解析几何向量解析几何 (35).ppt

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1、可 逆 矩 阵、正 交 矩 阵可逆矩阵可逆矩阵定义：设A为n级方阵，若存在n级方阵B，使得 AB=BA=En，则称A是可逆矩阵，称B为A的逆矩阵。例如 满足AB=BA=E.(唯一性)若B1和B2都是A的逆矩阵 则 B1=B1E=B1(AB2)=(B1A)B2=EB2=B2可逆矩阵 A 的逆矩阵记为A-1，且有注：定理4.3 矩阵 A 可逆|A|0(即 A 是非奇异的)证明：这里只证 的情况。必要性：A 可逆，故 所以充分性：取同理可证：由于|A|0，故所以 A 可逆，且证必。由 I 到 II 的坐标变换公式(4.7)，(4.8)注意到 A 非奇异，则即为由 II 到 I 的坐标变换公式，说明由

2、 II 到 I 的过渡矩阵正好是 A-1.则 A 可逆，并且 （等价定义）证：因为 ，所以即有，命题4.1：对于方阵 A，若存在方阵 B，使得则 A 可逆，并且由命题4.1可证以下性质：正交矩阵正交矩阵的定义：设 A 是 n 级方阵，如果 ，则称 A 是正交矩阵.显然，E 是正交矩阵。又例如由等价定义可得命题4.2 n 级矩阵 A 是正交矩阵正交矩阵具有下列性质：(1)若 A，B 都是 n 级正交矩阵，则 AB 也是正交矩阵。(2)若 A 是正交矩阵，则 (即 )也是正交矩阵。(3)若 A 是正交矩阵，则 或 .(注意 )命题4.3 设 ，则 A 是正交矩阵的充分必要条件是A 每行元素的平方和等于1，且不同两行对应元素乘积之和等于0.即证明：设A 是正交矩阵由于故从而，即，类似可证命题4.4 A 是正交矩阵的充分必要条件是 A 每列元素的平方和等于1，且不同两列对应元素乘积之和等于0.