(完整)2.5.3数列求和问题.ppt

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1、数列求和1.公式法公式法 即直接用求和公式即直接用求和公式,求前求前n项和项和Sn(1)等差数列的前等差数列的前n项和公式：项和公式：(2)等比数列的前等比数列的前n项和公式项和公式 公比含字母是一定要讨论(3)(4)(5)例例1:若实数若实数a,b满足满足:4a2+9b2-4a-6b+2=0求求:a+a2b+a3b2+a100b99分析分析:通过观察通过观察,看出所求得数列实际上就是等比看出所求得数列实际上就是等比数列其首项为数列其首项为a,公比为公比为ab,因此由题设求出因此由题设求出a,b,再再用等比数列前用等比数列前n项和公式求和项和公式求和.例例2 求和求和:S=1+(1/a)+(1

2、/a2)+(1/an)在求等比数列前在求等比数列前n项和时项和时,要特要特别注意别注意公比公比q是否为是否为1.当当q不确不确定时要对定时要对q分分q=1和和q1两种情两种情况讨论求解况讨论求解.注意项数正确注意项数正确练习练习:求下列各和求下列各和:(1)1+3+5+(2n1).(2)1+2+4+8+2n2.倒序相加法倒序相加法2.2.倒序相加法倒序相加法等差数列前等差数列前n项的和公式推导即为此法项的和公式推导即为此法!例例3：已知：已知lg(xy)=a,求求S=lgxn+lg(xn-1y)+lg(xn-2y2)+lgyn与首尾两项等距的两项之和等于首尾两项之和与首尾两项等距的两项之和等于

3、首尾两项之和,则可先将则可先将Sn顺着写顺着写,再将再将Sn按倒序写按倒序写,最后将两最后将两个个Sn相加相加.S=lgyn+lg(xyn-1)+lg(x2yn-2)+lgxn2S=lg(xy)n+lg(xy)n+lg(xy)n+lg(xy)n =(n+1)lg(xy)n n(n+1)lgxyS=n(n+1)a/2项的特征项的特征a1+an=a2+an-1=a3+an-2=1005.的值为的值为 .练习练习:若若解析解析:3.分组求和法分组求和法:若数列若数列an的通项可转化为的通项可转化为an=bn+cn的形式的形式,且数列且数列bn,cn可求出前可求出前n项和项和Sb,Sc则则例例5.求下

4、列数列的前求下列数列的前n项和项和(1)解解(1):该数列的通项公式为该数列的通项公式为 当当a0且且a1时，时，Sn=规律概括规律概括:如果一个数列的通项可分成两项如果一个数列的通项可分成两项之和之和(或三项之和或三项之和)则可用分组求和法则可用分组求和法:在本在本章我们主要遇到如下两种形式的数列章我们主要遇到如下两种形式的数列.其一其一:通项公式为通项公式为:其二其二:通项公式为通项公式为:例例6.Sn=+1131351(2n-1)(2n+1)1(2n-1)(2n+1)=(-)21 2n-11 2n+11这时我们就能把数列的每一项裂成两项再求这时我们就能把数列的每一项裂成两项再求和和,这种

5、方法叫什么呢这种方法叫什么呢?113=（-213111）分析分析:观察数列的前几项观察数列的前几项:裂项相消法的关键就是将数列的每一项拆成二项裂项相消法的关键就是将数列的每一项拆成二项或多项使数列中的项出现有规律的抵消项或多项使数列中的项出现有规律的抵消项,进而进而达到求和的目的达到求和的目的.4.裂项相消法裂项相消法:若数列若数列an的通项公式拆分为某的通项公式拆分为某数列相邻两项之差的形式数列相邻两项之差的形式.常见的拆项公式有：常见的拆项公式有：例例7.求和求和Sn=1+2x+3x2+nxn-1(x0,1)分析分析:这是一个等差数列这是一个等差数列n与一个等比数与一个等比数列列xn-1的

6、对应相乘构成的新数列的对应相乘构成的新数列,这样这样的数列求和该如何求呢的数列求和该如何求呢?Sn=1+2x+3x2+nxn-1 xSn=x+2x2+(n-1)xn-1+nxn(1-x)Sn=1+x+x2+xn-1 -nxn n项项这时等式的右边是一个等比数这时等式的右边是一个等比数列的前列的前n项和与一个式子的和项和与一个式子的和,这样我们就可以化简求值这样我们就可以化简求值.错位相错位相减法减法例例7.求和求和Sn=1+2x+3x2+nxn-1解解:Sn=1+2x+3x2+nxn-1 xSn=x+2x2+(n-1)xn-1+nxn -,得得:(1-x)Sn=1+x+x2+xn-1-nxn

7、=1-(1+n)xn+nxn+1(1-x)2 1-xn1-x当当x1,0时时 Sn=-nxn当当x=1时时当当x=0时时Sn=15.错位相减法错位相减法:当当an是等差数列是等差数列,bn是是公比为公比为q的的等比数列等比数列(q不等于不等于1),求数列求数列anbn的前的前n项项和适用错位相减法和适用错位相减法(两边同乘以公比两边同乘以公比).练习：练习：求和求和Sn=1/2+3/4+5/8+(2n-1)/2n.Sn=3-2n+32n合并求和合并求和:例例8:1002-992+982-972+22-126.其它求和方法其它求和方法还可用归纳猜想法还可用归纳猜想法,合并求和、合并求和、奇偶法、

8、奇偶法、周期数列周期数列等方法求和等方法求和.解解:原式原式=(100-99)(100+99)+(98-97)(98+97)+(2-1)(2+1)=100+99+98+97+2+1 =5050例例9.设数列设数列an的前的前n项和为项和为sn,若若an=(-1)n-1(2n-1),则则 s17+s23+s50 的值是多少？的值是多少？解解:sn=1-3+5-7+9-11+(-1)n-1(2n-1)=(-2)+(-2)+(-2)+当当n为偶数为偶数2k时时,S2k=-2k当当n为奇数为奇数2k+1时时,S2k+1=S2k+a2k+1S17=(-2)8+33=17,S23=(-2)11+45=23

9、,S50=(-2)25=-50所以所以s17+s23+s50=-10分析分析:通项中含有通项中含有(-1)n或或(-1)n-1的数列求和问的数列求和问题题,常需要对常需要对n的奇偶情况进行讨论的奇偶情况进行讨论,这种方法这种方法就称之为奇偶讨论法就称之为奇偶讨论法.练习练习.若若Sn=1-2+3-4+(-1)n-1n,则则S17+S33+S50=.解解:由题意知由题意知Sn=S17=9,S33=17,S50=-25,S17+S33+S50=1.1数列求和的一般步骤：数列求和的一般步骤：1.等差、等比数列直接应用等差、等比数列直接应用求和公式求和公式求和。求和。2.非等差、等比的数列非等差、等比的数列,通过通项化归的思想设通过通项化归的思想设法转化为等差、等比数列法转化为等差、等比数列,常用方法有常用方法有倒序相倒序相加法、错位相减法、分组求和法、并项求和法加法、错位相减法、分组求和法、并项求和法.3.不能转化为等差、等比的数列不能转化为等差、等比的数列,往往通过往往通过裂项裂项相消法相消法求和求和.4.还可用归纳猜想法还可用归纳猜想法,合并求和、合并求和、奇偶法、周期奇偶法、周期数列数列等方法求和等方法求和(3)求和求和(2)求和求和谢谢观赏勤能补拙，学有成就！2023/4/836