2022-2023学年天津市和平区名校高三第一次模拟考试数学试卷含解析.doc

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1、2023年高考数学模拟试卷注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1过双曲线 的左焦点作直线交双曲线的两天渐近线于,两点，若为线段的中点，且（为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ）ABCD2已知棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的四

2、个面中，最大面积为（ ）ABCD3在三棱锥中，则三棱锥外接球的表面积是（ ）ABCD4设x、y、z是空间中不同的直线或平面，对下列四种情形：x、y、z均为直线；x、y是直线，z是平面；z是直线，x、y是平面；x、y、z均为平面.其中使“且”为真命题的是（ ）ABCD5的展开式中的一次项系数为（ ）ABCD6函数的定义域为（ ）A或B或CD7已知正方体的棱长为2，点为棱的中点，则平面截该正方体的内切球所得截面面积为（ ）ABCD8已知复数满足，则的值为（ ）ABCD29执行如图所示的程序框图，若输出的值为8，则框图中处可以填（ ）ABCD10函数的图象的大致形状是（ ）ABCD11下图为一个正四

3、面体的侧面展开图，为的中点，则在原正四面体中，直线与直线所成角的余弦值为（ ）ABCD12若实数满足不等式组，则的最大值为（ ）ABC3D2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13设实数，满足，则的最大值是_.14已知等差数列的前n项和为Sn，若，则_.15甲、乙、丙、丁4名大学生参加两个企业的实习，每个企业两人，则“甲、乙两人恰好在同一企业”的概率为_.16若存在直线l与函数及的图象都相切，则实数的最小值为_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）如图，为等腰直角三角形，D为AC上一点，将沿BD折起，得到三棱锥，且使得在底面BCD的投影E在线段

4、BC上，连接AE. （1）证明：；（2）若，求二面角的余弦值.18（12分）函数（1）证明：；（2）若存在，且，使得成立，求取值范围.19（12分）已知函数的最大值为2.（）求函数在上的单调递减区间；（）中,角所对的边分别是，且，求的面积20（12分）设抛物线过点.（1）求抛物线C的方程；（2）F是抛物线C的焦点，过焦点的直线与抛物线交于A，B两点，若，求的值.21（12分）已知函数，直线是曲线在处的切线 （1）求证：无论实数取何值，直线恒过定点，并求出该定点的坐标； （2）若直线经过点，试判断函数的零点个数并证明22（10分）已知函数，曲线在点处的切线方程为求a，b的值；证明：参考答案一、选

5、择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】由题意可得双曲线的渐近线的方程为.为线段的中点，则为等腰三角形.由双曲线的的渐近线的性质可得，即.双曲线的离心率为故选C.点睛：本题考查了椭圆和双曲线的定义和性质，考查了离心率的求解，同时涉及到椭圆的定义和双曲线的定义及三角形的三边的关系应用，对于求解曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：求出 ，代入公式；只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范围)2、B【解析】由三视图可知，该三棱锥如图, 其

6、中底面是等腰直角三角形，平面,结合三视图求出每个面的面积即可.【详解】由三视图可知，该三棱锥如图所示：其中底面是等腰直角三角形，平面,由三视图知，因为,所以,所以,因为为等边三角形，所以,所以该三棱锥的四个面中，最大面积为.故选：B【点睛】本题考查三视图还原几何体并求其面积; 考查空间想象能力和运算求解能力;三视图正确还原几何体是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.3、B【解析】取的中点，连接、，推导出，设设球心为，和的中心分别为、，可得出平面，平面，利用勾股定理计算出球的半径，再利用球体的表面积公式可得出结果.【详解】取的中点，连接、，由和都是正三角形，得，则，则，由勾股定理的逆定理，得.

7、设球心为，和的中心分别为、.由球的性质可知：平面，平面，又，由勾股定理得.所以外接球半径为.所以外接球的表面积为.故选：B.【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积的计算，解题时要分析几何体的结构，找出球心的位置，并以此计算出球的半径长，考查推理能力与计算能力，属于中等题.4、C【解析】举反例，如直线x、y、z位于正方体的三条共点棱时用垂直于同一平面的两直线平行判断.用垂直于同一直线的两平面平行判断.举例，如x、y、z位于正方体的三个共点侧面时.【详解】当直线x、y、z位于正方体的三条共点棱时,不正确； 因为垂直于同一平面的两直线平行,正确；因为垂直于同一直线的两平面平行,正确；如x、y、z位于正方

8、体的三个共点侧面时, 不正确.故选:C.【点睛】此题考查立体几何中线面关系，选择题一般可通过特殊值法进行排除，属于简单题目.5、B【解析】根据多项式乘法法则得出的一次项系数，然后由等差数列的前项和公式和组合数公式得出结论【详解】由题意展开式中的一次项系数为故选：B【点睛】本题考查二项式定理的应用，应用多项式乘法法则可得展开式中某项系数同时本题考查了组合数公式6、A【解析】根据偶次根式被开方数非负可得出关于的不等式，即可解得函数的定义域.【详解】由题意可得，解得或.因此，函数的定义域为或.故选：A.【点睛】本题考查具体函数定义域的求解，考查计算能力，属于基础题.7、A【解析】根据球的特点可知截面

9、是一个圆，根据等体积法计算出球心到平面的距离，由此求解出截面圆的半径，从而截面面积可求.【详解】如图所示：设内切球球心为，到平面的距离为，截面圆的半径为，因为内切球的半径等于正方体棱长的一半，所以球的半径为，又因为，所以，又因为，所以，所以，所以截面圆的半径，所以截面圆的面积为.故选：A.【点睛】本题考查正方体的内切球的特点以及球的截面面积的计算，难度一般.任何一个平面去截球，得到的截面一定是圆面，截面圆的半径可通过球的半径以及球心到截面的距离去计算.8、C【解析】由复数的除法运算整理已知求得复数z，进而求得其模.【详解】因为，所以故选：C【点睛】本题考查复数的除法运算与求复数的模，属于基础题

10、.9、C【解析】根据程序框图写出几次循环的结果，直到输出结果是8时.【详解】第一次循环：第二次循环：第三次循环：第四次循环：第五次循环：第六次循环：第七次循环： 第八次循环： 所以框图中处填时，满足输出的值为8.故选：C【点睛】此题考查算法程序框图，根据循环条件依次写出每次循环结果即可解决，属于简单题目.10、B【解析】根据函数奇偶性，可排除D；求得及，由导函数符号可判断在上单调递增，即可排除AC选项.【详解】函数易知为奇函数，故排除D.又，易知当时，；又当时，故在上单调递增，所以，综上，时，即单调递增.又为奇函数，所以在上单调递增，故排除A，C.故选：B【点睛】本题考查了根据函数解析式判断函

11、数图象，导函数性质与函数图象关系，属于中档题.11、C【解析】将正四面体的展开图还原为空间几何体，三点重合，记作，取中点，连接，即为与直线所成的角，表示出三角形的三条边长，用余弦定理即可求得.【详解】将展开的正四面体折叠，可得原正四面体如下图所示，其中三点重合，记作：则为中点，取中点，连接，设正四面体的棱长均为，由中位线定理可得且，所以即为与直线所成的角， ，由余弦定理可得，所以直线与直线所成角的余弦值为，故选：C.【点睛】本题考查了空间几何体中异面直线的夹角，将展开图折叠成空间几何体，余弦定理解三角形的应用，属于中档题.12、C【解析】作出可行域，直线目标函数对应的直线，平移该直线可得最优解

12、【详解】作出可行域，如图由射线，线段，射线围成的阴影部分（含边界），作直线，平移直线，当过点时，取得最大值1故选：C【点睛】本题考查简单的线性规划问题，解题关键是作出可行域，本题要注意可行域不是一个封闭图形二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、1【解析】根据目标函数的解析式形式，分析目标函数的几何意义，然后判断求出目标函数取得最优解的点的坐标，即可求解【详解】作出实数，满足表示的平面区域，如图所示：由可得，则表示直线在轴上的截距，截距越小，越大.由可得，此时最大为1，故答案为：1【点睛】本题主要考查线性规划知识的运用，考查学生的计算能力，考查数形结合的数学思想14、【解析】由，

13、成等差数列，代入可得的值.【详解】解：由等差数列的性质可得：，成等差数列，可得：，代入，可得：，故答案为：.【点睛】本题主要考查等差数列前n项和的性质，相对不难.15、【解析】求出所有可能，找出符合可能的情况，代入概率计算公式【详解】解：甲、乙、丙、丁4名大学生参加两个企业的实习，每个企业两人，共有种，甲乙在同一个公司有两种可能，故概率为，故答案为【点睛】本题考查古典概型及其概率计算公式，属于基础题16、【解析】设直线l与函数及的图象分别相切于，因为，所以函数的图象在点处的切线方程为，即，因为，所以函数的图象在点处的切线方程为，即，因为存在直线l与函数及的图象都相切，所以，所以，令，设，则，当

14、时，函数单调递减；当时，函数单调递增，所以，所以实数的最小值为三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析；（2）【解析】（1）由折叠过程知与平面垂直，得，再取中点，可证与平面垂直，得，从而可得线面垂直，再得线线垂直；（2）由已知得为中点，以为原点，所在直线为轴，在平面内过作的垂线为轴建立空间直角坐标系，由已知求出线段长，得出各点坐标，用平面的法向量计算二面角的余弦【详解】（1）易知与平面垂直，连接，取中点，连接，由得，平面，平面，又，平面，；（2）由，知是中点，令，则，由，解得，故以为原点，所在直线为轴，在平面内过作的垂线为轴建立空间直角坐标系，如图，则，

15、设平面的法向量为，则，取，则又易知平面的一个法向量为，二面角的余弦值为【点睛】本题考查证明线线垂直，考查用空间向量法求二面角证线线垂直，一般先证线面垂直，而证线面垂直又要证线线垂直，注意线线垂直、线面垂直及面面垂直的转化求空间角，常用方法就是建立空间直角坐标系，用空间向量法求空间角18、（1）证明见详解；（2）或或【解析】（1）（2）首先用基本不等式得到，然后解出不等式即可【详解】（1）因为所以（2）当时所以当且仅当即时等号成立因为存在，且，使得成立所以所以或解得：或或【点睛】1.要熟练掌握绝对值的三角不等式，即2.应用基本不等式求最值时要满足“一正二定三相等”.19、（）（）【解析】(1)由

16、题意，f(x)的最大值为所以而m0，于是m=，f(x)=2sin(x+).由正弦函数的单调性可得x满足即所以f(x)在0,上的单调递减区间为(2)设ABC的外接圆半径为R，由题意，得化简得sin A+sin B=2sin Asin B.由正弦定理，得 由余弦定理，得a2+b2-ab=9，即(a+b)2-3ab-9=0将式代入，得2(ab)2-3ab-9=0，解得ab=3或(舍去)，故20、（1）（2）【解析】(1)代入计算即可.(2) 设直线AB的方程为,再联立直线与抛物线的方程,消去可得的一元二次方程,再根据韦达定理与求解,进而利用弦长公式求解即可.【详解】解：（1）因为抛物线过点,所以,所

17、以,抛物线的方程为 （2）由题意知直线AB的斜率存在,可设直线AB的方程为,.因为,所以,联立,化简得,所以,所以,解得,所以.【点睛】本题考查抛物线的方程以及联立直线与抛物线求弦长的简单应用.属于基础题.21、（1）见解析，（2）函数存在唯一零点.【解析】（1）首先求出导函数，利用导数的几何意义求出处的切线斜率，利用点斜式即可求出切线方程，根据方程即可求出定点.（2）由（1）求出函数，令方程可转化为记，利用导数判断函数在上单调递增，根据，由零点存在性定理即可求出零点个数.【详解】所以直线方程为即，恒过点将代入直线方程，得考虑方程即，等价于记，则于是函数在上单调递增，又所以函数在区间上存在唯一

18、零点， 即函数存在唯一零点.【点睛】本题考查了导数的几何意义、直线过定点、利用导数研究函数的单调性、零点存在性定理，属于难题.22、（1）；（2）见解析【解析】分析：第一问结合导数的几何意义以及切点在切线上也在函数图像上，从而建立关于的等量关系式，从而求得结果；第二问可以有两种方法，一是将不等式转化，构造新函数，利用导数研究函数的最值，从而求得结果，二是利用中间量来完成，这样利用不等式的传递性来完成，再者这种方法可以简化运算.详解：（1）解：，由题意有，解得（2）证明：（方法一）由（1）知，.设则只需证明 ，设则， 在上单调递增，使得且当时，当时，当时，单调递减当时，单调递增 ，由，得， ，设， 当时，在单调递减， ，因此（方法二）先证当时， ，即证设，则，且，在单调递增，在单调递增，则当时，（也可直接分析 显然成立）再证设，则，令，得且当时，单调递减；当时，单调递增. ，即又，点睛：该题考查的是有关利用导数研究函数的综合问题，在求解的过程中，涉及到的知识点有导数的几何意义，有关切线的问题，还有就是应用导数证明不等式，可以构造新函数，转化为最值问题来解决，也可以借用不等式的传递性，借助中间量来完成.