2022-2023学年吉林省松原市重点中学高三最后一模数学试题含解析.doc

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1、2023年高考数学模拟试卷注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知正方体的棱长为，分别是棱，的中点，给出下列四个命题: ; 直线与直线所成角为; 过，三点的平面截该正方体所得的截面为六边形; 三棱锥的体积为.其中，正确命题的个数为（ ）ABCD2设过点

2、的直线分别与轴的正半轴和轴的正半轴交于两点，点与点关于轴对称，为坐标原点，若，且，则点的轨迹方程是（ ）ABCD3已知甲盒子中有个红球，个蓝球，乙盒子中有个红球，个蓝球，同时从甲乙两个盒子中取出个球进行交换，（a）交换后，从甲盒子中取1个球是红球的概率记为.（b）交换后，乙盒子中含有红球的个数记为.则（ ）ABCD4集合，则( )ABCD5已知曲线且过定点，若且，则的最小值为（ ）.AB9C5D6设则以线段为直径的圆的方程是（ ）ABCD7设等比数列的前项和为，则“”是“”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件8已知角的终边经过点，则的值是A1或B或C1或

3、D或9已知集合，则集合的真子集的个数是（ ）A8B7C4D310若不等式对于一切恒成立，则的最小值是 （ ）A0BCD11数列的通项公式为则“”是“为递增数列”的（ ）条件A必要而不充分B充要C充分而不必要D即不充分也不必要12若集合，则（ ）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13设为互不相等的正实数，随机变量和的分布列如下表，若记，分别为的方差，则_（填，【解析】根据方差计算公式，计算出的表达式，由此利用差比较法，比较出两者的大小关系.【详解】，故.，.要比较的大小，只需比较与，两者作差并化简得，由于为互不相等的正实数，故，也即，也即.故答案为：【点睛】本小题主要考查随

4、机变量期望和方差的计算，考查差比较法比较大小，考查运算求解能力，属于难题.14、-254【解析】利用代入即可得到，即是等比数列，再利用等比数列的通项公式计算即可.【详解】由已知，得，即，所以又，即，所以是以-4为首项，2为公比的等比数列，所以，即，所以。故答案为：【点睛】本题考查已知与的关系求，考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题.15、【解析】由题意可知半球的半径与正四棱锥的高相等，可得正四棱锥的棱与半径的关系，进而可写出半球的半径与四棱锥体积的关系，进而求得结果.【详解】设所给半球的半径为，则四棱锥的高，则，由四棱锥的体积，半球的体积为：.【方法点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，

5、一般过球心及多面体中的特殊点（一般为接、切点）或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径（直径）与该几何体已知量的关系，列方程（组）求解.16、乙、丁【解析】本题首先可根据题意中的“四个人中有且只有两个人的猜测是正确的”将题目分为四种情况，然后对四种情况依次进行分析，观察四人所猜测的结果是否冲突，最后即可得出结果.【详解】从表中可知，若甲猜测正确，则乙，丙，丁猜测错误，与题意不符，故甲猜测错误；若乙猜测正确，则依题意丙猜测无法确定正误，丁猜测错误；若丙猜测正确，则丁猜测错误；综上只有乙，丙猜测

6、不矛盾，依题意乙，丙猜测是正确的，从而得出乙，丁获奖.所以本题答案为乙、丁.【点睛】本题是一个简单的合情推理题，能否根据“四个人中有且只有两个人的猜测是正确的”将题目所给条件分为四种情况并通过推理判断出每一种情况的正误是解决本题的关键，考查推理能力，是简单题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、；4；12.【解析】由题意可知，求导函数，方程在区间上有实数解，求出实数的取值范围；由，则，分步讨论，并利用导函数在函数的单调性的研究，得出正实数的最大值；设直线与曲线的切点为，因为，所以切线斜率，切线方程为，设直线与曲线的切点为，因为，所以切线斜率，即切线方程为，整理得

7、.所以，求得，设，则，所以在上单调递增，最后求出实数的值.【详解】由题意可知，则，即方程在区间上有实数解，解得；因为，则，当，即时，恒成立，所以在上单调递增，不符题意；当时，令，解得：，当时，单调递增，所以不存在，使得在上的最大值为，不符题意；当时，解得：，且当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，若，则在上单调递减，所以，若，则上单调递减，在上单调递增，由题意可知，即，整理得，因为存在，符合上式，所以，解得，综上，的最大值为4；设直线与曲线的切点为，因为，所以切线斜率，即切线方程整理得：由题意可知，即，即，解得所以切线方程为，设直线与曲线的切点为，因为，所以切线斜率，即切线方程为，整理得

8、.所以，消去，整理得，且因为，解得，设，则，所以在上单调递增，因为，所以，所以，即.【点睛】本题主要考查导数在函数中的研究，导数的几何意义，属于难题.18、（1）证明见解析（2）【解析】（1）由等腰梯形的性质可证得,由射影可得平面,进而求证；（2）取的中点F,连接,以G为原点,所在直线为x轴,所在直线为y轴,所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,分别求得平面与平面的法向量,再利用数量积求解即可.【详解】（1）在等腰梯形中,点E在线段上,且,点E为上靠近C点的四等分点,点P在底面上的射影为的中点G,连接,平面,平面,.又,平面,平面,平面.（2）取的中点F,连接,以G为原点,所在直线为x轴,所在直

9、线为y轴,所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,如图所示,由（1）易知,又,为等边三角形,则,设平面的法向量为,则，即,令,则,设平面的法向量为,则,即,令,则,设平面与平面的夹角为,则二面角的余弦值为.【点睛】本题考查线面垂直的证明,考查空间向量法求二面角,考查运算能力与空间想象能力.19、（1）；（2）（i）详见解析；（ii）会超过；详见解析【解析】（1）利用组合进行计算以及概率表示，可得结果.（2）（i）写出X所有可能取值，并计算相对应的概率，列出表格可得结果.（ii）由（i）的条件结合7月与8月空气质量所对应的概率，可得7月与8月经济损失的期望和，最后7月、8月、9月经济损失总额的数学期

10、望与2.88万元比较，可得结果.【详解】（1）设为选取的3天中空气质量为优的天数，则P（2），P（3），则这3天中空气质量至少有2天为优的概率为；（2）（i），X的分布列如下：X02201480P（ii）由（i）可得：E（X）02201480302（元），故该企业9月的经济损失的数学期望为30E（X），即30E（X）9060元，设7月、8月每天因空气质量造成的经济损失为Y元，可得：，E（Y）02201480320（元），所以该企业7月、8月这两个月因空气质量造成经济损失总额的数学期望为320（31+31）19840（元），由19840+90602890028800，即7月、8月、9月这三个月因

11、空气质量造成经济损失总额的数学期望会超过2.88万元.【点睛】本题考查概率中的分布列以及数学期望，属基础题。20、（1）.（2）【解析】（1）先对函数求导，结合极值存在的条件可求t，然后结合导数可研究函数的单调性，进而可求极大值；（2）由已知代入可得，x2+（t2）xtlnx0在x0时恒成立，构造函数g（x）x2+（t2）xtlnx，结合导数及函数的性质可求.【详解】（1），x0，由题意可得，0，解可得t4，易得，当x2，0x1时，f（x）0，函数单调递增，当1x2时，f（x）0，函数单调递减，故当x1时，函数取得极大值f（1）3；（2）由f（x）x2+（t2）xtlnx+22在x0时恒成立可

12、得，x2+（t2）xtlnx0在x0时恒成立，令g（x）x2+（t2）xtlnx，则，（i）当t0时，g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增，所以g（x）ming（1）t10，解可得t1，（ii）当2t0时，g（x）在（）上单调递减，在（0，），（1，+）上单调递增，此时g（1）t11不合题意，舍去；（iii）当t2时，g（x）0，即g（x）在（0，+）上单调递增，此时g（1）3不合题意；（iv）当t2时，g（x）在（1，）上单调递减，在（0，1），（）上单调递增，此时g（1）t13不合题意，综上，t1时，f（x）2恒成立.【点睛】本题主要考查了利用导数求解函数的单调性及极值，

13、利用导数与函数的性质处理不等式的恒成立问题，分类讨论思想，属于中档题.21、（1），；（2）.【解析】（1）由条件得出方程组 ，可求得的通项，当时，可得，当时，得出是以1为首项，2为公比的等比数列，可求得的通项；（2）由（1）可知，分n为偶数和n为奇数分别求得.【详解】（1）由条件知， ，当时，即，当时，是以1为首项，2为公比的等比数列， ；（2）由（1）可知，当n为偶数时， 当n为奇数时， 综上，【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项的求得，以及其前n项和，注意分n为偶数和n为奇数两种情况分别求得其数列的和，属于中档题.22、（1）乙同学正确（2）分布列见解析， 【解析】（1）由已知可得甲不正确，求出样本中心点代入验证，即可得出结论；（2）根据（1）中得到的回归方程，求出估值，得到“理想数据”的个数，确定“理想数据”的个数的可能值，并求出概率，得到分布列，即可求解.【详解】（1）已知变量具有线性负相关关系，故甲不正确，代入两个回归方程，验证乙同学正确，故回归方程为：（2）由（1）得到的回归方程，计算估计数据如下表： “理想数据”有3个，故“理想数据”的个数的取值为:.，于是“理想数据”的个数的分布列【点睛】本题考查样本回归中心点与线性回归直线方程关系，以及离散型随机变量的分布列和期望，意在考查逻辑推理、数学计算能力，属于中档题.