人教新课标高中数学B版必修1《2.1.4 函数的奇偶性》 课件（共24张PPT）.ppt

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1、2.1.4 2.1.4 函数的奇偶性函数的奇偶性从对称角度思考下列各图有什么特点？从对称角度思考下列各图有什么特点？引入新课观察以下函数图象，从图象对称的角度把这些函数图象分类观察以下函数图象，从图象对称的角度把这些函数图象分类.yOxOxyOxyOxyOxyOxy解答：解答：是一类，关于是一类，关于y y轴对称；轴对称；是一类，关于原点对称是一类，关于原点对称.思考思考1 1、请观察以下各点与点（请观察以下各点与点（X X，Y Y）之间有什么对称）之间有什么对称关系？关系？yO-2f(x)=x2解答：解答：在表格中我们可以在表格中我们可以看出：当自变量看出：当自变量x x取一对取一对相反数时

2、，相应的函数值相反数时，相应的函数值相同相同.x x-3-3-2-2-1-10 01 12 23 3f(xf(x)=x)=x2 2 9 94 41 10 01 14 49 9x941-331-12P/(-x,f(-x)P/(-x,f(x)Oxx-xy P(x,f(x)f(-x)=f(x)结论：结论：当自变量当自变量x x在在定义域定义域内任取一对相反数内任取一对相反数时，相应的两个函时，相应的两个函数值相同；数值相同；即：即：f(-xf(-x)=)=f(xf(x)思考思考2:2:一般地，若函数一般地，若函数y=y=f(xf(x)的图象关于的图象关于y y轴对称，轴对称，则则f(xf(x)与与f

3、(-xf(-x)有什么关系？反之成立吗？有什么关系？反之成立吗？解答：解答：f(xf(x)=)=f(-xf(-x)，反之也成立。，反之也成立。思考思考3:3:我们把具有上述特征的函数叫做偶函数，那我们把具有上述特征的函数叫做偶函数，那么怎样定义偶函数？么怎样定义偶函数？设函数设函数y=y=f(xf(x)的定义域为的定义域为D D，如果对，如果对D D内的任意一个内的任意一个x x，都有，都有-x x D D，且，且f(-xf(-x)=)=f(xf(x)，则这个函数叫做偶，则这个函数叫做偶函数函数.思考思考4 4：观察下面的函数图象，判断函数是不是偶函数观察下面的函数图象，判断函数是不是偶函数.

4、思考思考5 5：如果一个函数的图如果一个函数的图象关于象关于y y轴对称，那么它的轴对称，那么它的定义域应该有什么特点？定义域应该有什么特点？解答：解答：定义域应该关于原点对称定义域应该关于原点对称.Oxy解答：解答：图象关于图象关于y y轴轴对称，是偶函数。对称，是偶函数。说明说明1.1.偶函数指的是函数的偶函数指的是函数的整体性质整体性质，是对整个定义域而言的，是对整个定义域而言的.2.2.函数是偶函数的函数是偶函数的前提条件前提条件是是定义域关于原点对称定义域关于原点对称.要注意关于原点对称的含义要注意关于原点对称的含义.3.3.在前提条件下，在前提条件下，偶函数偶函数 f(xf(x)=

5、)=f(-xf(-x)f(x)-f(-xf(x)-f(-x)=0)=0 图象关于图象关于y y轴对称轴对称.思考思考6 6：继续观察下面的继续观察下面的3 3幅函数图象幅函数图象:OxyOxyOxy根据我们由图象推导偶函数的方法和步骤，同学们结合根据我们由图象推导偶函数的方法和步骤，同学们结合课本内容归纳一下奇函数的定义课本内容归纳一下奇函数的定义.由此我们可以得到奇函数的定义：由此我们可以得到奇函数的定义：设函数设函数y=fy=f（x x）的定义域为）的定义域为D D，如果对，如果对D D内的任意一个内的任意一个x,x,都有都有-x x D D ，且，且_,_,则这个函数则这个函数叫做奇函数

6、叫做奇函数.f(-xf(-x)=-)=-f(xf(x)思考思考7 7：如果一个函数的图象关于原点对称，那么它的如果一个函数的图象关于原点对称，那么它的定义域应该有什么特点？定义域应该有什么特点？解答：解答：定义域也应该关于原点对称！定义域也应该关于原点对称！想一想解答：解答：判断或证明函数奇偶性的基本步骤：判断或证明函数奇偶性的基本步骤：思考思考8 8：如何根据定义判断下列函数的奇偶性如何根据定义判断下列函数的奇偶性1 1、奇函数的图象关于原点对称、奇函数的图象关于原点对称.反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，则这个函反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，则这个函数为奇函数数为奇函数.2

7、 2、偶函数的图象关于、偶函数的图象关于y y轴对称轴对称.反过来，如果一个函数的图象关于反过来，如果一个函数的图象关于y y轴对称，则这个函轴对称，则这个函数为偶函数数为偶函数.说明：说明：奇偶函数图象的性质可用于：奇偶函数图象的性质可用于：a a、简化函数图象的画法、简化函数图象的画法.b b、判断函数的奇偶性、判断函数的奇偶性奇偶函数图象的性质奇偶函数图象的性质 已知函数已知函数y=y=f(xf(x)是偶函数，它在是偶函数，它在y y轴右边的图象如下轴右边的图象如下图，画出在图，画出在y y轴左边的图象轴左边的图象.xy0相等相等例例1 1、判断下列函数的奇偶性、判断下列函数的奇偶性.（

8、3 3）解：解：(1)(1)因为因为f(-x)=2x=-f(x),f(-x)=2x=-f(x),所以所以f(x)f(x)是奇函数是奇函数.(2)(2)因为因为 f(-x)=|-x|-2=|x|-2=f(x),f(-x)=|-x|-2=|x|-2=f(x),所以所以f(x)f(x)是偶函数是偶函数.因为因为是偶函数是偶函数.（1 1）（2 2）判断奇偶性，只需判断奇偶性，只需验证验证f(x)f(x)与与f(-x)f(-x)之之间的关系。间的关系。（5 5）（6 6）（4 4）定义域关于原定义域关于原 点对称是函数点对称是函数具有奇偶性具有奇偶性的的前提条件前提条件。解：解：（4 4）当）当x=2

9、x=2时，由于时，由于2 -3,1,2 -3,1,故故f(2)f(2)不存在，不存在，所以就谈不上与所以就谈不上与f(-2)f(-2)相等了，由于任意性受破坏。相等了，由于任意性受破坏。所以它没有奇偶性所以它没有奇偶性.（5 5）函数的定义域为）函数的定义域为-2,2),-2,2),故故f(2)f(2)不存在，同上可不存在，同上可知函数没有奇偶性知函数没有奇偶性.（6 6）因为）因为f f（-x-x）=-2x-1=-2x-1，f f（-x -x）f f（x x）且）且f f（-x -x）-f-f（x x），故函数没有奇偶性），故函数没有奇偶性.（1）f(x)=x +2x；(2)f(x)=2x

10、+3x；324 (3)f(x)=x-1+1-x ；(4)f(x)=x2-1+1-x2，(5)f(x)=x(x +1)；(6)f(x)=x+.1x2练习练习1 1：判断下列函数的奇偶性：判断下列函数的奇偶性.奇函数奇函数既是奇函数又是偶函数既是奇函数又是偶函数既是奇函数又是偶函数既是奇函数又是偶函数既非奇函数又非偶函数既非奇函数又非偶函数既非奇函数又非偶函数既非奇函数又非偶函数偶函数偶函数例例2 2、已知函数、已知函数f(xf(x)既是奇函数又是偶函数。既是奇函数又是偶函数。求证：求证：f(xf(x)=0.)=0.证明：证明：因为因为 f(xf(x)既是奇函数又是偶函数既是奇函数又是偶函数,所以

11、所以 f(-xf(-x)=)=f(xf(x),),且且f(-xf(-x)=-)=-f(xf(x),),所以所以 f(xf(x)=-)=-f(xf(x),),所以所以 2f(x)=0,2f(x)=0,即即 f(xf(x)=0.)=0.这样的函数这样的函数有多少个呢有多少个呢？若函数若函数 为奇函数，求为奇函数，求c c的值的值.练习练习2 2解：解：由由f f（-x-x）=-f=-f（x x）可得）可得c=0.c=0.1.1.两个定义：对于两个定义：对于f(xf(x)定义域内的任意一个定义域内的任意一个x,x,如果都有如果都有f(f(x)=-x)=-f(xf(x)f(xf(x)为奇函数；为奇函数；如果都有如果都有f(f(x)=x)=f(xf(x)f(xf(x)为偶函数为偶函数.2.2.两个性质：两个性质：一个函数为奇函数一个函数为奇函数 它的图象关于原点对称它的图象关于原点对称一个函数为偶函数一个函数为偶函数 它的图象关于它的图象关于y y轴对称轴对称3.(1)3.(1)理解奇、偶函数的概念及图象特征理解奇、偶函数的概念及图象特征.(2)(2)能判断函数的奇偶性能判断函数的奇偶性.看似平坦的成功之路往往是由无数失败的石头加之努力的柏油铺成的。