2022-2023学年东北三省三校（哈尔滨师大附中高三六校第一次联考数学试卷含解析.doc

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1、2023年高考数学模拟试卷注意事项1考生要认真填写考场号和座位序号。2试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知等差数列的前n项和为，且，若（，且），则i的取值集合是（ ）ABCD2已知甲盒子中有个红球，个蓝球，乙盒子中有个红球，个蓝球，同时从甲乙两个盒子中取出个球进行交换，（a）交换后，从甲盒子中取1个球是红球的概率记为.（b）交换后，乙盒子中含有

2、红球的个数记为.则（ ）ABCD3若集合，则=（ ）ABCD4设双曲线（a0，b0）的一个焦点为F（c,0）（c0），且离心率等于，若该双曲线的一条渐近线被圆x2+y22cx0截得的弦长为2，则该双曲线的标准方程为（ ）ABCD5设是虚数单位，复数（）ABCD6已知三点A(1,0)，B(0， )，C(2，)，则ABC外接圆的圆心到原点的距离为()ABCD7数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为.给出下列四个结论：曲线有四条对称轴；曲线上的点到原点的最大距离为；曲线第一象限上任意一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积最大值为；四叶草面积小于.其中，所有

3、正确结论的序号是（ ）ABCD8已知（为虚数单位，为的共轭复数），则复数在复平面内对应的点在（ ）.A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限9设是虚数单位，则（ ）ABC1D210古希腊数学家毕达哥拉斯在公元前六世纪发现了第一、二个“完全数”6和28，进一步研究发现后续三个“完全数”分别为496，8128，33550336，现将这五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个，则6和28恰好在同一组的概率为 ABCD11已知展开式的二项式系数和与展开式中常数项相等，则项系数为（ ）A10B32C40D8012当时，函数的图象大致是（ ）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

4、13如图所示，在直角梯形中，、分别是、上的点，且（如图）.将四边形沿折起，连接、（如图）.在折起的过程中，则下列表述： 平面；四点、可能共面；若，则平面平面；平面与平面可能垂直.其中正确的是_.14在平面直角坐标系中，已知，若圆上有且仅有四个不同的点C，使得ABC的面积为5，则实数a的取值范围是_.15二项式的展开式中所有项的二项式系数之和是64，则展开式中的常数项为_.16双曲线的离心率为_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）在平面直角坐标系中，曲线（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）

5、求曲线的普通方程和曲线的普通方程；（2）若P，Q分别为曲线，上的动点，求的最大值.18（12分）在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，准线为，是抛物线上上一点，且点的横坐标为，.（1）求抛物线的方程；（2）过点的直线与抛物线交于、两点，过点且与直线垂直的直线与准线交于点，设的中点为，若、四点共圆，求直线的方程.19（12分）已知直线与抛物线交于两点.（1）当点的横坐标之和为4时，求直线的斜率；（2）已知点，直线过点，记直线的斜率分别为，当取最大值时，求直线的方程.20（12分）某工厂的机器上有一种易损元件A，这种元件在使用过程中发生损坏时，需要送维修处维修工厂规定当日损坏的元件A在次日早上

6、8：30 之前送到维修处，并要求维修人员当日必须完成所有损坏元件A的维修工作每个工人独立维修A元件需要时间相同维修处记录了某月从1日到20日每天维修元件A的个数，具体数据如下表：日期 1 日 2 日 3 日 4 日 5 日 6 日 7 日 8 日 9 日 10 日 元件A个数 9 15 12 18 12 18 9 9 24 12 日期 11 日 12 日 13 日 14 日 15 日 16 日 17 日 18 日 19 日 20 日 元件A个数 12 24 15 15 15 12 15 15 15 24 从这20天中随机选取一天，随机变量X表示在维修处该天元件A的维修个数（）求X的分布列与数学

7、期望；（）若a，b，且b-a=6，求最大值；（）目前维修处有两名工人从事维修工作，为使每个维修工人每天维修元件A的个数的数学期望不超过4个，至少需要增加几名维修工人？（只需写出结论）21（12分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，（）求的大小；（）若，求面积的最大值22（10分）已知函数的图象向左平移后与函数图象重合.（1）求和的值；（2）若函数，求的单调递增区间及图象的对称轴方程.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】首先求出等差数列的首先和公差，然后写出数列即可观察到满足的i的取值集合

8、.【详解】设公差为d，由题知，解得，所以数列为，故.故选：C.【点睛】本题主要考查了等差数列的基本量的求解，属于基础题.2、A【解析】分析：首先需要去分析交换后甲盒中的红球的个数，对应的事件有哪些结果，从而得到对应的概率的大小，再者就是对随机变量的值要分清，对应的概率要算对，利用公式求得其期望.详解：根据题意有，如果交换一个球，有交换的都是红球、交换的都是蓝球、甲盒的红球换的乙盒的蓝球、甲盒的蓝球交换的乙盒的红球，红球的个数就会出现三种情况；如果交换的是两个球，有红球换红球、蓝球换蓝球、一蓝一红换一蓝一红、红换蓝、蓝换红、一蓝一红换两红、一蓝一红换亮蓝，对应的红球的个数就是五种情况，所以分析可

9、以求得，故选A.点睛：该题考查的是有关随机事件的概率以及对应的期望的问题，在解题的过程中，需要对其对应的事件弄明白，对应的概率会算，以及变量的可取值会分析是多少，利用期望公式求得结果.3、C【解析】试题分析：化简集合故选C考点：集合的运算4、C【解析】由题得，又，联立解方程组即可得，进而得出双曲线方程.【详解】由题得 又该双曲线的一条渐近线方程为，且被圆x2+y22cx0截得的弦长为2，所以 又 由可得：，所以双曲线的标准方程为.故选：C【点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质，圆的方程的有关计算，考查了学生的计算能力.5、D【解析】利用复数的除法运算，化简复数，即可求解，得到答案【详解】由

10、题意，复数，故选D【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，其中解答中熟记复数的除法运算法则是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题6、B【解析】选B.考点：圆心坐标7、C【解析】利用之间的代换判断出对称轴的条数；利用基本不等式求解出到原点的距离最大值；将面积转化为的关系式，然后根据基本不等式求解出最大值；根据满足的不等式判断出四叶草与对应圆的关系，从而判断出面积是否小于.【详解】：当变为时， 不变，所以四叶草图象关于轴对称；当变为时，不变，所以四叶草图象关于轴对称；当变为时，不变，所以四叶草图象关于轴对称；当变为时，不变，所以四叶草图象关于轴对称；综上可知：有四条对称轴，故正确；：因为

11、，所以，所以，所以，取等号时，所以最大距离为，故错误；：设任意一点，所以围成的矩形面积为，因为，所以，所以，取等号时，所以围成矩形面积的最大值为，故正确；：由可知，所以四叶草包含在圆的内部，因为圆的面积为：，所以四叶草的面积小于，故正确.故选：C.【点睛】本题考查曲线与方程的综合运用，其中涉及到曲线的对称性分析以及基本不等式的运用，难度较难.分析方程所表示曲线的对称性，可通过替换方程中去分析证明.8、D【解析】设，由，得，利用复数相等建立方程组即可.【详解】设，则，所以，解得，故，复数在复平面内对应的点为，在第四象限.故选：D.【点睛】本题考查复数的几何意义，涉及到共轭复数的定义、复数的模等知

12、识，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.9、C【解析】由，可得，通过等号左右实部和虚部分别相等即可求出的值.【详解】解：， ，解得：.故选:C.【点睛】本题考查了复数的运算，考查了复数相等的涵义.对于复数的运算类问题，易错点是把 当成进行运算.10、B【解析】推导出基本事件总数，6和28恰好在同一组包含的基本事件个数，由此能求出6和28恰好在同一组的概率【详解】解：将五个“完全数”6，28，496，8128，33550336，随机分为两组，一组2个，另一组3个，基本事件总数，6和28恰好在同一组包含的基本事件个数，6和28恰好在同一组的概率故选：B【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排

13、列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题11、D【解析】根据二项式定理通项公式可得常数项，然后二项式系数和，可得，最后依据，可得结果.【详解】由题可知：当时，常数项为又展开式的二项式系数和为由所以当时，所以项系数为故选：D【点睛】本题考查二项式定理通项公式，熟悉公式，细心计算，属基础题.12、B【解析】由，解得，即或，函数有两个零点，不正确，设，则，由，解得或，由，解得：，即是函数的一个极大值点，不成立，排除，故选B.【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考察函数的解析式、定义域、值域、单调性，导数的应用以及数学化归思想，属于难题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强

14、较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意选项一一排除.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】连接、交于点，取的中点，证明四边形为平行四边形，可判断命题的正误；利用线面平行的性质定理和空间平行线的传递性可判断命题的正误；连接，证明出，结合线面垂直和面面垂直的判定定理可判断命题的正误；假设平面与平面垂直，利用面面垂直的性质定理可判断命题的正误.综合可得出结论.【详解】对于命题，连接、交于点，取的中点、，连接、，如下图所示：则且，四边形是矩形，且，为的

15、中点，为的中点，且，且，四边形为平行四边形，即，平面，平面，平面，命题正确；对于命题，平面，平面，平面，若四点、共面，则这四点可确定平面，则，平面平面，由线面平行的性质定理可得，则，但四边形为梯形且、为两腰，与相交，矛盾.所以，命题错误；对于命题，连接、，设，则，在中，则为等腰直角三角形，且，且，由余弦定理得，又，平面，平面，、为平面内的两条相交直线，所以，平面，平面，平面平面，命题正确；对于命题，假设平面与平面垂直，过点在平面内作，平面平面，平面平面，平面，平面，平面，又，平面，平面，.，平面，平面，.，显然与不垂直，命题错误.故答案为：.【点睛】本题考查立体几何综合问题，涉及线面平行、面面

16、垂直的证明、以及点共面的判断，考查推理能力，属于中等题.14、（，）【解析】求出AB的长度，直线方程，结合ABC的面积为5，转化为圆心到直线的距离进行求解即可【详解】解：AB的斜率k，|AB|5，设ABC的高为h，则ABC的面积为5，S|AB|hh5，即h2，直线AB的方程为yax，即4x3y+3a0若圆x2+y29上有且仅有四个不同的点C，则圆心O到直线4x3y+3a0的距离d，则应该满足dRh321，即1，得|3a|5得a，故答案为：（，）【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系的应用，求出直线方程和AB的长度，转化为圆心到直线的距离是解决本题的关键15、【解析】由二项式系数性质求出，由二项

17、展开式通项公式得出常数项的项数，从而得常数项【详解】由题意，展开式通项为，由得，常数项为故答案为：【点睛】本题考查二项式定理，考查二项式系数的性质，掌握二项展开式通项公式是解题关键16、2【解析】 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），；（2）【解析】试题分析：（1）由消去参数，可得的普通方程，由可得的普通方程；（2）设为曲线上一点，点到曲线的圆心的距离，结合可得最值，的最大值为，从而得解.试题解析：（1）的普通方程为.曲线的极坐标方程为，曲线的普通方程为，即.（2）设为曲线上一点，则点到曲线的圆心的距离 .，当时，d有最大值.又P，Q分别为曲线，曲线上动

18、点，的最大值为.18、（1）（2）【解析】（1）由抛物线的定义可得，即可求出，从而得到抛物线方程；（2）设直线的方程为，代入，得.设，列出韦达定理，表示出中点的坐标，若、四点共圆，再结合，得，则即可求出参数，从而得解；【详解】解：（1）由抛物线定义，得，解得，所以抛物线的方程为.（2）设直线的方程为，代入，得.设，则，.由，得，所以.因为直线的斜率为，所以直线的斜率为，则直线的方程为.由解得.若、四点共圆，再结合，得，则，解得，所以直线的方程为.【点睛】本题考查抛物线的定义及性质的应用，直线与抛物线综合问题，属于中档题.19、（1）（2）【解析】（1）设，根据直线的斜率公式即可求解；（2）设直

19、线的方程为，联立直线与抛物线方程，由韦达定理得，结合直线的斜率公式得到，换元后讨论的符号，求最值可求解.【详解】（1）设，因为，即直线的斜率为1.（2）显然直线的斜率存在，设直线的方程为.联立方程组，可得则，令，则则当时，；当且仅当，即时，解得时，取“=”号，当时，；当时，综上所述，当时，取得最大值，此时直线的方程是.【点睛】本题主要考查了直线的斜率公式，直线与抛物线的位置关系，换元法，均值不等式，考查了运算能力，属于难题.20、（）分布列见解析，；()；()至少增加2人.【解析】（）求出X的所有可能取值为9，12，15，18，24，求出概率，得到X的分布列，然后求解期望即可（）当P（aXb）

20、取到最大值时，求出a，b的可能值，然后求解P（aXb）的最大值即可（）利用前两问的结果，判断至少增加2人【详解】()X的取值为：9，12，15，18，24；,，X的分布列为：X912151824P故X的数学期望；()当P(aXb)取到最大值时,a,b的值可能为：,或,或.经计算,，所以P(aXb)的最大值为.()至少增加2人.【点睛】本题考查离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差，属于中等题.21、（1）（2）【解析】分析：(1)利用正弦定理以及诱导公式与和角公式，结合特殊角的三角函数值，求得角C；(2)运用向量的平方就是向量模的平方，以及向量数量积的定义，结合基本不等式，求得的

21、最大值，再由三角形的面积公式计算即可得到所求的值.详解：（1）， （）取中点，则，在中，（注：也可将两边平方）即， ，所以，当且仅当时取等号 此时，其最大值为.点睛：该题考查的是有关三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理，诱导公式，和角公式，向量的平方即为向量模的平方，基本不等式，三角形的面积公式，在解题的过程中，需要正确使用相关的公式进行运算即可求得结果.22、（1），；（2），.【解析】（1）直接利用同角三角函数关系式的变换的应用求出结果（2）首先把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用正弦型函数的性质的应用求出结果【详解】（1）由题意得，（2）由，解得，所以对称轴为，.由，解得，所以单调递增区间为.,【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型