中考数学压轴题专题圆的综合的经典综合题.doc

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1、一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1已知ABCD的周长为26，ABC=120，BD为一条对角线，O内切于ABD，E，F，G为切点，已知O的半径为求ABCD的面积【答案】20 【解析】【分析】首先利用三边及O的半径表示出平行四边形的面积，再根据题意求出AB+AD=13，然后利用切线的性质求出BD的长即可解答.【详解】设O分别切ABD的边AD、AB、BD于点G、E、F；平行四边形ABCD的面积为S；则S=2SABD=2(ABOE+BDOF+ADOG)=（AB+AD+BD）；平行四边形ABCD的周长为26，AB+AD=13，S=(13+BD)；连接OA；由题意得：OAE=30，AG=A

2、E=3；同理可证DF=DG，BF=BE；DF+BF=DG+BE=1333=7，即BD=7，S=（13+7）=20即平行四边形ABCD的面积为202四边形 ABCD 的对角线交于点 E，且 AEEC，BEED，以 AD 为直径的半圆过点 E，圆心 为 O（1）如图，求证：四边形 ABCD 为菱形；（2）如图，若 BC 的延长线与半圆相切于点 F，且直径 AD6，求弧AE 的长【答案】（1）见解析；（2）【解析】试题分析：（1）先判断出四边形ABCD是平行四边形，再判断出ACBD即可得出结论；（2）先判断出AD=DC且DEAC，ADE=CDE，进而得出CDA=30，最后用弧长公式即可得出结论试题解

3、析：证明：（1）四边形ABCD的对角线交于点E，且AE=EC，BE=ED，四边形ABCD是平行四边形以AD为直径的半圆过点E，AED=90，即有ACBD，四边形ABCD 是菱形；（2）由（1）知，四边形ABCD 是菱形，ADC为等腰三角形，AD=DC且DEAC，ADE=CDE如图2，过点C作CGAD，垂足为G，连接FOBF切圆O于点F，OFAD，且，易知，四边形CGOF为矩形，CG=OF=3在RtCDG中，CD=AD=6，sinADC=，CDA=30，ADE=15连接OE，则AOE=2ADE=30，点睛：本题主要考查菱形的判定即矩形的判定与性质、切线的性质，熟练掌握其判定与性质并结合题意加以灵

4、活运用是解题的关键3如图，在O中，直径AB弦CD于点E，连接AC，BC，点F是BA延长线上的一点，且FCAB.(1)求证：CF是O的切线；(2)若AE4，tanACD，求FC的长【答案】（1）见解析【解析】分析：（1）利用圆周角定理以及等腰三角形的性质得出OCF=90，进而得出答案；（2）根据正切的性质求出EC的长，然后利用垂径定理求出圆的半径，再根据等边三角形的性质，利用勾股定理求出即可详解：(1)证明：连接OC.AB是O的直径，ACB90，OCBACO90.OBOC，BOCB.又FCAB，FCAOCB，FCAACO90，即FCO90，FCOC，FC是O切线(2)解：ABCD，AEC90，E

5、C=，设OAOCr，则OEOAAEr4.在RtOEC中，OC2OE2CE2，即r2(r4)2(4)2，解得r8.OEr44AE.CEOA，CACO8，AOC是等边三角形，FOC60，F30.在RtFOC中，OCF90，OC8，F30，OF2OC16，FC.点睛：此题主要考查了切线的判定、垂径定理的推论以及勾股定理等知识，得出BC的长是解题关键4已知：AB是0直径,C是0外一点,连接BC交0于点D，BD=CD,连接AD、AC(1)如图1,求证:BAD=CAD(2)如图2,过点C作CFAB于点F,交0于点E,延长CF交0于点G.过点作EHAG于点H，交AB于点K,求证AK=2OF；(3)如图3,在

6、(2)的条件下,EH交AD于点L,若0K=1,AC=CG,求线段AL的长. 图1 图2 图3【答案】(1)见解析(2)见解析(3) 【解析】试题分析：（1）由直径所对的圆周角等于90，得到ADB=90，再证明ABDACD即可得到结论；（2）连接BE由同弧所对的圆周角相等，得到GAB=BEG再证KFEBFE，得到BF=KF=BK由OF=OB-BF，AK=AB-BK，即可得到结论（3）连接CO并延长交AG于点M，连接BG设GAB=先证CM垂直平分AG，得到AM=GM，AGC+GCM=90再证GAF=GCM =通过证明AGBCMG，得到BG=GM=AG再证明BGC=MCG=设BF=KF=a， GF=

7、2a，AF=4a由OK=1，得到OF=a+1，AK=2（a+1），AF= 3a+2，得到3a+2=4a，解出a的值，得到AF，AB，GF，FC的值由tan=tanHAK=， AK=6，可以求出 AH的长再由 ，利用公式tanGAD=，得到GAD=45，则AL=AH，即可得到结论试题解析：解：（1）AB为O的直径，ADB=90，ADC=90BD=CD，BDA=CDA，AD=AD，ABDACD，BAD=CAD（2）连接BEBG=BG ，GAB=BEGCFAB，KFE=90EHAG，AHE=KFE=90，AKH=EKF，HAK=KEF=BEFFE=FE，KFE=BFE=90，KFEBFE，BF=KF

8、=BK OF=OB-BF，AK=AB-BK，AK=2OF （3）连接CO并延长交AG于点M，连接BG设GAB=AC=CG， 点C在AG的垂直平分线上 OA=OG，点O在AG的垂直平分线上，CM垂直平分AG，AM=GM，AGC+GCM=90AFCG，AGC +GAF =90，GAF=GCM =AB为O的直径，AGB= 90，AGB=CMG=90AB=AC=CG ，AGBCMG，BG=GM=AG在RtAGB中， AMC=AGB= 90，BGCM， BGC=MCG=设BF=KF=a， ，GF=2a， ，AF=4aOK=1，OF=a+1，AK=2OF=2（a+1），AF=AK+KF=a+2（a+1）=

9、3a+2，3a+2=4a，a=2， AK=6，AF=4a=8，AB=AC=CG=10，GF=2a=4，FC=CG-GF=6tan=tanHAK=，设KH=m，则AH=2m，AK=6，解得：m=，AH=2m=在RtBFC中， BAD+ABD=90， FBC+BCF=90，BCF=BAD， ，tanGAD=，GAD=45，HL=AH，AL=AH= 5如图，ABC内接于O，AB是直径，O的切线PC交BA的延长线于点P，OFBC交AC于点E，交PC于点F，连结AF(1)判断AF与O的位置关系并说明理由；(2)若AC24，AF15，求sinB【答案】(1) AF与O相切 理由见解析；（2）【解析】试题分

10、析：（1）连接OC，先证OCF=90，再证明OAFOCF，得出OAF=OCF=90即可；（2）先求出AE、EF，再证明OAEAFE，得出比例式，可求出半径，进而求出直径，由三角函数的定义即可得出结论试题解析：解：（1）AF与O相切理由如下：连接OC如图所示PC是O的切线，OCPC，OCF=90OFBC，B=AOF，OCB=COFOB=OC，B=OCB，AOF=COF在OAF和OCF中，OA=OC，AOF=COF，OF=OF，OAFOCF（SAS），OAF=OCF=90，AF与O相切；（2）OAFOCF，OAE=COE，OEAC，AE=AC=12，EF=OAF=90，OAEAFE，即，OA=20

11、，AB=40，sinB=点睛：本题考查了切线的性质与判定和全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质；熟练掌握切线的证法和三角形相似是解题的关键6定义：数学活动课上，李老师给出如下定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”.理解：如图，已知是上两点，请在圆上找出满足条件的点，使为“智慧三角形”（画出点的位置，保留作图痕迹）；如图，在正方形中，是的中点，是上一点，且，试判断是否为“智慧三角形”，并说明理由；运用：如图，在平面直角坐标系中，的半径为，点是直线上的一点，若在上存在一点，使得为“智慧三角形”，当其面积取得最小值时，直接写出此时点的坐标.【答案

12、】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）P的坐标（，），（，）【解析】试题分析：（1）连结AO并且延长交圆于C1，连结BO并且延长交圆于C2，即可求解；（2）设正方形的边长为4a，表示出DF=CF以及EC、BE的长，然后根据勾股定理列式表示出AF2、EF2、AE2，再根据勾股定理逆定理判定AEF是直角三角形，由直角三角形的性质可得AEF为“智慧三角形”；（3）根据“智慧三角形”的定义可得OPQ为直角三角形，根据题意可得一条直角边为1，当斜边最短时，另一条直角边最短，则面积取得最小值，由垂线段最短可得斜边最短为3，根据勾股定理可求另一条直角边，再根据三角形面积可求斜边的高，即点P的横坐标，再根据

13、勾股定理可求点P的纵坐标，从而求解试题解析：（1）如图1所示：（2）AEF是否为“智慧三角形”，理由如下：设正方形的边长为4a，E是DC的中点，DE=CE=2a，BC：FC=4：1，FC=a，BF=4aa=3a，在RtADE中，AE2=（4a）2+（2a）2=20a2，在RtECF中，EF2=（2a）2+a2=5a2，在RtABF中，AF2=（4a）2+（3a）2=25a2，AE2+EF2=AF2，AEF是直角三角形，斜边AF上的中线等于AF的一半，AEF为“智慧三角形”；（3）如图3所示：由“智慧三角形”的定义可得OPQ为直角三角形，根据题意可得一条直角边为1，当斜边最短时，另一条直角边最短

14、，则面积取得最小值，由垂线段最短可得斜边最短为3，由勾股定理可得PQ=，PM=123=，由勾股定理可求得OM=，故点P的坐标（，），（，）考点：圆的综合题7如图，已知：AB是O的直径，点C在O上，CD是O的切线，ADCD于点D，E是AB延长线上一点，CE交O于点F，连接OC、AC（1）求证：AC平分DAO（2）若DAO=105，E=30求OCE的度数；若O的半径为2，求线段EF的长【答案】（1）证明见解析；（2）OCE=45；EF =-2.【解析】【试题分析】（1）根据直线与O相切的性质，得OCCD. 又因为ADCD，根据同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线也平行，得：AD/OC. DAC=

15、OCA.又因为OC=OA，根据等边对等角，得OAC=OCA.等量代换得：DAC=OAC.根据角平分线的定义得：AC平分DAO.（2）因为 AD/OC，DAO=105，根据两直线平行，同位角相等得，EOC=DAO=105，在 中，E=30，利用内角和定理，得：OCE=45. 作OGCE于点G，根据垂径定理可得FG=CG， 因为OC=，OCE=45.等腰直角三角形的斜边是腰长的 倍，得CG=OG=2. FG=2.在RtOGE中，E=30，得GE=， 则EF=GE-FG=-2.【试题解析】（1）直线与O相切，OCCD. 又ADCD，AD/OC. DAC=OCA.又OC=OA，OAC=OCA.DAC=

16、OAC.AC平分DAO.（2）解：AD/OC，DAO=105，EOC=DAO=105E=30，OCE=45. 作OGCE于点G，可得FG=CG OC=，OCE=45.CG=OG=2.FG=2. 在RtOGE中，E=30，GE=.EF=GE-FG=-2.【方法点睛】本题目是一道圆的综合题目，涉及到圆的切线的性质，平行线的性质及判定，三角形内角和，垂径定理，难度为中等.8在RtABC中，BAC=90，AC=AB=4，D，E分别是边AB，AC的中点，若等腰RtADE绕点A逆时针旋转，得到等腰RtAD1E1，设旋转角为(0180)，记直线BD1与CE1的交点为P.（1）问题发现如图1，当=90时，线段

17、BD1的长等于_，线段CE1的长等于_.（2）探究证明如图2，当=135时，求证：BD1=CE1，且BD1CE1.（3）问题解决求点P到AB所在直线的距离的最大值.（直接写出结果）【答案】（1）25；25；（2）详见解析；（3）1+3【解析】【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质结合勾股定理分别得出BD1的长和CE1的长；（2）根据旋转的性质得出，D1AB=E1AC=135，进而求出D1ABE1AC（SAS），即可得出答案；（3）首先作PGAB，交AB所在直线于点G，则D1，E1在以A为圆心，AD为半径的圆上，当BD1所在直线与A相切时，直线BD1与CE1的交点P到直线AB的距离最大，此时四边

18、形AD1PE1是正方形，进而求出PG的长【详解】（1）解：A=90，AC=AB=4，D，E分别是边AB，AC的中点，AE=AD=2，等腰RtADE绕点A逆时针旋转，得到等腰RtAD1E1，设旋转角为（0180），当=90时，AE1=2，E1AE=90，BD1=42+22=25,E1C=42+22=25；故答案为：25；25；（2）证明：由题意可知，AB=AC=4，AD=AE=2，RtAD1E1是由RtADE绕点A逆时针旋转135得到，AD1=AE，CAE1=D1AB=135，在D1AB和E1AC中，AD1=AE1D1AB=E1ACAB=AC，D1ABE1AC(SAS)，BD1=CE1，E1CA

19、=D1BA.CAB=90，CPB=CAB=90，BD1CE1，BD1=CE1，且BD1CE1.（3）点D的运动轨迹是在A的上半圆周，点P的运动轨迹是在O的弧AP段.即当BD1与A相切时，PG有最大值.点P到AB所在直线的距离的最大值为1+3.【点睛】此题主要考查了几何变换以及等腰腰直角三角形的性质和勾股定理以及切线的性质等知识，根据题意得出PG的最长时P点的位置是解题关键9如图，已知AB是O的直径，BC是弦，弦BD平分ABC交AC于F，弦DEAB于H，交AC于G求证：AGGD；当ABC满足什么条件时，DFG是等边三角形？若AB10，sinABD，求BC的长【答案】（1）证明见解析；（2）当AB

20、C60时，DFG是等边三角形理由见解析；（3）BC的长为【解析】【分析】（1）首先连接AD，由DEAB，AB是的直径，根据垂径定理，即可得到，然后根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，证得ADEABD，又由弦BD平分ABC，可得DBCABD，根据等角对等边的性质，即可证得AG=GD；（2）当ABC=60时，DFG是等边三角形，根据半圆（或直径）所对的圆周角是直角与三角形的外角的性质，易求得DGF=DFG=60，即可证得结论；（3）利用三角函数先求出tanABD，cosABD，再求出DF、BF，然后即可求出BC.【详解】（1）证明：连接AD，DEAB，AB是O的直径，ADEABD，弦B

21、D平分ABC，DBCABD，DBCDAC，ADEDAC，AGGD；（2）解：当ABC60时，DFG是等边三角形理由：弦BD平分ABC，DBCABD30，AB是O的直径，ACB90，CAB90ABC30，DFGFAB+DBA60，DEAB，DGFAGH90CAB60，DGF是等边三角形；（3）解：AB是O的直径，ADBACB90，DACDBCABD，AB10，sinABD，在RtABD中，ADABsinABD6，BD8，tanABD，cosABD，在RtADF中，DFADtanDAFADtanABD6，BFBDDF8，在RtBCF中，BCBFcosDBCBFcosABDBC的长为：【点睛】此题考

22、查了圆周角定理、垂径定理、直角三角形的性质、三角函数的性质以及勾股定理等知识此题综合性较强，难度较大，解题的关键是掌握数形结合思想与转化思想的应用，注意辅助线的作法10如图1，O的直径AB=12，P是弦BC上一动点（与点B，C不重合），ABC=30，过点P作PDOP交O于点D（1）如图2，当PDAB时，求PD的长；（2）如图3，当弧DC=弧AC时，延长AB至点E，使BE=AB，连接DE求证：DE是O的切线；求PC的长【答案】（1）2；（2）证明见解析；33【解析】试题分析：（1）根据题意首先得出半径长，再利用锐角三角三角函数关系得出OP，PD的长；（2）首先得出OBD是等边三角形，进而得出OD

23、E=OFB=90，求出答案即可；首先求出CF的长，进而利用直角三角形的性质得出PF的长，进而得出答案试题解析：（1）如图2，连接OD，OPPD，PDAB，POB=90，O的直径AB=12，OB=OD=6，在RtPOB中，ABC=30，OP=OBtan30=6=2，在RtPOD中，PD=；（2）如图3，连接OD，交CB于点F，连接BD，DBC=ABC=30，ABD=60，OB=OD，OBD是等边三角形，ODFB，BE=AB，OB=BE，BFED，ODE=OFB=90，DE是O的切线；由知，ODBC，CF=FB=OBcos30=6=3，在RtPOD中，OF=DF，PF=DO=3（直角三角形斜边上的中线，等于斜边的一半），CP=CFPF=33考点：圆的综合题