弹性力学第四章精选PPT.ppt

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1、弹性力学第四章第1页，此课件共23页哦 根据弹性理论的小变形假定，上述一般表达式可以用泰勒级数展开，根据弹性理论的小变形假定，上述一般表达式可以用泰勒级数展开，并略去二阶以上（包括二阶）小量，例如第一式展开，得到并略去二阶以上（包括二阶）小量，例如第一式展开，得到 这这里的里的 等等表示函数等等表示函数对应变分量的一阶偏导数在应变分量为零时的对应变分量的一阶偏导数在应变分量为零时的值。值。由于无初应力，即由于无初应力，即。所以，应力应变最一般形式在小变形情况。所以，应力应变最一般形式在小变形情况下可简化为下可简化为第2页，此课件共23页哦 上述关系是胡克（上述关系是胡克（HookeHooke）

2、在复杂应力条件下的推广，因此被称为）在复杂应力条件下的推广，因此被称为广义广义胡克定律胡克定律。式中的式中的 系数称为系数称为弹性常数弹性常数，一共有，一共有3636个。如果物体是由个。如果物体是由非均匀材料组成的，这时，各处就有不同的弹性效应。因此，一般来说，弹性非均匀材料组成的，这时，各处就有不同的弹性效应。因此，一般来说，弹性常数常数 是坐标是坐标 的函数。但若物体是有均匀材料组成的，则对于物体内的函数。但若物体是有均匀材料组成的，则对于物体内各点来说，承受同样的应力，必产生相同的应变；反之，物体内各点有相同的各点来说，承受同样的应力，必产生相同的应变；反之，物体内各点有相同的应变，必承

3、受相同的应力。这一点反映在广义胡克定律中，应变，必承受相同的应力。这一点反映在广义胡克定律中，是常数。是常数。第3页，此课件共23页哦4.3 4.3 各向异性弹性体各向异性弹性体（一）极端各向异性弹性体（一）极端各向异性弹性体格林公式：格林公式：将格林公式中将格林公式中代入广义胡克定律表达式的第二式，有代入广义胡克定律表达式的第二式，有第4页，此课件共23页哦 上式对上式对 求偏导数，有求偏导数，有 （a a）同样，将格林公式中同样，将格林公式中代入广义胡克定律表达式的第五式，有代入广义胡克定律表达式的第五式，有 上式对上式对 求偏导数，有求偏导数，有 （b b）比较（比较（a a）式与（）式

4、与（b b）式，有）式，有 同样，有同样，有 这样就证明了，对于极端的各向异性体，只有这样就证明了，对于极端的各向异性体，只有2121个独立的弹性常个独立的弹性常数。数。第5页，此课件共23页哦 如果物体内的每一点都存在这样一个平面，和该面对称的两个方向具有如果物体内的每一点都存在这样一个平面，和该面对称的两个方向具有相同的弹性，则该平面称为物体的相同的弹性，则该平面称为物体的弹性对称面弹性对称面，而垂直于弹性对称面的方向，而垂直于弹性对称面的方向，称为物体的称为物体的弹性主方向弹性主方向。如果设平面为弹性对称面，于是做下图所示的坐。如果设平面为弹性对称面，于是做下图所示的坐标变换后，应力和应

5、变的关系应保持不变。标变换后，应力和应变的关系应保持不变。（二）具有一个弹性对称面的各向异性弹性体（二）具有一个弹性对称面的各向异性弹性体 新新老老坐坐标标间间的的关关系系第6页，此课件共23页哦转轴时应力分量与老坐标应力分量的关系是：转轴时应力分量与老坐标应力分量的关系是：转轴时应变分量与老坐标应力分量的关系是：转轴时应变分量与老坐标应力分量的关系是：第7页，此课件共23页哦转轴时应变分量和应力分量的变换公式代入，有转轴时应变分量和应力分量的变换公式代入，有则新的本构方程为：则新的本构方程为：第8页，此课件共23页哦要使上式与原胡克公式一样，必须：要使上式与原胡克公式一样，必须：则原本构方程

6、变为：则原本构方程变为：显然，弹性常数从显然，弹性常数从2121个减少到个减少到1313个。个。第9页，此课件共23页哦（三）正交各向异性弹性体（三）正交各向异性弹性体假定假定 、平面为弹性体的对称面平面为弹性体的对称面第10页，此课件共23页哦代入转轴时应力分量和应变分量的关系式，可得代入转轴时应力分量和应变分量的关系式，可得代入广义胡克定律的表达式，有代入广义胡克定律的表达式，有第11页，此课件共23页哦要与坐标转动前的一致，则有要与坐标转动前的一致，则有 那么，将弹性对称面那么，将弹性对称面 、得到的弹性常数合起来，就得到得到的弹性常数合起来，就得到 显然，此时的弹性常数只有显然，此时的

7、弹性常数只有9 9个。这种弹性体称为个。这种弹性体称为正交各性正交各性弹性体。弹性体。第12页，此课件共23页哦(四四)横观各向同性弹性体横观各向同性弹性体 每一点都有一个各向同性平面，即在这个平面内，沿各个方向都具有每一点都有一个各向同性平面，即在这个平面内，沿各个方向都具有相同的弹性。这种弹性体称为相同的弹性。这种弹性体称为横观各向同性横观各向同性弹性体。弹性体。假定某弹性体的在假定某弹性体的在 平面上各向同性。首先我们考察一个比较特色的转轴，平面上各向同性。首先我们考察一个比较特色的转轴，即让坐标轴饶轴转动即让坐标轴饶轴转动90900 0，则新老坐标之间的关系是：，则新老坐标之间的关系是

8、：第13页，此课件共23页哦同样，代入坐标转轴后应力分量与应变分量的公式，有同样，代入坐标转轴后应力分量与应变分量的公式，有则新坐标下的胡克定律为：则新坐标下的胡克定律为：对比上边两式，则有对比上边两式，则有对比以前对比以前第14页，此课件共23页哦就得到就得到此时，弹性常数为此时，弹性常数为6 6个。个。第15页，此课件共23页哦 考察更一般的情况，对于在考察更一般的情况，对于在 平面为各向同性面，则整个坐标平面为各向同性面，则整个坐标系饶系饶 轴不论转动角度为多大，其应力应变关系不变。轴不论转动角度为多大，其应力应变关系不变。第16页，此课件共23页哦代入转轴后应变分量与应力分量的公式，有

9、代入转轴后应变分量与应力分量的公式，有经过上述变换后，胡克定律的第六式仍成立，经过上述变换后，胡克定律的第六式仍成立，第17页，此课件共23页哦所以，对于横观各向同性弹性体来说，其弹性常数为所以，对于横观各向同性弹性体来说，其弹性常数为5 5个。个。第18页，此课件共23页哦4.4 4.4 各向同性弹性体各向同性弹性体 各向同性弹性体各向同性弹性体就是沿物体的各个方向，其弹性性质相同。就是沿物体的各个方向，其弹性性质相同。在推导横观各向同性弹性体弹性常数的关系时，我们假定在推导横观各向同性弹性体弹性常数的关系时，我们假定 平面上的各点各平面上的各点各向同性，物体弹性只随值变化。进一步，如果弹性

10、体的性质也不随向同性，物体弹性只随值变化。进一步，如果弹性体的性质也不随 轴变轴变化，那么，这个物体就满足各向同性的条件了。所以，我们将坐标再做如下图变化，那么，这个物体就满足各向同性的条件了。所以，我们将坐标再做如下图变化，讨论各弹性常数间的关系就可以了。化，讨论各弹性常数间的关系就可以了。第19页，此课件共23页哦坐标变换后，各应变分量与应力分量间的关系就变为：坐标变换后，各应变分量与应力分量间的关系就变为：带入横观各向同性弹性体的胡克定律，有带入横观各向同性弹性体的胡克定律，有要是这两个式子一样，则有要是这两个式子一样，则有 第20页，此课件共23页哦那么那么,各向同性胡克定律为各向同性胡克定律为:如果令如果令第21页，此课件共23页哦第22页，此课件共23页哦引入引入,则上式变为则上式变为上式即为简化了的各向同性弹性体的广义胡克定律，其中上式即为简化了的各向同性弹性体的广义胡克定律，其中称为拉梅常数。称为拉梅常数。第23页，此课件共23页哦