(华师版初中数学教案全)第二十二章二次根式.pdf

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1、尤新教育辅导学校第二十二章第二十二章二次根式二次根式22.122.1二次根式（第二次根式（第 1 1 课时）课时）教学任务分析教学任务分析知识技能知识技能数学思考数学思考解决问题解决问题情感态度情感态度教教学学目目标标使学生理解并掌握二次根式的概念，掌握二次根式中被开方数的取值范围和二次根式的取值范围.使学生理解二次根式被开方数的取值范围的重要性.培养学生根据条件处理问题的能力及分类讨论问题.培养学生辩证唯物主义观点.重点重点二次根式中被开方数的取值范围.难点难点二次根式的取值范围.板书设计板书设计课题：课题：22.122.1二次根式二次根式问题：1，2，3，4 2.例题与练习1.二次根式的定

2、义总结收获课后反思课后反思1尤新教育辅导学校教学过程设计教学过程设计问题与情境问题与情境活动一回顾与思考1的平方根是_；0 的平方根是_；16 的平方根是_.25 的平方根是_；5 的算术平方根是_.3直角三角形的两条直角边分别为 7 和 4，斜边为_.4正方形的面积为s,则它的边长为_.活动二接触新知上面 3、4 题的结果是65，s他们表示一些正数的算术平方根.1.二次根式的定义:一般的,我们把形如a(a0)的式子叫做二次根式，“”称为二次根号.设计意图设计意图使学生回忆平方根和算术平方根的内容利用开方开不进的式子引出二次根式的定义.进一步巩固被开方数一定要大于等于零这一条件.师生行为师生行

3、为1,2 两题学生口答:1.的平方根是2;0 的平方根是 0;16 没有平方根.2.5 的平方根是5;5 的算术平方根是5.3.题经过计算后回答65;4.题学生口答s.请同学们思考:为什么一定要加上a0 这一条件?引导学生说出只有正数和零才有平方根，负数没有平方根.（1）小题与学生一起分析；2.例题与练习例 1.下列各式是否为二次根式?（2）小题请学生分析；（1）m21;（2）a2;2（3）n;（4）a 2;（5）x y.22解：（1）m 0,m+10（3）小题请学生认真思考后回答；m21是二次根式.2（2）a0,a2是二次根式;22（3）n 0,-n 0,（5）两小题需要分情况当 n=0 时

4、n2才是二次根（4）讨论，请学生考虑清楚在回式；（4）当a-20 时是二次答.根式,当a-20 时不是二次根式；即当a2 是二次根式,当a0 时不是二次根式；（5）当 x-y0 时是二次根式,当 x-y0 时不是二次根式；即当 xy 是二次根式,当 x0，（4）小题请学生思考后解x 为任意实数x 1答.都有意义.练习:1.一 个 矩 形 的 面 积 是218cm,它 的 边 长 之 比 为学生练习 1、2 两小题2:3,它的边长应为多少？是基础题,学生自己能够完2.当a是怎样的实数时，下成.列各式在实数范围内有意义？（1）a 1（2）2a 33题是灵活应用二次根3.已知 y=x 3-3 x,式

5、的取值范围才能解的题求 x+y 的值.目,需要学生认真思考.3尤新教育辅导学校教学过程设计教学过程设计问题与情境问题与情境活动三.总结收获1.二次根式的定义及被开方数的取值范围;2.被开方数的取值范围在计算中经常作为隐含条件给出,注意合理应用.作业:1.下列各式是否为二次根式?设计意图设计意图有助于培养学生的总结能力,并让学生总结经验教训有助于学生大胆的说出自己的错误避免今后再出现同样的失误.师生行为师生行为学生总结有何收获和经验教训,教师补充.222x 3；a；a；m7.2.当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？(1)3a;(2)a1;(3)62a2.4尤新教育辅导学校22.122

6、.1二次根式（第二次根式（第 2 2 课时）课时）教学任务分析教学任务分析教教学学目目标标知识技能知识技能使学生初步掌握利用（a）2=a（a0）进行计算.数学思考数学思考乘方与开方互为逆运算在推导结论（a）2=a（a0）中的应用.解决问题解决问题二次根式的非负性和如何利用（a）2=a（a0）解题.2通过利用乘方与开方互为逆运算推导结论（a）=a（a0）,情感态度情感态度使学生感受到数学知识的内在联系.重点重点应用（a）2=a（a0）进行计算.利用二次根式的非负性（上一节已谈及二次根式的取值范围）和利用难点难点（a）2=a（a0）解题.板书设计板书设计课题：22.1二次根式问题 1，2，3结论：

7、(a)2=a（a0）例 1.总结收获课后反思课后反思5尤新教育辅导学校教学过程设计教学过程设计问题与情境问题与情境活动一回忆旧知识问题：1.5，a有意义吗？为什么？2.5表示的意义是什么?3.a表示的意义是什么?活动二引入新知识请同学们想一想a有没有可能小于零？为什么？设计意图设计意图师生行为师生行为学生口答1.5有意义，因为50；a当a0 时有意义，当a0 时无意义；2.5表示的是 5 的算术平方根.3.a表示的是 当a0时a的算术平方根.学生思考并解释，不完善a0 (a0）的地方教师补充.例 1.已知求x 3+y 5=0，xy 的值是多少？解：x 3+y 5=0，找学生来讲解做法.x 30

8、且y 50，x 3=0 且y 5=0；即 x+3=0 且 y-5=0解得 x=-3,y=5xy=-15.练习:已知学生独自思考解题，然后1 a+b 7=0，全班同学集体进行交流.求a-b 的值.答案：a-b=8.活动三探求规律利用这两个式子复习被开方式的取值范围.复习算术平方根的基本形式.引出初中阶段的第三个非负式.使学生理解非负式的应用.进一步巩固二次根式的非负性.根据算术平方根的意义填空：1.(9)2=_；请学生口答结果后总结2.(3)2=_；23.(1)=_；由学生自己发现规律，他有何规律.5们更容易记住.4.(0)2=_；5.(a)2=_；（a0）1.9;由于a（a0）表示非负2.3;

9、数a的算术平方根，根据平3.15方根的意义，a的平方等于a，因此我们就得到一个4.0;结论：5.a;2 2(a)=a（a0 0）6尤新教育辅导学校教学过程设计教学过程设计问题与情境问题与情境例 2.计算:（1）（1.7）2；（2）（25）2；师生行为师生行为设计意图设计意图（1）小题学生口算结果.2（3）（a21）.2解：（1）（1.7）=1.7；（2）与学生一起写出过程n这里用到公式（ab）=anbn（2）（25）2.=22（5）2=45 =20.（3）问学生为什么不用给222（3）（a 1）=a+1.出字母的范围.练习.计算：21.（0.5）；22.（710）；23）2；3.（7学生自己计

10、算在小组对答4.（a2b2）2.案.解:1.（0.5）2=0.5；2.（710）2=490；23）2=123.（749222224.（a b）=a+b.活动四总结收获1.请学生谈一谈自己的1.注意二次根式的非负性收获以及自己对本节课的在解题中的应用；体会;22.(a)=a（a0）2.请你给大家一些建议,的应用范围，一定要注意；在做这种题目是应注意哪3 请谈一谈本节所学的内容学问题.与哪些学过的知识有联系.作业：计算：1.(4)2;2.(7)2;3.(3 3)2；4.(2 1.5)2逐层深入使学生对(a)2=a（a0）有更深刻的理解.进一步巩固所学内容.使学生大胆的说出自己的想法和错误，以便及时

11、改正.7尤新教育辅导学校22.122.1二次根式（第二次根式（第 3 3 课时）课时）教学任务分析教学任务分析教教学学目目标标知识技能知识技能使学生理解并掌握a2=a,并能利用这一结论进行计算.数学思考数学思考通过对a2的化简，培养学生分类讨论的思想.解决问题解决问题解决了a2这一类问题的化简问题.情感态度情感态度培养学生用分类讨论的思想分析生活中出现的不同事物重点重点利用a2=a（a0）进行计算难点难点当a0 时，a2=-a这一结论的推导和应用.板书设计板书设计课题：22.1二次根式问题 1，2结论：当（a0）时a2=a归纳小结例 2.计算:课后反思课后反思8尤新教育辅导学校教学过程设计教学

12、过程设计问题与情境问题与情境活动一复习旧知识1.(3.9)22.(x)2=_=_；活动二探索填空_=22=_；师生行为师生行为设计意图设计意图学生口答第（1）小题这两道小题的设计目的（2）小题学生考虑应考虑是复习旧知识,使学生与本什么?怎样填写?节课的内容分开.2_=4=_；_=0.12=_；使学生理解a2（a0）_=2=_；23a实际上是求的算术平方与学生一起分析填空，同_=02=_；时讲清a2（a0）的意义根.222求的是 2 算术平方根，并总结出规律.即求 4 的算术平方根是 2；同理依次可得4，0.1，2，0；3因此，总结出2当（a0）时a=a.培养学生的归纳能力例 1 化简:（1）8

13、2；（1）（2）两小题学生自己（2）16；解决；虽然 x 可以取全体实数，（3）(x21)2.（3）小题提醒学生应注意但要养成习惯对字母进行解：（1）82=8；考虑 x 的取值范围.讨论.2（2）16=4=4；222（3）(x 1)=x+1.练习.计算：（1）0.32；（2）2 7对负指数的化简学生应（3）25；学生独自完成，在全体订多加注意.（4）102.正答案.解：（1）0.32=0.3；22（2）272=2；7（3）25=5；（4）102=10-1=0.1=1.109尤新教育辅导学校教学过程设计教学过程设计问题与情境问题与情境活动三拓展提高议一议：设计意图设计意图从特殊到一般归纳完整的a

14、2化简的结论.利用这三个小题进一步使学生对a2的化简有更深刻的理解.介绍代数式的定义为今后的学习代数式化简做好准备.训练学生的语言表达能力,勇于表达出自己的意见和想法.师生行为师生行为与学生一起分析计算,得出完整的结论.（1）（2）两小题学生自己完成；（3）小题仿照结论完成.为学生介绍代数式的基本概念.请学生们回忆本节课所学到的内容,谈谈你的收获和体会,有什么好方法告诉大家.(4)2=_=_；(5)2=_=_；(10)2=_=_；由上可知,a2需要 a的范围吗？为什么？a2当 a0 时，a2=？a2=(a0)=(a0).例 2.计算:（1）(3)；（2）7 8222；（3）(m1).解:（1）

15、(3)2=3；77（2）=；828（3）(m1)2=m-1(m1)=1-m（m0）例 2bbbb结论 2aa（a0,b0）练习 1例 1练习 2课后反思课后反思16尤新教育辅导学校教学过程设计教学过程设计问题与情境问题与情境活动一回忆对比1.请同学们回忆a b ab(a0，b0)是如何得到的?2.学生观察下面的例子，并计算：设计意图设计意图师生行为师生行为使学生回忆起二次根对比二次根式的乘式乘法的运算方法的推导法推导出除法的运算方过程.法由学生总结上面两个式的关系得：增强学生的自信心,类似地，请每个同学并从一开始就使他们参再举一个例子，与到推导过程中来.对学生进一步强化请学生们思考为什么类似地

16、，请每个同学再举一被开方数的取值范围,以b 的取值范围变小了？个例子，然后由这些特殊的例及分母不能为零.子，得出：aa（a0,b0）bb例 1.计算:（1）24;（2）331.218解:（1）243与学生一起写清解题过程,提醒他们被开方式强化学生的解题格一定要开尽.式一定要标准.248 42 2 2;3（2）31218318 39 3 323121817尤新教育辅导学校教学过程设计教学过程设计问题与情境问题与情境活动二自我检测练习 1计算:（1）28 7；师生行为师生行为设计意图设计意图125（2）；5（3）3x 18x3；（4）2m6m.311n2找四名学生上黑板板为了更快地发现学生演,其余

17、学生在练习本上计的错误之处,以便纠正.算,然后再找学生指出不足.活动三挑战逆向思维把aa反过来,就得bb到aa（a0,b0）bb此处进行简单处理是二次根式的乘法公式因为有二次根式的乘法公可以逆用,那除法公式可以式的逆用作基础理解并不逆用吗?难.利用它就可以进行二次根式的化简.例 2 化简:（1）让学困生在自己做题36a（2）(b0).找学生口述解题过程，时有一个参照.25b2教师将过程写在黑板上.解:（1）7771211211136a36a6 a（2）2225b5b25b充分发挥组长的作用,练习 2 化简：（1）7;1210.091440.36100m3请学生仿照例题自己尽可能在课堂上将问题解

18、解决这两道小题,组长检查决.本组的学习情况.3（2）12mn活动四谈谈你的收获1商的算术平方根的性质(注意公式成立的条件)2会利用商的算术平方根的性质进行简单的二次根式的化简请学生自己谈收获,并培养学生的归纳与小总结本节课的主要内容.结的能力.18尤新教育辅导学校教学过程设计教学过程设计问题与情境问题与情境作业：计算:师生行为师生行为设计意图设计意图18；2521（2）；710（1）3a12b2(3)；521a1000m(4).3150m19尤新教育辅导学校22.322.3 二次根式的加减（第二次根式的加减（第 1 1 课时）课时）教学任务分析教学任务分析知识技能知识技能数学思考数学思考教教学

19、学目目标标能够正确进行简单的二次根式加减法的运算.通过整式加减法运算与二次根式加减法运算的比较体会类比思想.解决问题解决问题通过二次根式加减法运算培养学生运算能力.情感态度情感态度通过对二次根式加减法的探究，激发学生的探索热情，让学生充分参与到数学学习的过程中来，使他们体验到成功的乐趣.重点重点二次根式加减法的运算.难点难点探讨二次根式加减法运算的方法,快速准确进行二次根式加减法的运算.板书设计板书设计课题:21.3 二次根式的加减提出问题：例 2 计算课堂小结例 1 计算:练习 1练习 2课后反思课后反思20尤新教育辅导学校教学过程设计教学过程设计问题与情境问题与情境活动 1 提出问题一个运

20、动场要修两块长方形草坪，第一块草坪的长是 10 米，宽是5米，第二块草坪的长是 20 米，宽也是5米。你能告诉运动场的负责人要准备多少面积的草皮吗？问题：105+205是什么运算？活动 2 探究活动下列 3 个小题怎样计算?5+5；设计意图设计意图5-125；5-50+20.问题：1）3 5-5 2还能继续往下合并吗？2）看来二次根式有的能合并，有的不能合并，通过对以上几个题的观察，你能说说什么样的二次根式能合并，什么样的不能合并吗？二次根式加减时,先将二次根式化简成最简二次根式后，再将被开方数相同的进行合并.活动 3练习 1 指出下列每组的二次根式中，哪些是可以合并的二次根式？（字母均为正数

21、）（1）8,12，27；教师巡视、指导，学生完成、11（2）72，75，；交流，师生评价.502（3）8ab3师生行为师生行为创设问题情景，引起学生思考.学生回答：这个运动场要准备（105+205）平方米的草皮.教师提问：学生思考并回答教师出示课题并说明今天我们就共同来研究该如何进行二次根式的加减法运算.我们可以利用已学知识或已有经验来分组讨论、交流，看看5+5到底等于什么？小组展示讨论结果.教师引导验证：设5=a,类比合并同类项或面积法;学生思考，得出先化简，再合并的解题思路5-125=5-5 5=-45先化简，再合并5-50+20=5-5 2+2 5=3 5-5 2学生观察并归纳:二次根式

22、化为最简二次根式后,被开方数相同的能合并.设置问题情境,引出课题，激发学生的学习兴趣.在知道5+5怎么计算的基础上继续探讨，渗透转化思想.培养学生小组合作交流能力及根据已有知识和经验进行探究的能力.使学生应用类比思想解决问题.培养学生观察、归纳能力.通过例题练习题使学，a，32a3b5.提醒学生注意先化简成最生能够正确找到可以合并简二次根式后再判断.2b的二次根式.21尤新教育辅导学校教学过程设计教学过程设计问题与情境问题与情境例 1 计算:（1）9a 25a；（2）80 45.解:（1）9a 25a设计意图设计意图师生行为师生行为学生自己在笔记本上利用这简单的题目树独立完成.立学困生的自信心

23、.3 a 5 a 8 a；（2）80 45 4 5 3 5 5.例 2 计算:（1）2 18 413 32；8（2）(32 21)(175)38进一步巩固二次根式加减法运算.解:（1）原式=6 2 2 12 2教师巡视、指导，学生 =17 2；完成、交流，师生评价.（2）原式213 2 5 3341513 =2 3.43=4 2 练习 2计算:（1）18 98 27；（2）24 0.5 168活动四课堂小结活动四课堂小结通过今天的学习你有何收获？（1）把每个根式化为1.二次根式加减法的最简二次根式.运算方法和步骤是什么?（2）把其中最简二次2.二次根式加减法应根式合并.注意先化简成最简二次根式

24、，以及运算的准确性.3.在学习过程中运用了类比的学习方法.教师引导学生回忆本节所学内容，学生回忆、交流，教师和学生一起补充完善，使学生更加明晰所学知识.22尤新教育辅导学校教学过程设计教学过程设计问题与情境问题与情境作业：计算:（1）3 2 2；（2）2 12 27；（3）18 9；2设计意图设计意图师生行为师生行为（4）4x22 2x；（5）2x（6）18（7）75 1（8）(2 22a2x3；32 2；54 96 108；33)(2 27).423尤新教育辅导学校22.322.3 二次根式的加减（第二次根式的加减（第 2 2 课时）课时）教学任务分析教学任务分析教教学学目目标标知识技能知识

25、技能利用二次根式加减法解决一些实际问题.数学思考数学思考培养学生将实际问题抽象为数学问题的能力.解决问题解决问题获得把实际问题转化为数学问题的体验.情感态度情感态度通过独立思考与小组讨论，培养良好的学习态度，以及自我意识.重点重点将实际问题抽象为数学问题是本节课的重点.难点难点被开方式中含有字母、被开方式中含有分母的二次根式的化简板书设计板书设计课题:22.3 二次根式的加减复习引入计算:问题 1问题 2练习 1复习总结课后反思课后反思24尤新教育辅导学校教学过程设计教学过程设计问题与情境问题与情境活动一复习引入计算:（1）80 20 5;（2）3 40 设计意图设计意图师生行为师生行为212

26、.学生复习二次根式加510数学来源于生活,应用于生活.减法的一般步骤.下面我们研究一下二次根式在实际生活中的应用.活动二展示问题问题 1现有一块长 7.5dm,宽5dm 的木板,能否在这块木板上训练学生的审题能力.2学生独自审清题意.截出两个面积分别为 8dm 和2教师与学生一起分析18dm 的正方形木板?带领学生寻找将实际解:因为大、小正方形木板的面 题意,得出解题方法.问题转化为数学问题的思22积分别为 8dm 和 18dm,所以,它路.们的边长分别为8dm 和18dm.8 18 2 2 3 2 5 2dm2 1.552 7.5复习回顾二次根式加减法,引入本节课的内容.又因为,32 5所以

27、,可以在这块木板上截取培养学生观察图形分这两个正方形木板.析图形的能力.问题 2要焊接一个如图请学生自己审清题21.3-1 所示的钢架,大约需要多少米钢材（精确到 0.01m）?意,观察图中所给的已知条件,力争使学生能独自B B解决这一问题.2m2mA A4m4mD D1m1mC C图图21.3-121.3-1解:根据图中尺寸可得教师在讲解时尽可能AB=AD2 BD242 22将步骤写完整.20 2 5,培养学生严谨的思维2222BC=BD CD 2 1 5习惯.AB+BC+AC+BD=2 5 5 52=3 5 7 32.24+713.7（m）答:要焊接一个如图所示的钢架约需要 13.7m 的

28、钢材.让学生进一步体会数学来源于生活,应用于生活.25尤新教育辅导学校教学过程设计教学过程设计问题与情境问题与情境活动三小试牛刀练习 1如图 21.3-2 所示,两个圆的圆心相同,它们的面积分别为 12.56cm2和25.12cm2,请你求圆环的宽度 d（取 3.14）.师生行为师生行为设计意图设计意图学生试着自己完整的解决这道题.提醒学生们圆的面积公式,不要用错.利用这道题检测一下学生对将实际问题转化为数学问题的能力,以及计算能力.解:求圆环的宽度 d 实际上是求两圆的半径的差;因此25.1212.5625.1212.563.143.148 4 2 2 2（cm）答:圆环的宽度注意:不要忘记

29、实际问d=(2 2 2)（cm）.题最后是需要答题.活动四复习总结1.数学来源于生活,应用于生活,因此我们应该热爱生活,热爱数学;2.将实际问题转化为数学问题,只要审清题意弄明请学生谈一谈自己的白,就一定可以做出来.激发学生的学习兴趣,收获和感受,适时地加以鼓作业：向学生渗透热爱生活励.1.已知5 2.236，求的思想教育.545 5 45的近似值.452.如图 21.3-3 在平行四边形 ABCD 中，得 DEAB,E点在AB上，DE=AE=EB=a,求平行四边形 ABCD 的周长.DCBAE图 21.3-326尤新教育辅导学校22.322.3 二次根式的加减（第二次根式的加减（第 3 3

30、课时）课时）教学任务分析教学任务分析教教学学目目标标在有理数的混合运算及整式的混合运算的基础上，使学生了解二知识技能知识技能次根式的混合运算与以前所学知识的关系，在比较中求得方法，并能熟练地进行二次根式的混合运算数学思考数学思考对二次根式的混合运算与整式的混合运算及数的混合运算作比较，要注意运算的顺序及运算律在计算过程中的作用解决问题解决问题引导法，在多解中进行比较，寻求有效快捷的计算方法情感态度情感态度通过本节课的学习培养学生的类比思想.重点重点混合运算的法则，明确三级运算的顺序，运算律的合理使用难点难点灵活运用因式分解、约分等技巧，使计算简便板书设计板书设计课题：22.3 二次根式的加减引

31、例：检测题目：例题 1，2小结：练习 1课后反思课后反思27尤新教育辅导学校教学过程设计教学过程设计问题与情境问题与情境活动一复习引入计算:（1）8 72；师生行为师生行为设计意图设计意图引入新课混合运算的内容.由此推出,运算律在二次根式的混合运算中依然可以应用.使学生发现在计算中不知道的错误之处.（2）86；（3）24 3.问题 1:8 186应怎样计算?乘法对加法的分配律依然可以应用吗?下面我们验证一下.8 186请同学们观察,这两种方法的结果是相同的.可见,2 2 3 26乘法对加法的分配律依然5 2 6 10 3可以应用.8 1868 6 18 6 4 3 6 3 10 3活动二动手演

32、练例 1 计算:8（1）36；27（2）4 2 3 6 2 2.8解:（1）36278教师与学生一起写出演6 3627算的具体过程.86 362743 23（2）4 2 3 6 2 21 4 2 3 6 2 211 4 23 62 22 23 232学生计算后提出问题.28尤新教育辅导学校教学过程设计教学过程设计问题与情境问题与情境练习 1 计算：（1）23 5；师生行为师生行为通过同学的讲解,激发学生的好胜心,提高学习兴趣和注意力.提高学生的合作意识和合作能力,充分发挥小组中每一个成员的作用.学生对分数非常敏感,因此,让他们自己给自己打分,他们会加倍注意错在什么地方,以后会记得很牢固.使学生

33、能够说出自己的错误,让全班学生引以为戒.设计意图设计意图（2）80 405；（3）12 2 753；（4）36 3 2.学生计算后,找俩名学生为全体学生讲解.例 2计算：（1）2 32 5；（2）5 35 3；2学生小组探讨例 2 的（3）3 2.三个小题的解决方法.解法:略.活动三自我检测活动三自我检测练习 2 计算:（1）5 35 2；（2）a b3 a 2 b；学生自己先在练习本（3）6 26 2；上解出结果,然后,在集体（4）47 47；对答案,自己给自己打分,2找出不足之处,加以改正.（5）2 5 2.活动四小结收获活动四小结收获请你提醒大家,本节课所研究的内容,有什么需要特别记住的,有哪些地方是特别容易出错的?1.以前学过的运算法则在请学生自己试着说出印象最深的内容.二次根式的混合运算中依然成立；2.计算结果最后一定要化成最简形式.作业：作业：1.计算：（1）(5 2 2 5)2；1（2）(48 6)27.42 已知x 3 1，y 3 1，求下列各式的值：（1）x22xy y2；（2）x2 y2.29