上海市黄浦区2023年高考数学三模试卷含解析.doc

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1、2023年高考数学模拟试卷注意事项1考生要认真填写考场号和座位序号。2试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1若平面向量，满足，则的最大值为（ ）ABCD2如图所示的程序框图输出的是126，则应为（ ）ABCD3设集合Ay|y2x1，xR，Bx|2x3，xZ，则AB（ ）A（1，3B1，3C0，1，2，3D1，0，1，2，34若函数f(x)x3x2在区

2、间(a，a5)上存在最小值，则实数a的取值范围是A5，0)B(5，0)C3，0)D(3，0)5设命题：，则为A，B，C，D，6已知函数，则不等式的解集为（ ）ABCD7欧拉公式为,(虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”根据欧拉公式可知，表示的复数位于复平面中的（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限8已知圆：，圆：，点、分别是圆、圆上的动点，为轴上的动点，则的最大值是（ ）AB9C7D9如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上，且，若正方体的六个面所在的平面与直线相交

3、的平面个数分别记为，则下列结论正确的是（）ABCD10点为棱长是2的正方体的内切球球面上的动点，点为的中点，若满足，则动点的轨迹的长度为（ ）ABCD11已知，是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，则下列命题中错误的是（ ）A若，则或B若，则C若，则D若，则12半正多面体(semiregular solid) 亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形为面的半正多面体.如图所示，图中网格是边长为1的正方形，粗线部分是某二十四等边体的三视图，则该几何体的体积为（ ）ABCD

4、二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知三棱锥，是边长为4的正三角形，分别是、的中点，为棱上一动点（点除外），若异面直线与所成的角为，且，则_.14函数在区间内有且仅有两个零点，则实数的取值范围是_.15如图，的外接圆半径为，为边上一点，且，则的面积为_.16如图所示，点，B均在抛物线上，等腰直角的斜边为BC，点C在x轴的正半轴上，则点B的坐标是_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知矩阵，且二阶矩阵M满足AM=B，求M的特征值及属于各特征值的一个特征向量.18（12分）已知离心率为的椭圆经过点.(1)求椭圆的方程；(2)荐椭圆的右焦

5、点为，过点的直线与椭圆分别交于，若直线、的斜率成等差数列，请问的面积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由.19（12分）某广告商租用了一块如图所示的半圆形封闭区域用于产品展示,该封闭区域由以为圆心的半圆及直径围成在此区域内原有一个以为直径、为圆心的半圆形展示区,该广告商欲在此基础上,将其改建成一个凸四边形的展示区,其中、分别在半圆与半圆的圆弧上,且与半圆相切于点已知长为40米,设为（上述图形均视作在同一平面内）（1）记四边形的周长为,求的表达式;（2）要使改建成的展示区的面积最大,求的值20（12分）已知中，内角所对边分别是其中.（1）若角为锐角，且，求的值；（2）设，求的取值范围

6、.21（12分）已知，分别是椭圆：的左，右焦点，点在椭圆上，且抛物线的焦点是椭圆的一个焦点（1）求,的值：（2）过点作不与轴重合的直线，设与圆相交于A，B两点，且与椭圆相交于C，D两点，当时，求的面积22（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（m为参数），以坐标点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos（+）1（1）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；（2）已知点M （2，0），若直线l与曲线C相交于P、Q两点，求的值参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】可

7、根据题意把要求的向量重新组合成已知向量的表达，利用向量数量积的性质，化简为三角函数最值.【详解】由题意可得：，故选：C【点睛】本题主要考查根据已知向量的模求未知向量的模的方法技巧,把要求的向量重新组合成已知向量的表达是本题的关键点.本题属中档题.2、B【解析】试题分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加S=2+22+2n的值，并输出满足循环的条件解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加S=2+22+2n的值，并输出满足循环的条件S=2+22+21=121，故中应填n1故选B点评：算法是新课程中的新增加的内

8、容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：分支的条件循环的条件变量的赋值变量的输出其中前两点考试的概率更大此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误3、C【解析】先求集合A，再用列举法表示出集合B，再根据交集的定义求解即可【详解】解：集合Ay|y2x1，xRy|y1，Bx|2x3，xZ2，1，0，1，2，3，AB0，1，2，3，故选：C【点睛】本题主要考查集合的交集运算，属于基础题4、C【解析】求函数导数，分析函数单调性得到函数的简图，得到a满足的不等式组，从而得解.【详解】由题意，f(x)x22xx(x2)，故f(x)在(，2)，

9、(0，)上是增函数，在(2，0)上是减函数，作出其图象如图所示令x3x2，得x0或x3，则结合图象可知，解得a3，0)，故选C.【点睛】本题主要考查了利用函数导数研究函数的单调性，进而研究函数的最值，属于常考题型.5、D【解析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可.【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题：，则为：，.故本题答案为D.【点睛】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题.6、D【解析】先判断函数的奇偶性和单调性，得到，且，解不等式得解.【详解】由题得函数的定义域为.因为，所以为上的偶函数，因为函数都是在上单调递减.所以函数在上单调递减.因为，所以，

10、且，解得.故选：D【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的判断，考查函数的奇偶性和单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.7、A【解析】计算，得到答案.【详解】根据题意，故，表示的复数在第一象限.故选：.【点睛】本题考查了复数的计算， 意在考查学生的计算能力和理解能力.8、B【解析】试题分析：圆的圆心，半径为，圆的圆心，半径是要使最大，需最大，且最小，最大值为的最小值为，故最大值是;关于轴的对称点，故的最大值为，故选B考点：圆与圆的位置关系及其判定【思路点睛】先根据两圆的方程求出圆心和半径，要使最大，需最大，且最小，最大值为的最小值为，故最大值是，再利用对称性，求出所求式子的最大

11、值9、A【解析】根据题意，画出几何位置图形，由图形的位置关系分别求得的值，即可比较各选项.【详解】如下图所示，平面，从而平面，易知与正方体的其余四个面所在平面均相交，平面，平面，且与正方体的其余四个面所在平面均相交，结合四个选项可知，只有正确.故选：A.【点睛】本题考查了空间几何体中直线与平面位置关系的判断与综合应用，对空间想象能力要求较高，属于中档题.10、C【解析】设的中点为，利用正方形和正方体的性质，结合线面垂直的判定定理可以证明出平面，这样可以确定动点的轨迹，最后求出动点的轨迹的长度.【详解】设的中点为，连接，因此有，而，而平面，因此有平面，所以动点的轨迹平面与正方体的内切球的交线.

12、正方体的棱长为2，所以内切球的半径为，建立如下图所示的以为坐标原点的空间直角坐标系：因此有，设平面的法向量为，所以有，因此到平面的距离为：，所以截面圆的半径为：，因此动点的轨迹的长度为.故选：C【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理的应用，考查了立体几何中轨迹问题，考查了球截面的性质，考查了空间想象能力和数学运算能力.11、D【解析】根据线面平行和面面平行的性质，可判定A；由线面平行的判定定理，可判断B；C中可判断，所成的二面角为；D中有可能，即得解.【详解】选项A：若，根据线面平行和面面平行的性质，有或，故A正确；选项B：若，由线面平行的判定定理，有，故B正确；选项C：若，故，所成的二面角为，

13、则，故C正确；选项D，若，有可能，故D不正确.故选：D【点睛】本题考查了空间中的平行垂直关系判断，考查了学生逻辑推理，空间想象能力，属于中档题.12、D【解析】根据三视图作出该二十四等边体如下图所示，求出该几何体的棱长，可以将该几何体看作是相应的正方体沿各棱的中点截去8个三棱锥所得到的，可求出其体积.【详解】如下图所示，将该二十四等边体的直观图置于棱长为2的正方体中，由三视图可知，该几何体的棱长为，它是由棱长为2的正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得到的，该几何体的体积为，故选：D.【点睛】本题考查三视图，几何体的体积，对于二十四等边体比较好的处理方式是由正方体各棱的中点得到，属于中档题.二、填

14、空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】取的中点，连接，取的中点，连接，直线与所成的角为，计算，根据余弦定理计算得到答案。【详解】取的中点，连接，依题意可得，所以平面，所以，因为，分别、的中点，所以，因为，所以，所以平面，故，故，故两两垂直。取的中点，连接，因为，所以直线与所成的角为，设，则，所以，化简得，解得，即.故答案为：.【点睛】本题考查了根据异面直线夹角求长度，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.14、【解析】对函数零点问题等价转化，分离参数讨论交点个数，数形结合求解.【详解】由题：函数在区间内有且仅有两个零点，等价于函数恰有两个公共点，作出大致图象：要有两个交点，即

15、，所以.故答案为：【点睛】此题考查函数零点问题，根据函数零点个数求参数的取值范围，关键在于对函数零点问题恰当变形，等价转化，数形结合求解.15、【解析】先由正弦定理得到，再在三角形ABD、ADC中分别由正弦定理进一步得到B=C，最后利用面积公式计算即可.【详解】依题意可得，由正弦定理得，即，由图可知是钝角，所以，在三角形ABD中，在三角形ADC中，由正弦定理得即，所以，故，故的面积为.故答案为：.【点睛】本题考查正弦定理解三角形，考查学生的基本计算能力，要灵活运用正弦定理公式及三角形面积公式，本题属于中档题.16、【解析】设出两点的坐标，结合抛物线方程、两条直线垂直的条件以及两点间的距离公式列

16、方程，解方程求得的坐标.【详解】设，由于在抛物线上，所以.由于三角形是等腰直角三角形，所以.由得，化为，可得，所以，解得，则.所以.故答案为：【点睛】本题考查抛物线的方程和运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、特征值为1，特征向量为【解析】设出矩阵M结合矩阵运算和矩阵相等的条件可求矩阵M，然后利用可求特征值的另一个特征向量.【详解】设矩阵M，则AM，所以，解得，所以M，则矩阵M的特征方程为，解得，即特征值为1，设特征值的特征向量为，则，即，解得x0，所以属于特征值的的一个特征向量为【点睛】本题主要考查矩阵的运算及特征量的求解

17、，矩阵运算的关键是明确其运算规则，侧重考查数学运算的核心素养.18、 (1)；(2)是，【解析】(1)根据及可得，再将点代入椭圆的方程与联立解出，即可求出椭圆的方程； (2) 可设所在直线的方程为，将直线的方程与椭圆的方程联立，用根与系数的关系求出，然后将直线、的斜率、分别用表示，利用可求出，从而可确定点恒在一条直线上，结合图形即可求出的面积【详解】(1)因为椭圆的离心率为，所以，即，又，所以，因为点在椭圆上，所以，由解得，所以椭圆C的方程为(1)可知，可设所在直线的方程为，由，得，设，则，设直线、的斜率分别为、，因为三点共线，所以，即，所以，又，因为直线、的斜率成等差数列，所以，即，化简得，

18、即点恒在一条直线上，又因为直线方程为，且，所以是定值.【点睛】本题主要考查椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系及椭圆中的定值问题，属于中档题19、（1）,（2）【解析】（1）由余弦定理的,然后根据直线与圆相切的性质求出,从而求出;（2）求得的表达式,通过求导研究函数的单调性求得最大值.【详解】解：（1）连由条件得在三角形中,由余弦定理,得,因为与半圆相切于,所以,所以,所以所以四边形的周长为,（2）设四边形的面积为,则,所以,令,得列表：+0-增最大值减答：要使改建成的展示区的面积最大,的值为【点睛】本题考查余弦定理、直线与圆的位置关系、导数与函数最值的关系,考查考生的逻辑思维能力,运算求解能力,

19、以及函数与方程的思想.20、（1）；（2）.【解析】（1）由正弦定理直接可求，然后运用两角和的正弦公式算出；（2）化简，由余弦定理得，利用基本不等式求出，确定角范围，进而求出的取值范围.【详解】（1）由正弦定理，得： ，且为锐角 （2） 【点睛】本题主要考查了正余弦定理的应用，基本不等式的应用，三角函数的值域等，考查了学生运算求解能力.21、（1）；（2）.【解析】（1）由已知根据抛物线和椭圆的定义和性质，可求出，；（2）设直线方程为，联立直线与圆的方程可以求出，再联立直线和椭圆的方程化简，由根与系数的关系得到结论，继而求出面积【详解】（1）焦点为F（1，0），则F1（1，0），F2（1，0）

20、，解得，1，1，（）由已知，可设直线方程为，联立得，易知0，则因为，所以1，解得联立 ，得，80设，则 【点睛】本题主要考查抛物线和椭圆的定义与性质应用，同时考查利用根与系数的关系，解决直线与圆，直线与椭圆的位置关系问题 意在考查学生的数学运算能力22、（1）l： ，C方程为 ；（2）【解析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换（2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果【详解】(1)曲线C的参数方程为（m为参数），两式相加得到，进一步转换为直线l的极坐标方程为cos（+）1，则 转换为直角坐标方程为（2）将直线的方程转换为参数方程为（t为参数），代入得到（t1和t2为P、Q对应的参数），所以，所以【点睛】本题考查参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型