上海闵行区2023年高三第二次联考数学试卷含解析.doc

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1、2023年高考数学模拟试卷注意事项:1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2答题时请按要求用笔。3请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1在中，为中点，且，若，则（ ）ABCD2为比较甲、乙两名高二学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验（指

2、标值满分为5分，分值高者为优），根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述正确的是（ ）A乙的数据分析素养优于甲B乙的数学建模素养优于数学抽象素养C甲的六大素养整体水平优于乙D甲的六大素养中数据分析最差3已知命题：R，；命题 ：R，则下列命题中为真命题的是（ ）ABCD4若两个非零向量、满足，且，则与夹角的余弦值为（ ）ABCD5已知角的终边经过点,则ABCD6设全集，集合，则（ ）ABCD7洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上心有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数如图，若从四个阴数

3、和五个阳数中分别随机选取1个数，则其和等于11的概率是（ ）ABCD8已知三棱锥且平面，其外接球体积为（ ）ABCD9点是单位圆上不同的三点，线段与线段交于圆内一点M，若，则的最小值为（ ） ABCD10在的展开式中，含的项的系数是（ ）A74B121CD11等比数列若则（ ）A6B6C-6D12用一个平面去截正方体，则截面不可能是（ ）A正三角形B正方形C正五边形D正六边形二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13执行右边的程序框图，输出的的值为 .14某种牛肉干每袋的质量服从正态分布，质检部门的检测数据显示：该正态分布为，.某旅游团游客共购买这种牛肉干100袋，估计其中质量低于的

4、袋数大约是_袋.15已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，P为C上一点，PQ垂直l于点Q，M，N分别为PQ，PF的中点，MN与x轴相交于点R，若NRF=60，则|FR|等于_.16某种圆柱形的如罐的容积为个立方单位，当它的底面半径和高的比值为_.时，可使得所用材料最省.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，直线的极坐标方程为，设与交于、两点，中点为，的垂直平分线交于、.以为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立直角坐标系.（1）求的直角坐标方程与点的直角坐标；（2）求证：.18（12分）选修45；不等式选讲已知函数(1)若

5、的解集非空，求实数的取值范围；(2)若正数满足，为（1）中m可取到的最大值，求证：19（12分）已知函数，直线为曲线的切线（为自然对数的底数）（1）求实数的值；（2）用表示中的最小值，设函数，若函数为增函数，求实数的取值范围20（12分）设为等差数列的前项和，且，（1）求数列的通项公式；（2）若满足不等式的正整数恰有个，求正实数的取值范围21（12分）已知圆：和抛物线：，为坐标原点（1）已知直线和圆相切，与抛物线交于两点，且满足，求直线的方程；（2）过抛物线上一点作两直线和圆相切，且分别交抛物线于两点，若直线的斜率为，求点的坐标22（10分）如图，在直三棱柱中，D，E分别为AB，BC的中点.（

6、1）证明：平面平面；（2）求点到平面的距离.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】选取向量，为基底，由向量线性运算，求出，即可求得结果.【详解】， ，.故选：B.【点睛】本题考查了平面向量的线性运算，平面向量基本定理，属于基础题.2、C【解析】根据题目所给图像，填写好表格，由表格数据选出正确选项.【详解】根据雷达图得到如下数据：数学抽象逻辑推理数学建模直观想象数学运算数据分析甲454545乙343354由数据可知选C.【点睛】本题考查统计问题，考查数据处理能力和应用意识.3、B【解析】根据，可知命题的真假，然

7、后对取值，可得命题 的真假，最后根据真值表，可得结果.【详解】对命题：可知，所以R，故命题为假命题命题 ：取，可知所以R，故命题为真命题所以为真命题故选：B【点睛】本题主要考查对命题真假的判断以及真值表的应用，识记真值表，属基础题.4、A【解析】设平面向量与的夹角为，由已知条件得出，在等式两边平方，利用平面向量数量积的运算律可求得的值，即为所求.【详解】设平面向量与的夹角为，可得，在等式两边平方得，化简得.故选：A.【点睛】本题考查利用平面向量的模求夹角的余弦值，考查平面向量数量积的运算性质的应用，考查计算能力，属于中等题.5、D【解析】因为角的终边经过点,所以,则,即.故选D6、B【解析】可

8、解出集合，然后进行补集、交集的运算即可【详解】，则，因此，.故选：B.【点睛】本题考查补集和交集的运算，涉及一元二次不等式的求解，考查运算求解能力，属于基础题.7、A【解析】基本事件总数，利用列举法求出其和等于11包含的基本事件有4个，由此能求出其和等于11的概率【详解】解：从四个阴数和五个阳数中分别随机选取1个数，基本事件总数，其和等于11包含的基本事件有：，共4个，其和等于的概率故选：【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题8、A【解析】由,平面,可将三棱锥还原成长方体,则三棱锥的外接球即为长方体的外接球,进而求解.【详解】由题,因为,所以,设,则由

9、,可得,解得,可将三棱锥还原成如图所示的长方体,则三棱锥的外接球即为长方体的外接球,设外接球的半径为,则,所以,所以外接球的体积.故选:A【点睛】本题考查三棱锥的外接球体积,考查空间想象能力.9、D【解析】由题意得，再利用基本不等式即可求解【详解】将平方得，（当且仅当时等号成立），的最小值为，故选：D【点睛】本题主要考查平面向量数量积的应用，考查基本不等式的应用，属于中档题10、D【解析】根据，利用通项公式得到含的项为：，进而得到其系数，【详解】因为在，所以含的项为：，所以含的项的系数是的系数是，故选：D【点睛】本题主要考查二项展开式及通项公式和项的系数，还考查了运算求解的能力，属于基础题，1

10、1、B【解析】根据等比中项性质代入可得解，由等比数列项的性质确定值即可.【详解】由等比数列中等比中项性质可知，所以，而由等比数列性质可知奇数项符号相同，所以，故选：B.【点睛】本题考查了等比数列中等比中项的简单应用，注意项的符号特征，属于基础题.12、C【解析】试题分析：画出截面图形如图显然A正三角形，B正方形：D正六边形，可以画出五边形但不是正五边形；故选C考点：平面的基本性质及推论二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】初始条件成立方 ；运行第一次：成立；运行第二次：不成立；输出的值：结束所以答案应填：考点：1、程序框图；2、定积分.14、1【解析】根据正态分布对称性

11、，求得质量低于的袋数的估计值.【详解】由于，所以，所以袋牛肉干中，质量低于的袋数大约是袋.故答案为：【点睛】本小题主要考查正态分布对称性的应用，属于基础题.15、2【解析】由题意知：，.由NRF=60，可得为等边三角形，MFPQ，可得F为HR的中点，即求.【详解】不妨设点P在第一象限，如图所示，连接MF，QF.抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，P为C上一点，.M，N分别为PQ，PF的中点，PQ垂直l于点Q，PQ/OR，NRF=60，为等边三角形，MFPQ，易知四边形和四边形都是平行四边形，F为HR的中点，故答案为：2.【点睛】本题主要考查抛物线的定义，属于基础题.16、【解析】设圆柱的

12、高为，底面半径为，根据容积为个立方单位可得，再列出该圆柱的表面积，利用导数求出最值，从而进一步得到圆柱的底面半径和高的比值【详解】设圆柱的高为，底面半径为.该圆柱形的如罐的容积为个立方单位，即.该圆柱形的表面积为.令，则.令，得；令，得.在上单调递减，在上单调递增.当时，取得最小值，即材料最省，此时.故答案为：.【点睛】本题考查函数的应用，解答本题的关键是写出表面积的表示式，再利用导数求函数的最值，属中档题三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），；（2）见解析.【解析】（1）将曲线的极坐标方程变形为，再由可将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，将直线的方程与曲

13、线的方程联立，求出点、的坐标，即可得出线段的中点的坐标；（2）求得，写出直线的参数方程，将直线的参数方程与曲线的普通方程联立，利用韦达定理求得的值，进而可得出结论.【详解】（1）曲线的极坐标方程可化为，即，将代入曲线的方程得，所以，曲线的直角坐标方程为.将直线的极坐标方程化为普通方程得，联立，得或，则点、，因此，线段的中点为；（2）由（1）得，易知的垂直平分线的参数方程为（为参数），代入的普通方程得，因此，.【点睛】本题考查曲线的极坐标方程与普通方程之间的转化，同时也考查了直线参数几何意义的应用，涉及韦达定理的应用，考查计算能力，属于中等题.18、 (1);(2)见解析.【解析】试题分析：（1

14、）讨论三种情况去绝对值符号，可得所以，由此得，解得；（2）利用分析法，由（1）知，所以，因为，要证，只需证，即证，只需证 即可得结果.试题解析：（1）去绝对值符号，可得所以，所以，解得，所以实数的取值范围为（2）由（1）知，所以因为，所以要证，只需证，即证，即证.因为，所以只需证，因为，成立，所以解法二：x2+y2=2，x、yR+，x+y2xy 设：证明：x+y-2xy= =令， 原式= = = = 当时， 19、（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）先求导，然后利用导数等于求出切点的横坐标，代入两个曲线的方程，解方程组，可求得；（2）设与交点的横坐标为，利用导数求得，从而，然后利用求得的取

15、值范围为.试题解析：（1）对求导得 设直线与曲线切于点，则，解得，所以的值为1 （2）记函数，下面考察函数的符号，对函数求导得 当时，恒成立 当时，从而 在上恒成立，故在上单调递减，又曲线在上连续不间断，所以由函数的零点存在性定理及其单调性知唯一的，使；，从而， 由函数为增函数，且曲线在上连续不断知在，上恒成立当时，在上恒成立，即在上恒成立，记，则，当变化时，变化情况列表如下：30极小值，故“在上恒成立”只需，即当时，当时，在上恒成立，综合知，当时，函数为增函数故实数的取值范围是 考点：函数导数与不等式.【方法点晴】函数导数问题中，和切线有关的题目非常多，我们只要把握住关键点：一个是切点，一个

16、是斜率，切点即在原来函数图象上，也在切线上；斜率就是导数的值.根据这两点，列方程组，就能解决.本题第二问我们采用分层推进的策略，先求得的表达式，然后再求得的表达式，我们就可以利用导数这个工具来求的取值范围了.20、（1）；（2）【解析】（1）设等差数列的公差为，根据题意得出关于和的方程组，解出这两个量的值，然后利用等差数列的通项公式可得出数列的通项公式；（2）求出，可得出，可知当为奇数时不等式不成立，只考虑为偶数的情况，利用数列单调性的定义判断数列中偶数项构成的数列的单调性，由此能求出正实数的取值范围【详解】（1）设等差数列的公差为，则，整理得，解得，因此，；（2），满足不等式的正整数恰有个，

17、得，由于，若为奇数，则不等式不可能成立.只考虑为偶数的情况，令，则，.当时，则；当时，则；当时，则.所以，又，.因此，实数的取值范围是.【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，考查正实数的取值范围的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题21、（1）;（2）或【解析】试题分析: 直线与圆相切只需圆心到直线的距离等于圆的半径，直线与曲线相交于两点，且满足，只需数量积为0，要联立方程组设而不求，利用坐标关系及根与系数关系解题，这是解析几何常用解题方法，第二步利用直线的斜率找出坐标满足的要求，再利用两直线与圆相切，求出点的坐标.试题解析：（1）解：设，由和圆相切，得由消去，并整理

18、得，由，得，即，或（舍）当时，故直线的方程为（2）设，则设，由直线和圆相切，得，即设，同理可得：故是方程的两根，故由得，故同理，则，即，解或当时，；当时，故或22、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）通过证明面，即可由线面垂直推证面面垂直；（2）根据面，将问题转化为求到面的距离，利用等体积法求点面距离即可.【详解】（1）因为棱柱是直三棱柱，所以又， 所以面 又，分别为AB，BC的中点所以/即面 又面，所以平面平面 （2）由（1）可知/所以/平面即点到平面的距离等于点到平面的距离设点到面的距离为由（1）可知，面 且在中，易知 由等体积公式可知即 由得 所以到平面的距离等于【点睛】本题考查由线面垂直推证面面垂直，涉及利用等体积法求点面距离，属综合中档题.