第2章变换与序列傅立叶变换精选PPT.ppt

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1、第2章变换与序列傅立叶变换第1页，此课件共77页哦第二章 z变换与序列傅立叶变换2-1 引言2-2 z变换的定义及收敛域2-3 z反变换2-4 z变换的基本性质和定理2-5 z变换与拉氏变换、傅氏变换的关系2-6 序列傅立叶变换及性质2-7 离散系统的系统函数及频率响应第2页，此课件共77页哦2-1 2-1 引言引言 信号与系统的分析方法有时域、变换域两种。一.时域分析法 1.连续时间信号与系统：信号的时域运算、时域分解、微分方程求解、卷积积分。2.离散时间信号与系统：序列的变换与运算、卷积和、差分方程 的求解。第3页，此课件共77页哦二.变换域分析法 1.连续时间信号与系统：信号与系统的频域

2、分析、复频域分析。2.离散时间信号与系统：z变换 序列傅立叶变换（DTFT）离散傅立叶变换DFT(FFT)。z域分析、频域分析。第4页，此课件共77页哦一、z变换定义 2-2 2-2 z变换的定义及收敛域变换的定义及收敛域 z变换式变换式 记作第5页，此课件共77页哦二.收敛域 1.定义:使序列 的z变换 收敛的所有z值的集合称作 的收敛域。2.收敛条件：收敛的充要条件是绝对可和绝对可和。第6页，此课件共77页哦为使上式成立，就须确定 取值的范围，即收敛域。由于 为复数的模，则可以想象出收敛域为一圆环状区域，即图2.1.1 环状收敛域jIm（z）Re（z）其中，称为收敛半径，可以小到0，而 可

3、以大到 。式（2.1.4）的 平面表示如图2.1.1所示。因为 是复变量的函数，所以我们用复数 平面来表示。第7页，此课件共77页哦常见的一类 变换是有理函数，即使 的那些 值称为 的零点，而使 的那些 值称为 的极点。零点、极点也可能包含 处的点。由于 在收敛域内是解析函数，所以，收敛域内不包含极点。第8页，此课件共77页哦(1).有限长序列2、序列形式与其z变换收敛域的关系第9页，此课件共77页哦第10页，此课件共77页哦x(n)n0n11.(3).右边序列收敛域第11页，此课件共77页哦(4)因果序列 它是一种最重要的右边序列,由阿贝尔 定理可知收敛域为：第12页，此课件共77页哦(5)

4、左边序列x(n)0第13页，此课件共77页哦(6)双边序列0nx(n)第14页，此课件共77页哦其收敛域应包括即充满整个z平面。三、常用序列的z变换 1、单位样值序列第15页，此课件共77页哦2、阶跃序列收敛域为 第16页，此课件共77页哦3、单位斜变序列将上式两边对 求导得，两边同乘以 得，收敛域 第17页，此课件共77页哦当时，这是无穷递缩等比级数。4.右边指数序列收敛域：*收敛域一定在模最大的极点所在的圆外。第18页，此课件共77页哦5、左边指数序列当|b|z|时，这是无穷递缩等比级数，收敛收敛域：*收敛域一定在模最小的极点所在的圆内。第19页，此课件共77页哦6、双边指数序列该序列的

5、变换为若 ，则上面的级数收敛，得到第20页，此课件共77页哦 2-3 2-3 z反变换反变换一.定义：已知 及其收敛域,反过来求序列 的变换称作z反变换。记作：第21页，此课件共77页哦z变换公式：c为环形解析域内环绕原点的一条逆时针闭合单围线.0c第22页，此课件共77页哦1、部分分式展开法2、幂级数展开法（自学P43-45）3、留数法（自学P45-47）二.求z反变换的方法第23页，此课件共77页哦 部分分式法部分分式法 有理式：数字和字符经有限次加、减、乘、除运算 所得的式子。有理分式：含字符的式子做分母的有理式，或两个多项 式的商。分子的次数低于分母时称为真分式 部分分式：把x的一个实

6、系数的真分式分解成几个分式 的和，使各分式具有 或 的形式，其中x2+Ax+B是实数范围内的不可约 多项式，而且k是正整数。这时称各分式为原 分式的“部分分式”。第24页，此课件共77页哦因此，可以展成以下部分分式形式其中，MN时，才存在Bn；zk为 的各单极点，为 的一个r阶极点。而系数Ak，Ck分别为：通常，可表成有理分式形式：第25页，此课件共77页哦解：的z反变换。例 利用部分分式法，求第26页，此课件共77页哦第27页，此课件共77页哦 2-4 2-4 z变换的基本性质和定理变换的基本性质和定理*即满足均匀性与叠加性；*收敛域为两者重叠部分。1.1.线性线性如果 ,则有：第28页，此

7、课件共77页哦例2-10 已知 ,求其z变换。解：第29页，此课件共77页哦2.2.序列的移位序列的移位如果则有：例2-11 求序列 的z变换。第30页，此课件共77页哦3.3.z域尺度变换域尺度变换(乘以指数序列乘以指数序列)如果，则证明：第31页，此课件共77页哦4.4.序列的线性加权序列的线性加权(z域求导数域求导数)如果，则证明：第32页，此课件共77页哦例2.3.3 求 的z反变换。解 将 两端对z求导得 依据移位性质得 再依据z域微分性质知 综合上述两式，得 第33页，此课件共77页哦即所求序列为 第34页，此课件共77页哦5.5.共轭序列共轭序列如果，则证明：第35页，此课件共7

8、7页哦6.翻褶序列如果，则证明：第36页，此课件共77页哦7.7.初值定理初值定理证明：第37页，此课件共77页哦8.终值定理证明：第38页，此课件共77页哦 又由于只允许 在 处可能有一阶极点，故因子 将抵消这一极点，因此 在上收敛。所以可取 的极限。第39页，此课件共77页哦9.9.有限项累加特性有限项累加特性证明：第40页，此课件共77页哦第41页，此课件共77页哦差分：累加：第42页，此课件共77页哦10.10.序列的卷积和序列的卷积和(时域卷积定理时域卷积定理)第43页，此课件共77页哦证明：第44页，此课件共77页哦例2-12解：第45页，此课件共77页哦11.11.序列相乘序列相

9、乘(z域卷积定理域卷积定理)其中,c是在变量v平面上，公共收敛域内环原点的一条逆时针单封闭围线。第46页，此课件共77页哦 12.12.帕塞瓦尔定理帕塞瓦尔定理(parseval)(parseval)其中“*”表示复共轭，闭合积分围线c在公共收敛域内。如果则有:第47页，此课件共77页哦*几点说明：这表明序列的能量可用频谱求得。这就是帕塞瓦尔定理1.当 为实序列时2.当围线取单位圆 时，则3.当 时第48页，此课件共77页哦2-5 2-5 z变换与拉氏变换、傅氏变换的关系变换与拉氏变换、傅氏变换的关系 2.5.1、z变换与拉氏变换的关系设 为连续信号，为其理想抽样信号根据z变换的推导过程，可知

10、：当 时，序列x(n)的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换。即：或者：第49页，此课件共77页哦 s平面用直角坐标表示为：z平面用极坐标表示为：又由于 所以有：因此，；这就是说，z的模只与s的实部相对应,z的相角只与s虚部 相对应。第50页，此课件共77页哦00(1).与 的关系n ，即s平面的虚轴 ，即z平面单位圆；n ，即s的左半平面 ，即z的单位圆内；n ，即s的右半平面 ，即z的单位圆外。jImzRez第51页，此课件共77页哦0jImzRez(2).与 的关系（）n 即s平面的实轴 即z平面正实轴；n 即s平行实轴的直线 即z始于原点的射线；n 即s宽的水平条带 即整个z平面。第

11、52页，此课件共77页哦2.5.2 2.5.2 z变换和傅氏变换的关系变换和傅氏变换的关系 连续信号经理想抽样后,其频谱产生周期延拓，即 我们知道,傅氏变换是拉氏变换在虚轴 的特例,因而映射到z平面上为单位圆。因此,这就是说,（抽样）序列在单位圆上的z变换,就等 于理想抽样信号傅氏变换。用数字频率作为z平面的单位圆的参数，表示z平面的辐角，且 。第53页，此课件共77页哦所以，序列在单位圆上的z变换为序列的傅氏变换。第54页，此课件共77页哦2.5.3 常用信号的常用信号的z变换与拉氏变换、傅氏变变换与拉氏变换、傅氏变换换第55页，此课件共77页哦2.5.1 2.5.1 定义定义反变换:2-6

12、2-6 序列的傅立叶变换（序列的傅立叶变换（DTFT）离散时间傅立叶变换收敛条件：收敛条件：第56页，此课件共77页哦2.5.2 DTFT2.5.2 DTFT的性质的性质（1）周期性由序列的傅立叶变换公式：其中的M为整数。因此序列的傅立叶变换是频率的周期函数。第57页，此课件共77页哦（2）DTFT的线性设那么式中a和b为常数。（3）DTFT 的时移和频移特性第58页，此课件共77页哦（4）时域卷积定理设则（5）频域卷积定理设则第59页，此课件共77页哦（6）帕塞瓦尔定理能量守恒（7）序列的翻褶与共轭第60页，此课件共77页哦(8)DTFT的共轭对称性共轭对称序列 共轭对称序列的实部是偶函数，

13、虚部是奇函数。共轭反对称序列 共轭反对称序列的实部是奇函数，虚部是偶函数。序列可以分成共轭对称 部分与共轭反对称 部分第61页，此课件共77页哦此时：对上面两式取DTFT，得到结论结论：序列的共轭对称部分 对应DTFT的实部，序列的共轭反对称部分 对应DTFT的虚部。第62页，此课件共77页哦共轭分解序列共轭分解，对应频谱的实部和虚部分解序列的实部和虚部分解，对应频谱的共轭分解第63页，此课件共77页哦2.6 利用z变换求解差分方程 1.零输入响应的z域求解对于线性移不变离散时间系统，在零输入条件下，即激励 时，其差分方程为，响应为 时的值，则初始条件为两边取单边z变换，并根据z变换的位移性质

14、，可得第64页，此课件共77页哦响应的序列可由z反变换求得第65页，此课件共77页哦2.零状态响应的z域求解在零状态条件下，即 第66页，此课件共77页哦3.全响应的z域求解第67页，此课件共77页哦线性移不变系统 为单位抽样响应 称作线性移不变系统的系统函数，而且在单位圆 上的系统函数就是系统的频率响应。2 2.7.7 离散系统的系统函数及频率响应离散系统的系统函数及频率响应2.7.1系统函数的定义第68页，此课件共77页哦2.7.2 2.7.2 系统函数和差分方程的关系系统函数和差分方程的关系线性移不变系统常用差分方程表示：取z变换得：对上式因式分解，令得：第69页，此课件共77页哦2.7

15、.3 系统的频率响应系统的频率响应 系统的单位抽样响应 的傅氏变换也即单位圆上的z变换，称作系统频率响应。也就是说，其输出序列的傅氏变换等于输入序列的傅氏变换与频率响应的乘积。对于线性移不变系统：第70页，此课件共77页哦正弦稳态响应正弦稳态响应 当系统输入为正弦序列时，则输出是同频率的正弦序列，其幅度受频率响应幅度 的加权，而输出的相位则为输入相位与系统相位响应之和。输入：系统：响应：第71页，此课件共77页哦2.7.4 利用 的零极点分析系统1系统的稳定性和因果性判定图2.7.1 因果稳定系统函数收敛域第72页，此课件共77页哦 一线性移不变系统稳定的充要条件是 必须满足绝对可和：。z变换

16、 的收敛域由满足 的那些z值确定。如单位圆上收敛，此时则有 ，即系统稳定；也就是说，收敛域包括单位圆的系统是稳定的。因果系统的单位抽样响应为因果序列，其收敛域为 ；而因果稳定系统的系统函数收敛域应包含 ，也就是说,其全部极点必须在单位圆内。第73页，此课件共77页哦2由零极点图分析系统的频率响应第74页，此课件共77页哦模：相角：第75页，此课件共77页哦2.2.几点说明几点说明 (1).表示原点处零极点，它到单位圆 的距离恒为1，故对幅度响应不起作用只 是给出线性相移分量 。(2).单位圆附近的零点对幅度响应的谷点的 位置与深度有明显影响，当零点位于单 位圆上时，谷点为零。零点可在单位圆外。(3).单位圆附近的极点对幅度响应的峰点位 置和高度有明显影响。极点在圆外，系统 不稳定。第76页，此课件共77页哦零点在单位圆上0,处；极点在 ,处。0。第77页，此课件共77页哦