2020年广西民族大学高等代数考研真题A卷.doc

《2020年广西民族大学高等代数考研真题A卷.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020年广西民族大学高等代数考研真题A卷.doc（3页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、2020年广西民族大学高等代数考研真题A卷考生须知1答案须写在答题纸密封线内，写在试题卷、草稿纸等均视为无效。2答题时一律使用蓝或黑色钢笔、签字笔书写。3 交卷时，请本人将答题纸放入试题袋内，密封后在封条与试卷袋骑缝处亲笔签名。一、（15 分）已知多项式 f ( x ) = x 4 + x 3 + 2 x 2 + x + 1,g ( x ) = x 3 + 2 x 2 + 2 x +1，求它们的最大公因式( f ( x ),g ( x) ，并求它们的公共根。二、（15 分）设 a1a2an 0 ，计算下列行列式的值，并给出 D = 0 的条件D =1+a123n12 + a23n123 + a

2、3n123n + an.三、（15 分）x1 + x2 - x3 = 1已知线性方程组 2 x1 + 3 x2 + kx3 = 3 ，试讨论 k 取何值时，方程组无解、有唯一解 x1 + kx2 + 3 x3 = 2和有无穷多组解。当有解时，写出其解表示式。四、（15 分）已知 3 维线性空间V 有两组基：(I) e1,e2 ,e3;(II) -e3, -2e2 , -3e1（1）求基 (I) 到基 (II) 的过渡矩阵；（2）若向量a 在基 (I) 下的坐标为 (1, 2, 3)T ，求a 在基 (II) 下的坐标。五、（15 分）设 A 是一个 3 阶方阵，且满足下列等式 0-11 003

3、-1 2A1 = 0031-10031 求矩阵 A ，并求 A 的全部特征值。六、（15 分）设 l1 , l2 , l3 是 n 阶矩阵 A 的 3 个互不相同的特征值，a1 , a 2 , a3 分别是 A 属于 l1 , l2 , l3的特征向量，证明：a1 + a 2 +a3 不是 A 的特征向量七、（20 分）设 A 是一个 n 阶实对称矩阵，且A 0，证明：必存在 n 维向量 x = ( x , x , x )T 012n使得 f ( x ) = xT Ax 0.八、（20 分）已知 e 1 , e 2 ,e3 是欧氏空间V 的一组标准正交基，设a1 = e1 + e 2 - e 3 , a 2 = e1 - e 2 - e 3 , W = spana1 , a2,(1) 证明 a1 -a2 , a1 +a2 和 e1 +e3 分别是W 和W 的标准正交基； 222 2(2) 求a =e2 +2e3在W 中的内射影b ，即求b W ，使a = b +g, g W.九、（20 分）设 A 是 n 维欧氏空间V 的线性变换， A2 = I (单位变换)，令V1 = x x V , Ax = x, V2 = x x V , Ax = -x,证明：V =V1 V2