第11章 图与网络模型.ppt

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1、 第十一章图与网络模型第十一章图与网络模型1 1图与网络的基本概念图与网络的基本概念2 2最短路问题最短路问题3 3最小生成树问题最小生成树问题4 4最大流问题最大流问题5 5最小费用最大流问题最小费用最大流问题1图是人类认识世界和表示自己认识的最形象的手段和模型。关于图的相关理论称为图论（graph theory）。图论是近数十年来得到蓬勃发展的一个新兴的数学分支，它的理论和方法在许多领域得到广泛的应用并且取得了丰硕成果，成为运筹学的一个重要的分支。我们可以看到，用线性规划、动态规划解决的资源分配问题、运输问题和存储问题，有时同样可以图论的方法来构造模型并求解。有一些研究对象，如电话网、交通

2、网、物流网等，用图论的方法来研究，会更加直观、方便。2图论是建立和处理离散数学模型的一个重要工具。现实世界中的许多问题都可以归结为研究一些事物及其之间是否具有某种联系的问题，这类问题可以用由点和线组成的图来描述。如果用点来表示事物，用连接两点的线条来表示事物之间的联系，则这种问题的描述可以用点线图来实现。在这样的图中，我们感兴趣的是哪些点之间有连接，而不关心点的具体含义及点之间的连接方式如何，这种数学抽象就是图的概念。在画图时，点的位置、边的长短形状都是无关紧要的，只要两个图的顶点及边是对应相同的，则认为这两个图是相同的。3管管 理理 运运 筹筹 学学411图与网络的基本概念图与网络的基本概念

3、 图论中图是由图论中图是由点和边点和边构成，可以反映一些对象之间的关系。构成，可以反映一些对象之间的关系。例如：在一个人群中，对相互认识这个关系我们可以用图来表例如：在一个人群中，对相互认识这个关系我们可以用图来表示，图示，图11-111-1就是一个表示这种关系的图。就是一个表示这种关系的图。图论中的点通常记为图论中的点通常记为v vi i(vertex(vertex)表示图中的节点，又称顶点表示图中的节点，又称顶点。边通常记为。边通常记为e ei i（edgeedge）。(v1)赵赵(v2)钱钱(v3)孙孙(v4)李李(v5)周周(v6)吴吴(v7)陈陈e2e1e3e4e5图图11-15 1

4、1图与网络的基本概念图与网络的基本概念 当然图论不仅仅是要描述对象之间关系，还要研究特定关当然图论不仅仅是要描述对象之间关系，还要研究特定关系之间的内在规律，一般情况下系之间的内在规律，一般情况下图中点的相对位置如何、点与图中点的相对位置如何、点与点之间联线的长短曲直，对于反映对象之间的关系并不是重要点之间联线的长短曲直，对于反映对象之间的关系并不是重要的的，如对赵等七人的相互认识关系我们也可以用图，如对赵等七人的相互认识关系我们也可以用图11-211-2来表示，来表示，可见图论中的图与几何图、工程图是不一样的。可见图论中的图与几何图、工程图是不一样的。(v1)赵赵(v2)钱钱孙孙(v3)李李

5、(v4)周周(v5)吴吴(v6)陈陈(v7)e2e1e3e4e5图图11-2611图与网络的基本概念图与网络的基本概念a1a2a3a4a14a7a8a9a6a5a10a12a11a13a15(v1)赵赵(v2)钱钱(v3)孙孙(v4)李李(v5)周周(v6)吴吴(v7)陈陈图图11-3 如果我们把上面例子中的如果我们把上面例子中的“相互认识相互认识”关系改为关系改为“认识认识”的关系，那么只用两点之间的联线就很难刻画他们之间的的关系，那么只用两点之间的联线就很难刻画他们之间的关系了，这是我们引入一个关系了，这是我们引入一个带箭头的联线带箭头的联线，称为，称为弧（弧（arc）。图图11-3就是一

6、个反映这七人就是一个反映这七人“认识认识”关系的图。关系的图。相互认识用两相互认识用两条反向的弧表示条反向的弧表示。7 11图与网络的基本概念图与网络的基本概念无向图（无向图（undirected graph）：）：由点和边构成的图，记作由点和边构成的图，记作G=（V，E）。）。V是图是图G的的点的集合点的集合，V=v1,v2,v3,v4,v5,v6 v7 E是图是图G的的边的集合边的集合，E=e1,e2,e3 e4,e5图中对节点进行编号后，边的下标可以表示为边图中对节点进行编号后，边的下标可以表示为边的两端点的下标。如的两端点的下标。如vi,vj是某条边的两个端点，是某条边的两个端点，则该

7、边也可以表示为则该边也可以表示为eij。在图论中，边表示没有方向的关联，因此有在图论中，边表示没有方向的关联，因此有eij=eji，表示同一条边。如双向通行的公路。，表示同一条边。如双向通行的公路。8管管 理理 运运 筹筹 学学有向图（有向图（directed graph）：）：由点和弧构成的图，记作由点和弧构成的图，记作D=（V，A）。）。V是图是图G的的点的集合点的集合，V=v1,v2,v3,v4,v5,v6,v7A是图是图G的的弧的集合弧的集合，A=a1,a2,a3,a4,a5如如vi,vj是某条弧的两个端点，则该弧也可以表是某条弧的两个端点，则该弧也可以表示为示为aij。表示从节点。表

8、示从节点vi指向指向vj的有箭头的线段，的有箭头的线段，不同于不同于aji。混合图：图中既存在边，也存在弧。混合图：图中既存在边，也存在弧。有向图是更为基本的图，因为，一条无向的边可以化有向图是更为基本的图，因为，一条无向的边可以化为两个端点间的两条相向的弧。为两个端点间的两条相向的弧。正确地识别一个问题要用有向图还是无向图来表示非正确地识别一个问题要用有向图还是无向图来表示非常重要。常重要。9管管 理理 运运 筹筹 学学10管管 理理 运运 筹筹 学学11管管 理理 运运 筹筹 学学连通图：连通图：对无向图对无向图G，若任何两个不同的点之间，至少存在，若任何两个不同的点之间，至少存在一条链，

9、则一条链，则G为连通图。为连通图。12管管 理理 运运 筹筹 学学13管管 理理 运运 筹筹 学学赋权图：赋权图：对一个无向图对一个无向图G的每一条边的每一条边(vi,vj)，相，相应地有一个数应地有一个数wij，则称图，则称图G为赋权图，为赋权图，wij称称为边为边(vi,vj)上的权。上的权。网络：网络：在赋权的有向图在赋权的有向图D中指定一点，称为中指定一点，称为发点，指定另一点称为收点，其它点称为中发点，指定另一点称为收点，其它点称为中间点，并把间点，并把D中的每一条弧的赋权数称为弧中的每一条弧的赋权数称为弧的容量，的容量，D就称为网络。就称为网络。14管管 理理 运运 筹筹 学学15

10、管管 理理 运运 筹筹 学学1622最短路问题最短路问题最短路问题：对一个赋权的有向图最短路问题：对一个赋权的有向图D中的指定的两个点中的指定的两个点Vs和和Vt找到一条找到一条从从 Vs 到到 Vt 的路，使得这条路上所有弧的权数的总和最小，这条路被称的路，使得这条路上所有弧的权数的总和最小，这条路被称之为从之为从Vs到到Vt的的最短路。这条路上所有弧的权数的总和被称为从最短路。这条路上所有弧的权数的总和被称为从Vs到到Vt的的距离。距离。一、求解最短路的一、求解最短路的Dijkstra算法算法(双标号法）双标号法）步骤：步骤：1.给出点给出点V1以标号以标号(0,s)2.找出已标号的点的集

11、合找出已标号的点的集合I，没标号的点的集合没标号的点的集合J以及弧的集合以及弧的集合3.如果上述弧的集合是空集，则计算结束。如果如果上述弧的集合是空集，则计算结束。如果vt已标号（已标号（lt,kt），），则则 vs到到vt的的距离为距离为lt，而从而从 vs到到vt的最短路径，则可以从的最短路径，则可以从kt 反向追踪到起点反向追踪到起点vs 而得到。如果而得到。如果vt 未标号，则可以断言不存在从未标号，则可以断言不存在从 vs到到vt的有向路。如果上的有向路。如果上述的弧的集合不是空集，则转下一步。述的弧的集合不是空集，则转下一步。4.对上述弧的集合中的每一条弧，计算对上述弧的集合中的每

12、一条弧，计算 sij=li+cij。在所有的在所有的 sij中，找到其中，找到其值为最小的弧。不妨设此弧为（值为最小的弧。不妨设此弧为（Vc,Vd），），则给此弧的终点以双标号则给此弧的终点以双标号（scd,c）,返回步骤返回步骤2。1722最短路问题最短路问题 例例1 求下图中求下图中v1到到v6的最短路的最短路解：采用解：采用Dijkstra算法，可解得最短路径为算法，可解得最短路径为v1 v3 v4 v6 各点的标号图如下：各点的标号图如下：v23527531512v1v6v5v3v4(3,1)v23527531512 V1（0,s)v5(8,4)v6(2,1)v3(3,3)v41822

13、最短路问题最短路问题 例例2 电信公司准备在甲、乙两地沿路架设一条光缆线，问如何架设电信公司准备在甲、乙两地沿路架设一条光缆线，问如何架设使其光缆线路最短？下图给出了甲乙两地间的交通图。权数表示两地使其光缆线路最短？下图给出了甲乙两地间的交通图。权数表示两地间公路的长度（单位：公里）。间公路的长度（单位：公里）。解：这是一个求无向图的最短路的问题。可以把无向图的每一边解：这是一个求无向图的最短路的问题。可以把无向图的每一边（vi,vj）都用方向相反的两条弧（都用方向相反的两条弧（vi,vj）和（和（vj,vi）代替，就化为有向代替，就化为有向图，即可用图，即可用Dijkstra算法来求解。也可

14、直接在无向图中用算法来求解。也可直接在无向图中用Dijkstra算法算法来求解。只要在算法中把从已标号的点到未标号的点的弧的集合改成来求解。只要在算法中把从已标号的点到未标号的点的弧的集合改成已标号的点到未标号的点的边的集合即可。已标号的点到未标号的点的边的集合即可。V1（甲地）甲地）151762444 31065v2V7（乙地）乙地）v3v4v5v61922最短路问题最短路问题例例2最终解得：最终解得：最短路径最短路径v1 v3 v5 v6 v7，每点的标号见下图每点的标号见下图（0,s）V1（甲地）甲地）1517624431065(13,3)v2 (22,6)V7（乙地）乙地）V5(14,

15、3)V6(16,5)V3(10,1)V4(18,5)2022最短路问题最短路问题 例例3 设备更新问题。某公司使用一台设备，在每年年初，公司就设备更新问题。某公司使用一台设备，在每年年初，公司就要决定是购买新的设备还是继续使用旧设备。如果购置新设备，就要要决定是购买新的设备还是继续使用旧设备。如果购置新设备，就要支付一定的购置费，当然新设备的维修费用就低。如果继续使用旧设支付一定的购置费，当然新设备的维修费用就低。如果继续使用旧设备，可以省去购置费，但维修费用就高了。请设计一个五年之内的更备，可以省去购置费，但维修费用就高了。请设计一个五年之内的更新设备的计划，使得五年内购置费用和维修费用总的

16、支付费用最小。新设备的计划，使得五年内购置费用和维修费用总的支付费用最小。已知：设备每年年初的价格表已知：设备每年年初的价格表 设备维修费如下表设备维修费如下表年份年份12345年初价格年初价格1111121213使用年数使用年数0-11-22-33-44-5每年维修每年维修费用费用56811182122最短路问题最短路问题例例3的解：的解：将问题转化为最短路问题，如下图：将问题转化为最短路问题，如下图：用用vi表示表示“第第i年年初购进一台新设备年年初购进一台新设备”,弧弧（vi,vj）表示第表示第i年年初购进年年初购进的的设备一直使用到第设备一直使用到第j年年初。年年初。把所有弧的权数计算

17、如下表：把所有弧的权数计算如下表：v1v2v3v4v5v61234561162230415921622304131723314172351862222最短路问题最短路问题(继上页继上页)把权数赋到图中，再用把权数赋到图中，再用Dijkstra算法求最短路。算法求最短路。最终得到下图，可知，最终得到下图，可知，v1到到v6的距离是的距离是53，最短路径有两条：，最短路径有两条：v1 v3 v6和和 v1 v4 v6v1v2v3v4v5v6162230415916223041312317181723 V1（0,s）v3v4(41,1)v5v62230415916(22,1)304131231718

18、1723 V2（16,1）16(30,1)(53,3)(53,4)2333最小生成树问题最小生成树问题树是图论中的重要概念，所谓树就是一个无圈的连通图。树是图论中的重要概念，所谓树就是一个无圈的连通图。图图11-11中，中，(a)就是一个树，而就是一个树，而(b)因为图中有圈所以就因为图中有圈所以就不是树，不是树，(c)因为不连通所以也不是树。因为不连通所以也不是树。图图11-11v1v2v3v4v5v6v7v8v9v1v2v3v5v8v7v6v4v1v2v3v4v5v7v6v8v9(a)(b)(c)2433最小生成树问题最小生成树问题 给了一个无向图给了一个无向图G=(V,E)G=(V,E)

19、，我们保留，我们保留G G的所有点，而删掉部分的所有点，而删掉部分G G的边或的边或者说保留一部分者说保留一部分G G的边，所获得的图的边，所获得的图G G，称之为，称之为G G的生成子图。在图的生成子图。在图11-1211-12中，中，(b)(b)和和(c)(c)都是都是(a)(a)的生成子图。的生成子图。如果图如果图G G的一个生成子图还是一个树，则称这个生成子图为生成树，的一个生成子图还是一个树，则称这个生成子图为生成树，在图在图11-1211-12中，中，(c)(c)就是就是(a)(a)的生成树。的生成树。最小生成树问题就是指在一个赋权的连通的无向图最小生成树问题就是指在一个赋权的连通

20、的无向图G G中找出一个生成中找出一个生成树，并使得这个生成树的所有边的权数之和为最小。树，并使得这个生成树的所有边的权数之和为最小。图图11-12(a)(b)(c)2533最小生成树问题最小生成树问题一、求解最小生成树的破圈算法一、求解最小生成树的破圈算法算法的步骤：算法的步骤：1、在给定的赋权的连通图上任找一个圈。、在给定的赋权的连通图上任找一个圈。2、在所找的圈中去掉一个权数最大的边（如果有两条或两条、在所找的圈中去掉一个权数最大的边（如果有两条或两条以上的边都是权数最大的边，则任意去掉其中一条）。以上的边都是权数最大的边，则任意去掉其中一条）。3、如果所余下的图已不包含圈，则计算结束，

21、所余下的图即、如果所余下的图已不包含圈，则计算结束，所余下的图即为最小生成树，否则返回第为最小生成树，否则返回第1步。步。2633最小生成树问题最小生成树问题例例4 用破圈算法求图（用破圈算法求图（a）中的一个最小生成树中的一个最小生成树v1331728541034v7v6v5v4v2v13317285434v7v6v5v4v2v133725434v7v6v5v4v2v3v3v31v13372434v7v6v5v4v2v31v1337234v7v6v5v4v2v31v133723v7v6v5v4v2v31(a)(b)(c)(d)(e)(f)图图11-132733最小生成树问题最小生成树问题 例

22、例5、某大学准备对其所属的、某大学准备对其所属的7个学院办公室计算机联网，这个网络的个学院办公室计算机联网，这个网络的可能联通的途径如下图，图中可能联通的途径如下图，图中v1,v7 表示表示7个学院办公室，请设计一个学院办公室，请设计一个网络能联通个网络能联通7个学院办公室，并使总的线路长度为最短。个学院办公室，并使总的线路长度为最短。解：此问题实际上是求图解：此问题实际上是求图11-1411-14的最小生成树，这在例的最小生成树，这在例4 4中已经求得，中已经求得，也即按照图也即按照图11-1311-13的的(f)(f)设计，可使此网络的总的线路长度为最短，为设计，可使此网络的总的线路长度为

23、最短，为1919百米。百米。“管理运筹学软件管理运筹学软件”有专门的子程序可以解决最小生成树问题。有专门的子程序可以解决最小生成树问题。v1331728541034v7v6v5v4v2v3图图11-142844最大流问题最大流问题最大流问题：给一个带收发点的网络，其每条弧的赋权称之为容量，最大流问题：给一个带收发点的网络，其每条弧的赋权称之为容量，在不超过每条弧的容量的前提下，求出从发点到收点的最大流量。在不超过每条弧的容量的前提下，求出从发点到收点的最大流量。一、最大流的数学模型一、最大流的数学模型 例例6 某石油公司拥有一个管道网络，使用这个网络可以把石油从采地运某石油公司拥有一个管道网络

24、，使用这个网络可以把石油从采地运送到一些销售点，这个网络的一部分如下图所示。由于管道的直径的送到一些销售点，这个网络的一部分如下图所示。由于管道的直径的变化，它的各段管道（变化，它的各段管道（vi,vj）的流量的流量cij（容量）也是不一样的。容量）也是不一样的。cij的的单单位为万加仑位为万加仑/小时。如果使用这个网络系统从采地小时。如果使用这个网络系统从采地 v1向销地向销地 v7运送石油，运送石油，问每小时能运送多少加仑石油？问每小时能运送多少加仑石油？v563522241263v1v2v7v4v3v6图图11-262944最大流问题最大流问题 我们可以为此例题建立线性规划数学模型：我们

25、可以为此例题建立线性规划数学模型：设弧设弧(vi,vj)上流量为上流量为fij，网络上的总的流量为，网络上的总的流量为F，则有：，则有：3044最大流问题最大流问题 在这个线性规划模型中，其约束条件中的前在这个线性规划模型中，其约束条件中的前6 6个方程表示个方程表示了网络中的流量必须满足守恒条件，发点的流出量必须等于了网络中的流量必须满足守恒条件，发点的流出量必须等于收点的总流入量；其余的点称之为中间点，它的总流入量必收点的总流入量；其余的点称之为中间点，它的总流入量必须等于总流出量。其后面几个约束条件表示对每一条弧须等于总流出量。其后面几个约束条件表示对每一条弧(v vi i,v,vj j

26、)的流量的流量fij要满足流量的可行条件，应小于等于弧要满足流量的可行条件，应小于等于弧(v vi i,v,vj j)的容量的容量c cijij，并大于等于零，即，并大于等于零，即0 0f fijij c cijij。我们把满。我们把满足守恒条件及流量可行条件的一组网络流足守恒条件及流量可行条件的一组网络流 f fijij 称之为可行流，称之为可行流，（即线性规划的可行解），可行流中一组流量最大（也即发（即线性规划的可行解），可行流中一组流量最大（也即发出点总流出量最大）的称之为最大流（即线性规划的最优解）。出点总流出量最大）的称之为最大流（即线性规划的最优解）。我们把例我们把例6 6的数据代

27、入以上线性规划模型，用的数据代入以上线性规划模型，用“管理运筹管理运筹学软件学软件”，马上得到以下的结果：，马上得到以下的结果：f f1212=5=5，f f1414=5=5，f f2323=2=2，f f2525=3=3，f f4343=2=2，f f4646=1=1，f f4747=2=2，f f3535=2=2，f f3636=2=2，f f5757=5=5，f f6767=3=3。最优值。最优值（最大流量）（最大流量）=10=10。31 44最大流问题最大流问题二、最大流问题网络图论的解法二、最大流问题网络图论的解法 对网络上弧的容量的表示作改进。为省去弧的方向，如下图对网络上弧的容量

28、的表示作改进。为省去弧的方向，如下图:(a)和和(b)、(c)和和(d)的意义相同。的意义相同。用以上方法对例用以上方法对例6的图的容量标号作改进，得下图的图的容量标号作改进，得下图vivjvivjcij0（a）（b）cijcijvivj（cji）（c）vivj cij cji（d）63522241263v1v2v5v7v4v3v60000000000032 44最大流问题最大流问题 求最大流的基本算法求最大流的基本算法（1）找出一条从发点到收点的路，在这条路上的每一条弧顺流方向的容）找出一条从发点到收点的路，在这条路上的每一条弧顺流方向的容量都大于零。如果不存在这样的路，则已经求得最大流。量

29、都大于零。如果不存在这样的路，则已经求得最大流。（2）找出这条路上各条弧的最小的顺流的容量）找出这条路上各条弧的最小的顺流的容量pf，通过这条路增加网络的通过这条路增加网络的流量流量pf。（3）在这条路上，减少每一条弧的顺流容量在这条路上，减少每一条弧的顺流容量pf，同时增加这些弧的逆流同时增加这些弧的逆流容量容量pf，返回步骤（返回步骤（1）。）。用此方法对例用此方法对例6求解：求解：第一次迭代：选择路为第一次迭代：选择路为v1 v4 v7。弧（弧（v4,v7）的顺流容量为的顺流容量为2，决定了决定了pf=2，改进的网络流量图如下图：改进的网络流量图如下图：63522241263v1v2v5

30、v7v4v3v60000000000042023344最大流问题最大流问题 第二次迭代：选择路为第二次迭代：选择路为v1 v2 v5 v7。弧（弧（v2,v5）的顺流容量为的顺流容量为3，决定了，决定了pf=3，改进的网络流量图如下图：改进的网络流量图如下图：第三次迭代：选择路为第三次迭代：选择路为v1 v4 v6 v7。弧（弧（v4,v6）的顺流容量为的顺流容量为1，决定了，决定了pf=1，改进的网络流量图如下图：改进的网络流量图如下图：635222413v1v2v5v7v4v3v60000000042022033303222413v1v2v5v7v4v3v60000004202203333

31、301334 第四次迭代：选择路为第四次迭代：选择路为v1 v4 v3 v6 v7。弧（弧（v3,v6）的顺流容的顺流容量为量为2，决定了，决定了pf=2，改进的网络流量图如下图：改进的网络流量图如下图：第五次迭代：选择路为第五次迭代：选择路为v1 v2 v3 v5 v7。弧（弧（v2,v3）的顺流容的顺流容量为量为2，决定了，决定了pf=2，改进的网络流量图如下图：改进的网络流量图如下图：22243v1v2v5v7v4v3v6100001203203335031200231322v1v2v5v7v4v3v6101202033350120231315002020544最大流问题最大流问题35

32、经过第五次迭代后在图中已经找不到从发点到收点的一条路，路上经过第五次迭代后在图中已经找不到从发点到收点的一条路，路上的每一条弧顺流容量都大于零，运算停止。得到最大流量为的每一条弧顺流容量都大于零，运算停止。得到最大流量为10。最大流量图如下图：最大流量图如下图：22v1v2v5v7v4v3v612352235544最大流问题最大流问题 “管理运筹学软件管理运筹学软件”中还有专门的子程序用于解决最大流问题。中还有专门的子程序用于解决最大流问题。3655最小费用最大流问题最小费用最大流问题 最小费用最大流问题：给了一个带收发点的网络，对每一条弧最小费用最大流问题：给了一个带收发点的网络，对每一条弧

33、（vi,vj），），除了给出容量除了给出容量cij外，还给出了这条弧的单位流量的费用外，还给出了这条弧的单位流量的费用bij，要，要求一个最大流求一个最大流F，并使得总运送费用最小。并使得总运送费用最小。一、最小费用最大流的数学模型一、最小费用最大流的数学模型 例例7 由于输油管道的长短不一，所以在例由于输油管道的长短不一，所以在例6中每段管道（中每段管道（vi,vj）除）除了有不同的流量限制了有不同的流量限制cij外外，还有不同的单位流量的费用，还有不同的单位流量的费用bij，cij的的单位为万单位为万加仑加仑/小时，小时，bij的的单位为百元单位为百元/万加仑。如图。从采地万加仑。如图。从

34、采地 v1向销地向销地 v7运送石运送石油，怎样运送才能运送最多的石油并使得总的运送费用最小？求出最大流油，怎样运送才能运送最多的石油并使得总的运送费用最小？求出最大流量和最小费用。量和最小费用。(6,6)(3,4)(5,7)(2,5)(2,4)（2,3）(4,4)(1,3)(2,8)（3,2）v1v2v5v7v4v3v6(6,3)3755最小费用最大流问题最小费用最大流问题 这个最小费用最大流问题也是一个线性规划的问题。这个最小费用最大流问题也是一个线性规划的问题。解：我们用线性规划来求解此题，可以分两步走。解：我们用线性规划来求解此题，可以分两步走。第一步，先求出此网络图中的最大流量第一步

35、，先求出此网络图中的最大流量F，这已在例，这已在例6中建中建立了线性规划的模型，通过管理运筹学软件已经获得结果。立了线性规划的模型，通过管理运筹学软件已经获得结果。第二步，在最大流量第二步，在最大流量F的所有解中，找出一个最小费用的的所有解中，找出一个最小费用的解，我们来建立第二步中的线性规划模型如下：解，我们来建立第二步中的线性规划模型如下：仍然设弧（仍然设弧（vi,vj）上的流量为）上的流量为fij，这时已知网络中最大流，这时已知网络中最大流量为量为F，只要在例，只要在例6的约束条件上，再加上总流量必须等于的约束条件上，再加上总流量必须等于F的的约束条件：约束条件：f12=f14=F,即得

36、此线性规划的约束条件，此线性规划即得此线性规划的约束条件，此线性规划的目标函数显然是求其流量的最小费用的目标函数显然是求其流量的最小费用 。由此得到线性规划模型如下：由此得到线性规划模型如下：3855最小费用最大流问题最小费用最大流问题 3955最小费用最大流问题最小费用最大流问题 用管理运筹学软件，可求得如下结果：用管理运筹学软件，可求得如下结果：f f1212=4,f=4,f1414=6,=6,f f2525=3,f=3,f2323=1,f=1,f4343=3,F=3,F5757=5,f=5,f3636=2,f=2,f4646=1,f=1,f4747=2,f=2,f6767=3,f=3,f

37、3535=2=2。其最。其最优值优值(最小费用最小费用)=145)=145。对照前面例。对照前面例6 6的结果，可对最小费用最的结果，可对最小费用最大流的概念有一个深刻的理解。大流的概念有一个深刻的理解。如果我们把例如果我们把例7 7的问题改为：每小时运送的问题改为：每小时运送6 6万加仑的石油从万加仑的石油从采地采地v v1 1到销地到销地v v7 7最小费用是多少？应怎样运送？这就变成了一最小费用是多少？应怎样运送？这就变成了一个最小费用流的问题。一般来说，所谓最小费用流的问题就是：个最小费用流的问题。一般来说，所谓最小费用流的问题就是：在给定了收点和发点并对每条弧在给定了收点和发点并对每

38、条弧(v vi i,v,vj j)赋权以容量赋权以容量c cijij及单位及单位费用费用b bijij的网络中，求一个给定值的网络中，求一个给定值f f的流量的最小费用，这个给的流量的最小费用，这个给定值定值f f的流量应小于等于最大流量的流量应小于等于最大流量F F，否则无解。求最小费用流，否则无解。求最小费用流的问题的线性规划的模型只要把最小费用最大流模型中的约束的问题的线性规划的模型只要把最小费用最大流模型中的约束条件中的发点流量条件中的发点流量F F改为改为f f即可。在例即可。在例6 6中只要把中只要把f f1212+f+f1414=F=F改为改为f f1212+f+f1414=f=

39、6=f=6得到了最小费用流的线性规划的模型了。得到了最小费用流的线性规划的模型了。4055最小费用最大流问题最小费用最大流问题二、最小费用最大流的网络图论解法二、最小费用最大流的网络图论解法对网络上弧（对网络上弧（vi,vj）的（的（cij,bij）的表示作如下改动，用的表示作如下改动，用(b)来表示来表示(a)。用上述方法对例用上述方法对例7中的图形进行改进，得图如下页：中的图形进行改进，得图如下页：vivjvivj（cij,bij）（0,-bij）（a）（b）（cij,bij）（cij,bij）vivj（cji,bji）（cij,bij）vivj（cji,bji）（0,-bji)（0,-b

40、ji)（c）（d）4155最小费用最大流问题最小费用最大流问题 求最小费用最大流的基本算法求最小费用最大流的基本算法 在对弧的标号作了改进的网络图上求最小费用最大流的基本算法与求在对弧的标号作了改进的网络图上求最小费用最大流的基本算法与求最大流的基本算法完全一样，不同的只是在步骤（最大流的基本算法完全一样，不同的只是在步骤（1）中要选择一条总的）中要选择一条总的单位费用最小的路，而不是包含边数最小的路。单位费用最小的路，而不是包含边数最小的路。(6,6)(3,4)(5,7)(2,5)(0,-4)（2,3）(4,4)(1,3)(2,8)（3,2）v1v2v5v7v4v3v6(6,3)(0,-3)

41、(0,-8)(0,-3)（0,-2）(0,-6)(0,-4)(0,-5)（2,4）(0,-7)(0,-4)（0,-3）图图11-2811-284255最小费用最大流问题最小费用最大流问题用上述方法对例用上述方法对例7求解：求解：第一次迭代：找到最短路第一次迭代：找到最短路v1 v4 v6 v7。第一次迭代后总流量为第一次迭代后总流量为1，总，总费用费用10。v5(6,6)(3,4)(5,7)(2,5)(0,-4)（2,3）(3,4)(0,3)(2,8)（3,2）v1v2v7v4v3v6(5,3)(1,-3)(0,-8)(1,-3)（0,-2）(0,-6)(0,-4)(0,-5)（2,4）(0,

42、-7)(1,-4)（0,-3）图图11-2911-294355最小费用最大流问题最小费用最大流问题第二次迭代：找到最短路第二次迭代：找到最短路v1 v4 v7。第二次迭代后总流量为第二次迭代后总流量为3，总费用，总费用32。(6,6)(3,4)(5,7)(2,5)(0,-4)（2,3）(3,4)(0,3)(0,8)（3,2）v1v2v5v7v4v3v6(3,3)(3,-3)(2,-8)(1,-3)（0,-2）(0,-6)(0,-4)(0,-5)（2,4）(0,-7)(1,-4)（0,-3）图图11-3011-304455最小费用最大流问题最小费用最大流问题第三次迭代：找到最短路第三次迭代：找到

43、最短路v1 v4 v3 v6 v7。第三次迭代后总流量为第三次迭代后总流量为5，总费用，总费用56。(6,6)(3,4)(5,7)(2,5)(0,-4)（0,3）(1,4)(0,3)(0,8)（1,2）v1v2v5v7v4v3v6(1,3)(5,-3)(2,-8)(1,-3)（2,-2）(0,-6)(0,-4)(0,-5)（2,4）(0,-7)(3,-4)（2,-3）图图11-3111-314555最小费用最大流问题最小费用最大流问题第四次迭代：找到最短路第四次迭代：找到最短路v1 v4 v3 v5 v7。第四次迭代后总流量为第四次迭代后总流量为6，总费用，总费用72。(6,6)(3,4)(4

44、,7)(2,5)(1,-4)（0,3）(1,4)(0,3)(0,8)（0,2）v1v2v5v7v4v3v6(1,3)(6,-3)(2,-8)(1,-3)（3,-2）(0,-6)(0,-4)(0,-5)（1,4）(1,-7)(3,-4)（2,-3）图图11-3211-324655最小费用最大流问题最小费用最大流问题 第五次迭代：找到最短路第五次迭代：找到最短路v1 v2 v5 v7。第五次迭代后总流量为第五次迭代后总流量为9，总，总费用费用123。(3,6)(0,4)(1,7)(2,5)(1,-4)（0,3）(1,4)(0,3)(0,8)（0,2）v1v2v5v7v4v3v6(0,3)(6,-3

45、)(2,-8)(1,-3)（3,-2）(3,-6)(3,-4)(0,-5)（1,4）(4,-7)(3,-4)（2,-3）图图11-3311-334755最小费用最大流问题最小费用最大流问题 第六次迭代：找到最短路第六次迭代：找到最短路v1 v2 v3 v5 v7。第六次迭代后总流量为第六次迭代后总流量为10，总费用，总费用145。已经找不到从。已经找不到从v1到到v7的每条弧容量都大于零的路了，故的每条弧容量都大于零的路了，故已求得最小费用最大流了。已求得最小费用最大流了。(3,6)(0,4)(1,7)(2,5)(1,-4)（0,3）(1,4)(0,3)(0,8)（0,2）v1v2v5v7v4

46、v3v6(0,3)(6,-3)(2,-8)(1,-3)（3,-2）(3,-6)(3,-4)(0,-5)（1,4）(4,-7)(3,-4)（2,-3）图图11-3411-344855最小费用最大流问题最小费用最大流问题 如果对例如果对例7求一个最小费用流的问题：每小时运送求一个最小费用流的问题：每小时运送6万加仑石油从万加仑石油从v1到到v7的最小费用是多少，或者每小时运送的最小费用是多少，或者每小时运送7万加仑呢？我们可以从第四次迭代万加仑呢？我们可以从第四次迭代及图及图11-32即可得到运送即可得到运送6万加仑最小费用万加仑最小费用72百元，其运送方式通过比较图百元，其运送方式通过比较图11

47、-28及图及图11-32即得图即得图11-36所示。所示。至于每小时运送至于每小时运送7万加仑，我们可以在图万加仑，我们可以在图11-36的基础上，再按第五次的基础上，再按第五次迭代所选的最短路运送迭代所选的最短路运送1万加仑即得最小费用：万加仑即得最小费用：72+1*17=89百元，其运送百元，其运送方式如图方式如图11-37所示。所示。35123126v1v2v5v4v3v610342v710第六次迭代第六次迭代后总流量后总流量图图11-354955最小费用最大流问题最小费用最大流问题 123126v1v2v5v4v3v6631v7图图11-3612123126v1v2v5v4v3v6311v7图图11-37注：注：“管理运筹学软件管理运筹学软件”有专门有专门的子程序用于解决这类问题。的子程序用于解决这类问题。50