中考数学圆的综合-经典压轴题含答案.doc

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1、一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1如图，AB是O的直径，弦CDAB，垂足为H，连结AC，过上一点E作EGAC交CD的延长线于点G，连结AE交CD于点F，且EG=FG，连结CE（1）求证：G=CEF；（2）求证：EG是O的切线；（3）延长AB交GE的延长线于点M，若tanG =，AH=3，求EM的值【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）. 【解析】试题分析：（1）由ACEG，推出G=ACG，由ABCD推出，推出CEF=ACD，推出G=CEF，由此即可证明；（2）欲证明EG是O的切线只要证明EGOE即可；（3）连接OC设O的半径为r在RtOCH中，利用勾股定理求出r，证

2、明AHCMEO，可得，由此即可解决问题；试题解析：（1）证明：如图1ACEG，G=ACG，ABCD，CEF=ACD，G=CEF，ECF=ECG，ECFGCE（2）证明：如图2中，连接OEGF=GE，GFE=GEF=AFH，OA=OE，OAE=OEA，AFH+FAH=90，GEF+AEO=90，GEO=90，GEOE，EG是O的切线（3）解：如图3中，连接OC设O的半径为r在RtAHC中，tanACH=tanG=，AH=，HC=，在RtHOC中，OC=r，OH=r，HC=，r=，GMAC，CAH=M，OEM=AHC，AHCMEO，EM=点睛：本题考查圆综合题、垂径定理、相似三角形的判定和性质、锐

3、角三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，正确寻找相似三角形，构建方程解决问题吗，属于中考压轴题2已知的半径为5，弦AB的长度为m，点C是弦AB所对优弧上的一动点如图，若，则的度数为_；如图，若求的正切值；若为等腰三角形，求面积【答案】30；的正切值为；或.【解析】【分析】连接OA，OB，判断出是等边三角形，即可得出结论；先求出，再用勾股定理求出，进而求出，即可得出结论；分三种情况，利用等腰三角形的性质和垂径定理以及勾股定理即可得出结论【详解】如图1，连接OB，OA，是等边三角形，故答案为30；如图2，连接AO并延长交于D，连接BD，为的直径，在中，

4、根据勾股定理得，的正切值为；、当时，如图3，连接CO并延长交AB于E，为AB的垂直平分线，在中，根据勾股定理得，；、当时，如图4，连接OA交BC于F，是BC的垂直平分线，过点O作于G，在中，在中，；、当时，如图5，由对称性知，【点睛】圆的综合题，主要圆的性质，圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，三角形的面积公式，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键3如图，已知RtABC中，C=90，O在AC上，以OC为半径作O，切AB于D点，且BC=BD（1）求证：AB为O的切线；（2）若BC=6，sinA=，求O的半径；（3）在（2）的条件下，P点在O上为一动点，求BP的最大值与最小值.【答案】（1）

5、连OD，证明略；（2）半径为3；（3）最大值3+3 ，3-3.【解析】分析：（1）连接OD，OB，证明ODBOCB即可.（2）由sinA=且BC=6可知，AB=10且cosA=，然后求出OD的长度即可.（3）由三角形的三边关系，可知当连接OB交O于点E、F，当点P分别于点E、F重合时，BP分别取最小值和最大值.详解：（1）如图：连接OD、OB.在ODB和OCB中：OD=OC,OB=OB,BC=BD;ODBOCB（SSS）.ODB=C=90.AB为O的切线.（2）如图：sinA=，,BC=6，AB=10,BD=BC=6,AD=AB-BD=4,sinA=，cosA=，OA=5，OD=3，即O的半径

6、为：3.（3）如图：连接OB，交O为点E、F，由三角形的三边关系可知：当P点与E点重合时，PB取最小值.由（2）可知：OD=3，DB=6,OB=.PB=OB-OE=.当P点与F点重合时，PB去最大值，PB=OP+OB=3+.点睛：本题属于综合类型题，主要考查了圆的综合知识.关键是对三角函数值、勾股定理、全等三角形判定与性质的理解.4某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截面的半径如图，若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm，水最深的地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径【答案】10cm【解析】分析：先过圆心O作半径COAB，交AB于点D设半径为r，得

7、出AD、OD的长，在RtAOD中，根据勾股定理求出这个圆形截面的半径详解：解：过点O作OCAB于D，交O于C，连接OB，OCABBD=AB=16=8cm由题意可知，CD=4cm设半径为xcm，则OD=（x4）cm在RtBOD中，由勾股定理得：OD2+BD2=OB2（x4）2+82=x2解得：x=10答：这个圆形截面的半径为10cm点睛：此题考查了垂经定理和勾股定理，关键是根据题意画出图形，再根据勾股定理进行求解5函数是描述客观世界运动变化的重要模型，理解函数的本质是重要的任务。（1）如图1，在平面直角坐标系中，已知点A、B的坐标分别为A（6，0）、B（0，2），点C（x，y）在线段AB上，计算

8、（x+y）的最大值。小明的想法是：这里有两个变量x、y，若最大值存在，设最大值为m，则有函数关系式y=-x+m，由一次函数的图像可知，当该直线与y轴交点最高时，就是m的最大值，（x+y）的最大值为 ；（2）请你用（1）中小明的想法解决下面问题：如图2，以（1）中的AB为斜边在右上方作RtABM.设点M坐标为（x，y），求（x+y）的最大值是多少？【答案】（1）6（2）4+2 【解析】分析：（1）根据一次函数的性质即可得到结论；（2）根据以AB为斜边在右上方作RtABC，可知点C在以AB为直径的D上运动，根据点C坐标为（x，y），可构造新的函数x+y=m，则函数与y轴交点最高处即为x+y的最大值

9、，此时，直线y=x+m与D相切，再根据圆心点D的坐标，可得C的坐标为（3+，1+），代入直线y=x+m，可得m=4+2，即可得出x+y的最大值为4+2详解：（1）6；（2）由题可得，点C在以AB为直径的D上运动，点C坐标为（x，y），可构造新的函数x+y=m，则函数与y轴交点最高处即为x+y的最大值，此时，直线y=x+m与D相切，交x轴与E，如图所示，连接OD，CDA（6，0）、B（0，2），D（3，1），OD=，CD=根据CDEF可得，C、D之间水平方向的距离为，铅垂方向的距离为，C（3+，1+），代入直线y=x+m，可得：1+=（3+）+m，解得：m=4+2，x+y的最大值为4+2故答案为

10、：4+2 点睛：本题主要考查了切线的性质，待定系数法求一次函数解析式以及等腰直角三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是构造一次函数图象，根据圆的切线垂直于经过切点的半径进行求解6问题发现(1)如图，RtABC中，C90，AC3，BC4，点D是AB边上任意一点，则CD的最小值为_(2)如图，矩形ABCD中，AB3，BC4，点M、点N分别在BD、BC上，求CM+MN的最小值(3)如图，矩形ABCD中，AB3，BC4，点E是AB边上一点，且AE2，点F是BC边上的任意一点，把BEF沿EF翻折，点B的对应点为G，连接AG、CG，四边形AGCD的面积是否存在最小值，若存在，求这个最小值及此时BF的长度

11、若不存在，请说明理由【答案】(1) ;(2) 的最小值为.(3) 【解析】试题分析：（1）根据两种不同方法求面积公式求解；（2）作关于的对称点，过作的垂线，垂足为，求的长即可;(3) 连接，则，则点的轨迹为以为圆心，为半径的一段弧过作的垂线，与交于点，垂足为，由求得GM的值，再由 求解即可.试题解析：（）从到距离最小即为过作的垂线，垂足为，（）作关于的对称点，过作的垂线，垂足为，且与交于，则的最小值为的长，设与交于，则，且，即的最小值为（）连接，则， ，点的轨迹为以为圆心，为半径的一段弧过作的垂线，与交于点，垂足为， ，【点睛】本题考查圆的综合题、最短问题、勾股定理、面积法、两点之间线段最短等

12、知识，解题的关键是利用轴对称解决最值问题，灵活运用两点之间线段最短解决问题7在平面直角坐标系中，已知点A（2，0），点B（0，23），点O（0，0）AOB绕着O顺时针旋转，得AOB，点A、B旋转后的对应点为A，B，记旋转角为（）如图1，AB恰好经过点A时，求此时旋转角的度数，并求出点B的坐标；（）如图2，若090，设直线AA和直线BB交于点P，求证：AABB；（）若0360，求（）中的点P纵坐标的最小值（直接写出结果即可）【答案】（）60，B（3，3）；（）见解析；（）点P纵坐标的最小值为32【解析】【分析】（）作辅助线,先根据点A（2,0）,点B（0,23）,确定ABO30,证明AOA是等边

13、三角形,得旋转角60,证明COB是30的直角三角形,可得B的坐标;（）依据旋转的性质可得BOBAOA,OBOB,OAOA,即可得出OBBOAA12（180）,再根据BOA90+,四边形OBPA的内角和为360,即可得到BPA90,即AABB;（）作AB的中点M（1,3）,连接MP,依据点P的轨迹为以点M为圆心,以MP12AB2为半径的圆,即可得到当PMy轴时,点P纵坐标的最小值为32.【详解】解：（）如图1，过B作BCx轴于C,OA2,OB23,AOB90,ABO30,BAO60,由旋转得：OAOA,ABAO60,OAA是等边三角形,AOA60,OBOB23,COB906030,BC12OB3

14、,OC3,B（3,3）,（）证明：如图2,BOBAOA,OBOB,OAOA,OBBOAA12（180）,BOA90+,四边形OBPA的内角和为360,BPA360（180）（90+）90,即AABB;（）点P纵坐标的最小值为3-2理由是：如图，作AB的中点M（1,3）,连接MP,APB90,点P的轨迹为以点M为圆心,以MP12AB2为半径的圆,除去点（2,23）,当PMx轴时,点P纵坐标的最小值为32【点睛】本题属于几何变换综合题,主要考查了旋转的性质,含30角的直角三角形的性质,四边形内角和以及圆周角定理的综合运用,解决问题的关键是判断点P的轨迹为以点M为圆心,以MP为半径的圆8已知：如图，

15、在四边形ABCD中，ADBC点E为CD边上一点，AE与BE分别为DAB和CBA的平分线（1）请你添加一个适当的条件 ，使得四边形ABCD是平行四边形，并证明你的结论；（2）作线段AB的垂直平分线交AB于点O，并以AB为直径作O（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（3）在（2）的条件下，O交边AD于点F，连接BF，交AE于点G，若AE=4，sinAGF=，求O的半径【答案】（1）当AD=BC时，四边形ABCD是平行四边形，理由见解析；（2）作出相应的图形见解析；（3）圆O的半径为2.5【解析】分析：（1）添加条件AD=BC，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形验证即可；（2）作出相

16、应的图形，如图所示；（3）由平行四边形的对边平行得到AD与BC平行，可得同旁内角互补，再由AE与BE为角平分线，可得出AE与BE垂直，利用直径所对的圆周角为直角，得到AF与FB垂直，可得出两锐角互余，根据角平分线性质及等量代换得到AGF=AEB，根据sinAGF的值，确定出sinAEB的值，求出AB的长，即可确定出圆的半径详解：（1）当AD=BC时，四边形ABCD是平行四边形，理由为：证明：ADBC，AD=BC，四边形ABCD为平行四边形；故答案为：AD=BC；（2）作出相应的图形，如图所示；（3）ADBC，DAB+CBA=180，AE与BE分别为DAB与CBA的平分线，EAB+EBA=90，

17、AEB=90，AB为圆O的直径，点F在圆O上，AFB=90，FAG+FGA=90，AE平分DAB，FAG=EAB，AGF=ABE，sinABE=sinAGF=，AE=4，AB=5，则圆O的半径为2.5点睛：此题属于圆综合题，涉及的知识有：圆周角定理，平行四边形的判定与性质，角平分线性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握各自的性质及定理是解本题的关键9在平面直角坐标系xOy中，对于点P和图形W，如果以P为端点的任意一条射线与图形W最多只有一个公共点，那么称点P独立于图形W（1）如图1，已知点A（-2，0），以原点O为圆心，OA长为半径画弧交x轴正半轴于点B在P1（0，4），P2（0，1），P3（0

18、，-3），P4（4，0）这四个点中，独立于的点是 ；（2）如图2，已知点C（-3，0），D（0，3），E（3，0），点P是直线l：y=2x+8上的一个动点若点P独立于折线CD-DE，求点P的横坐标xp的取值范围；（3）如图3，H是以点H（0，4）为圆心，半径为1的圆点T（0，t）在y轴上且t-3，以点T为中心的正方形KLMN的顶点K的坐标为（0，t+3），将正方形KLMN在x轴及x轴上方的部分记为图形W若H上的所有点都独立于图形W，直接写出t的取值范围【答案】（1）P2，P3；（2）xP-5或xP-（3）-3t1-或1+t7-【解析】【分析】（1）根据点P独立于图形W的定义即可判断；（2）求出

19、直线DE，直线CD与直线y=2x+8的交点坐标即可判断；（3）求出三种特殊位置时t的值，结合图象即可解决问题.【详解】（1）由题意可知：在P1（0，4），P2（0，1），P3（0，-3），P4（4，0）这四个点中，独立于的点是P2，P3（2）C（-3，0），D（0，3），E（3，0），直线CD的解析式为y=x+3，直线DE的解析式为y=-x+3，由，解得，可得直线l与直线CD的交点的横坐标为-5，由，解得，可得直线l与直线DE的交点的横坐标为-，满足条件的点P的横坐标xp的取值范围为：xP-5或xP-（3）如图3-1中，当直线KN与H相切于点E时，连接EH，则EH=EK=1，HK=，OT=KT

20、+HK-OH=3+-4=-1，T（0，1-），此时t=1-，当-3t1-时，H上的所有点都独立于图形W如图3-2中，当线段KN与H相切于点E时，连接EHOT=OH+KH-KT=4+-3=1+，T（0，1+），此时t=1+，如图3-3中，当线段MN与H相切于点E时，连接EHOT=OM+TM=4-+3=7-，T（0，7-），此时t=7-，当1+t7-时，H上的所有点都独立于图形W综上所述，满足条件的t的值为-3t1-或1+t7-【点睛】本题属于圆综合题，考查了切线的性质，一次函数的应用，点P独立于图形W的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用特殊位置解决实际问题.10

21、如图，已知ABC内接于O，BC交直径AD于点E，过点C作AD的垂线交AB的延长线于点G，垂足为F连接OC（1）若G=48，求ACB的度数；（2）若AB=AE，求证：BAD=COF；（3）在（2）的条件下，连接OB，设AOB的面积为S1，ACF的面积为S2若tanCAF=，求的值 【答案】（1）48（2）证明见解析（3） 【解析】【分析】（1）连接CD，根据圆周角定理和垂直的定义可得结论；（2）先根据等腰三角形的性质得：ABE=AEB，再证明BCG=DAC，可得 ，则所对的圆周角相等，根据同弧所对的圆周角和圆心角的关系可得结论；（3）过O作OGAB于G，证明COFOAG，则OG=CF=x，AG=

22、OF，设OF=a，则OA=OC=2x-a，根据勾股定理列方程得：（2x-a）2=x2+a2，则a=x，代入面积公式可得结论【详解】（1）连接CD，AD是O的直径，ACD=90，ACB+BCD=90，ADCG，AFG=G+BAD=90，BAD=BCD，ACB=G=48；（2）AB=AE，ABE=AEB，ABC=G+BCG，AEB=ACB+DAC，由（1）得：G=ACB，BCG=DAC，AD是O的直径，ADPC，BAD=2DAC，COF=2DAC，BAD=COF；（3）过O作OGAB于G，设CF=x，tanCAF= ，AF=2x，OC=OA，由（2）得：COF=OAG，OFC=AGO=90，COFOAG，OG=CF=x，AG=OF，设OF=a，则OA=OC=2xa，RtCOF中，CO2=CF2+OF2，（2xa）2=x2+a2，a=x，OF=AG=x，OA=OB，OGAB，AB=2AG=x，【点睛】圆的综合题，考查了三角形的面积、垂径定理、角平分线的性质、三角形全等的性质和判定以及解直角三角形，解题的关键是：（1）根据圆周角定理找出ACB+BCD=90；（2）根据外角的性质和圆的性质得：；（3）利用三角函数设未知数，根据勾股定理列方程解决问题