大学Matlab课程第3讲控制系统的数学描述与建模.ppt

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1、第二章控制系统的数学描述与建模控制系统的数学描述与建模 引言n控制系统研究中的三大问题控制系统研究中的三大问题 建模建模 分析分析 设计设计CH2、控制系统的数学描述与建模 研究控制系统的数学模型的重要性：研究控制系统的数学模型的重要性：q要对系统进行仿真处理，首先应当知道系统的数学模型，然后才要对系统进行仿真处理，首先应当知道系统的数学模型，然后才可以对系统进行模拟。可以对系统进行模拟。q知道了系统的模型，才可以在此基础上设计一个合适的控制器，知道了系统的模型，才可以在此基础上设计一个合适的控制器，使得系统响应达到预期的效果，从而符合工程实际的需要。使得系统响应达到预期的效果，从而符合工程实

2、际的需要。在线性系统理论中，一般常用的数学模型形式有：在线性系统理论中，一般常用的数学模型形式有：传递函数模传递函数模传递函数模传递函数模型型型型（系统的外部模型）、（系统的外部模型）、状态方程模型状态方程模型状态方程模型状态方程模型（系统的内部模型）、（系统的内部模型）、零极点增益模型、部分分式模型零极点增益模型、部分分式模型零极点增益模型、部分分式模型零极点增益模型、部分分式模型等。这些模型之间都有着内在等。这些模型之间都有着内在的联系，可以相互进行转换。的联系，可以相互进行转换。2.1 常见模型建立n微分方程是控制系统模型的基础；微分方程是控制系统模型的基础；一般来讲，利用机械学、电学、

3、力学等物理规律，便可以得到控制系统的动态方程，这些方程就是系统的微分方程。n控控制制的的分分分分析析析析问问问问题题题题就就是是在在给给定定控控制制输输入入时时，求求解解微微分分方方程程的的解解并并分析其动态特性；分析其动态特性；通通过过拉拉氏氏变变换换和和反反变变换换，可可以以得得到到线线性性定定常常系系统统的的解解析析解解，解解析析解解是是精精确的，然而通常寻找解析解是困难的。确的，然而通常寻找解析解是困难的。MATLAB提供了提供了ode45等微分方程的数值解法函数。等微分方程的数值解法函数。n控控制制系系统统的的综综综综合合合合问问问问题题题题就就是是为为使使微微分分方方程程的的解解达

4、达到到期期望望的的轨轨迹迹，设计微分方程的控制输入。设计微分方程的控制输入。2.1.1 微分方程模型例exp3_1.m电电路路图图如如下下，R=1.4R=1.4欧欧，L=2L=2亨亨，C=0.32C=0.32法法，初初始始状状态态：电电感感电电流流为为零零，电电容容电电压压为为0.5V0.5V，t=0t=0时时刻刻接接入入1V1V的的电电压压，求求0t15s0t15s时时，i i(t)(t)，v vo o(t)(t)的的值，并且画出电流与电容电压的关系曲线。值，并且画出电流与电容电压的关系曲线。n传递函数是经典控制论描述系统的数学模型之一，它表达了输入量和输出量之间的关系。n在Matlab中，

5、可以利用分别定义的传递函数分子、分母多项式对其加以描述。num=c1,c2,cn-1,cn den =1,a1,a2,an-1,an注意：它们都是按s的降幂进行排列的。一、连续系统的传递函数模型一、连续系统的传递函数模型2.1.2 传递函数模型一、一、连续系统的传递函数模型举例举例：2.1.2 传递函数模型已知系统传递函数为：已知系统传递函数为：试在试在Matlab中将上述传递函数模型表示出来。中将上述传递函数模型表示出来。num=2,9;den=1 3 2 4 6;sys1=tf(num,den)一、一、连续系统的传递函数模型举例举例：2.1.2 传递函数模型已知系统传递函数为：已知系统传递

6、函数为：试在试在Matlab中将上述传递函数模型表示出来。中将上述传递函数模型表示出来。num=7*2 3;den=conv(conv(conv(1 0 0,3 1),conv(1 2,1 2),5 0 3 8);sys1=tf(num,den)n在Matlab中，对于离散系统，同样可以建立相应的系统模型。num=cm,cm-1,c1,c0 den =an,an-1,a1,a0 sys=tf(num,den,T)其中，T为系统采样周期。离散系统的脉冲传递函数模型离散系统的脉冲传递函数模型2.1.2 传递函数模型n零极点模型实际上是传递函数模型的另一种表现形式，其原理是分别对原系统传递函数的分子

7、、分母进行分解因式处理，以获得系统的零点和极点的表示形式。二、零极点增益模型二、零极点增益模型式中：K为系统增益，zi为零点，pj为极点v 在MATLAB中，零极点增益模型用z,p,K矢量组表示。即：z=z1,z2,zm p=p1,p2,.,pn K=k sys=zpk(z,p,K)零极点增益模型的Matlab表示举例：举例：num=1,11,30,0;den=1,9,45,87,50;z,p,k=tf2zp(num,den)结果表达式：结果表达式：n控制系统常用到并联系统，这时就要对系统函数进行分解，使其表现为一些基本控制单元的和的形式，也就是部分分式表示，如下式所示：三、部分分式模型三、部

8、分分式模型RMATLAB提供了函数r,p,k=residue(b,a)，它的功能是对两个多项式的比进行部分展开，以及把传递函数分解为微分单元的形式。R其中向量b和a是按s的降幂排列的多项式系数。部分分式展开后，余数返回到向量r，极点返回到列向量p，常数项返回到k.部分分式模型的部分分式模型的MATLABMATLAB表示：表示：举例：举例：num=1,11,30,0;den=1,9,45,87,50;r,p,k=residue(num,den)结果表达式为：结果表达式为：q经典控制理论用传递函数传递函数描述输入输出关系q现代控制理论则用状态空间描述法（状态方程和输出方程）来表达输入输出关系，它揭

9、示了系统内部状态对系统性能的影响。2.1.3 状态空间描述n 在MATLAB中，系统状态空间用（A,B,C,D)矩阵组表示。表达式如下：sys=ss(A,B,C,D)n 对于离散系统，同样可建立系统的状态空间模型：dsys=ss(A,B,C,D,T),T为采样周期2.1.3 状态空间描述举例举例：系统为两输入、两输出系统系统为两输入、两输出系统A=1 6 9 10;3 12 6 8;4 7 9 11;5 12 13 14;B=4 6;2 4;2 2;1 0;C=0 0 2 1;8 0 2 2;D=zeros(2,2);sys=ss(A,B,C,D)2.2 模型的相互转换n描述系统的主要模型有描

10、述系统的主要模型有：传递函数模型零极点模型状态空间模型等n在进行系统分析时，往往需要根据不同的要在进行系统分析时，往往需要根据不同的要求选择不同形式的数学模型求选择不同形式的数学模型。2.2 系统模型的相互转换形式不同，形式不同，实质内容等价实质内容等价ss2tf：状态空间模型转换为传递函数模型状态空间模型转换为传递函数模型ss2zp：状态空间模型转换为零极点增益模型状态空间模型转换为零极点增益模型tf2ss：传递函数模型转换为状态空间模型传递函数模型转换为状态空间模型tf2zp：传递函数模型转换为零极点增益模型传递函数模型转换为零极点增益模型zp2ss：零极点增益模型转换为状态空间模型零极点

11、增益模型转换为状态空间模型zp2tf：零极点增益模型转换为传递函数模型零极点增益模型转换为传递函数模型模型转换函数模型转换函数ss2tfState-space to transfer function conversion.State-space to transfer function conversion.NUM,DEN=SS2TF(A,B,C,D,iu)calculates the transfer function:of the system:from the iuth input.iu用来指定第用来指定第n个输入，当只有一个输入时可忽略。个输入，当只有一个输入时可忽略。用法举例：n例

12、：已知连续系统的系数矩阵如下：求取该系统相应的传递函数模型A=2 0 0;0 4 1;0 0 4;B=1;0;1;C=1 1 0;D=0;num,den=ss2tf(A,B,C,D)G=tf(num,den)A=2 0 0;0 4 1;0 0 4;B=1;0;1;C=1 1 0;D=0;sys=ss(A,B,C,D)G2=tf(sys)例 exp3_5.m已知连续系统的系数矩阵为：求系统相应的传递函数。ss2zp,tf2zpnz,p,k=ss2zp(A,B,C,D,iu)nz,p,k=tf2zp(num,den)nGzp =zpk(sys)将非零极点形式的模型转换将非零极点形式的模型转换成零极

13、点模型成零极点模型用法举例：已知系统状态空间模型为：求其零极点模型A=0 1;-1-2;B=0;1;C=1,3;D=1;iu=1;z,p,k=ss2zp(A,B,C,D,iu)sys =zpk(z,p,k）tf2ss,zp2ssnA,B,C,D =tf2ss(num,den)nA,B,C,D =zp2ss(z,p,k)nSyss =ss(sys)将非状态空间形式的模型转将非状态空间形式的模型转换成状态空间模型换成状态空间模型例：系统的零极点增益模型如下：求系统的传递函数模型和状态空间模型 z=-3;p=-1,-2,-5;k=6;num,den=zp2tf(z,p,k)a,b,c,d=zp2ss

14、(z,p,k)注意：零极点的输入可以写成行向量，也可以写成列向量。注意：零极点的输入可以写成行向量，也可以写成列向量。已知一个单输入三输出系统的传递函数模型为：num=0 0-2;0-1-5;1 2 0;den=1 6 11 6;A,B,C,D=tf2ss(num,den);sys=ss(A,B,C,D)例：连续和离散系统之间的转换nsysd=tf(num,den,T)nsysd=ss(a,b,c,d,T)nsysd=zpk(z,p,k,T)nsysd=c2d(sysc,T,method)T:采样周期采样周期method:表示指定转换方式表示指定转换方式 zoh：零阶保持器：零阶保持器 foh

15、：三角形近似：三角形近似 tustin：双线性变换：双线性变换连续和离散系统之间的转换n例 exp3_6.m 已知系统传递函数为 采样周期T=0.2秒，试将其进行离散化处理2.3 状态方程的变换2.3 状态方程的变换及实现传递函数传递函数状态空间模型状态空间模型唯一唯一不唯一不唯一？2.3.1 状态方程的相似变换n nS2=ss2ss(S1,T)S2：变换后的系统状态方程模型S1：原系统的状态方程模型T：非奇异变换阵2.3.2 规范型状态方程的实现基本格式基本格式：G1=canon(sys,type)G1,T=canon(sys,type)syssys表示原系统状态方程模型表示原系统状态方程模

16、型typetype确定规范形式的类型确定规范形式的类型nmodal:modal:约当标准型约当标准型ncompanion:companion:伴随矩阵形式伴随矩阵形式G1:G1:规范后的状态方程模型规范后的状态方程模型T:T:状态变换阵状态变换阵必须为状态空间必须为状态空间模型模型例：n已知系统的系数阵为已知系统的系数阵为:对其进行规范型变换对其进行规范型变换(约当变换约当变换),并给出变换阵并给出变换阵.A=5 2 1 0;0 4 6 0;0-3-5 0;0-3-6-1;B=1;2;3;4;C=1 2 5 2;D=0;sys=ss(A,B,C,D);G,T=canon(sys,modal)2

17、.3.3 系统的均衡实现基本格式基本格式：Ab,Bb,Cb,G,T=balreal(A,B,C)T:T:均衡变换阵均衡变换阵G:G:均衡系统的均衡系统的GramGram阵阵满足下列变换关系满足下列变换关系n功能：实现系统的均衡变换，克服计算误差功能：实现系统的均衡变换，克服计算误差例：n已知系统的系数阵为已知系统的系数阵为:对其进行均衡变换对其进行均衡变换,并给出变换阵并给出变换阵.A=-10 0;0-25;B=10(-5);105;C=105,10(-5);D=0;Ab,Bb,Cb,G,T=balreal(A,B,C)2.3.4 系统的降阶实现基本格式基本格式：RSYS=modred(sys

18、,ELIM)RSYS=modred(sys,ELIM,mdc)RSYS=modred(sys,ELIM,del)ELIMELIM：待消去的状态：待消去的状态mdcmdc：表示在降阶中保证增益的匹配：表示在降阶中保证增益的匹配deldel：表示降阶中不能保证增益的匹配：表示降阶中不能保证增益的匹配例：n已知系统的系数矩阵为：在尽可能保持系统基本特征的情况下进行降阶处理。A=-3 1 0-1;-0.5-1 1-1;-1.5 1-2 0;-1.5 2 1-4;B=1;0;0;0;C=1 0-1 0;Ab,Bb,Cb,G,T=balreal(A,B,C)sys=ss(Ab,Bb,Cb,0)sysr=m

19、odred(sys,3:4,mdc)例：2.4 常用模型的建立与模型连接2.4.1 基本模型系统的建立n二阶系统的生成：二阶系统的生成：A,B,C,D =ord2(Wn,z)num,den =ord2(Wn,z)nWnWn：自然角频率，：自然角频率，nz z：阻尼因子：阻尼因子2.4.1 基本模型系统的建立n随机随机n阶系统的建立：阶系统的建立：num,den=rmodel(n):随机生成随机生成n阶稳定传递函数模型阶稳定传递函数模型 num,den=rmodel(n,p):随机生成单入随机生成单入p出的出的n阶稳定传递函数模型阶稳定传递函数模型 A,B,C,D=rmodel(n):随机生成随

20、机生成n阶稳定阶稳定SISO状态方程模型状态方程模型 A,B,C,D=rmodel(n,p,m):随机生成随机生成n阶稳定阶稳定p出出m入状态方程模型入状态方程模型 drmodel():生成相应的离散模型生成相应的离散模型程序如下程序如下:wn=2.2;z=0.8;A,B,C,D=ord2(wn,z);sys1=ss(A,B,C,D)num,den=ord2(wn,z);sys2=tf(num,den)n=4;p=4;m=2;a,b,c,d=rmodel(n,p,m);sys3=ss(a,b,c,d)num1,den1=drmodel(n,2);sys4=tf(num1(1,:);num1(2

21、,:),den1)例:基本模型的生成2.4.1 基本模型系统的建立n系统模型的重构：系统模型的重构：子系统的选取与删除子系统的选取与删除Ae,Be,Ce,De=ssselect(A,B,C,D,inputs,outputs)Ae,Be,Ce,De=ssselect(A,B,C,D,inputs,outputs,states)Ar,Br,Cr,Dr=ssdelete(A,B,C,D,inputs,outputs)Ar,Br,Cr,Dr=ssdelete(A,B,C,D,inputs,outputs,states)n例：现利用现利用ssselect函数在原系统的基础上构造新系统，保留函数在原系统的

22、基础上构造新系统，保留1、3输入信号，输入信号，1、2输出以及输出以及1、2、4状态变量。状态变量。n状态的增广 在对系统进行分析研究时，往往需要对状态在系统（输出）中加以增广。如对系统进行全状态反馈研究时，考虑到u=Kx，因此一般就需要在输出方程中增广状态。MATLAB中提供了一种状态增广函数augstate,即：asys=augstate(sys)构成新系统为：n例：将所有的状态增广到系统输出中。2.4.2 系统组合与连接n系统组合的方式系统组合的方式:串联串联:series并联并联:parallel反馈反馈:feedback格式：格式：sys=series(sys1,sys2);sys=

23、sys1*sys2对于多输入多输出系统对于多输入多输出系统,串联表达式为串联表达式为:sys=series(sys1,sys2,outputs1,inputs2)上述函数实现由上述函数实现由outputs1outputs1指定的指定的sys1sys1输出端连接到输出端连接到由由inputs2inputs2指定的指定的sys2sys2输入端输入端.1、模型串联：seriessys1sys2U(s)Y(s)串联串联格式：格式：sys=parallel(sys1,sys2)对于多输入多输出系统对于多输入多输出系统,串联表达式为串联表达式为:sys=parallel(sys1,sys2,in1,in2

24、,out1,out2)in1,in2in1,in2指定了相连接的输入端指定了相连接的输入端.out1,out2out1,out2指定了相连接的输出端指定了相连接的输出端2、模型并联：parallel并联并联sys1sys2U(s)Y(s)+格式：格式：sys=feedback(sys1,sys2,sign)signsign缺省时为负反馈缺省时为负反馈,sign=1,sign=1时为正反馈时为正反馈对于多输入多输出系统对于多输入多输出系统,表达式为表达式为:sys=feedback(sys1,sys2,feedin,feedout,sign)Feedin:sys1Feedin:sys1的输入向量

25、的输入向量,指定哪些指定哪些sys1sys1的输入与的输入与反馈环相连反馈环相连 Feedout:sys1Feedout:sys1的输出向量的输出向量,指定指定sys1sys1的哪些输出端的哪些输出端用于反馈用于反馈3、反馈连接：feedbacksys1sys2-n 举例应用举例应用：exp3_2.m 1）系统1为：系统2为：求按串联、并联、正反馈、负反馈连接时的系统状态方程及系统1按单位负反馈连接时的状态方程。2）系统1、系统2方程如下所示:exp3_3.m求部分并联后的状态空间模型，要求u11与u22连接，u13与u23连接，y11与y21连接。本章小结n在进行控制系统的仿真之前，建立系统的模型表达式是关键的一步。n对于控制系统，有不同的分类，在本课程中主要讨论的是线性定常连续系统n系统的描述有不同的方法：微分方程；传递函数；零极点增益模式；状态空间模型等。n系统的模型之间可以相互转换，要求熟练掌握各种模型之间转换的命令。n模型之间可以进行连接，要求掌握常用的模型连接命令：串联、并联、反馈。