2023年普通高等学校招生全国统一考试模拟测试数学理试卷含答案.docx

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1、2023年普通高等学校招生全国统一考试模拟测试数学（理）试卷学校：_姓名：_班级：_考号：_一、选择题1、已知集合，则( )A.B.C.D.2、复数在复平面内对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3、在等差数列中，则的公差( )A.B.3C.D.44、若实数x，y满足约束条件则的取值范围为( )A.B.C.D.5、已知随机变量X的分布列为X023Pm2m则( )A.2B.C.D.16、函数在区间上的图象大致是( )A.B.C.D.7、在正方体中，E，F，G分别为，的中点，则异面直线DE与FG所成角的余弦值为( )A.B.C.D.8、已知直线是函数()图象的一条对称轴

2、，则在上的值域为( )A.B.C.D.9、等比数列的各项均为正数，且，则( )A.8B.6C.4D.310、设，则( )A.B.C.D.11、已知O是坐标原点，F是双曲线E：的左焦点，平面内一点M满足是等边三角形，线段MF与双曲线E交于点N，且，则双曲线E的离心率为( )A.B.C.D.12、在四棱锥中，底面ABCD为梯形，平面底面，则四棱锥外接球的表面积为( )A.B.C.D.二、填空题13、已知向量，若，则_.14、南宋晚期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图1所示，忽略杯盏的厚度，这只杯盏的轴截面如图2所示，其中光滑的曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为3cm，则该抛物线的焦点到

3、准线的距离为_cm.15、2023年杭州亚运会需招募志愿者，现从某高校的8名志愿者中任意选出3名，分别担任语言服务、人员引导、应急救助工作，其中甲、乙2人不能担任语言服务工作，则不同的选法共有_种.16、已知函数，若恒成立，则a的取值范围为_.三、解答题17、在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，.(1)求的值；(2)若，求的面积.18、赤霉素在幼芽、幼根、未成熟的种子中合成，其作用是促进细胞的生长，使得植株变高，每粒种子的赤霉素含量x(单位：)直接影响该粒种子后天的生长质量.现通过生物仪器采集了赤霉素含量分别为10，20，30，40，50的种子各20粒，并跟踪每粒种子后天生长的

4、情况，收集种子后天生长的优质数量y(单位：粒)，得到的数据如下表：赤霉素含量x1020304050后天生长的优质数量y237810(1)求y关于x的线性回归方程；(2)利用(1)中的回归方程，估计1000粒赤霉素含量为的种子后天生长的优质数量.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.19、如图，在直三棱柱中，D，E分別是棱，的中点.(1)证明：平面.(2)求二面角的余弦值.20、已知函数.(1)设.求曲线在点处的切线方程.试问有极大值还是极小值?并求出该极值.(2)若在上恰有两个零点，求a的取值范围.21、已知椭圆，斜率为2的直线l与椭圆交于A，B两点.过点B作AB的垂线交椭圆于另

5、一点C，再过点C作斜率为-2的直线交椭圆于另一点D.(1)若坐标原点O到直线l的距离为，求的面积.(2)试问直线AD的斜率是否为定值？若是定值，求出此定值；若不是定值，说明理由.22、选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(为参数).在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C与极轴相交于O，A两点.(1)求曲线C的极坐标方程及点A的极坐标；(2)若直线l的极坐标方程为，曲线C与直线l相交于O，B两点，求的面积.23、选修4-5：不等式选讲已知函数.(1)当时，求不等式的解集；(2)若不等式的解集非空，求a的取值范围.参考答案1、答案：B解析：因为，所

6、以.2、答案：D解析：因为，所以复数z在复平面内对应的点位于第四象限.3、答案：A解析：因为，所以，则.4、答案：C解析：作出不等式组所对应的可行域(图略)，可知当直线经过点时，取得最小值-2，当直线经过点时，取得最大值7，故的取值范围为.5、答案：C解析：由，解得，则.6、答案：B解析：因为，所以函数为偶函数，排除A，C.又，所以排除D.故选B.7、答案：B解析：连接BD，BE(图略)，则即为异面直线DE与FG所成角.设正方体的棱长为2，则，则，即异面直线DE与FG所成角的余弦值为.8、答案：D解析：由题可知，即，.因为.所以.由，得，则.9、答案：B解析：因为，所以.10、答案：A解析：令

7、，则.当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，即.令，则.当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，得，即，故.11、答案：A解析：设双曲线E的右焦点为，连接(图略)，因为是等边三角形，所以，.又，所以.在中，则，则，则.12、答案：D解析：依题意可得，且梯形ABCD的高为1.如图，设BC，AD的中点分别为F，O，连接FO，则，延长FO至E，使得，连接OE，则，解得，所以四边形ABCD外接圆的半径为.设G为四棱锥外接球的球心，则底面ABCD，设，由，得，解得，则四棱锥外接球的表面积为.13、答案：5解析：因为，所以，解得，则.14、答案：解析：如图，以抛物线的顶点为坐标原点，

8、对称轴为y轴，建立直角坐标系，依题意可得A的坐标为.设抛物线的标准方程为，则，解得.故该抛物线的焦点到准线的距离为.15、答案：252解析：先从甲、乙之外的6人中选取1人担任语言服务工作，再从剩下的7人中选取2人担任人员引导、应急救助工作，则不同的选法共有种.16、答案：解析：等价于，令，则.当时，；当时，.故.转化为，即.令，则，则，故a的取值范围为.17、答案：(1)(2)的面积为24解析：(1)因为，所以.因为，所以，即.因为，所以.因为，且，所以.(2)因为，所以，.因为，所以.因为，所以，所以的面积为.18、答案：(1)(2)优质数量为615解析：(1)，.，则，.故y关于x的线性回

9、归方程为.(2)将，代入，得到，则估计1000粒赤霉素含量为的种子后天生长的优质数量为.19、答案：(1)证明见解析(2)二面角的余弦值为解析：(1)证明：设的中点为F，连接AF，EF.因为，所以四边形为平行四边形，所以.在中，.因为，平面，平面AEF，所以平面平面AEF.因为平面AEF，所以平面.(2)解：以C为坐标原点，分别以，所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，.设平面的法向量为，则即取，则.取AB的中点G，连接CG.易得平面，所以为平面的一个法向量.，易得二面角为钝角，故二面角的余弦值为.20、答案：(1)；极大值为，没有极小值(2)a的取值范围是解析：(1)因

10、为，所以，.由及，得曲线在点处的切线方程为，即.令，得；令，得.所以在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极大值，且极大值为，没有极小值.(2)由，得，则.设函数，则.因为函数在上单调递减，且，所以当时，当时，.所以在上单调递增，在上单调递减，则.由，得，故a的取值范围是.21、答案：(1)的面积为(2)直线AD的斜率为定值，解析：(1)设直线AB的方程为，因为O到直线l的距离为，所以，则.将代入，得，解得，则.故的面积为.(2)设，直线AB的方程为，代入，得，则，可得点A的坐标为.设，直线CD的方程为，代入，得，则，可得点D的坐标为.由，得.因为，所以，则，则.故直线AD的斜率为定值.22、答案：(1)曲线C的极坐标方程为；点A的极坐标为(2)的面积解析：(1)由消去参数，得，即，则曲线C的极坐标方程为.令，则，故点A的极坐标为.(2)令，则，故的面积.23、答案：(1)(2)a的取值范围为解析：(1)因为，所以.当时，原不等式转化为，无解.当时，原不等式转化为，解得.当时，原不等式转化为，解得.综上所述，原不等式的解集为.(2).由不等式的解集非空，可得，则，解得，故a的取值范围为.