2011届高考数学总复习直通车课件---统计﹑概率.ppt

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1、数学直通车数学直通车-统计统计概率概率知识体系知识体系 第一节第一节 随机抽样随机抽样基础梳理基础梳理1.简单随机抽样（1）定义：设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本（nN）,如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等,就把这种抽样方法叫做简单随机抽样.（2）最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数法.2.系统抽样假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，步骤如下:（1）先将总体的N个个体编号；（2）确定分段间隔k,对编号进行分段，当 是整数时，取k=；（3）在第1段用简单随机抽样确定第1个个体编号(k);（4）按照一定的规则抽取样本，通常是将 加上间隔k得到

2、第2个个体编号(+k)，再加k得到第3个个体编号(+2k),依次进行下去，直到获取整个样本.3.分层抽样(1)定义：在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样.（2）分层抽样的应用范围：当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样.4.三种抽样方法比较类别共同点各自特点相互联系适用范围简单随机抽样抽样过程中每个个体被抽到的机会均等从总体中逐个抽取总体中的个体数较少系统抽样将总体均匀分成几部分，按一定的规则分别在各部分中抽取在起始部分抽样时采用简单随机抽样总体中的个体数较多分层抽样将总体

3、分成几层，分层进行抽取各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样总体由差异明显的几部分组成典例分析典例分析题型一题型一 简单随机抽样简单随机抽样【例1】某车间工人加工一种轴100件，为了了解这种轴的直径，要从中抽取10件在同一条件下测量，请设计一种抽样方案.分析分析 考虑到总体中个体数较少，利用抽签法或随机数法容易获取样本.解解 方法一（抽签法）:将100件轴编号为1,2,，100，并做好大小、形状相同的号签，分别写上这100个数，将这些号签放在一起，进行均匀搅拌，接着连续抽取10个号签，与这10个号签号码相同的轴的直径即为所要抽取的样本.方法二(随机数表法):将100件轴编号为00,01，,99,

4、在随机数表（见教材附表）中选定一个起始位置，如取第21行第1个数开始，选取10个为68,34,30,13,70,55,74,30，77,40,这10个号码对应的轴的直径即为所要抽取的样本.学后反思学后反思 （1）随机数法的步骤：将总体的个体编号；在随机数表中选择开始数字；读数获取样本号码.随机数法简单易行，它很好地解决了抽签法在总体个数较多时制签难的问题，但是当总体中的个体很多，需要的样本容量也很大时，用随机数法抽取样本仍不方便;（2）一个抽样试验能否用抽签法，关键要看：制签是否方便；号签是否容易被搅匀.一般地，总体容量和样本容量都较小时，可用抽签法.举一反三举一反三1.某事业单位有102名职

5、工，从中抽取10人参加体检，试采用简单随机抽样进行具体实施.解析：将每一个人编一个号由001至102；制作大小相同的号签并写上号码；放入容器中，均匀搅拌；依次抽取10个号码，具有这十个编号的人组成一个样本.题型二题型二 系统抽样系统抽样【例2】从某厂生产的905辆家用轿车中随机抽取90辆测试某项性能，请合理选择抽样方法进行抽样，并写出抽样过程.分析分析 由于总体容量较大，因此，采用系统抽样法进行抽样，又因总体容量不能被样本容量整除，需先剔除5辆家用轿车，使得总体容量能被样本容量整除，取间隔k=10;然后利用系统抽样的方法进行抽样.解解 可用系统抽样法进行抽样，抽样步骤如下：第一步，将905辆轿

6、车用随机方式编号；第二步，从总体中剔除5辆（剔除法可用随机数法），将剩下的900辆轿车重新编号(分别为001,002,900)并分成90段；第三步，在第一段001,002,010这十个编号中用简单随机抽样法抽出一个作为起始号码（如006）;第四步，把起始号码依次加间隔10，可获得样本.学后反思学后反思 在利用系统抽样时，经常遇到总体容量不能被样本容量整除的情况，则可以先从总体中随机地剔除几个个体，使得总体中剩余的个体数能被样本容量整除.举一反三举一反三2.某工厂有1 003名工人，从中抽取10人参加体检，试用系统抽样进行具体实施.解析：（1）将每个人编一个号由0001至1003；（2）利用随机

7、数表法找到3个号，将这3名工人排除;（3）将剩余的1 000名工人重新编号0001至1000;（4）分段，取间隔 ,将总体均分为10组，每组含100个工人;（5）从第一段，即从0001号到0100号中随机抽取一个号L;（6）按编号将L，100+L，200+L，900+L共10个号选出.这10个号所对应的工人组成样本.题型三题型三 分层抽样分层抽样【例3】某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工至多参加了其中一组.在参加活动的职工中，青年人占42.5%,中年人占47.5%,老年人占10%.登山组的职工占参加活动总人数的 ,且该组中，青年人占50%,中年人占40%,老年人占

8、10%.为了了解各组不同的年龄层次的职工对本次活动的满意程度，现从参加活动的全体职工中抽取一个容量为200的样本.（1）在游泳组中，试确定青年人、中年人、老年人分别所占的比例;（2）在游泳组中，试确定青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数.分析分析 因本题中已给出了青年人、中年人和老年人三类，如何分配他们之间的比例和他们各自的人数是解决本题的关键.解解 采用分层抽样的方法.(1)设登山组人数为x,在游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为a、b、c，根据题意得解得b=50%,c=10%.故a=100%-50%-10%=40%,即在游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为40%、50

9、%、10%.（2）在游泳组中，抽取的青年人人数为200 40%=60(人)；抽取的中年人人数为200 50%=75(人);抽取的老年人人数为200 10%=15(人).学后反思学后反思 分层抽样是当总体由差异明显的几部分组成时采用的抽样方法，进行分层抽样时应注意以下几点：（1）分层抽样中分多少层、如何分层要视具体情况而定，总的原则是，层内样本的差异要小，两层之间的样本差异要大，且互不重叠；（2）为保证每个个体等可能入样，所有层中每个个体被抽到的可能性应相同；（3）在每层抽样时，应采用简单随机抽样或系统抽样的方法进行抽样.举一反三举一反三3.某单位有工程师6人，技术员12人，技工18人，要从这些

10、人中抽取一个容量为n的样本.（1）如果采用系统抽样法和分层抽样法抽取，不用剔除个体，求样本容量n；（2）如果样本容量增加一个，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除一个个体，求样本容量n.解析：（1）总体容量为6+12+18=36.当样本容量是n时，由题意知，系统抽样的间隔为 ，分层抽样的比例是 ,抽取工程师 6=（人），抽取技术员 12=（人）,抽取技工 18=（人）.所以n应是6的倍数，36的约数，即n=6,12,18,36.(2)当样本容量为（n+1）时，总体容量是35，系统抽样的间隔为 .因为 必须是整数，所以n只能取6,即样本容量n=6.题型四题型四 抽样方法的综合应用抽样方法的综合

11、应用【例4】(12分)为了考察某校的教学水平，将抽查这个学校高三年级的部分学生本年度的考试成绩.为了全面反映实际情况，采取以下三种方式进行抽查（已知该校高三年级共有20个班，并且每个班内的学生已经按随机方式编好了学号,假定该校每班学生的人数相同）：从高三年级20个班中任意抽取一个班，再从该班中任意抽取20名学生，考察他们的学习成绩；每个班抽取1人，共计20人，考察这20名学生的成绩；把学生按成绩分成优秀、良好、普通三个级别，从其中共抽取100名学生进行考察（已知该校高三学生共1 000人，若按成绩分，其中优秀生共150人，良好生共600人，普通生共250人）.根据上面的叙述，试回答下列问题：（

12、1）上面三种抽取方式的总体、个体、样本分别是什么？每一种抽取方式抽取的样本中，样本容量分别是多少？（2）上面三种抽取方式各自采用的是何种抽取样本的方法？（3）试分别写出上面三种抽取方式各自抽取样本的步骤.分析分析 本题主要考查基本概念和三种抽样方法的联系与区别，准确把握三种抽样方法的概念与特点是解此题的关键;另外要注意叙述的完整性和条理性.解解（1）这三种抽取方式的总体都是指该校高三全体学生本年度的考试成绩，个体都是指高三年级每个学生本年度的考试成绩.其中第一种抽取方式的样本为所抽取的20名学生本年度的考试成绩，样本容量为20；第二种抽取方式的样本为所抽取的20名学生本年度的考试成绩，样本容量

13、为20；第三种抽取方式的样本为所抽取的100名学生本年度的考试成绩，样本容量为100.3（2）三种抽取方式中，第一种采用的是简单随机抽样法；第二种采用的是系统抽样法和简单随机抽样法;第三种采用的是分层抽样法和简单随机抽样法.6（3）第一种方式抽样的步骤：第一步，用抽签法在这20个班中任意抽取一个班;第二步，从这个班中按学号用随机数表法或抽签法抽取20名学生，考察其考试成绩.7第二种方式抽样的步骤如下：第一步，用简单随机抽样法从第一个班中任意抽取一名学生，记其学号为a;第二步，在其余的19个班中，选取学号为a的学生，加上第一个班中的一名学生，共计20人.9第三种方式抽样的步骤如下：第一步，分层.

14、因为若按成绩分，其中优秀生共150人，良好生共600人，普通生共250人，所以在抽取样本时，应该把全体学生分成三个层次;第二步，确定各个层次抽取的人数.因为样本容量与总体的个数之比为1001 000=110,所以在每个层次中抽取的个体数依次为 ,即15,60,25;第三步，按层次分别抽取.在优秀生中用简单随机抽样法抽15人；在良好生中用简单随机抽样法抽取60人；在普通生中用简单随机抽样法抽取25人.12学后反思学后反思 本题主要考查数理统计中一些基本的概念和方法.做这种题目时，应该注意叙述的完整性和条理性.举一反三举一反三4.判断下面这几个抽样调查选取样本的方法是否合适.(1)一啤酒厂为了了解

15、其产品的质量情况，在其生产流水线上每隔1 000瓶选取一瓶检验其质量；（2）一手表厂欲了解611岁少年儿童带手表的比例，周末来到一家业余艺术学校调查200名在那里学习的学生；（3）为调查全校学生对购买正版书籍、唱片和软件的支持率，用简单随机抽样方法在全校所有的班级中抽取8个班级，调查这8个班级中所有学生对购买正版书籍、唱片和软件的支持率；(4)为调查一个省的环境污染情况，调查省会城市的环境污染情况.解析：（1）合适；（2）不合适，这所学校的200名学生不能代表全部的611岁儿童；（3）合适；（4）不合适,调查的城市为省会，不满足随机抽样的随机性和机会均等性原理.易错警示易错警示【例】下列抽取样

16、本的方式是否属于简单随机抽样？并说明理由.（1）从无限多个个体中抽取100个个体作样本.（2）盒子里共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检查，在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后，再把它放回盒子中.错解错解 （1）是简单随机抽样，因为样本是随机任意抽取的.（2）是简单随机抽样，因为就是从80个零件中任取5个零件的抽样.错解分析错解分析 上述两问题不具有简单随机抽样的特点：不放回、有限性.正解正解 （1）不是简单随机抽样，由于被抽取样本的总体的个数不是有限的而是无限的.（2）不是简单随机抽样，由于它是放回抽样，而简单随机抽样的前提是不放回抽样.考点演练考点演练10.（2010茂名

17、模拟）一个总体中有100个个体，随机编号0，1，2，99.依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1，2，3，10.现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第一组随机抽取的号码为t,则在第k组中抽取的号码个位数字与t+k的个位数字相同，若t=7，则在第8组中抽取的号码应是.解析:t+k=7+8=15,第8组中75的个位数字与t+k的个位数字相同，所以为75.答案:7511.某校有在校高中学生1 600人，其中高一学生520人，高二学生500人，高三学生580人.如果想抽查其中的80人来调查学生的消费情况，考虑到学生的年级高低消费情况有明显差别，而同一年级内消费情况差异较小，应当采用

18、 抽样，高三学生中应抽查 人.解析解析 因为不同年级的学生消费情况有明显的差别，所以应采用分层抽样.由于520500580=262529,于是将80分成262529三部分，设三部分各抽个体数分别为26x,25x,29x,则26x+25x+29x=80,解得x=1,故高三年级中应抽取291=29（人）.答案答案 分层 2912.某校高中三年级有253名学生，为了解他们的身体状况，准备按15的比例抽取一个样本，试写出用系统抽样法进行抽样的过程.解析解析 第一步，计算要抽取的个体数：，所以先从253个个体中随机剔除3个;第二步，把剩下的250名学生随机编号为：1,2,，250，然后分组为1 5,6

19、10,246 250;第三步，在1 5之间任选一个号，记为i(1i5)，然后依次在第n组选取i+(n-1)5号(2n50).这样就得到所需的样本.第二节第二节 用样本估计总体用样本估计总体基础梳理基础梳理1.作频率分布直方图的步骤（1）求极差（即一组数据中最大值与最小值的差）;（2）决定组距与组数;（3）将数据分组;（4）列频率分布表;（5）画频率分布直方图.2.频率分布折线图和总体密度曲线（1）频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点,就得到频率分布折线图;（2）总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，即总

20、体密度曲线.3.众数、中位数、平均数（1）在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数.（2）将一组数据按大小依次排列，把处在中间位置的一个数据（或中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数.（3）如果有n个数 ，那么 叫做这n个数的平均数.4.标准差和方差（1）标准差是样本数据到平均数的一种平均距离;（2）（3）方差：(是样本数据，n是样本容量，是样本平均数).5.用茎叶图刻画数据有两个优点(1)所有的信息都可以从图中得到;(2)茎叶图便于记录和表示，能够展示数据的分布情况.但当样本数据较多或数据位数较多时，茎叶图的效果就不是很好了.典例分析典例分析题型一题型一 图形信息题图形信息题【

21、例1】为了了解九年级学生中女生的身高（单位：cm）情况，某中学对九年级女生进行了一次身高测量，所得数据整理后,列出了频率分布表如下：分组频数频率145.5-149.510.02149.5-153.540.08153.5-157.5200.40157.5-161.5150.30161.5-165.580.16165.5-169.5mn合计MN（1）求出表中m,n,M,N所表示的数分别是多少;（2）画出频率分布直方图；（3）试问：全体女生中身高在哪组范围内的人数最多？估计九年级学生中女生的身高在161.5 cm以上的概率.分析分析 每一组距的频率是该组距中个体的个数与所研究对象的个数之比；所有组距

22、的频率之和为1;每一组距的频率是频率分布直方图中该组距所对应的矩形的面积.解解 （1）M=50,m=50-(1+4+20+15+8)=2,N=1,.（2）作出直角坐标系，组距为4,纵轴表示 ，横轴表示身高,画出直方图如图：（3）在153.5-157.5 cm范围内最多，估计身高在161.5 cm以上的概率为P=0.2.学后反思学后反思 频率分布直方图反映样本的频率分布（其中纵轴表示 ,频率=，横轴表示样本数据）.直方图中每一个矩形的面积是样本数据落在这个区间上的频率，所有的小矩形的面积之和等于1,即频率之和为1.由此可以估计样本数据落在某个区间的频率或概率或者总体的数字特征.举一反三举一反三1

23、.一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如图）.为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在2 500,3 000)(元)月收入段应抽出 人.解析:月收入在2 500,3 000）(元)段的频率为0.000 5500=0.25，应抽人数为1000.25=25（人）.答案:25题型二题型二 用样本分布估计总体用样本分布估计总体【例2】对某电子元件进行寿命追踪调查，情况如下：（1）列出频率分布表；（2）画出频率分布直方图；（3）估计电子元件寿命在100 h400 h以

24、内的频率；（4）估计电子元件寿命在400 h以上的频率.寿命（h）100,200)200,300)300,400)400,500)500,600个数2030804030分析 从分组中看寿命在某一范围内的电子元件的比例即寿命在该范围内的频率.解 （1）样本频率分布表如下：寿命(h)频数频率100,200)200.10200,300)300.15300,400)800.40400,500)300.15500,600300.15合计2001（2）频率分布直方图如图：（3）电子元件寿命在100 h400 h以内的频数为130,则频率 为 =0.65.（4）寿命在400 h以上的电子元件的频数为70，则

25、频率 为 =0.35.学后反思利用样本的频率分布可近似地估计总体的分布.从本例可以看出，要比较准确地反映出总体分布的情况，必须准确地作出频率分布表或频率分布直方图，充分利用所给的数据正确地作出估计.举一反三举一反三2.（2009银川模拟）某校对高三年级的学生进行体检，现将高三男生的体重（单位：kg）数据进行整理后分成五组，并绘制频率分布直方图（如下图）.根据一般标准，高三男生的体重超过65 kg属于偏胖，低于55 kg属于偏瘦.已知图中从左到右第一、第三、第四、第五小组的频率分别为0.25、0.20、0.10、0.05，第二小组的频数为400，则该校高三年级的男生总数和体重正常的频率分别为()

26、A.1 000,0.50 B.800,0.50C.800,0.60 D.1 000,0.60解析:由题知，体重在55，60）的频率为1-（0.25+0.20+0.10+0.05）=0.40，又频数为400，故总人数为1 000；体重正常的频率为0.4+0.2=0.60.答案:D题型三题型三 用样本的数字特征估计总体的数字特征用样本的数字特征估计总体的数字特征【例3】对划艇运动员甲、乙二人在相同的条件下进行了6次测试，测得他们最大速度的数据如下：甲：27,38,30,37,35,31;乙：33,29,38,34,28,36.根据以上数据，试判断他们谁更优秀.分析分析 要判断甲、乙两人谁更优秀，只

27、需计算它们的平均数与方差即可.已知一组数据 ,则平均数方差 ,标准差 解解 由此可以说明，甲、乙二人的最大速度的平均值相同，但乙比甲更稳定，故乙比甲更优秀.学后反思学后反思 平均数反映了数据取值的平均水平，标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小.标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定.举一反三举一反三3.据调查，某公司的33名职工的月工资（单位：元）如下：（1）计算该公司职工月工资的平均数、中位数、众数；（2）假如副董事长的工资从5 000提升到20 000,董事长的工资从5 500提升到30 000,那么新的平均数、中位数、众数又

28、是多少？（3）你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平？结合此问题谈谈你的看法.职务董事长 副董事长董事总经理经理管理员职员人数11215320工资5500500035003000250020001500解析：（1）该公司职工的月工资的平均数为 （5 500+5 000+23 500+3 000+52 500+32 000+201 500）=69 0002 091.中位数是1 500,众数是1 500.（2）当副董事长的工资从5 000提升到20 000,董事长的工资从5 500提升到30 000时，所得新数据的平均数为 （30 000+20 000+23 500+3 000+52 50

29、0+32 000+201 500）=108 5003 288.所以平均数为3 288,中位数是1 500,众数是1 500.（3）在这个问题中，中位数或众数均能反映该公司员工的工资水平.因为公司中少数人的月工资额与大多数人的月工资额差别较大，这样导致了平均数与中位数的偏差较大，所以平均数不能客观真实地反映这个公司员工的工资水平.【例4】(12分)某种瓶装溶液，因为装瓶机的不稳定性，所以很可能每瓶装的容量都不是标准的容量.我们随机抽出了20瓶，测得它们的容量（单位：百毫升）如下:12.1 11.9 12.2 12.2 12.0 12.1 12.9 12.112.3 12.5 11.7 12.4

30、12.3 11.8 11.3 12.111.4 11.6 11.2 12.2（1）根据数据列出频数分布表，画出频数分布图；（2）计算出这组数据的平均数和标准差（结果精确到0.01）;（3）结合（1）、（2）的结果,描述一下样本的分布情况，并根据实际意义写一个简短的报告（对总体情况作出估计）.分析分析 现实中对一组数据，往往是从多角度、多层面进行分析.主要标准是平均数、方差的大小,频率分布直方图是否集中等.题型四题型四 综合问题综合问题解解 （1）频数分布表如下：分组 频数 11.0,11.5)3 11.5,12.0)4 12.0,12.5)11 12.5,13.0 2 2频数分布图如图所示:.

31、4（2）平均数 (12.1+11.9+12.2+12.2)=12.02.6标准差s 0.41.8（3）标准差相对于平均数来说比较小;从频数分布图中可以看出，每瓶的容量大致位于1 150毫升到1 250毫升之间.因此判断装瓶机工作稳定.12学后反思学后反思 数据的图形分布情况和数字特征从不同方面对总体（或样本）的分布作出了刻画.在解决实际问题时，这两个方面应结合起来，发挥各自的长处，以便能更清晰地描绘总体（或样本）的分布.举一反三举一反三4.（2009海南、宁夏）某工厂有工人1 000名，其中250名工人参加过短期培训（称为A类工人），另外750名工人参加过长期培训（称为B类工人）.现用分层抽样

32、方法（按A类、B类分二层）从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力（此处生产能力指一天加工的零件数），从A类工人中的抽查结果和从B类工人中的抽查结果分别如下表1和表2.表1：表2：生产能力分组100,110）110，120）120，130）130,140)140,150)人数48x53生产能力分组110，120）120，130）130,140)140,150)人数6y3618(1)先确定x、y,再完成下列频率分布直方图，就生产能力而言，A类工人中个体间的差异程度与B类工人中个体间的差异程度哪个更小？（不用计算，可通过观察直方图直接回答结论）（2）分别估计A类工人和B类工人生产能力

33、的平均数，并估计该工厂工人的生产能力的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.解析：（1）由题意知A类工人中应抽查25名，B类工人中应抽查75名.故4+8+x+5+3=25,得x=5；6+y+36+18=75,得y=15.频率分布直方图如下：从直方图可以判断：B类工人中个体间的差异程度更小.（2）A类工人生产能力的平均数、B类工人生产能力的平均数以及全厂工人生产能力的平均数的估计值分别为123，133.8和131.1.10.(2008海南、宁夏)从甲、乙两品种的棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度（单位：mm）,结果如下：甲品种：271 273 280 285 285 287 292

34、294 295 301 303 303 307 308 310 314 319 323 325 325 328 331 334 337 352乙品种：284 292 295 304 306 307 312 313 315 315 316 318 318 320 322 322 324 327 329 331 333 336 337 343 356根据以上数据设计了茎叶图如下：根据以上茎叶图，对甲、乙两品种棉花的纤维长度作比较，写出两个统计结论：;.解析:根据题目要求，从所给数表和茎叶图中提炼有用信息,便能得到结论.答案:乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种棉花的纤维平均长度（或乙品种棉花的纤维长

35、度普遍大于甲品种棉花的纤维长度）.甲品种棉花的纤维长度较乙品种棉花的纤维长度更分散(或乙品种棉花的纤维长度较甲品种棉花的纤维长度更集中、稳定).甲品种棉花的纤维长度的中位数为307 mm,乙品种棉花的纤维长度的中位数为318 mm.乙品种棉花的纤维长度基本上是对称的，而且大多集中在中间（均值附近）.甲品种棉花的纤维长度除一个特殊值（352）外，也大致对称，其分布较均匀.(上面四个结论，任选两个即可)11.（2009广东改编）根据空气质量指数API（为整数）的不同，可将空气质量分级如下表：对某城市一年（365天）的空气质量进行监测，获得的API数据按照区间0,50,(50,100,(100,15

36、0,(150,200,（200,250,（250,300进行分组，得到频率分布直方图如图.API05051100101150151200201250251300300级别状况优良轻微污染轻度污染中度污染中度重污染重度污染（1）求直方图中x的值；（2）计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数.解析：（1）根据频率分布直方图可知，(2)空气质量为Y的天数=（Y对应的频率组距）组距365天，所以一年中空气质量为良和轻微污染的天数分别是 50365=119(天)和 50365=100(天).12.为了解A、B两种轮胎的性能，某汽车制造厂分别从这两种轮胎中随机抽取了8个进行测试，下面列出了每个轮胎行驶

37、的最远里程数（单位：1 000 km）：轮胎A:96,112,97,108,100,103,86,98轮胎B:108,101,94,105,96,93,97,106（1）分别计算A、B两种轮胎行驶的最远里程数的平均数、中位数；（2）分别计算A、B两种轮胎行驶的最远里程数的极差、标准差；（3）根据以上数据你认为哪种型号的轮胎性能更加稳定?解析解析 （1）A轮胎行驶的最远里程数的平均数为中位数为B轮胎行驶的最远里程数的平均数为中位数为(2)A轮胎行驶的最远里程数的极差为112-86=26,标准差为B轮胎行驶的最远里程数的极差为108-93=15,标准差为（3）由于B轮胎行驶的最远里程数的极差和标准

38、差较小，所以B轮胎性能更加稳定.左下角右上角左上角右下角一条直线附近线性相关1.两个变量间的相关关系2.（1）正相关 3.在散点图中，点散布在从 到 的区域.对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关.4.（2）负相关5.在散点图中，点散步在从 到 的区域，两个变量的这种相关关系称为负相关.6.（3）线性相关关系、回归直线7.如果散点图中点的分布从整体上看是大致在 ，就称这两个变量之间具有 关系，这条直线叫做回归直线.第三节第三节 变量间的相关关系变量间的相关关系基础梳理基础梳理距离的平方和最小2.线性回归方程（1）最小二乘法 求回归直线使得样本数据的点到回归直线的的方法叫做最小二乘法.（

39、2）线性回归方程 方程 是两个具有线性相关关系的变量的一组数据 的线性回归方程，其中a,b是待定参数。题型一题型一 相关关系的判断相关关系的判断 【例1】下列两个变量之间的关系是相关关系的是 ()A.正方体的棱长与体积 B.单位面积产量为常数时，土地面积与产量C.日照时间与水稻的亩产量D.电压一定时，电流与电阻 分析 函数关系和相关关系都是指两个变量之间的关系，函数关系是两变量之间的一种确定关系，而相关关系是一种不确定关系.解 A、B、D中两个变量间的关系都是确定的，所以是函数关系，C中的两个变量间是相关关系，对于日照时间一定的水稻，仍可以有不同的亩产.学后反思 判断两个变量间的关系是函数关系

40、还是相关关系，关键是判断两个变量间的关系是否是确定的.若确定，则是函数关系；若不确定，则是相关关系.典例分析典例分析1.有五组变量：汽车的重量和汽车每消耗1升汽油所行驶的平均路程；平均日学习时间和平均学习成绩；某人每日吸烟量和其身体健康情况;正方形的边长和面积；汽车的载重量和百公里耗油量.其中两个变量成正相关的是 ()A.B.C.D.解析:由相关的有关概念可知为正相关，为负相关，为函数关系.答案：C 举一反三举一反三480470460410360330320水稻产量45403530252015施化肥量【例2】下面是水稻产量与施化肥量的一组观测数据（1）将上述数据制成散点图；（2）你能从散点图中

41、发现施化肥量与水稻产量近似成什么关系吗？水稻产量会一直随施化肥量的增加而增长吗？分析 判断变量间是否是线性相关，一种常用的简便可行的方法就是作散点图.解（1）散点图如下：（2）从图中可以发现施化肥量与水稻产量具有线性相关关系.当施化肥量由小到大变化时，水稻产量由小变大，图中的数据点大致分布在一条直线的附近，因此施化肥量和水稻产量近似成线性相关关系，但水稻产量只是在一定范围内随着化肥施用量的增加而增长.学后反思 散点图是由大量数据点分布构成的，是定义在具有相关关系的两个变量基础之上的，对于性质不明确的两组数据可先作散点图，直观地分析它们有无关系及关系的密切程度.2.下表是某地的年降雨量（mm）与

42、年平均气温（）的数据资料，两者是线性相关关系吗？求回归直线方程有意义吗？举一反三举一反三年平均气温（）12.5112.8412.8413.6913.3312.4713.05年降雨量(mm)748542507813574701432解析：以x轴为年平均气温,y轴为年降雨量，可得相应的散点图如图所示.因为图中各点并不在一条直线的附近，所以两者不具有线性相关关系，没必要用回归直线进行拟合.如果用公式求得回归直线方程也是没有意义的.题型二题型二 求回归直线方程求回归直线方程【例例3 3】在研究硝酸钠的可溶性程度时，对于不同的温度观测它在水中的溶解度，得观测结果如下：分析分析 利用公式确定参数a、b的值

43、，从而求出回归直线方程.温度（x）010205070溶解度（y）66.776.085.0112.3128.0由资料看y对x呈线性相关，试求回归直线方程.学后反思学后反思 因为y对x呈线性相关关系，所以可以用一元线性相关的方法解决问题.（1）利用公式 ，来计算回归系数，有时常制表对应求出 ,以便于求和.（2）本题在计算时可以借助计算器.举一反三举一反三3.（2009日照模拟）某中学期中考试后，对成绩进行分析,从某班中选出5名学生的总成绩和外语成绩如下表：学生学科12345总成绩（x）482383421364362外语成绩（y）7865716461则外语成绩对总成绩的回归直线方程是 题型三题型三

44、利用回归直线方程对总体进行估计利用回归直线方程对总体进行估计【例4】(12分)下表是几个国家近年来男性与女性的平均寿命（单位：岁）情况：国家男性平均寿命（x）女性平均寿（y）调查年号中国70732000韩国73.480.42002马来西亚7175.52003美国78.182.62005法国75.5822001日本78.685.62004（1）如果男性与女性的平均寿命近似成线性关系,求它们之间的回归直线方程；（2）科学家预测，到2075年，加拿大男性平均寿命为87岁.现请你预测，到2075年，加拿大女性的平均寿命（精确到0.1岁）.分析（1）本题若没有告诉我们y与x间是呈线性相关的，应首先进行相

45、关性检验.如果两个变量不具备线性相关关系，或者说它们之间相关关系不显著时，即使求出回归直线方程也是没有意义的，而且其估计与预测也是不可信的.（2）求回归直线方程的关键：计算出解 列表如下 1 2 3 4 5 6 70 73.4 71 78.1 75.5 78.6 73 80.4 75.5 82.6 82 85.6 5110 5901.36 5360.5 6451.06 6191 6728.16 44.6.6.8.8.10.10可预测，到2075年，加拿大女性的平均寿命为95.3岁.1212学后反思 利用回归直线方程对总体进行估计时，需先求出回归直线方程，然后代入回归直线方程得到估计值.举一反三

46、举一反三4.下表是某小卖部6天卖出热茶的杯数（y）与当天气温（x）的对比表.气温/261813104-1杯数202434385064（1）将上表中的数据制成散点图;（2）你能从散点图中发现当天气温与热茶杯数近似成什么关系吗？（3）如果近似成线性关系的话，请求出回归直线方程来近似地表示这种线性关系；（4）如果某天的气温是-5 时，预测这天小卖部卖出热茶的杯数.解析 （1）散点图如图：（2）从散点图中发现当天气温与热茶杯数近似成线性相关关系.（3）求出回归直线方程（用来近似地表示这种线性关系），用 来近似地表示这种线性关系.（4）如果某天的气温是-5，用 预测这天小卖部卖出热茶的杯数约为10.（2

47、009滨州模拟）某小卖部为了了解热茶销量y（杯）与气温x（）之间的关系，随机统计了某4天卖出的热茶的杯数与当天气温，并制作了对照表如下：气温（）181310-1杯数24343864由表中数据算得线性回归方程 中的 ，预测当气温为-5时，热茶的销量约为解析：由题意知 ,所以样本中心点为（10，40），因为样本中心点必在线性回归方程上，易得a=60,所以线性回归方程为 ,根据回归方程的预测，当气温为-5 时，热茶销量为（-2）（-5）+60=70.答案：70 考点演练考点演练11.下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据.x34

48、56y2.5344.5(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程 ;(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤.试根据（2）求出的线 性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？（参考数值：32.5+43+54+64.5=66.5）解析（1）如图,从散点图看出两组变量具有线性相关关系.故线性回归方程为 .（3）根据回归方程的预测，现在生产100吨产品消耗的标准煤的数量为0.7100+0.35=70.35（吨）,故耗能减少了90-70.35=19.65(吨).故线性回归方程为 .（3）根据回归方程的预

49、测，现在生产100吨产品消耗的标准煤的数量为0.7100+0.35=70.35（吨）,故耗能减少了90-70.35=19.65(吨).12.要分析学生初中升学考试的数学成绩对高一年级数学学习有什么影响，在高一年级学生中随机抽选10名学生，记录他们入学的数学成绩和高一年级期末数学考试成绩如下表：学生编号 入学成绩(x)高一期末考试成绩（y）163652677834552488825819267189752738999895856107675（1）画出散点图；（2）求出线性回归方程；（3）若某学生入学的数学成绩为80分，试估计他高一期末数学考试成绩（保留两位有效数字）.解析（1）入学成绩（x）与高

50、一期末考试成绩（y）两组变量的散点图如图.从散点图看，这两组变量具有线性相关关系.（2）设线性回归方程为 ,在两组变量具有显著的线性相关关系的情况下,.因此所求的线性回归方程是 .（3）若某学生入学的数学成绩为80分，代入式可求得 ,即这个学生高一期末数学考试成绩的预测值为84分.第四节第四节 统计案例统计案例.1.回归分析（1）回归直线一组具有线性相关关系的数据 其回归方程的截距和斜率分别为基础梳理基础梳理（2）相关系数r 当r0时，表明两个变量 ;当r0时，表明两个变量 .r的绝对值越接近于1,表明两个变量的线性 ;r的绝对值越接近于0时，表明两个变量之间 .通常当r的绝对值大于 时认为两