北科大《材料力学》考点强化教程30.ppt

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1、第十三章第十三章 能量方法能量方法134莫尔积分莫尔积分13补充补充计算莫尔积分的图乘法计算莫尔积分的图乘法134莫尔积分莫尔积分一、推导：一、推导：一、推导：一、推导：方式一：方式一：方式一：方式一：先加先加再加再加方式二：方式二：方式二：方式二：同时加同时加同时加同时加同理：同理：同理：同理：所以：所以：所以：所以：其中，其中，其中，其中，为原载荷引起为原载荷引起的弯矩，的弯矩，为单位载荷单独作用引起的弯矩，为单位载荷单独作用引起的弯矩，注意：注意：注意：注意：单单位位位位载载荷一定要与所求位移在种荷一定要与所求位移在种荷一定要与所求位移在种荷一定要与所求位移在种类类和位置上和位置上和位置

2、上和位置上对应对应二、莫尔积分的应用：二、莫尔积分的应用：二、莫尔积分的应用：二、莫尔积分的应用：1 1、计算梁发生弯曲变形的位移：计算梁发生弯曲变形的位移：2 2、计算小曲率曲梁发生弯曲变形的位移计算小曲率曲梁发生弯曲变形的位移：3 3、计算圆轴发生扭转变形的位移计算圆轴发生扭转变形的位移：4 4、计算杆发生轴向拉压变形的位移计算杆发生轴向拉压变形的位移：5 5、计算绗架节点位移计算绗架节点位移：6 6、计算结构组合变形的位移计算结构组合变形的位移：三、莫尔积分的应用范围：三、莫尔积分的应用范围：三、莫尔积分的应用范围：三、莫尔积分的应用范围：线弹性结构线弹性结构线弹性结构线弹性结构四、四、

3、四、四、的符号的含义：的符号的含义：的符号的含义：的符号的含义：1 1、+：所求位移的实际方向与所加的单位载荷方向相同所求位移的实际方向与所加的单位载荷方向相同2 2、-：所求位移的实际方向与所加的单位载荷方向相反所求位移的实际方向与所加的单位载荷方向相反五、用莫尔积分计算的步骤：五、用莫尔积分计算的步骤：五、用莫尔积分计算的步骤：五、用莫尔积分计算的步骤：1 1、写出结构在原载荷作用下引起的各段的各种内力方程写出结构在原载荷作用下引起的各段的各种内力方程2 2、将结构单独取出将结构单独取出，在结构上施加一与所求位移对应的单位载荷在结构上施加一与所求位移对应的单位载荷3 3、写出结构在单位载荷

4、单独作用下引起的各段的各种内力方程写出结构在单位载荷单独作用下引起的各段的各种内力方程4 4、将同一段的同一种内力方程相乘积分、将同一段的同一种内力方程相乘积分注意：在列原载荷和单位载荷引起的内力方程时，必须注意：在列原载荷和单位载荷引起的内力方程时，必须保证分段相同，并且每段自变量的基准点相同保证分段相同，并且每段自变量的基准点相同A AB BD D求求C C点铅垂位移点铅垂位移C C思考思考:在分别写原载荷和单位载荷引起的弯矩方程时在分别写原载荷和单位载荷引起的弯矩方程时,应分几段应分几段?DPBCA aa例例1:1:已知已知求求:B B点铅垂方向的位移点铅垂方向的位移解解:1):1)求约

5、束反力求约束反力:为此取为此取AB AB 为研究对为研究对象象:BCAP2)2)列原载荷引起的内力方程列原载荷引起的内力方程:CDCD段段:CBCB段段:CACA段段:3)3)施加单位载荷施加单位载荷:DBCA1 14)4)列单位载荷引起的内力方程列单位载荷引起的内力方程:CDCD段段:CBCB段段:CACA段段:5)5)同一段的同一种内力相乘积分同一段的同一种内力相乘积分A AB BC C例例2:2:分析分析:P P原载荷原载荷P P的作用的作用ABAB发生弯曲变形发生弯曲变形BCBC发生弯曲发生弯曲,压缩变形压缩变形A AB BC C1 1求求求求施加单位载荷施加单位载荷施加单位载荷施加单

6、位载荷单位载荷单位载荷1 1的作用的作用ABAB发生弯曲变形发生弯曲变形BCBC发生弯曲发生弯曲,压缩变形压缩变形求求求求施加单位载荷施加单位载荷施加单位载荷施加单位载荷A AB BC C1 1单位力偶的作用单位力偶的作用ABAB不发生变形不发生变形BCBC只发生弯曲变形只发生弯曲变形见书见书P341-P341-例例13.513.5例例3:3:轴线为半圆形平面曲杆如图所示轴线为半圆形平面曲杆如图所示,作用于作用于A A点的点的集中力集中力P P垂直于轴线所在平面垂直于轴线所在平面,求求P P力作用点的垂直位力作用点的垂直位移移.1)1)列原载荷引起的内力方程列原载荷引起的内力方程:2)2)施加

7、单位载荷施加单位载荷:3)3)积分计算位移积分计算位移3)3)列单位载荷引起的内力方程列单位载荷引起的内力方程:例例4 4：试求：试求P P力作用下，力作用下，A A点的竖直位移点的竖直位移分析：分析：因为力与轴线位于同一平面因为力与轴线位于同一平面所以在所以在P P力作用下，只有弯力作用下，只有弯曲变形，即只考虑曲变形，即只考虑弯矩弯矩弯矩弯矩见书见书P342-P342-例例13.613.613补充计算莫尔积分的图乘法补充计算莫尔积分的图乘法一、推导：一、推导：，若，若EIEI为常量，则公式可变形为：为常量，则公式可变形为：二、图乘法的应用：二、图乘法的应用：1 1、计算梁发生弯曲变形的位移

8、：计算梁发生弯曲变形的位移：2 2、计算圆轴发生扭转变形的位移计算圆轴发生扭转变形的位移：3 3、计算杆发生轴向拉压变形的位移计算杆发生轴向拉压变形的位移：4 4、计算结构组合变形的位移计算结构组合变形的位移：三、应用图乘法的注意事项：三、应用图乘法的注意事项：1 1、应用条件、应用条件:在原载荷和单位载荷引起的内力图中在原载荷和单位载荷引起的内力图中,至少有一个为线性函至少有一个为线性函数数2 2、有正负号：有正负号：原载荷与单位载荷引起的内力图在原载荷与单位载荷引起的内力图在X X轴同侧，为正轴同侧，为正原载荷与单位载荷引起的内力图在原载荷与单位载荷引起的内力图在X X轴异侧，为负轴异侧，

9、为负3 3、当、当为一条光滑的的曲线，为一条光滑的的曲线，为一条折线时，为一条折线时，必须以折点为界必须以折点为界,分段分段图图乘乘,即即:可将可将4 4、当、当图很复杂时，图很复杂时，分成若干个简单图形分成若干个简单图形,分部分图乘分部分图乘5 5、若梁的抗弯刚度、若梁的抗弯刚度EIEI在整个梁上呈阶梯变化，则图乘时也要分段在整个梁上呈阶梯变化，则图乘时也要分段6 6、图乘时，只有对同一段梁上的同一种内力才能互乘，、图乘时，只有对同一段梁上的同一种内力才能互乘，注：综合来讲，决定图乘分段的因素有三个：注：综合来讲，决定图乘分段的因素有三个：的折点；的折点；图是否需要划分图是否需要划分为若干简

10、单图形；为若干简单图形；EIEI是否阶梯变化；是否阶梯变化；例例1 1：有图乘法求：有图乘法求解：解：1 1、画原载荷引起的内力图：、画原载荷引起的内力图：（图（图1 1）2 2、求、求施加单位载荷施加单位载荷1 13 3、画单位载荷引起的内力图、画单位载荷引起的内力图（图（图2 2）4 4、图乘：、图乘：（图（图1 1）5 5、求、求施加单位载荷：施加单位载荷：1 15 5、画单位载荷引起的内力图、画单位载荷引起的内力图（图（图3 3）6 6、图乘：、图乘：B BC CD DA A2a2aa aa aP P例例2 2：求：求解：解：1 1、画原载荷引起的内力图、画原载荷引起的内力图B BC CD DA A3Pa3PaPaPa2 2、求、求施加单位力偶施加单位力偶B BC CD DA A3 3、画单位载荷引起的内力图、画单位载荷引起的内力图B BC CD DA A1 11 11 14 4、图乘方法（、图乘方法（1 1）5 5、图乘方法（、图乘方法（2 2）MM图图图图注：当原载荷和单位载荷引起的内力图都是直线时，可以是单位载荷引起内力图的面积可以是单位载荷引起内力图的形心对应到原载荷引起的内力图的纵坐标谢谢谢谢!本章完本章完