2022-2023学年上海市晋元中学高三第三次模拟考试数学试卷含解析.doc

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1、2023年高考数学模拟试卷注意事项1考生要认真填写考场号和座位序号。2试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1若不等式对恒成立，则实数的取值范围是（ ）ABCD2设，满足约束条件，则的最大值是（ ）ABCD3已知函数，对任意的，当时，则下列判断正确的是（ ）AB函数在上递增C函数的一条对称轴是D函数的一个对称中心是4已知复数z1=3+4i,z2=a+i

2、,且z1是实数,则实数a等于()ABC-D-5已知，其中是虚数单位，则对应的点的坐标为（ ）ABCD6如图，网格纸是由边长为1的小正方形构成，若粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）ABCD7已知，则等于（ ）ABCD8已知，是两平面，l，m，n是三条不同的直线，则不正确命题是（ ）A若m，n/，则mnB若m/，n/，则m/nC若l，l/，则D若/，l，且l/，则l/9已知ab0，c1，则下列各式成立的是（）AsinasinbBcacbCacbcD10在平面直角坐标系中，已知点，若动点满足 ，则的取值范围是（ ）ABCD11已知点，若点在曲线上运动，则面积的最小值为（ ）A

3、6B3CD12已知三棱柱的所有棱长均相等，侧棱平面，过作平面与平行，设平面与平面的交线为，记直线与直线所成锐角分别为，则这三个角的大小关系为( )ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13在中，已知是的中点，且，点满足，则的取值范围是_.14数学家狄里克雷对数论，数学分析和数学物理有突出贡献，是解析数论的创始人之一.函数，称为狄里克雷函数.则关于有以下结论:的值域为;其中正确的结论是_(写出所有正确的结论的序号)15已知数列的前项和为,则满足的正整数的所有取值为_16已知向量满足，则_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）在直角坐标系中

4、，已知曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；（2）若射线的极坐标方程为（）.设与相交于点，与相交于点，求.18（12分）已知函数，.（1）讨论的单调性；（2）当时，证明：.19（12分）已知函数 .（1）若在 处导数相等，证明： ；（2）若对于任意 ，直线 与曲线都有唯一公共点，求实数的取值范围.20（12分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（2

5、）设点，直线l与曲线C交于不同的两点A、B，求的值21（12分）下表是某公司2018年512月份研发费用（百万元）和产品销量（万台）的具体数据：月 份56789101112研发费用（百万元）2361021131518产品销量（万台）1122.563.53.54.5（）根据数据可知与之间存在线性相关关系，求出与的线性回归方程（系数精确到0.01）；（）该公司制定了如下奖励制度：以（单位：万台）表示日销售，当时，不设奖；当时，每位员工每日奖励200元；当时，每位员工每日奖励300元；当时，每位员工每日奖励400元.现已知该公司某月份日销售（万台）服从正态分布（其中是2018年5-12月产品销售平均

6、数的二十分之一），请你估计每位员工该月（按30天计算）获得奖励金额总数大约多少元. 参考数据：，参考公式：相关系数，其回归直线中的，若随机变量服从正态分布，则，.22（10分）自湖北武汉爆发新型冠状病毒肺炎疫情以来，在以总书记为核心的党中央的正确领导和指挥下，全国各地纷纷驰援，湖北的疫情形势很快得到了控制，但是国际疫情越来越严重，医用口罩等物资存在很大缺口.某口罩生产厂家复工复产后，抢时生产口罩，以驰援国际社会，已知该企业前10天生产的口罩量如下表所示：第天12345678910产量y（单位：万个）76.088.096.0104.0111.0117.0124.0130.0135.0140.0对

7、上表的数据作初步处理，得到一些统计量的值：mn82.53998.9570.5（1）求表中m，n的值，并根据最小二乘法求出y关于x的线性回归方程（回归方程系数精确到0.1）；（2）某同学认为更适宜作为y关于x的回归方程模型，并以此模型求得回归方程为.经调查，该企业第11天的产量为145.3万个，与（1）中的线性回归方程比较，哪个回归方程的拟合效果更好？并说明理由.附：，；参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】转化为，构造函数，利用导数研究单调性，求函数最值，即得解.【详解】由，可知设，则，所以函数在上单调递增，

8、所以所以故的取值范围是故选：B【点睛】本题考查了导数在恒成立问题中的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.2、D【解析】作出不等式对应的平面区域，由目标函数的几何意义，通过平移即可求z的最大值【详解】作出不等式组的可行域，如图阴影部分，作直线：在可行域内平移当过点时，取得最大值.由得：，故选：D【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法，属于基础题.3、D【解析】利用辅助角公式将正弦函数化简，然后通过题目已知条件求出函数的周期，从而得到，即可求出解析式，然后利用函数的性质即可判断.【详解】，又，即，有且仅有满足条件；又，则，函数， 对

9、于A，故A错误；对于B，由，解得，故B错误；对于C，当时，故C错误； 对于D，由，故D正确.故选：D【点睛】本题考查了简单三角恒等变换以及三角函数的性质，熟记性质是解题的关键，属于基础题.4、A【解析】分析：计算，由z1，是实数得，从而得解.详解：复数z1=3+4i,z2=a+i,.所以z1，是实数，所以，即.故选A.点睛：本题主要考查了复数共轭的概念，属于基础题.5、C【解析】利用复数相等的条件求得，则答案可求【详解】由，得，对应的点的坐标为，故选：【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数相等的条件，是基础题6、C【解析】根据三视图还原为几何体，结合组合体的结构特征求解表面积.

10、【详解】由三视图可知，该几何体可看作是半个圆柱和一个长方体的组合体，其中半圆柱的底面半圆半径为1，高为4，长方体的底面四边形相邻边长分别为1，2，高为4，所以该几何体的表面积，故选C.【点睛】本题主要考查三视图的识别，利用三视图还原成几何体是求解关键，侧重考查直观想象和数学运算的核心素养.7、B【解析】由已知条件利用诱导公式得，再利用三角函数的平方关系和象限角的符号，即可得到答案.【详解】由题意得 ，又，所以，结合解得，所以 ，故选B.【点睛】本题考查三角函数的诱导公式、同角三角函数的平方关系以及三角函数的符号与位置关系，属于基础题.8、B【解析】根据线面平行、线面垂直和空间角的知识，判断A选

11、项的正确性.由线面平行有关知识判断B选项的正确性.根据面面垂直的判定定理，判断C选项的正确性.根据面面平行的性质判断D选项的正确性.【详解】A若，则在中存在一条直线，使得，则，又，那么，故正确；B若，则或相交或异面，故不正确；C若，则存在，使，又，则，故正确D若，且，则或，又由，故正确故选：B【点睛】本小题主要考查空间线线、线面和面面有关命题真假性的判断，属于基础题.9、B【解析】根据函数单调性逐项判断即可【详解】对A,由正弦函数的单调性知sina与sinb大小不确定，故错误；对B,因为ycx为增函数，且ab，所以cacb，正确对C,因为yxc为增函数,故 ，错误；对D, 因为在为减函数，故

12、，错误故选B【点睛】本题考查了不等式的基本性质以及指数函数的单调性，属基础题10、D【解析】设出的坐标为，依据题目条件，求出点的轨迹方程，写出点的参数方程，则，根据余弦函数自身的范围，可求得结果.【详解】设 ，则， 为点的轨迹方程点的参数方程为（为参数） 则由向量的坐标表达式有：又故选：D【点睛】考查学生依据条件求解各种轨迹方程的能力，熟练掌握代数式转换，能够利用三角换元的思想处理轨迹中的向量乘积，属于中档题.求解轨迹方程的方法有：直接法；定义法；相关点法；参数法；待定系数法11、B【解析】求得直线的方程，画出曲线表示的下半圆，结合图象可得位于，结合点到直线的距离公式和两点的距离公式，以及三角

13、形的面积公式，可得所求最小值.【详解】解：曲线表示以原点为圆心，1为半径的下半圆(包括两个端点)，如图，直线的方程为，可得，由圆与直线的位置关系知在时，到直线距离最短，即为，则的面积的最小值为.故选：B.【点睛】本题考查三角形面积最值，解题关键是掌握直线与圆的位置关系，确定半圆上的点到直线距离的最小值，这由数形结合思想易得12、B【解析】利用图形作出空间中两直线所成的角，然后利用余弦定理求解即可.【详解】如图，设为的中点，为的中点，由图可知过且与平行的平面为平面，所以直线即为直线，由题易知，的补角，分别为，设三棱柱的棱长为2，在中，；在中，；在中，.故选：B【点睛】本题主要考查了空间中两直线所

14、成角的计算，考查了学生的作图，用图能力，体现了学生直观想象的核心素养.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】由中点公式的向量形式可得，即有，设，有，再分别讨论三点共线和不共线时的情况，找到的关系，即可根据函数知识求出范围【详解】是的中点，即设，于是(1)当共线时，因为，若点在之间，则，此时，；若点在的延长线上，则，此时，(2)当不共线时，根据余弦定理可得，解得，由，解得综上，故答案为：【点睛】本题主要考查学中点公式的向量形式和数量积的定义的应用，以及余弦定理的应用，涉及到函数思想和分类讨论思想的应用，解题关键是建立函数关系式，属于中档题14、【解析】根据新定义，结合实数

15、的性质即可判断，由定义求得比小的有理数个数，即可确定.【详解】对于，由定义可知，当为有理数时；当为无理数时，则值域为，所以错误；对于，因为有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，所以满足，所以正确；对于，因为，当为无理数时，可以是有理数，也可以是无理数，所以错误；对于，由定义可知，所以错误；综上可知，正确的为.故答案为：.【点睛】本题考查了新定义函数的综合应用，正确理解题意是解决此类问题的关键，属于中档题.15、20,21【解析】由题意知数列奇数项和偶数项分别为等差数列和等比数列,则根据为奇数和为偶数分别算出求和公式,代入数值检验即可.【详解】解: 由题意知数列的奇数项构成公差为的

16、等差数列,偶数项构成公比为的等比数列,则;.当时, ,.当时, ,.由此可知,满足的正整数的所有取值为20,21.故答案为: 20,21【点睛】本题考查等差数列与等比数列通项与求和公式,是综合题,分清奇数项和偶数项是解题的关键.16、1【解析】首先根据向量的数量积的运算律求出，再根据计算可得；【详解】解：因为，所以又所以所以故答案为：【点睛】本题考查平面向量的数量积的运算，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）曲线的普通方程为；直线的直角坐标方程为（2）【解析】（1）利用消去参数，将曲线的参数方程化成普通方程，利用互化公式，将直线的极坐标方程化为

17、直角坐标方程；（2）根据（1）求出曲线的极坐标方程，分别联立射线与曲线以及射线与直线的极坐标方程，求出和，即可求出.【详解】解：（1）因为（为参数），所以消去参数，得，所以曲线的普通方程为.因为所以直线的直角坐标方程为.（2）曲线的极坐标方程为.设的极径分别为和，将（）代入，解得，将（）代入，解得.故.【点睛】本题考查利用消参法将参数方程化成普通方程以及利用互化公式将极坐标方程化为直角坐标方程，还考查极径的运用和两点间距离，属于中档题.18、（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）求导得，分类讨论和，利用导数研究含参数的函数单调性；（2）根据（1）中求得的的单调性，得出在处取得最大值为，构造函

18、数，利用导数，推出，即可证明不等式.【详解】解：（1）由于，得，当时，此时在上递增；当时，由，解得，若，则，若，此时在递增，在上递减.（2）由（1）知在处取得最大值为：，设，则，令，则，则在单调递减，即，则在单调递减，.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，涉及分类讨论和构造新函数，通过导数证明不等式，考查转化思想和计算能力.19、（I）见解析（II）【解析】（1）由题x0，由f（x）在x=x1，x2（x1x2）处导数相等，得到，得，由韦达定理得，由基本不等式得，得，由题意得，令,则，令，利用导数性质能证明（2）由得，令，利用反证法可证明证明恒成立由对任意，只有一个解，得为上的递增函

19、数，得，令，由此可求的取值范围.【详解】（I）令，得，由韦达定理得即，得令,则，令，则，得（II）由得令，则，下面先证明恒成立若存在，使得，且当自变量充分大时，所以存在，使得，取，则与至少有两个交点，矛盾由对任意，只有一个解，得为上的递增函数，得，令，则，得【点睛】本题考查函数的单调性，导数的运算及其应用，同时考查逻辑思维能力和综合应用能力属难题20、（1），（2）【解析】(1)利用极坐标与直角坐标的互化公式即可把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程,利用消去参数即可得到直线的直角坐标方程;(2) 由于在直线上,写出直线的标准参数方程参数方程,代入曲线的方程利用参数的几何意义即可得出求解即可.【详

20、解】（1）直线的普通方程为，即，根据极坐标与直角坐标之间的相互转化，而，则，即，故直线l的普通方程为，曲线C的直角坐标方程（2）点在直线l上，且直线的倾斜角为，可设直线的参数方程为：（t为参数），代入到曲线C的方程得，由参数的几何意义知【点睛】熟练掌握极坐标与直角坐标的互化公式、方程思想、直线的参数方程中的参数的几何意义是解题的关键,难度一般.21、（）（）7839.3元【解析】（）由题意计算x、y的平均值,进而由公式求出回归系数b和a,即可写出回归直线方程;（）由题意计算平均数，得出zN (,)，求出日销量z0.13,0.15) 、0.15,0.16)和0.16,+)的概率，计算奖金总数是多

21、少.【详解】（）因为，因为，所以，所以；（）因为，所以，故即，日销量的概率为，日销量的概率为，日销量的概率为，所以奖金总数大约为：（元）.【点睛】本题考查利用最小二乘法求回归直线方程，还考查了利用正态分布计算概率，进而估计总体情况，属于中档题.22、（1），；（2）二次函数模型的回归方程来拟合效果会更好，理由见解析.【解析】（1）计算平均数，即可容易求得；结合参考数据，即可求得回归直线方程；（2）利用两个模型分别预测第11天的产量，和实际值进行比较，即可判断.【详解】（1）， 由最小二乘法公式求得 即所求回归方程为. （2）由（1）可知，用线性回归方程模型求得该企业第11天的产量为（万个） 用题中的二次函数模型求得的结果为（万个）与第11天的实际数据进行比较发现 所以用这个二次函数模型的回归方程来拟合效果会更好.【点睛】本题考查平均数的求解，回归直线方程的求解，以及考查拟合模型的选择，属综合基础题.