平均速度 就无限趋近于 t=2时的瞬时速度.因此,运动员在 t=2 时的瞬时速度是 13.1.表示“当t=2,t趋近于0时,平均速度 趋近于确定值 13.1”.从2s到(2+t)s这段时间内平均速度第17页/共28页探 究:1.运动员在某一时刻 t0 的瞬时速度怎样表示?2.函数f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率怎样表示?第18页/共28页定义:函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率是称为函数 y=f(x)在

8、x=x0 处的导数,记作或 ,即第19页/共28页定义:函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率是称为函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数,记作或 ,即第20页/共28页由导数的定义可知,求函数 y=f(x)的导数的一般方法:1.求函数的改变量2.求平均变化率3.求值口诀：一差、二化、三极限第21页/共28页 题1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热.如果第 x h时,原油的温度(单位:)为 f(x)=x2 7x+15(0 x8).计算第2h和第6h,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.解:在第2h和第6h时,原油温度的瞬时变化率就是和根据导数的

9、定义,所以,同理可得 在第2h和第6h时,原油温度的瞬时变化率分别为3和5.它说明在第2h附近,原油温度大约以3 /h的速率下降;在第6h附近,原油温度大约以5 /h的速率上升.第22页/共28页 应用：将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热.如果第 x h时,原油的温度(单位:)为 f(x)=x2 7x+15(0 x8).计算第2h和第6h,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.练习:计算第3h和第5h时原油的瞬时变化率,并说明它们的意义.第23页/共28页练习：第24页/共28页2.已知解:第25页/共28页第26页/共28页课后思考题：12.函数f(x)=|x|在点x0=0处是否有导数？若有，求出来 若没有，请说明理由.第27页/共28页谢谢您的观看！第28页/共28页