2015年广东省中考数学试题及解析.pdf

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1、20152015 年广东省中考数学试卷年广东省中考数学试卷一、选择题：本大题一、选择题：本大题 1010 小题，每小题小题，每小题 3 3 分，共分，共 3030 分。在每小题给出的四个选项中，只有分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑。一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑。1（3 分）|2|=（）A2B2CD2（3 分）据国家统计局网站 2014 年 12 月 4 日发布的消息，2014 年广东省粮食总产量约为13 573 000 吨，将 13 573 000 用科学记数法表示为（）ABCD1.35731061.35731071.357

2、31081.35731093（3 分）一组数据 2，6，5，2，4，则这组数据的中位数是（）A2B4C5D64（3 分）如图，直线 a b，1=75，2=35，则 3 的度数是（）75554035ABCD5（3 分）下列所述图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）A矩形B平行四边形C正五边形D正三角形6（3 分）（4x）2=（）ABCD8x216x28x216x27（3 分）在 0，2，（3）0，5 这四个数中，最大的数是（）A0B2CD5（3）08（3分）若关于x的方程x2+xa+=0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（）a2a2ABCa2Da29（3 分）如图，某数学兴趣小

3、组将边长为3 的正方形铁丝框 ABCD 变形为以 A 为圆心，AB 为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得扇形 DAB 的面积为（）第1 1页（共1717页）A6B7C8D910（3 分）如图，已知正 ABC 的边长为 2，E、F、G 分别是 AB、BC、CA 上的点，且AE=BF=CG，设 EFG 的面积为 y，AE 的长为 x，则 y 关于 x 的函数图象大致是（）ABCD二、填空题：本大题二、填空题：本大题 6 6 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 2424 分。请将下列各题的正确答案填写在答题分。请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上。卡相应的位置上。11（4 分

4、）正五边形的外角和等于（度）12（4 分）如图，菱形 ABCD 的边长为 6，ABC=60，则对角线 AC 的长是13（4 分）分式方程=的解是14（4 分）若两个相似三角形的周长比为2：3，则它们的面积比是15（4 分）观察下列一组数：，根据该组数的排列规律，可推出第 10 个数是16（4 分）如图，ABC 三边的中线 AD、BE、CF 的公共点为 G，若 S ABC=12，则图中阴影部分的面积是第2 2页（共1717页）三、解答题（一）三、解答题（一）：本大题：本大题 3 3 小题，每小题小题，每小题 6 6 分，共分，共 1818 分。分。17（6 分）解方程：x23x+2=018（6

5、分）先化简，再求值：，其中19（6 分）如图，已知锐角 ABC（1）过点 A 作 BC 边的垂线 MN，交 BC 于点 D（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）的条件下，若 BC=5，AD=4，tan BAD=，求 DC 的长四、解答题（二）四、解答题（二）：本大题：本大题 3 3 小题，每小题小题，每小题 7 7 分，共分，共 2121 分。分。20（7 分）老师和小明同学玩数学游戏老师取出一个不透明的口袋，口袋中装有三张分别标有数字 1，2，3 的卡片，卡片除数字外其余都相同，老师要求小明同学两次随机抽取一张卡片，并计算两次抽到卡片上的数字之积是奇数的概率 于是小明同

6、学用画树状图的方法寻求他两次抽取卡片的所有可能结果如图是小明同学所画的正确树状图的一部分（1）补全小明同学所画的树状图；（2）求小明同学两次抽到卡片上的数字之积是奇数的概率21（7 分）如图，在边长为6 的正方形 ABCD 中，E 是边 CD 的中点，将 ADE 沿 AE 对折至 AFE，延长 EF 交边 BC 于点 G，连接 AG（1）求证：ABG AFG；（2）求 BG 的长第3 3页（共1717页）22（7 分）某电器商场销售A、B 两种型号计算器，两种计算器的进货价格分别为每台30元，40 元，商场销售 5 台 A 型号和 1 台 B 型号计算器，可获利润 76 元；销售 6 台 A

7、型号和 3 台 B 型号计算器，可获利润120 元（1）求商场销售 A、B 两种型号计算器的销售价格分别是多少元？（利润=销售价格进货价格）（2）商场准备用不多于2500 元的资金购进 A、B 两种型号计算器共 70 台，问最少需要购进 A 型号的计算器多少台？五、解答题（三）五、解答题（三）：本大题：本大题 3 3 小题，每小题小题，每小题 9 9 分，共分，共 2727 分。分。23（9 分）如图，反比例函数y=（k 0，x0）的图象与直线 y=3x 相交于点 C，过直线上点 A（1，3）作 AB x 轴于点 B，交反比例函数图象于点D，且 AB=3BD（1）求 k 的值；（2）求点 C

8、的坐标；（3）在 y 轴上确定一点 M，使点 M 到 C、D 两点距离之和 d=MC+MD最小，求点 M 的坐标24（9 分）O 是ABC 的外接圆，AB 是直径，过的中点 P 作O 的直径 PG 交弦 BC于点 D，连接 AG、CP、PB（1）如图 1，若 D 是线段 OP 的中点，求BAC 的度数；（2）如图 2，在 DG 上取一点 K，使 DK=DP，连接 CK，求证：四边形AGKC是平行四边形；（3）如图 3，取 CP 的中点 E，连接 ED 并延长 ED 交 AB 于点 H，连接 PH，求证：PH AB 第4 4页（共1717页）25（9 分）如图，在同一平面上，两块斜边相等的直角三

9、角板Rt ABC 和 Rt ADC 拼在一起，使斜边 AC 完全重合，且顶点 B，D 分别在 AC 的两旁，ABC=ADC=90，CAD=30，AB=BC=4cm（1）填空：AD=（cm），DC=（cm）（2）点 M，N 分别从 A 点，C 点同时以每秒 1cm 的速度等速出发，且分别在AD，CB 上沿 AD，CB 方向运动，点 N 到 AD 的距离（用含 x 的式子表示）（3）在（2）的条件下，取DC 中点 P，连接MP，NP，设 PMN 的面积为 y（cm2），在整个运动过程中，PMN 的面积 y 存在最大值，请求出 y 的最大值（参考数据 sin75=，sin15=）第5 5页（共171

10、7页）20152015 年广东省中考数学试卷年广东省中考数学试卷参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题：本大题一、选择题：本大题 1010 小题，每小题小题，每小题 3 3 分，共分，共 3030 分。在每小题给出的四个选项中，只有分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑。一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑。1（3 分）考点：绝对值分析：根据绝对值的性质可直接求出答案解答：解：根据绝对值的性质可知：|2|=2故选：A点评：此题考查了绝对值的性质，要求掌握绝对值的性质及其定义，并能熟练运用到实际运算当中绝对值规律总结：一个正数的绝对

11、值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是 02（3 分）考点：科学记数法表示较大的数分析：学记数法的表示形式为a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，科要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同 当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数解答：将 13 573 000 用科学记数法表示为：1.3573107解故选：B点评：题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1|a|此10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及 n 的值3（3 分）考点：中位数专题：计算题分析：

12、先把数据由小到大排列，然后根据中位数的定义求解解答：解：把数据由小到大排列为：2，2，4，5，6，所以这组数据的中位数是4故选 B点评：本题考查了中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数4（3 分）考点：平行线的性质；三角形的外角性质分析：根据平行线的性质得出 4=1=75，然后根据三角形外角的性质即可求得 3 的度数解答：解：直线 a b，1=75，4=1=75，2+3=4，3=4 2=7535=40故选 C第6 6页（共1717页）点评：本题考查了

13、平行线的性质和三角形外角的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键5（3 分）考点：中心对称图形；轴对称图形分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解解答：解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；B、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，沿这条直线对折后它的两部分能够重合；即不满足轴对称图形的定义，是中心对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转180 度后它的两部分能够重合；即不满足中心对称图形的定义，故此选项错误故选：A点评：此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对

14、称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180 度后两部分重合6（3 分）考点：幂的乘方与积的乘方专题：计算题分析：原式利用积的乘方运算法则计算即可得到结果解答：原式=16x2，解故选 D点评：此题考查了幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键7（3 分）考点：实数大小比较；零指数幂分析：利用 a0=1（a0）得（3）0=1，再利用两个实数都可以比较大小 正实数都大于 0，先负实数都小于 0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小即可得出结果解答：在 0，2，解（3）0，5 这四个数中，最大的数是2，故选 B点评：题考查了有理数的

15、大小比较和零指数幂，掌握有理数大小比较的法则和a0=1（a0）本是解答本题的关键8（3 分）考点：根的判别式分析：根据判别式的意义得到=124（a+）0，然后解一元一次不等式即可解答：解：根据题意得=124（a+）0，解得 a2故选 C第7 7页（共1717页）点评：题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根与=b24ac 有如下本关系：当 0 时，方程有两个不相等的两个实数根；当 =0 时，方程有两个相等的两个实数根；当 0 时，方程无实数根9（3 分）考点：扇形面积的计算分析：正方形的边长为 3，可得弧 BD 的弧长为 6，然后利用扇形的面积公式：S扇形由DAB=，计

16、算即可解答：解：正方形的边长为 3，弧 BD 的弧长=6，S扇形DAB=63=9故选 D点评：此题考查了扇形的面积公式，解题的关键是：熟记扇形的面积公式S扇形DAB=10（3 分）考点：动点问题的函数图象分析：根据题意，易得 AEG、BEF、CFG 三个三角形全等，且在 AEG 中，AE=x，AG=2x；可得 AEG 的面积 y 与 x 的关系；进而可判断出 y 关于 x 的函数的图象的大致形状解答：解：根据题意，有 AE=BF=CG，且正三角形 ABC 的边长为 2，故 BE=CF=AG=2x；故 AEG、BEF、CFG 三个三角形全等在 AEG 中，AE=x，AG=2x则 S AEG=AE

17、AGsinA=故 y=S ABC3S AEG=3x（2x）=x（2x）；（3x26x+1）故可得其大致图象应类似于抛物线，且抛物线开口方向向上；故选：D点评：本题考查动点问题的函数图象问题，用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图二、填空题：本大题二、填空题：本大题 6 6 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 2424 分。请将下列各题的正确答案填写在答题分。请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上。卡相应的位置上。11（4 分）考点：多边形内角与外角分析：根据多边形的外角和等于360，即可求解解答：解：任意多边形的外角和都是360，故正五边形的外角和为360故答案为：36

18、0点评：本题主要考查多边形的外角和定理，解答本题的关键是掌握任意多边形的外角和都是36012（4 分）考点：菱形的性质；等边三角形的判定与性质第8 8页（共1717页）分析：由菱形 ABCD 中，ABC=60，易证得 ABC 是等边三角形，继而求得对角线AC的长解答：解：四边形 ABCD 是菱形，AB=BC，ABC=60，ABC 是等边三角形，AC=AB=6故答案为：6点评：此题考查了菱形的性质以及等边三角形的判定与性质注意证得 ABC 是等边三角形是关键13（4 分）考点：解分式方程专题：计算题分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解解答：

19、解：去分母得：3x=2x+2，解得：x=2，经检验 x=2 是分式方程的解故答案为：x=2点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解解分式方程一定注意要验根14（4 分）考点：相似三角形的性质分析：根据相似三角形周长的比等于相似比求出相似比，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求解即可解答：解：两个相似三角形的周长比为2：3，这两个相似三角形的相似比为2：3，它们的面积比是 4：9故答案为：4：9点评：本题考查了相似三角形的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键15（4 分）考点：规律型：数字的变化类分析：由分子 1，2，3，4，5，即可得出

20、第 10 个数的分子为 10；分母为3，5，7，9，11，即可得出第 10 个数的分母为：1+210=21，得出结论解答：解：分子为 1，2，3，4，5，第 10 个数的分子为 10，分母为 3，5，7，9，11，第 10 个数的分母为：1+210=21，第 10 个数为：故答案为：，点评：此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，得出规律，利用规律，解决问题是解答此题的关键第9 9页（共1717页）16（4 分）考点：三角形的面积分析：根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，知 ABC 的面积即为阴影部分的面积的 3 倍解答：解：ABC 的三条中线 AD、BE，CF 交于点 G

21、，S CGE=S AGE=S ACF，S BGF=S BGD=S BCF，S ACF=S BCF=S ABC=12=6，S CGE=S ACF=6=2，S BGF=S BCF=6=2，S阴影=S CGE+S BGF=4故答案为 4点评：根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，该图中，BGF的面积=BGD的面积=CGD 的面积，AGF 的面积=AGE 的面积=CGE 的面积三、解答题（一）三、解答题（一）：本大题：本大题 3 3 小题，每小题小题，每小题 6 6 分，共分，共 1818 分。分。17（6 分）考点：解一元二次方程-因式分解法分析：把方程的左边利用十字相乘法因式分解为（x1

22、）（x2），再利用积为0 的特点求解即可解答：x23x+2=0，解（x1）（x2）=0，x1=0 或 x2=0，x1=1，x2=2点评：本题考查了因式分解法解一元二次方程，当把方程通过移项把等式的右边化为0 后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0 的特点解出方程的根因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用18（6 分）考点：分式的化简求值分析：分式的化简，要熟悉混合运算的顺序，分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算，注意化简后，将解答：解：，代入化简后的式子求出即可=把，（+），代入原式=第1010页（共1717页）点评：此题主要

23、考查了分式混合运算，要注意分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算是解题关键19（6 分）考点：作图复杂作图；解直角三角形专题：作图题分析：（1）利用基本作图：过直线外一点作直线的垂线作出垂线段AD；（2）先在 Rt ABD 中利用 BAD 的正切计算出 BD，然后利用 BCBD 求 CD 的长解答：解：（1）如图，（2）ADBC，ADB=ADC=90，在 Rt ABD 中，tan BAD=BD=4=3，CD=BCBD=53=2=，点评：本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法；解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形

24、的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作也考查了解直角三角形四、解答题（二）四、解答题（二）：本大题：本大题 3 3 小题，每小题小题，每小题 7 7 分，共分，共 2121 分。分。20（7 分）考点：列表法与树状图法分析：（1）根据题意可得此题是放回实验，即可补全树状图；（2）由树状图可求得所有等可能的结果与小明同学两次抽到卡片上的数字之积是奇数的情况，再利用概率公式即可求得答案解答：解：（1）补全小明同学所画的树状图：（2）共有 9 种等可能的结果，小明同学两次抽到卡片上的数字之积是奇数的有4种情况，第1111页（共1717页）小明同学两次抽到卡片上的数字之积是奇

25、数的概率为：点评：此题考查了列表法或树状图法求概率用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比21（7 分）考点：翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；正方形的性质分析：（1）利用翻折变换对应边关系得出AB=AF，B=AFG=90，利用 HL 定理得出 ABG AFG 即可；（2）利用勾股定理得出GE2=CG2+CE2，进而求出 BG 即可；解答：解：（1）在正方形 ABCD 中，AD=AB=BC=CD，D=B=BCD=90，将 ADE 沿 AE 对折至 AFE，AD=AF，DE=EF，D=AFE=90，AB=AF，B=AFG=90，又 AG=AG，在 Rt ABG 和 Rt AFG

26、 中，ABG AFG（HL）；（2）ABG AFG，BG=FG，设 BG=FG=x，则 GC=6x，E 为 CD 的中点，CE=EF=DE=3，EG=3+x，在 Rt CEG 中，32+（6x）2=（3+x）2，解得 x=2，BG=2点评：此题主要考查了勾股定理的综合应用以及翻折变换的性质，根据翻折变换的性质得出对应线段相等是解题关键22（7 分）考点：一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用分析：（1）首先设 A 种型号计算器的销售价格是x 元，A 种型号计算器的销售价格是y 元，根据题意可等量关系：5 台 A 型号和 1 台 B 型号计算器，可获利润 76 元；销售 6 台 A 型号和

27、3 台 B 型号计算器，可获利润120 元，根据等量关系列出方程组，再解即可；（2）根据题意表示出所用成本，进而得出不等式求出即可解答：解：（1）设 A 种型号计算器的销售价格是x 元，B 种型号计算器的销售价格是y 元，由题意得：第1212页（共1717页），解得：；答：A 种型号计算器的销售价格是42 元，B 种型号计算器的销售价格是56 元；（2）设购进 A 型计算器 a 台，则购进 B 台计算器：（70a）台，则 30a+40（70a）2500，解得：a30，答：最少需要购进 A 型号的计算器 30 台点评：此题主要考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，根据题意得出总的进

28、货费用是解题关键五、解答题（三）五、解答题（三）：本大题：本大题 3 3 小题，每小题小题，每小题 9 9 分，共分，共 2727 分。分。23（9 分）考点：反比例函数与一次函数的交点问题；轴对称-最短路线问题分析：（1）根据 A 坐标，以及 AB=3BD 求出 D 坐标，代入反比例解析式求出k 的值；（2）直线 y=3x 与反比例解析式联立方程组即可求出点C 坐标；（3）作 C 关于 y 轴的对称点 C，连接 CD 交 y 轴于 M，则 d=MC+MD 最小，得到 C（，），求得直线 CD 的解析式为 y=x+1+，直线与 y 轴的交点即为所求解答：解：（1）A（1，3），AB=3，OB=

29、1，AB=3BD，BD=2，D（1，1）将 D 坐标代入反比例解析式得：k=1；（2）由（1）知，k=1，反比例函数的解析式为；y=，解：，解得：或，x0，C（，）；第1313页（共1717页）（3）如图，作C 关于 y 轴的对称点 C，连接 CD 交 y 轴于 M，则 d=MC+MD 最小，C（，），设直线 CD 的解析式为：y=kx+b，y=（32）x+22，当 x=0 时，y=22，M（0，22）点评：此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法确定函数解析式，以及直线与反比例的交点求法，熟练掌握待定系数法是解本题的关键24（9 分）考点：圆的综合题

30、分析：（1）由垂径定理得出PGBC，CD=BD，再由三角函数求出 BOD=60，证出AC PG，得出同位角相等即可；（2）先由SAS 证明 PDB CDK，得出CK=BP，OPB=CKD，证出AG=CK，再证明 AG CK，即可得出结论；（3）先证出 DH AG，得出 OAG=OHD，再证 OD=OH，由 SAS 证明 OBD HOP，得出 OHP=ODB=90，即可得出结论解答：（1）解：点 P 为的中点，AB 为O 直径，BP=PC，PGBC，CD=BD，ODB=90，D 为 OP 的中点，OD=OP=OB，cos BOD=，BOD=60，AB 为O 直径，ACB=90，ACB=ODB，A

31、C PG，第1414页（共1717页）BAC=BOD=60；（2）证明：由（1）知，CD=BD，在 PDB 和 CDK 中，PDB CDK（SAS），CK=BP，OPB=CKD，AOG=BOP，AG=BP，AG=CK，OP=OB，OPB=OBP，又 G=OBP，AG CK，四边形 AGCK 是平行四边形；（3）证明：CE=PE，CD=BD，DE PB，即 DH PB G=OPB，PB AG，DH AG，OAG=OHD，OA=OG，OAG=G，ODH=OHD，OD=OH，在 OBD 和 HOP 中，OBD HOP（SAS），OHP=ODB=90，PHAB点评：本题是圆的综合题目，考查了垂径定理、

32、圆周角定理、平行线的判定、三角函数、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（3）中，需要通过证明平行线得出角相等，再进一步证明三角形全等才能得出结论25（9 分）考点：相似形综合题分析：（1）由勾股定理求出AC，由 CAD=30，得出 DC=AC=2，由三角函数求出AD 即可；（2）过 N 作 NEAD 于 E，作 NFDC，交 DC 的延长线于 F，则 NE=DF，求出第1515页（共1717页）NCF=75，FNC=15，由三角函数求出 FC，得 NE=DF=x+2，即可得出结果；（3）由三角函数求出 FN，得出 PF，PMN 的面积 y=梯形 MD

33、FN 的面积 PMD的面积 PNF 的面积，得出 y 是 x 的二次函数，即可得出 y 的最大值解答：解：（1）ABC=90，AB=BC=4cm，AC=4，ADC=90，CAD=30，DC=AC=2，AD=DC=2；故答案为：2，2；（2）过点 N 作 NEAD 于 E，作 NFDC，交 DC 的延长线于 F，如图所示：则 NE=DF，ABC=ADC=90，AB=BC，CAD=30，ACB=45，ACD=60，NCF=1804560=75，FNC=15，sin FNC=FC=NE=DF=，NC=x，x，x+2，x+2；点 N 到 AD 的距离为（3）sin NCF=FN=x，P 为 DC 的中点，PD=CP=，PF=x+，PMN 的面积 y=梯形 MDFN 的面积 PMD 的面积 PNF 的面积=（=x+2x）x2+x+2，x）（x+2）（2x）（x+）即 y 是 x 的二次函数，0，第1616页（共1717页）y 有最大值，当 x=时，y 有最大值为=点评：本题是相似形综合题目，考查了勾股定理、三角函数、三角形面积的计算、二次函数的最值、等腰直角三角形的性质等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（2）（3）中，需要通过作辅助线运用三角函数和二次函数才能得出结果第1717页（共1717页）