理论力学(第三版)第5章第3节拉格朗日方程课件.ppt

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1、第五章第五章分析力学分析力学拉格朗日拉格朗日 达朗贝尔原理达朗贝尔原理 基本拉格朗日方程基本拉格朗日方程 保守系的拉格朗日方程保守系的拉格朗日方程导读导读5.3 拉格朗日方程拉格朗日方程 循环积分循环积分 广义速度广义速度 广义动量广义动量按照牛顿运动定律按照牛顿运动定律,力学系统的第力学系统的第i质点的运动方程是质点的运动方程是只要把最后一项理解为一种力只要把最后一项理解为一种力,上式就变为平衡方程的上式就变为平衡方程的类型类型.事实上事实上,研究第研究第i个质点的运动时个质点的运动时,若选用跟随这个若选用跟随这个质点一同平动的参考系统质点一同平动的参考系统,这个质点显然是这个质点显然是(相

2、对相对)静止的静止的,它应当遵守平衡方程它应当遵守平衡方程.最后一项就是惯性力最后一项就是惯性力.这就叫做这就叫做达达朗贝尔原理朗贝尔原理.达朗贝尔达朗贝尔-拉格朗日方程拉格朗日方程1 1 达朗贝尔原理达朗贝尔原理 达达朗朗伯伯原原理理是是以以牛牛顿顿定定律律加加上上理理想想约约束束假假定定作作为为逻逻辑辑推推理理的的出出发发点点导导出出的的.从从这这个个基基本本法法出出发发再再利利用用约约束束对对虚虚位位移移的的限限制制关关系系式式,可可以以导导出出力力学学系系统统的的动动力力学学方方程程，从从而而概概括括了了力力学学系系统统的的运运动动规规律律.由由于于约约束束的的性性质质是是纯纯几几何何

3、的的或或运运动动学学的的,因因此此可可认认为为真真正正作作为为动动力力学学理理论论的的逻逻辑辑出出发发点点就就是是这这个个基基本本方方程程,故故称称之之为为“原原理理”.这这比比承承认认牛牛顿顿运运动动定定律律再再加加上上理理想想约约束束假假定定作作为为出出发发点点更更为为简简洁洁和和富富有有概概括括性性.当当存存在在非非理理想想约约束束时时,达达朗朗贝贝尔尔原原理理也也适适用用,它它可可叙叙述述为为：主主动动力力和和非非理理想想约约束束力力及及惯惯性性力力的的虚虚功功之之和和为为零零.对对于于完完整整约约束束或或非非完完整整约约束束,这这个个原原理理都都适适用用,因此它可以称为因此它可以称为

4、分析动力学的普遍原理分析动力学的普遍原理.动力学普遍方程的直角坐标形式动力学普遍方程的直角坐标形式动力学普遍方程的直角坐标形式动力学普遍方程的直角坐标形式适用于具有稳定（或非非稳定）约束的系统；适用于具有稳定（或非非稳定）约束的系统；适用于具有稳定（或非非稳定）约束的系统；适用于具有稳定（或非非稳定）约束的系统；适用于具有完整（或非完整）约束的系统；适用于具有完整（或非完整）约束的系统；适用于具有完整（或非完整）约束的系统；适用于具有完整（或非完整）约束的系统；适用于具有保守力（或非保守力）的系统适用于具有保守力（或非保守力）的系统适用于具有保守力（或非保守力）的系统适用于具有保守力（或非保守

5、力）的系统.适用于具有理想约束或双面约束的系统；适用于具有理想约束或双面约束的系统；适用于具有理想约束或双面约束的系统；适用于具有理想约束或双面约束的系统；2 动力学普遍方程动力学普遍方程 达朗贝尔拉格朗日方程主要应用于求解动力达朗贝尔拉格朗日方程主要应用于求解动力学第二类问题，即：已知主动力求系统的运动规学第二类问题，即：已知主动力求系统的运动规律律.应用达朗贝尔拉格朗日方程求解系统运动应用达朗贝尔拉格朗日方程求解系统运动规律时，重要的是正确分析运动，并在系统上施规律时，重要的是正确分析运动，并在系统上施加惯性力加惯性力.由于达朗贝尔拉格朗日方程中不包含约束由于达朗贝尔拉格朗日方程中不包含约

6、束力，因此，不需要解除约束，也不需要将系统拆力，因此，不需要解除约束，也不需要将系统拆开开.应用达朗贝尔拉格朗日方程时，需要正确应用达朗贝尔拉格朗日方程时，需要正确分析主动力和惯性力作用点的虚位移，并正确计分析主动力和惯性力作用点的虚位移，并正确计算相应的虚功算相应的虚功.例题例题1离心调速器离心调速器离心调速器离心调速器已知：已知：已知：已知：MM1 1为为为为球球球球A A、B B 的质量；的质量；的质量；的质量；m m2 2为为为为重锤重锤重锤重锤C C 的质量；的质量；的质量；的质量；l l为为为为杆件的长度；杆件的长度；杆件的长度；杆件的长度；为为为为O O1 1 y y1 1轴的旋

7、转角速度轴的旋转角速度轴的旋转角速度轴的旋转角速度.求：求：求：求：的关系的关系的关系的关系.BACllllO O1 1x x1 1y y1 13 应用举例 解：不考虑摩擦力，这一系统的约束为理想约束；系解：不考虑摩擦力，这一系统的约束为理想约束；系解：不考虑摩擦力，这一系统的约束为理想约束；系解：不考虑摩擦力，这一系统的约束为理想约束；系统具有一个自由度统具有一个自由度统具有一个自由度统具有一个自由度.取广义坐标取广义坐标取广义坐标取广义坐标 q q=(1)(1)分析运动、确定惯性力分析运动、确定惯性力分析运动、确定惯性力分析运动、确定惯性力 球球球球A A、B B绕绕绕绕 y y轴等速转动

8、；重锤静止不动。轴等速转动；重锤静止不动。轴等速转动；重锤静止不动。轴等速转动；重锤静止不动。球球球球A A、B B的惯性力为的惯性力为的惯性力为的惯性力为(2)(2)给系统有一虚位移给系统有一虚位移给系统有一虚位移给系统有一虚位移 。A A、B B、C C 三处的虚位移分别为三处的虚位移分别为三处的虚位移分别为三处的虚位移分别为 r rA A、r rB B、r rC C CllllO1x x1 1y y1 1ABFIBFIAm1 gm1 gm2 g rB rA rC (3)(3)应用达朗贝尔拉格朗日方程应用达朗贝尔拉格朗日方程应用达朗贝尔拉格朗日方程应用达朗贝尔拉格朗日方程 根据几何关系，有

9、根据几何关系，有根据几何关系，有根据几何关系，有 CllllO1x x1 1y y1 1ABFIBFIAm1 gm1 gm2 g rB rA rC例题2 质量为质量为质量为质量为m m1 1的的的的三棱柱三棱柱三棱柱三棱柱ABCABC通过滚通过滚通过滚通过滚轮搁置在光滑的水平面上轮搁置在光滑的水平面上轮搁置在光滑的水平面上轮搁置在光滑的水平面上.质量为质量为质量为质量为m m2 2、半径为、半径为、半径为、半径为R R的均质圆轮沿的均质圆轮沿的均质圆轮沿的均质圆轮沿三棱柱三棱柱三棱柱三棱柱的斜面的斜面的斜面的斜面ABAB无滑动地滚下无滑动地滚下无滑动地滚下无滑动地滚下.求：求：求：求：(1)(

10、1)三棱柱后退的加三棱柱后退的加三棱柱后退的加三棱柱后退的加速度速度速度速度a a1 1;(2)(2)圆轮质心圆轮质心圆轮质心圆轮质心C C2 2相对于相对于相对于相对于三三三三棱柱加速度棱柱加速度棱柱加速度棱柱加速度a ar r.xyC2DC1ACB O解：解：解：解：(1)(1)分析运动分析运动分析运动分析运动三棱柱作平移，加速度为三棱柱作平移，加速度为三棱柱作平移，加速度为三棱柱作平移，加速度为 a a1 1.圆轮作平面运动，质心的牵连加速度为圆轮作平面运动，质心的牵连加速度为圆轮作平面运动，质心的牵连加速度为圆轮作平面运动，质心的牵连加速度为a ae e=a a1 1 ；质心的质心的质

11、心的质心的相对加速度为相对加速度为相对加速度为相对加速度为a ar r；圆轮的角加速度为圆轮的角加速度为圆轮的角加速度为圆轮的角加速度为 2 2.(2)(2)施加惯性力施加惯性力施加惯性力施加惯性力xyC2DC1ACB Om1gm2ga1aeF12F11M12 2(3)(3)确定虚位移确定虚位移确定虚位移确定虚位移 考察三棱柱和圆盘组成的考察三棱柱和圆盘组成的考察三棱柱和圆盘组成的考察三棱柱和圆盘组成的系统，系统具有两个自由度系统，系统具有两个自由度系统，系统具有两个自由度系统，系统具有两个自由度xyC2DC1ACB Om1gm2gF12rF12F11M12 x (4)(4)应用达朗贝尔拉格朗

12、日方程应用达朗贝尔拉格朗日方程应用达朗贝尔拉格朗日方程应用达朗贝尔拉格朗日方程求解联立方程，得求解联立方程，得求解联立方程，得求解联立方程，得xyC2DC1ACB Om1gm2gF12rF12F11M12 x 由于约束条件由于约束条件,n个矢径并不独立个矢径并不独立.现在引入独立的广义现在引入独立的广义坐标坐标q 把矢径用广义坐标表示出：把矢径用广义坐标表示出：对时间求导对时间求导因为位矢只是广义坐标和时间的函数因为位矢只是广义坐标和时间的函数,它对广义坐标的它对广义坐标的偏导数也是广义坐标和时间的函数偏导数也是广义坐标和时间的函数,因此速度就是广义因此速度就是广义坐标、广义速度以及时间的函数

13、坐标、广义速度以及时间的函数,但是位矢对时间和广但是位矢对时间和广义坐标的偏导数并不是广义速度的函数义坐标的偏导数并不是广义速度的函数.4 4 基本形式的拉格朗日方程基本形式的拉格朗日方程因为广义速度也是独立的因为广义速度也是独立的,所以所以再来看位矢对广义坐标的偏导数的时间变化率再来看位矢对广义坐标的偏导数的时间变化率即位矢对广义坐标的偏导数和对时间的偏导数可以即位矢对广义坐标的偏导数和对时间的偏导数可以对易对易这样把广义坐标表示代入达朗贝尔这样把广义坐标表示代入达朗贝尔-拉格朗日方程拉格朗日方程,考虑考虑(5.24)和和(5.25)式式上式中的两个括号正是力学系统的动能上式中的两个括号正是

14、力学系统的动能T,所以所以拉拉格朗日方程格朗日方程 这这里里已已经经甩甩掉掉了了虚虚位位移移.因因为为T 和和Q 都都是是t,q 和和它它的的时时间间变变化化率率的的已已知知函函数数,所所以以这这是是关关于于s 个个未未知知函函数数q(t)的的常常微微分分方方程程组组,其其中中每每个个方方程程一一般般都都含含有有这这s 个个未知函数的二阶导数未知函数的二阶导数.叫叫广义动量广义动量叫广义速度叫广义速度叫叫拉拉格朗日格朗日力力Q 叫叫广义力广义力广义动量时间变化率等广义主动力与拉格朗日力之和广义动量时间变化率等广义主动力与拉格朗日力之和所以所以注意注意：拉格朗日方程在数学上是拉格朗日方程在数学上

15、是q 的常微分方程的常微分方程,在物理上在物理上是实际运动所遵从的运动定律是实际运动所遵从的运动定律.(1)方程中的方程中的 d/dt 运算当然是把描写实际运动的运算当然是把描写实际运动的q 当作当作时间时间t的函数的函数q(t),(2)而广义速度则是而广义速度则是q(t)的时间变化率的时间变化率.(3)可是可是,为了具体写出为了具体写出(5.27)式式,必须先计算必须先计算T(q ,dq/dt,t)的偏导数的偏导数dT/dq 和和dT/d(dq/dt),(4)在作这种运算时在作这种运算时,是把广义坐标、广义速度和时间是把广义坐标、广义速度和时间当作独立变数看待的当作独立变数看待的,也就是说也

16、就是说,不把不把q 作为时间的作为时间的函数，也不把广义速度作为函数，也不把广义速度作为q 的时间变化率的时间变化率.这这是是怎怎么么回回事事?原原来来,作作为为研研究究问问题题的的出出发发点点,我我们们并并不不局局限限于于实实际际实实现现的的运运动动情情况况,而而是是考考虑虑瞬瞬时时“冻冻结结”了了的的约约束束条条件件所所允允许许的的一一切切可可能能的的运运动动情情况况(虚虚位位移移概概念念就就是是这这样样引引入入的的).q 并并不不是是指指某某个个时时刻刻的的实实际际的的广广义义坐坐标标,而而是是约约束束条条件件所所允允许许的的任任意意的的广广义义坐坐标标,所所以以它它不不是是时时间间的的

17、函函数数.广广义义速速度度也也是是约约束束条条件件所所允允许许的的任任意意的的广广义义速速度度,所所以以它它也也不不是是广广义义坐坐标标时时间间变变化率化率,而是独立于广义坐标的而是独立于广义坐标的.对于只具有完整约束、自由度为对于只具有完整约束、自由度为对于只具有完整约束、自由度为对于只具有完整约束、自由度为N N的系统，可以得到的系统，可以得到的系统，可以得到的系统，可以得到由由由由N N个拉格朗日方程组成的方程组个拉格朗日方程组成的方程组个拉格朗日方程组成的方程组个拉格朗日方程组成的方程组.应用拉格朗日方程，一般应遵循以下应用拉格朗日方程，一般应遵循以下应用拉格朗日方程，一般应遵循以下应

18、用拉格朗日方程，一般应遵循以下步骤：步骤：步骤：步骤：判断约束性质是否完整、主动力是否有势，决定采判断约束性质是否完整、主动力是否有势，决定采判断约束性质是否完整、主动力是否有势，决定采判断约束性质是否完整、主动力是否有势，决定采用哪一种形式的拉格朗日方程用哪一种形式的拉格朗日方程用哪一种形式的拉格朗日方程用哪一种形式的拉格朗日方程.确定系统的自由度，选择合适的广义坐标确定系统的自由度，选择合适的广义坐标确定系统的自由度，选择合适的广义坐标确定系统的自由度，选择合适的广义坐标.按照所选择的广义坐标，写出系统的动能、势能或按照所选择的广义坐标，写出系统的动能、势能或按照所选择的广义坐标，写出系统

19、的动能、势能或按照所选择的广义坐标，写出系统的动能、势能或广义力广义力广义力广义力.将动能或拉格朗日函数、广义力代入拉格朗日方程将动能或拉格朗日函数、广义力代入拉格朗日方程将动能或拉格朗日函数、广义力代入拉格朗日方程将动能或拉格朗日函数、广义力代入拉格朗日方程.5 拉格朗日方程的应用例例1 试推导平面极坐标中的质点运动方程试推导平面极坐标中的质点运动方程解解:这里有两个自由度这里有两个自由度,广义坐标即极径广义坐标即极径 和极角和极角.径向速径向速度和横向速度分别是度和横向速度分别是广义动量为广义动量为它们分别是径向动量和相对于极点的角动量它们分别是径向动量和相对于极点的角动量.拉格朗日力拉格

20、朗日力为为前一个是质点绕极点运动的惯性离心力前一个是质点绕极点运动的惯性离心力.广义力广义力Q ,Q 可利用虚功来求可利用虚功来求.先令先令 =0,虚功虚功 W=F r=F ,得到得到Q =F .这是力的径向分量这是力的径向分量.同理同理 先令先令 =0,利用虚功利用虚功得到得到Q=F .这是相对极点的这是相对极点的力矩力矩.例例2 如果某一广义坐标如果某一广义坐标q ,反映力学系统的整体平移反映力学系统的整体平移,其平移方向沿着单位矢量其平移方向沿着单位矢量 (如图如图).即即其中其中q代表代表q 以外的所有各广义坐标以外的所有各广义坐标,dq 则是所有质则是所有质点的共同平移点的共同平移.

21、在这情况下在这情况下,相应的广义动量相应的广义动量这正是力学系统的动这正是力学系统的动量量在在 方向的分量方向的分量.同理可以证明同理可以证明相应的广义力是主动力之和在相应的广义力是主动力之和在n方向的分量方向的分量.(课下作业课下作业)q 是系统绕转动轴转过的角度是系统绕转动轴转过的角度,此时此时相应的广义动量相应的广义动量例例3 如广义坐标如广义坐标q ,反映系统的整体转动反映系统的整体转动,其转动轴沿着其转动轴沿着单位矢量单位矢量 ,则则这正是力学系统的角动量上在这正是力学系统的角动量上在 方向的分量方向的分量,即力学系统即力学系统对对n轴的角动量轴的角动量.相应广义力相应广义力Q 为为

22、 当主动力当主动力 全是保守力时全是保守力时,存在一个势能函数存在一个势能函数V(r1,r2,rn,t)使使则则,广义力为广义力为拉格朗日方程就可以改写为拉格朗日方程就可以改写为6 6 保守系的拉格朗日方程保守系的拉格朗日方程因为势能中一般不包括广义速度因为势能中一般不包括广义速度,令令 代表系统代表系统的动能和势能之差的动能和势能之差,则则则则(5.28)式变为式变为这是保守系的拉格朗日方程这是保守系的拉格朗日方程,L叫拉格朗日函数叫拉格朗日函数.通常定义广义动量通常定义广义动量 所以所以,广义动量的时间变化率等于广义力广义动量的时间变化率等于广义力例题例题1 1 质量为质量为质量为质量为m

23、 m、长度为、长度为、长度为、长度为l l的均质杆的均质杆的均质杆的均质杆ABAB可以绕可以绕可以绕可以绕A A端的端的端的端的铰链在平面内转动铰链在平面内转动铰链在平面内转动铰链在平面内转动.A A端的小圆轮与端的小圆轮与端的小圆轮与端的小圆轮与劲劲劲劲度系数为度系数为度系数为度系数为k k的弹簧相连，并可在滑槽内上下滑动的弹簧相连，并可在滑槽内上下滑动的弹簧相连，并可在滑槽内上下滑动的弹簧相连，并可在滑槽内上下滑动.弹簧的弹簧的弹簧的弹簧的原长为原长为原长为原长为l l0 0.求：系统的运动微分方程求：系统的运动微分方程.解：解：解：解：(1)1)系统的约束为完整约束，系统的约束为完整约束

24、，系统的约束为完整约束，系统的约束为完整约束，主动力为有势力主动力为有势力主动力为有势力主动力为有势力.(2)系统具有两个自由度，广义系统具有两个自由度，广义系统具有两个自由度，广义系统具有两个自由度，广义坐标选择为坐标选择为坐标选择为坐标选择为q q=(x x,),x x 坐标的坐标的坐标的坐标的原点取在弹簧原长的下方原点取在弹簧原长的下方原点取在弹簧原长的下方原点取在弹簧原长的下方.xOxl0ABCk(3)(3)计算系统的动能：不计弹簧的计算系统的动能：不计弹簧的计算系统的动能：不计弹簧的计算系统的动能：不计弹簧的质量，系统的动能即为质量，系统的动能即为质量，系统的动能即为质量，系统的动能

25、即为ABAB杆的动杆的动杆的动杆的动能能能能xOxl0ABCk 系统的势能由弹簧势能与重力势能所系统的势能由弹簧势能与重力势能所系统的势能由弹簧势能与重力势能所系统的势能由弹簧势能与重力势能所组成，以组成，以组成，以组成，以O O点为共同的势能零点点为共同的势能零点点为共同的势能零点点为共同的势能零点拉格朗日函数拉格朗日函数拉格朗日函数拉格朗日函数(4)(4)应用拉格朗日方程运动微分方程应用拉格朗日方程运动微分方程应用拉格朗日方程运动微分方程应用拉格朗日方程运动微分方程xOxl0ABCk例题例题2 不可伸缩的柔软轻绳绕过两个定滑轮和一个动滑轮不可伸缩的柔软轻绳绕过两个定滑轮和一个动滑轮(图图)

26、,滑轮的重量很轻滑轮的重量很轻,质量为质量为m1,m2和和m3的物体分别悬挂的物体分别悬挂于绳的两端和动滑轮下于绳的两端和动滑轮下.求各物体的加速度求各物体的加速度.解解:三个物体作上下方向的一维运三个物体作上下方向的一维运动动,又受到一不可伸缩的绳的限制又受到一不可伸缩的绳的限制,因此只有因此只有2个自由度个自由度.取左右两边的绳长取左右两边的绳长l1和和l2作为力学系作为力学系统的广义坐标统的广义坐标.l1+2l3+l2=常数常数l.三个物体受到的都是重力三个物体受到的都是重力,是保守系统是保守系统,所以所以l1l3l3l2m2m1m3拉格朗日方程给出拉格朗日方程给出所以所以BAkOr0

27、例题例题例题例题3 3 均质杆均质杆均质杆均质杆OAOA，重量为重量为重量为重量为WW，长，长，长，长度为度为度为度为l l绕绕绕绕O O作定轴转动作定轴转动作定轴转动作定轴转动.重量同为重量同为重量同为重量同为WW的的的的滑块滑块滑块滑块B B套在套在套在套在OAOA杆上，可在杆上，可在杆上，可在杆上，可在OBOB杆上滑杆上滑杆上滑杆上滑动动动动.劲劲劲劲度系数为度系数为度系数为度系数为k k、不计质量的弹簧，、不计质量的弹簧，、不计质量的弹簧，、不计质量的弹簧，两端分别与两端分别与两端分别与两端分别与A A、B B相连相连相连相连.弹簧未变形弹簧未变形弹簧未变形弹簧未变形时，时，时，时，O

28、BOBr r0 0.求：系统的运动微分方程求：系统的运动微分方程求：系统的运动微分方程求：系统的运动微分方程(摩擦摩擦摩擦摩擦忽略不计忽略不计忽略不计忽略不计).).解：解：解：解：(1)(1)系统的约束为完整约束，且主动力有势系统的约束为完整约束，且主动力有势系统的约束为完整约束，且主动力有势系统的约束为完整约束，且主动力有势.(2)(2)系统的自由度系统的自由度系统的自由度系统的自由度N N2.2.取广义坐标取广义坐标取广义坐标取广义坐标 q q=(r r,).).(3)(3)确定系统的动能和势能：确定系统的动能和势能：确定系统的动能和势能：确定系统的动能和势能：零势能取弹簧原长及水平线零

29、势能取弹簧原长及水平线零势能取弹簧原长及水平线零势能取弹簧原长及水平线,则则则则应用拉格朗日方程建立系统的运动微分方程求解应用拉格朗日方程建立系统的运动微分方程求解应用拉格朗日方程建立系统的运动微分方程求解应用拉格朗日方程建立系统的运动微分方程求解:BAkOr0BrWWFF例题例题4 图示系统中，物块图示系统中，物块A与球与球B看成两个质点，质看成两个质点，质量分别为量分别为 ,用质量不计的长为用质量不计的长为 l 的杆相连的杆相连.水水平面光滑，求系统的运动微分方程平面光滑，求系统的运动微分方程.解：解：系统受理想约束系统受理想约束,主动力主动力(重力重力)有势有势.系统系统的自由度为的自由

30、度为2,选选 x,为广义坐标为广义坐标.椭圆摆椭圆摆代入拉格朗日方程代入拉格朗日方程系统运动微分方程系统运动微分方程 小小 结结达朗贝尔达朗贝尔-拉格朗日方程拉格朗日方程拉拉格朗日方程格朗日方程叫叫广义动量广义动量叫广义速度叫广义速度叫叫拉拉格朗日格朗日力力Q 叫叫广义力广义力这是保守系的拉格朗日方程这是保守系的拉格朗日方程,L=T-V拉格朗日函数拉格朗日函数.附：拉格朗日介绍（Lagrange,Joseph-Louis）是法国数学家、力学家、天文学家.1736年1月25日生于意大利西北部的都灵；1813年4月10日卒于巴黎.拉格朗日在中学时代读了天文学家哈雷写的一篇谈论计算方法的小品文在解决

31、求光学玻璃的焦点问题时，近世代数优越性的一个实例之后，就对数学和天文学发生了兴趣，不久进入都灵皇家炮兵学院学习.通过自学的方式钻研数学，尚未毕业就担任了该院的部分数学教学工作.18岁时开始撰写论文，19岁被正式聘任为该院的数学教授.1755年，拉格朗日开始和欧拉通信讨论“等周问题”，从而奠定了变分法的基础.拉格朗日最得意的著作是分析力学，撰写这部巨著，他倾注了大量的智慧和精力，整整经历了37个春秋.在这部著作中，他利用变分原理建立了优美、和谐的力学体系，把宇宙描绘成为一个由数字和方程组成的有节奏的旋律.这部著作里的精辟论述，使得动力学这门科学达到了登峰造极的地步，它还把固体力学和流体力学这两个分支统一了起来，从而奠定了现代力学的基础.哈密顿(Hamilton)把这部著作誉之为一部“科学诗篇”.拉格朗日1759年被选为柏林科学院院士，1772年被选为法国科学院院士，1776年被选为彼得堡科学院名誉院士，1766一1786年担任柏林科学院的主席.“我此生没有什么遗憾，死亡并不可怕，它我此生没有什么遗憾，死亡并不可怕，它只不过是我要遇到的最后一个函数只不过是我要遇到的最后一个函数”.