北科大《材料力学》考点强化教程3-2.PPT

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1、1.1.实验现象实验现象 当圆轴承受绕轴线转动的外扭转力当圆轴承受绕轴线转动的外扭转力偶作用时，其横截面上将只有扭矩一偶作用时，其横截面上将只有扭矩一个内力分量。个内力分量。圆轴受扭后，将产生扭转变形。圆轴受扭后，将产生扭转变形。圆轴上的直角微元均发生了变化，这圆轴上的直角微元均发生了变化，这种直角的改变量即为剪应变。这表明，种直角的改变量即为剪应变。这表明，圆轴横截面和纵截面上都将出现剪应圆轴横截面和纵截面上都将出现剪应力分别用力分别用 和和 表示。表示。ABCDABCD3-4 3-4 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力实验现象归纳实验现象归纳123x44123xTkTk4（1）纵向线转动；但

2、仍保持位置相互平行；（2）圆周线绕轴线转动，但仍在原来的平面内；（3）圆周线大小、形状及两圆周线之间的距离不变。y yx xT Tk kz zTn剪应力方向是沿周边切线方向；剪应力方向是沿周边切线方向；截面只有剪应力，无正应力；截面只有剪应力，无正应力；2 2、推论、推论平截面假定：平截面假定：(1)横截面保持为平面，形状、大小、间距不变横截面保持为平面，形状、大小、间距不变(2)半径保持为直线半径保持为直线3.3.剪应力分布剪应力分布几何关系几何关系：（确定剪应变的分布）,=(x)讨论距轴为讨论距轴为 的的lmnp面面 剪应力沿半径分布是变化的（未知）因此，以剪剪应力沿半径分布是变化的（未知

3、）因此，以剪应变入手分析。应变入手分析。dxTT143223d令 扭转角沿杆长的变化率 几何方程 (1)ooR1243mlndxpmn32结结结结论论论论：剪剪剪剪应应应应变变变变与与与与到到到到0-00-00-00-0轴轴轴轴的的的的距距距距离离离离成成成成正正正正比比比比，杆杆杆杆轴轴轴轴上上上上 剪应变为零，表面应变最大。剪应变为零，表面应变最大。剪应变为零，表面应变最大。剪应变为零，表面应变最大。物理关系：物理关系：(剪切虎克定律剪切虎克定律)g g G=(2)(2)(3)(3)代入几何方程代入几何方程剪应力分布剪应力分布:(1)对于单一材料对于单一材料,以轴心为原点线性分布以轴心为原

4、点线性分布 (2)对于同心复合材料对于同心复合材料,以轴心为原点分段线性分布以轴心为原点分段线性分布实实心心圆圆截截面面T空空心心圆圆截截面面T：静力学关系（确定微观剪应力与宏观扭矩的等效关系）：静力学关系（确定微观剪应力与宏观扭矩的等效关系）dAo(4)(4)(3)3)代入代入(4),(4),积分后得：积分后得：剪应力计算公式剪应力计算公式IP 极惯性矩极惯性矩DdD取取微分面积：微分面积：O极惯性矩的计算极惯性矩的计算存在什么应力存在什么应力:实心圆截面和空心实心圆截面和空心圆截面上仅有剪应力圆截面上仅有剪应力.应力如何分布应力如何分布:与扭矩方向一致与扭矩方向一致,以以轴心为原点线性分布

5、轴心为原点线性分布应力怎样计算应力怎样计算三三个个待待定定问问题题的的答答案案抗扭截面抗扭截面模量模量(系数系数)；量纲；量纲 长度长度 3 3T最大剪应力发生在最外沿最大剪应力发生在最外沿,即即:max=R处处DdD抗扭截面摸量抗扭截面摸量WT的计算的计算思考：思考：由两种不同材料组成的圆轴，里层和外层材料的切变模量分别为G1和G2，且G1=2G2。圆轴尺寸如图所示。圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动。关于横截面上的切应力分布，有图中（A）、（B）、（C）、（D）所示的四种结论，请判断哪一种是正确的。(A)(B)(C)(D)例例例例1 1 1 1：绘出半圆柱体各截面上的应力分布。说明该部分的

6、平衡情况。TABCDTCBDAMOMOOA例例2：轴，：轴，d=50mm，MO=1kN.m,求求 处的处的切应力切应力及边缘处的及边缘处的最大切应力。最大切应力。解：解：1.求任意截面上的扭矩求任意截面上的扭矩2.求极惯性矩及抗扭截面系数求极惯性矩及抗扭截面系数3.求 及1.1.1.1.最大剪应力最大剪应力最大剪应力最大剪应力2.2.强度条件强度条件：TAB圆轴扭转时的强度计算圆轴扭转时的强度计算 要理解其物理意义!例例3：由无缝钢管制成的汽车传动轴：由无缝钢管制成的汽车传动轴AB，外径外径D=90mm,壁厚壁厚t=2.5mm,材料为材料为45号钢。使用时最大扭矩号钢。使用时最大扭矩T=1.5

7、KN,，试校核试校核AB轴的强度。轴的强度。解解：轴的最大剪应力为轴的最大剪应力为AB轴满足强度条件。轴满足强度条件。TAB例例4：如把上例中的传动轴改为：如把上例中的传动轴改为实心轴实心轴，要求它与原来，要求它与原来的空心轴的空心轴强度相同强度相同，试确定其，试确定其直径直径，并比较二者的，并比较二者的重量重量。解：按题目要求，实心轴的最大剪应力也为解：按题目要求，实心轴的最大剪应力也为51MPa,即即在两轴材料、长度相同的情况下，重量之比即为面积之比：在两轴材料、长度相同的情况下，重量之比即为面积之比：可见在载荷相同的条件下，空心轴的重量仅为实可见在载荷相同的条件下，空心轴的重量仅为实心轴

8、的心轴的31%，其减轻重量、节约材料时非常明显的。，其减轻重量、节约材料时非常明显的。这个数字说明什么？这个数字说明什么？例例5:图示传动机构，图示传动机构，E轴通过联轴器与轴通过联轴器与H轴连接，轴连接，A轮带动轮带动D轮轮使使C轴转动。从轴转动。从B轮输入功率轮输入功率P1=14kW，功率的一半通过锥形功率的一半通过锥形齿轮传给齿轮传给C轴，另一半由轴，另一半由H轴输出。已知：轴输出。已知：n1=n2=120 r/min,z1=36,z3=12;d1=70mm,d 2=50mm,d3=35mm.求求:各各轴轴横截面上的最大切应力横截面上的最大切应力。3联轴器联轴器P P1 1=14kW,=

9、14kW,P P2 2=P P3 3=P P1 1/2=7 kW/2=7 kWn n1 1=n n2 2=120r/min=120r/minn n3 3=n n1 1 z z3 3z z1 1=120=120 36361212=360r/min=360r/min3MMx1x1=T T1 1=1114 N.m=1114 N.mMMx2x2=T T2 2=557 N.m=557 N.mMMx3x3=T T3 3=185.7 N.m=185.7 N.m1.求各轴的求各轴的扭矩扭矩由由外力偶矩计算公式外力偶矩计算公式2.求各轴的求各轴的扭转剪应力扭转剪应力MMx1x1=T=T1 1=1114 N.m1

10、114 N.mMMx2x2=T=T2 2=557 N.m557 N.mMMx3x3=T=T3 3=185.7 N.m185.7 N.md1=70mmd2=50mmd3=35mm1 1 1 1.相对扭转角上一节已经导出如下公式：上一节已经导出如下公式：（1）又有：（2）(2)代入(1)(常量),两边积分得：GIp抗扭刚度3-5 3-5 圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形弧度弧度：平面角的度量单位。：平面角的度量单位。圆心角所对应的圆心角所对应的弧长弧长和和半径半径相等，这个角就是相等，这个角就是一弧度。一弧度。弧度表示：弧度表示：rad当当G，T，Ip为常量时为常量时当当G，T，IP阶梯变化时阶梯

11、变化时2.2.单位长度扭转角单位长度扭转角用于描述圆轴扭转变形的聚集程度用于描述圆轴扭转变形的聚集程度(单位长度的扭转角单位长度的扭转角).前面已经推出前面已经推出:又有：3.3.3.3.刚度条件：刚度条件：刚度条件：刚度条件：单位单位:度度/米米;(o/m)单位单位:弧度弧度/米米;(rad/m)解：解：1、外力偶矩：、外力偶矩：2、作扭矩图：、作扭矩图：试设计轴的直径试设计轴的直径d例例7：传动轴转速：传动轴转速 TKATKBTKCxT91Nm184Nm3、按强度条件设计直径：按强度条件设计直径：TKATKBTKCxT91Nm184Nm4、按刚度条件设计直径、按刚度条件设计直径：TKATK

12、BTKCxT91Nm184Nm例例8：图示阶梯轴，已知=80MPa,G=80GPaCD段直径为d,AC段直径为0.8d。试确定：该轴的直径d；并求A、C截面的相对扭转角AC。解：1、作扭矩图：55100.5m0.5m0.5mABCD15KNm 15KNm5KNmT T（NmNm）2、求直径AB段：BC段：55100.5m0.5m0.5mABCD15KNm 15KNm5KNm3、求、求AC 55100.5m0.5m0.5mABCD15KNm 15KNm5KNm例例9 9:一内径为d、外径为D=2d的空心圆管与一直径为d的实心圆杆牢固结合成一组合圆轴，共同承受转矩Me。圆管与圆杆的材料不同，其切变

13、模量分别为G1和G2，且G1=G2/2，设两杆扭转变形时且均处于线弹性范围。试问两杆横截面上的最大切应力之比1/2为多大？并画出沿半径方向的切应力变化规律。因两杆扭转变形时无相对转动因两杆扭转变形时无相对转动解:从圆杆中取长度l-x和dx微段，截面的扭矩为T(x)=(l-x)t.例例10:10:等直圆杆的扭转刚度为GIp,受分布扭矩 t(单位为Nm/m)作用，求A-B截面的相对扭转角BA。AB 截面相对扭转角为：截面相对扭转角为：l-xT(x)dx 段两相邻截面的扭转角为：从中取从中取 dx 段，该截面的直径为：段，该截面的直径为：AB 截面相对扭转角为：截面相对扭转角为：式式中：中：进一步考

14、虑变截面圆杆，进一步考虑变截面圆杆，A、B 两端直径分别为两端直径分别为 d1、d2。该段相邻两截面的扭转角为：该段相邻两截面的扭转角为：3-6 3-6 圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形由平衡方程得由平衡方程得Q=P由剪力引起的剪应力，由剪力引起的剪应力，近似认为均匀分布近似认为均匀分布T=PD2t t1=4Pp pd2QA由扭矩引起的剪应力，近由扭矩引起的剪应力，近似认为与受扭直杆相同似认为与受扭直杆相同TWtt t2max=8PDp pd3两种剪应力同时作用，则簧两种剪应力同时作用，则簧丝横截面内侧有最大剪应力丝横截面内侧有最大剪应力t tmax=t t1+t

15、t2max 8PDp pd3(+1)(+1)d2D由于由于d2D,上述剪应力近似等于上述剪应力近似等于t tmax 8PDp pd3由于上述推导的近似性，上述剪应力由于上述推导的近似性，上述剪应力公式存在一定误差。可修正如下：公式存在一定误差。可修正如下：簧丝的强度条件是t tmax t t ck弹簧的变形在弹性范围内，在弹性范围内，P与与伸长量伸长量l l成正比成正比 变形特征 由平衡直接得到的结论 剪应力分布 狭长矩形截面3.7 3.7 非圆截面杆扭转的概念非圆截面杆扭转的概念非圆截面等直杆：非圆截面等直杆：平面假设不成立。即各截面发生翘曲不保持平面。因此，由等直圆杆扭转时推出的应力、变形

16、公式不适用，须由弹性力学方法求解。3.7 3.7 非圆截面杆扭转的概念非圆截面杆扭转的概念一一、自由扭转、自由扭转：杆件扭转时，横截面的翘曲不受限制，：杆件扭转时，横截面的翘曲不受限制，任意两相邻截面的翘曲程度完全相同。任意两相邻截面的翘曲程度完全相同。二二、约束扭转：、约束扭转：杆件扭转时，横截面的翘曲受到限制，杆件扭转时，横截面的翘曲受到限制，相邻截面的翘曲程度不同。相邻截面的翘曲程度不同。（长边中点处（长边中点处（长边中点处（长边中点处（短边中点处（短边中点处（短边中点处（短边中点处剪应力分布剪应力分布 maxmaxT Ta a a ahbhb2 2 1 1=nnnnmaxmax矩形截面

17、杆扭转的扭转角矩形截面杆扭转的扭转角f f f fTlTlG Gb b b bhbhb3 3TlTlGIGIt tGIt=Gb bhb3hbh 1T max 注意！b注意！注意！多数教材与手册上有如下定义：查表求 和 时一定要注意，表中 和 与那套公式对应。hbh 1T max 注意！b矩形截面杆扭转时的系数矩形截面杆扭转时的系数一、剪应力流的方向与扭矩的方向一致。一、剪应力流的方向与扭矩的方向一致。二、开口薄壁截面杆在自由扭转时的剪应力分布如图（二、开口薄壁截面杆在自由扭转时的剪应力分布如图（a），），厚厚 度中点处，应力为零。度中点处，应力为零。38 开口和闭合薄壁截面在自由扭转时的应力开

18、口和闭合薄壁截面在自由扭转时的应力三、闭口薄壁截面杆在自由扭转时的剪应力分布如图（三、闭口薄壁截面杆在自由扭转时的剪应力分布如图（b b），），同同 一厚度处，应力均匀分布。一厚度处，应力均匀分布。狭长矩形截面狭长矩形截面 厚度厚度ha=b=0.333 狭长矩形截面狭长矩形截面h矩形截面结论延伸矩形截面结论延伸矩形截面结论延伸矩形截面结论延伸若面积及相同则 max相同矩形截面结论延伸矩形截面结论延伸开口与闭口薄壁圆环的扭转剪应力开口与闭口薄壁圆环的扭转剪应力开口与闭口薄壁圆环的扭转剪应力开口与闭口薄壁圆环的扭转剪应力 习题习题3-7，3-8，3-17,(3-22)20080例例6：联轴器，轴与

19、圆盘用键联结；两个圆盘用：联轴器，轴与圆盘用键联结；两个圆盘用4个直径个直径d=16mm的螺栓联结。轴：转速的螺栓联结。轴：转速 n=170转转/分，分，键和螺栓的许用力：键和螺栓的许用力：，试求联轴器所能传递的最大功率。试求联轴器所能传递的最大功率。1401412解：先按解：先按轴的强度轴的强度求传递功率求传递功率N1401412再再校核键和螺栓的强度：校核键和螺栓的强度：1.校核键的剪切和挤压强度键键满足强度要求满足强度要求R为圆轴的半径为圆轴的半径14014122.校核螺栓的剪切强度（本题未给出螺栓的工作长度，故不校核螺栓的挤压强度。）设设每一个螺栓所受剪力为每一个螺栓所受剪力为Q1,由由平衡条件得平衡条件得:综合以上分析得轴能传递的最大功率综合以上分析得轴能传递的最大功率:1401412