概率论与数理统计复习资料.ppt

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1、广广东东工工业业大大学学1.事件的关系、运算、运算法则事件的关系、运算、运算法则2.几何概型几何概型1.加法定理加法定理2.对立事件概率公式对立事件概率公式3.条件概率条件概率4.事件的独立性事件的独立性 1.伯努利试验伯努利试验2.二项分布的分布律、期望、方差二项分布的分布律、期望、方差3.泊松分泊松分布的分布律、期望、方差布的分布律、期望、方差4.期望方差的性质、计算期望方差的性质、计算1.分布函数的定义、性质（无穷远的取值）分布函数的定义、性质（无穷远的取值）2.一维连续型随机一维连续型随机变量分布函数和密度函数的关系变量分布函数和密度函数的关系3.连续型随机变量的分布函数连续型随机变量

2、的分布函数是连续函数是连续函数4.均匀分布的密度函数、求事件的概率均匀分布的密度函数、求事件的概率5.正态分布正态分布标准化、求事件概率标准化、求事件概率1.二维均匀分布的密度函数、求事件的概率二维均匀分布的密度函数、求事件的概率2.二维正态分二维正态分布各参数的意义布各参数的意义3二维离散型随机变量联合概率分布的性二维离散型随机变量联合概率分布的性质、边缘分布、独立性、期望方差协方差相关系数质、边缘分布、独立性、期望方差协方差相关系数4.二维二维连续型随机变量的边缘密度、独立性、随机变量函数的连续型随机变量的边缘密度、独立性、随机变量函数的密度函数密度函数5期望方差协方差相关系数的定义、性质

3、、计算期望方差协方差相关系数的定义、性质、计算6.中心极限定理中心极限定理广广东东工工业业大大学学事件间的关系与运算事件间的关系与运算事件间的关系与运算事件间的关系与运算一一一一.事件的关系：包含关系事件的关系：包含关系事件的关系：包含关系事件的关系：包含关系,相等关系，不相容关系，对立关系相等关系，不相容关系，对立关系相等关系，不相容关系，对立关系相等关系，不相容关系，对立关系二二二二.事件的运算：并（和）事件的运算：并（和）事件的运算：并（和）事件的运算：并（和）,交（积）交（积）交（积）交（积）三三三三.事件间的运算律：交换律，结合律，分配律，对偶律事件间的运算律：交换律，结合律，分配律

4、，对偶律事件间的运算律：交换律，结合律，分配律，对偶律事件间的运算律：交换律，结合律，分配律，对偶律事件的独立性：事件的独立性：事件的独立性：事件的独立性：P(AB)=P(A)P(B)，几何概型几何概型几何概型几何概型:均匀分布的模型均匀分布的模型均匀分布的模型均匀分布的模型一、一、一、一、二、二、二、二、三、三、三、三、四、四、四、四、广广东东工工业业大大学学n重贝努利试验中，事件重贝努利试验中，事件A出现的次数为随机变量出现的次数为随机变量，服，服从二项分布从二项分布 分布律为：分布律为：称结果只有两个的试验为一个伯努利试验。称结果只有两个的试验为一个伯努利试验。独立重复进行独立重复进行n

5、次贝努利试验次贝努利试验,简称简称n重贝努利试验。重贝努利试验。P=k=期望期望E=np，方差，方差D=npq.一、一、一、一、二、二、二、二、三、三、三、三、四、四、四、四、五、五、五、五、广广东东工工业业大大学学一、一、一、一、二、二、二、二、三、三、三、三、四、四、四、四、广广东东工工业业大大学学 的分布函数的分布函数分布函数与密度函数的关系分布函数与密度函数的关系连续型随机变量的分布函数是连续函数连续型随机变量的分布函数是连续函数均匀分布均匀分布 ,事件的概率等于长度比事件的概率等于长度比一、一、一、一、二、二、二、二、三、三、三、三、四、四、四、四、五、五、五、五、六、六、六、六、广

6、广东东工工业业大大学学正态分布正态分布 ,第一个参数是期望，第二个参数是方第一个参数是期望，第二个参数是方差。差。称为标准正态分布称为标准正态分布称为正态分布的称为正态分布的标准化。标准化。正态分布的概率计算方法：正态分布的概率计算方法：1.转化为标准正态分布转化为标准正态分布2.负的转化成正的负的转化成正的查表计算。查表计算。一、一、一、一、二、二、二、二、三、三、三、三、四、四、四、四、广广东东工工业业大大学学二维均匀分布，事件概率等于面积比二维均匀分布，事件概率等于面积比二维正态分布，前面两个是期望，接下去两个方差，二维正态分布，前面两个是期望，接下去两个方差，最后一个是相关系数。最后一

7、个是相关系数。的联合密度函数为的联合密度函数为一、一、一、一、二、二、二、二、广广东东工工业业大大学学二维离散型随机变量函数联合概率分布的性质二维离散型随机变量函数联合概率分布的性质(1)(2)随机变量随机变量 的边缘概率分布律为的边缘概率分布律为离散型随机变量相互独立的充要条件离散型随机变量相互独立的充要条件求期望方差协方差相关系数求期望方差协方差相关系数一、一、一、一、二、二、二、二、三、三、三、三、四、四、四、四、广广东东工工业业大大学学二维连续型随机变量函数的性质二维连续型随机变量函数的性质边缘密度函数边缘密度函数连续型随机变量相互独立的充要条件连续型随机变量相互独立的充要条件设二维连

8、续型随机变量设二维连续型随机变量 的联合密度函数为的联合密度函数为求求 的密度函数的密度函数.思路思路:先求分布函数先求分布函数 ,再求密度函数再求密度函数 .从而由分布函数与密度函数的关系得从而由分布函数与密度函数的关系得 由分布函数的定义由分布函数的定义,有有 一、一、一、一、二、二、二、二、三、三、三、三、四、四、四、四、广广东东工工业业大大学学 若随机变量若随机变量 相互独立相互独立,则有则有 若若 是两两独立的随机变量，则有是两两独立的随机变量，则有一、一、一、一、二、二、二、二、三、三、三、三、四、四、四、四、五、五、五、五、六、六、六、六、七、七、七、七、广广东东工工业业大大学学

9、独立同分布下的中心极限定理独立同分布下的中心极限定理 当当n充分大时，充分大时，n个具有期望和方差的独立同分布的随机变量个具有期望和方差的独立同分布的随机变量 之和近似服从正态分布之和近似服从正态分布.剩下来的问题就是正态分布求事件的剩下来的问题就是正态分布求事件的概率。概率。一、一、一、一、广广东东工工业业大大学学例例 设设A,B为随机事件为随机事件,且且令令求求:(I)二维随机变量二维随机变量 的概率分布的概率分布;(II)X与与Y的相关系数的相关系数.例例 设二维随机变量设二维随机变量 的概率分布为的概率分布为0100.410.1已知随机事件已知随机事件 与与 相互独立相互独立,求求广广

10、东东工工业业大大学学P6 P6 例例4 4P20 P20 例例1414P115 7,15,16P115 7,15,16，2020P165 13,14,19,22,33,36P165 13,14,19,22,33,36广广东东工工业业大大学学1.样本样本2.样本均值的定义、期望、方样本均值的定义、期望、方差差3.样本方差的定义、期望样本方差的定义、期望4.，t分布的定义分布的定义5.，t分布以及标准分布以及标准正态分布的上侧分位点正态分布的上侧分位点6.关于单个正关于单个正态总体的抽样分布的态总体的抽样分布的4个结果个结果1.矩估计矩估计 2.最大似然估计最大似然估计3.无偏性无偏性4.置信区间

11、置信区间5.假设检验假设检验广广东东工工业业大大学学样本样本 1、总体的分布、总体的分布 从总体中随机抽取一个个体的数量指标从总体中随机抽取一个个体的数量指标X，则，则X为一个随为一个随机变量，机变量，X的所有可能的取值的全体就是的所有可能的取值的全体就是总体总体，X的分布也称的分布也称为为总体的分布总体的分布。2、样本、样本 在总体在总体X中，抽取中，抽取n个个体个个体 ，总体总体X的一个的一个样本样本或或子子样，样，n称为称为样本容量样本容量（样本的个数）。（样本的个数）。这这n个个体称为个个体称为3、样本值（样本观测值）、样本值（样本观测值）从总体从总体X中随机抽取的样本中随机抽取的样本

12、 是是n个随机变量。个随机变量。当它们被抽取出来后就是具体数值，常记为当它们被抽取出来后就是具体数值，常记为 ,称为称为 样本值样本值或或样本观测值样本观测值。样本：样本：独立同分布独立同分布 广广东东工工业业大大学学几个常用的统计量几个常用的统计量 （1）样本均值：）样本均值：（2）样本方差：）样本方差：样本均方差（样本标准差）：样本均方差（样本标准差）：定理定理 设设 是取自总体是取自总体X的一个样本的一个样本,则有则有 (1)(2)广广东东工工业业大大学学设设 相互独立且均服从标准正态分布相互独立且均服从标准正态分布,则随机变量则随机变量的分布称为自由度为的分布称为自由度为n的的 分布分

13、布.记为记为 。例例 设总体设总体 为取自总体为取自总体X的样本的样本,令令求常数求常数C，使，使 广广东东工工业业大大学学设设 且且X,Y相互独立，则随机变量相互独立，则随机变量所服从的分布称为自由度为所服从的分布称为自由度为n的的t 分布分布(或称学生氏分布或称学生氏分布),记为记为例例 设设且都服从标准正态分布，且都服从标准正态分布，服从服从（1）若）若服从服从分布分布,（2）若）若相互独立，相互独立，则则则则广广东东工工业业大大学学给定给定 ，若数，若数 使得使得 则称则称 为此概率分布的为此概率分布的 上侧分位点上侧分位点。广广东东工工业业大大学学 标准正态分布的上侧分位点标准正态分

14、布的上侧分位点 （1）（2）t 分布的上侧分位点分布的上侧分位点 （1）（2）直接查表。直接查表。广广东东工工业业大大学学 分布的上侧分位点分布的上侧分位点 广广东东工工业业大大学学定理定理 设总体设总体 ，是是X的一个样本，则的一个样本，则（2）（3）（1）（4）广广东东工工业业大大学学例例 设设是取自总体是取自总体X的样本，的样本，为样本均值，为样本均值，为样本方差，为样本方差，是对是对 X的又一观测值，的又一观测值，服从服从t分布，自由度为分布，自由度为试证明统计量试证明统计量服从服从t分布，自由度为分布，自由度为例例 设设是来自正态总体是来自正态总体的简单随机样本，的简单随机样本，证明

15、统计量证明统计量Z服从自由度为服从自由度为2 2的的t t分布。分布。广广东东工工业业大大学学矩估计的步骤矩估计的步骤:(1)列出矩估计式列出矩估计式.求总体求总体 的期望的期望(2)解上述方程组解上述方程组.将未知参数将未知参数 表示为表示为 的函数的函数(3)求出矩估计求出矩估计.即用样本均值即用样本均值 代替总体期望代替总体期望 得到得到 未知参数的矩估计为未知参数的矩估计为 广广东东工工业业大大学学解题具体步骤：解题具体步骤：a.a.写出似然函数写出似然函数 或者或者b.求对数似然函数求对数似然函数 c.求导并令其导数等于求导并令其导数等于0d.解上述方程。解上述方程。即为即为 的最大

16、似然估计。的最大似然估计。其唯一解其唯一解 最大似然估计法最大似然估计法广广东东工工业业大大学学例例 （0202）设总体设总体X的概率分布为的概率分布为 其中其中 是未知参数，利用总体是未知参数，利用总体X的如下样本值的如下样本值 求求 的矩估计值和最大似然估计值。的矩估计值和最大似然估计值。例例 （9797）设总设总体体X的概率密度函数的概率密度函数为为 其中其中 是未知参数。是未知参数。是取自是取自X的一个样本。的一个样本。分别用矩法估计和最大似然估计法求分别用矩法估计和最大似然估计法求 的估计量的估计量.广广东东工工业业大大学学无偏性无偏性 设设 是参数是参数 的估计量的估计量,若若 则

17、称则称 是是 的的无偏估计无偏估计.例例 设设是正态总体是正态总体 的一个样本。求的一个样本。求适当的常数适当的常数c，使得，使得 为为 的无偏估计。的无偏估计。广广东东工工业业大大学学置信区间与置信度置信区间与置信度 设总体设总体X的分布中含有未知参数的分布中含有未知参数 ，若，若 与与 为由样本为由样本 所确定的两个统计量，所确定的两个统计量，若对给定的常数若对给定的常数 有有 则称则称 为参数为参数 的的置信度置信度(置信水平置信水平)为为 的的置信区间置信区间。置信下限置信下限 置信上限置信上限 广广东东工工业业大大学学假设总体假设总体X服从正态分布服从正态分布 是样本是样本.考虑下面

18、几种区间估计考虑下面几种区间估计:（1）已知，求已知，求 的置信区间的置信区间 （2）未知，求未知，求 的置信区间的置信区间 （3）已知，求已知，求 的置信区间的置信区间 （4）未知，求未知，求 的置信区间的置信区间 广广东东工工业业大大学学 未知，求未知，求 的置信区间的置信区间 已知，求已知，求 的置信区间的置信区间 广广东东工工业业大大学学 已知，求已知，求 的置信区间的置信区间 未知，求未知，求 的置信区间的置信区间 广广东东工工业业大大学学例例已知一批零件的长度已知一批零件的长度x（单位：（单位：cm）服从正态分布）服从正态分布从中随机地抽取从中随机地抽取1616个零件，得到长度的平

19、均值为个零件，得到长度的平均值为4040的置信区间是的置信区间是 。（cm），则），则 的置信度为的置信度为0.95 例例 设总体设总体X的样本方差为的样本方差为1，据来自，据来自X的容量为的容量为100的简单随机的简单随机样本，测得均值为样本，测得均值为5，则，则X的期望的置信度近似等于的期望的置信度近似等于0.95的置信的置信区间为区间为 。例例 已知某厂生产的零件已知某厂生产的零件 ，从某天生产的零件中随，从某天生产的零件中随机抽取机抽取4个，得样本观察值个，得样本观察值求求 的置信概率为的置信概率为0.95的置信区间。的置信区间。例例 已知某厂生产的零件已知某厂生产的零件 ，从某天生产

20、的零件中随，从某天生产的零件中随机抽取机抽取4个，得样本观察值个，得样本观察值求求 的置信概率为的置信概率为0.95的置信区间。的置信区间。广广东东工工业业大大学学（1）提出假设）提出假设（2）找统计量；）找统计量；（3）求临界值；）求临界值；对给定的显著性水平，构造拒绝域，求出临界值；对给定的显著性水平，构造拒绝域，求出临界值；（4）求观察值）求观察值 根据给定的样本计算出统计量的观察值；根据给定的样本计算出统计量的观察值；（5）作出判断）作出判断 统计量的观察值落入拒绝域，则拒绝；否则接受。统计量的观察值落入拒绝域，则拒绝；否则接受。假设检验的基本步骤假设检验的基本步骤 要求：在要求：在

21、下的分布知道下的分布知道广广东东工工业业大大学学返回返回 已知方差，检验已知方差，检验 未知方差，检验未知方差，检验 已知期望，检验已知期望，检验 未知期望，检验未知期望，检验广广东东工工业业大大学学 步骤步骤步骤步骤 提出假设：提出假设：找统计量：找统计量：求临界值：求临界值：求观察值：求观察值：作出判断：作出判断：查表得查表得 则拒绝则拒绝 若若 则接受则接受 已知方差，检验已知方差，检验广广东东工工业业大大学学 步骤步骤步骤步骤 提出假设：提出假设：找统计量：找统计量：求临界值：求临界值：求观察值：求观察值：作出判断：作出判断：查表得查表得 则拒绝则拒绝 若若 则接受则接受 未知方差，检

22、验未知方差，检验广广东东工工业业大大学学 步骤步骤步骤步骤 提出假设：提出假设：找统计量：找统计量：求临界值：求临界值：求观察值：求观察值：作出判断：作出判断：若若 则拒绝则拒绝 若若 则接受则接受 接受域接受域接受域接受域 已知期望，检验已知期望，检验广广东东工工业业大大学学 步骤步骤步骤步骤 提出假设：提出假设：找统计量：找统计量：求临界值：求临界值：求观察值：求观察值：作出判断：作出判断：若若 则拒绝则拒绝 若若 则接受则接受 接受域接受域接受域接受域 未知期望，检验未知期望，检验广广东东工工业业大大学学例例 某砖厂生产的砖其抗拉强度某砖厂生产的砖其抗拉强度X服从正态分布服从正态分布 ,

23、今从今从该厂产品中随机抽取该厂产品中随机抽取6块，测得其平均抗拉强度为块，测得其平均抗拉强度为31.13.试检验试检验 这批砖的平均抗拉强度为这批砖的平均抗拉强度为32.5是否成立是否成立,取显著性水平取显著性水平例例 用热敏电阻测温仪间接测量地热勘探井底温度用热敏电阻测温仪间接测量地热勘探井底温度.设测量值设测量值今重复测量今重复测量7次，测得温度如下：次，测得温度如下：112.0，113.4，111.2，112.0，114.5，112.9，113.6而用某种精确方法测量温度的真值而用某种精确方法测量温度的真值 现问用热敏电阻现问用热敏电阻 测温仪间接测量温度测温仪间接测量温度 有无系统偏差

24、？设显著水平有无系统偏差？设显著水平广广东东工工业业大大学学例例 某涤纶厂生产涤纶的纤度，在正常生产的条件下，服从正某涤纶厂生产涤纶的纤度，在正常生产的条件下，服从正某日随机地抽取某日随机地抽取5根纤维，测得纤度为：根纤维，测得纤度为：1.32，1.55，1.36，1.40，1.44问这一天涤纶纤度总体问这一天涤纶纤度总体X的方差是否正常？的方差是否正常？态分布态分布例例 某涤纶厂生产涤纶的纤度，在正常生产的条件下，服从正某涤纶厂生产涤纶的纤度，在正常生产的条件下，服从正某日随机地抽取某日随机地抽取5根纤维，测得纤度为：根纤维，测得纤度为：1.32，1.55，1.36，1.40，1.44问这一天涤纶纤度总体问这一天涤纶纤度总体X的方差是否正常？的方差是否正常？态分布态分布广广东东工工业业大大学学P188 7,11P230 2,5,8,15,16广广东东工工业业大大学学l第1章 古典概型l第2章 全概率公式 贝叶斯公式l第3章 几何分布 超几何分布 负二项分布l第4章 切比雪夫不等式 指数分布l第5章 条件分布 极值分布 大数定律l第6章 F分布 两个正态总体的相关定理l第7章 有效性 一致性 两个正态总体的置信区间假设检验8个填空，每个个填空，每个4分；分；7个计算题个计算题可以带计算器可以带计算器