上海市宝山区吴淞中学2023届高三六校第一次联考数学试卷含解析.doc

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1、2023年高考数学模拟试卷考生须知：1全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1若的二项式展开式中二项式系数的和为32，则正整数的值为（ ）A7B6C5D42已知，则的大小关系为（ ）ABCD3我国古代数学名著九章算术有一问题：“今有鳖臑(bi na)，下广五

2、尺，无袤；上袤四尺，无广；高七尺.问积几何？”该几何体的三视图如图所示，则此几何体外接球的表面积为( )A平方尺B平方尺C平方尺D平方尺4已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是（ ）A内切B相交C外切D相离5已知定义在上的奇函数和偶函数满足（且），若，则函数的单调递增区间为（ ）ABCD6已知数列的通项公式为，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵.记为数阵从左至右的列，从上到下的行共个数的和，则数列的前2020项和为（ ）ABCD7设命题p:1,n22n,则p为（ ）ABCD8如图，在正方体中，已知、分别是线段上的点，且.则下列直线与平面平行的是（ ）ABCD9已知函数，若，则a的

3、取值范围为（ ）ABCD10设集合，则（ ）ABCD11若函数有两个极值点，则实数的取值范围是（ ）ABCD12马林梅森是17世纪法国著名的数学家和修道士，也是当时欧洲科学界一位独特的中心人物，梅森在欧几里得、费马等人研究的基础上对2p1作了大量的计算、验证工作，人们为了纪念梅森在数论方面的这一贡献，将形如2P1（其中p是素数）的素数，称为梅森素数.若执行如图所示的程序框图，则输出的梅森素数的个数是（ ）A3B4C5D6二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13函数满足，当时，若函数在上有1515个零点，则实数的范围为_.14已知，则_.(填“”或“=”或“”).15已知函数，则不等

4、式的解集为_.16我国著名的数学家秦九韶在数书九章提出了“三斜求积术”他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个数，相减后余数被4除，所得的数作为“实”，1作为“隅”，开平方后即得面积所谓“实”、“隅”指的是在方程中，p为“隅”，q为“实”即若的大斜、中斜、小斜分别为a，b，c，则.已知点D是边AB上一点，则的面积为_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知函数，函数.（）判断函数的单调性；（）若时，对任意，不等式恒成立，求实数

5、的最小值.18（12分）已知椭圆：（），点是的左顶点，点为上一点，离心率.（1）求椭圆的方程；（2）设过点的直线与的另一个交点为（异于点），是否存在直线，使得以为直径的圆经过点，若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.19（12分）如图在直角中，为直角，分别为，的中点，将沿折起，使点到达点的位置，连接，为的中点（）证明：面；（）若，求二面角的余弦值20（12分）我国在2018年社保又出新的好消息，之前流动就业人员跨地区就业后，社保转移接续的手续往往比较繁琐，费时费力.社保改革后将简化手续，深得流动就业人员的赞誉.某市社保局从2018年办理社保的人员中抽取300人，得到其办理手续所需时间（天

6、）与人数的频数分布表：时间人数156090754515（1）若300名办理社保的人员中流动人员210人，非流动人员90人，若办理时间超过4天的人员里非流动人员有60人，请完成办理社保手续所需时间与是否流动人员的列联表，并判断是否有95%的把握认为“办理社保手续所需时间与是否流动人员”有关.列联表如下流动人员非流动人员总计办理社保手续所需时间不超过4天办理社保手续所需时间超过4天60总计21090300（2）为了改进工作作风，提高效率，从抽取的300人中办理时间为流动人员中利用分层抽样，抽取12名流动人员召开座谈会，其中3人要求交书面材料，3人中办理的时间为的人数为，求出分布列及期望值.附：0.

7、100.050.0100.0052.7063.8416.6357.87921（12分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC90，ABAA1，M，N分别是AC，B1C1的中点求证：（1）MN平面ABB1A1；（2）ANA1B22（10分）已知函数，其中.（1）当时，求在的切线方程；（2）求证：的极大值恒大于0.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】由二项式系数性质，的展开式中所有二项式系数和为计算【详解】的二项展开式中二项式系数和为，故选：C【点睛】本题考查二项式系数的性质，掌握二项式系数性质是解题关键

8、2、D【解析】由指数函数的图像与性质易得最小，利用作差法，结合对数换底公式及基本不等式的性质即可比较和的大小关系，进而得解.【详解】根据指数函数的图像与性质可知，由对数函数的图像与性质可知，所以最小；而由对数换底公式化简可得由基本不等式可知，代入上式可得所以，综上可知，故选：D.【点睛】本题考查了指数式与对数式的化简变形，对数换底公式及基本不等式的简单应用，作差法比较大小，属于中档题.3、A【解析】根据三视图得出原几何体的立体图是一个三棱锥，将三棱锥补充成一个长方体，此长方体的外接球就是该三棱锥的外接球，由球的表面积公式计算可得选项.【详解】由三视图可得，该几何体是一个如图所示的三棱锥，为三棱

9、锥外接球的球心，此三棱锥的外接球也是此三棱锥所在的长方体的外接球，所以为的中点， 设球半径为，则,所以外接球的表面积，故选：A【点睛】本题考查求几何体的外接球的表面积，关键在于由几何体的三视图得出几何体的立体图，找出外接球的球心位置和半径，属于中档题.4、B【解析】化简圆到直线的距离 ，又 两圆相交. 选B5、D【解析】根据函数的奇偶性用方程法求出的解析式，进而求出，再根据复合函数的单调性，即可求出结论.【详解】依题意有， ， 得，又因为，所以，在上单调递增，所以函数的单调递增区间为.故选:D.【点睛】本题考查求函数的解析式、函数的性质，要熟记复合函数单调性判断方法，属于中档题.6、D【解析】

10、由题意，设每一行的和为，可得，继而可求解，表示，裂项相消即可求解.【详解】由题意，设每一行的和为 故因此：故故选：D【点睛】本题考查了等差数列型数阵的求和，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.7、C【解析】根据命题的否定，可以写出：，所以选C.8、B【解析】连接，使交于点，连接、，可证四边形为平行四边形，可得，利用线面平行的判定定理即可得解【详解】如图，连接，使交于点，连接、，则为的中点，在正方体中，且，则四边形为平行四边形，且，、分别为、的中点，且，所以，四边形为平行四边形，则，平面，平面，因此，平面.故选：B.【点睛】本题主要考查了线面平行的判定，考查了推理论证能力和

11、空间想象能力，属于中档题9、C【解析】求出函数定义域，在定义域内确定函数的单调性，利用单调性解不等式【详解】由得，在时，是增函数，是增函数，是增函数，是增函数，由得，解得故选：C.【点睛】本题考查函数的单调性，考查解函数不等式，解题关键是确定函数的单调性，解题时可先确定函数定义域，在定义域内求解10、D【解析】根据题意，求出集合A，进而求出集合和，分析选项即可得到答案.【详解】根据题意，则故选：D【点睛】此题考查集合的交并集运算，属于简单题目,11、A【解析】试题分析：由题意得有两个不相等的实数根，所以必有解，则，且，考点：利用导数研究函数极值点【方法点睛】函数极值问题的常见类型及解题策略（1

12、）知图判断函数极值的情况.先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号.（2）已知函数求极值.求f（x）求方程f（x）0的根列表检验f（x）在f（x）0的根的附近两侧的符号下结论.（3）已知极值求参数.若函数f（x）在点（x0，y0）处取得极值，则f（x0）0，且在该点左、右两侧的导数值符号相反.12、C【解析】模拟程序的运行即可求出答案【详解】解：模拟程序的运行，可得：p1，S1，输出S的值为1，满足条件p7，执行循环体，p3，S7，输出S的值为7，满足条件p7，执行循环体，p5，S31，输出S的值为31，满足条件p7，执行循环体，p7，S127，输出S的值为127，满足条件p

13、7，执行循环体，p9，S511，输出S的值为511，此时，不满足条件p7，退出循环，结束，故若执行如图所示的程序框图，则输出的梅森素数的个数是5，故选：C【点睛】本题主要考查程序框图，属于基础题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】由已知，在上有3个根，分，四种情况讨论的单调性、最值即可得到答案.【详解】由已知，的周期为4，且至多在上有4个根，而含505个周期，所以在上有3个根，设，易知在上单调递减，在，上单调递增，又，.若时，在上无根，在必有3个根，则，即，此时；若时，在上有1个根，注意到，此时在不可能有2个根，故不满足；若时，要使在有2个根，只需，解得；若时，在上单

14、调递增，最多只有1个零点，不满足题意；综上，实数的范围为.故答案为：【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点个数问题，涉及到函数的周期性、分类讨论函数的零点，是一道中档题.14、【解析】注意到，故只需比较与1的大小即可.【详解】由已知，故有.又由，故有.故答案为：.【点睛】本题考查对数式比较大小，涉及到换底公式的应用，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.15、【解析】，分类讨论即可.【详解】由已知，若，则或解得或，所以不等式的解集为.故答案为：【点睛】本题考查分段函数的应用，涉及到解一元二次不等式，考查学生的计算能力，是一道中档题.16、.【解析】利用正切的和角公式求得,再求得,利用余弦定理求

15、得,代入“三斜求积术”公式即可求得答案.【详解】，所以，由余弦定理可知，得.根据“三斜求积术”可得，所以.【点睛】本题考查正切的和角公式,同角三角函数的基本关系式,余弦定理的应用,考查学生分析问题的能力和计算整理能力,难度较易.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、 (1) 故函数在上单调递增，在上单调递减;(2). 【解析】试题分析：（）根据题意得到的解析式和定义域，求导后根据导函数的符号判断单调性（）分析题意可得对任意，恒成立，构造函数，则有对任意，恒成立，然后通过求函数的最值可得所求试题解析：（I）由题意得， .当时，函数在上单调递增；当时，令，解得；令，解

16、得.故函数在上单调递增，在上单调递减.综上，当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递增，在上单调递减.（II）由题意知.，当时，函数单调递增不妨设 ，又函数单调递减，所以原问题等价于：当时，对任意，不等式 恒成立，即对任意，恒成立.记，由题意得在上单调递减.所以对任意，恒成立.令，则在上恒成立.故，而在上单调递增，所以函数在上的最大值为.由，解得.故实数的最小值为18、（1）；（2）存在，【解析】（1）把点代入椭圆C的方程，再结合离心率，可得a,b,c的关系，可得椭圆的方程；（2）设出直线的方程，代入椭圆，运用韦达定理可求得点的坐标，再由，可求得直线的方程,要注意检验直线是否和椭圆有两个交

17、点【详解】（1）由题可得，所以椭圆的方程（2）由题知，设，直线的斜率存在设为，则与椭圆联立得，若以为直径的圆经过点，则，化简得，解得或因为与不重合，所以舍.所以直线的方程为.【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查了向量的数量积的运用，属于中档题.19、（）详见解析；（）.【解析】（）取中点，连结、，四边形是平行四边形，由，得，从而，求出，由此能证明（）以为原点，、所在直线分别为，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值【详解】证明：（ ）取中点，连结、， ， 四边形是平行四边形， ， ， ，在中，又 为的中点，又 ，解：（）， ，以为原点，、所在直线分

18、别为，轴，建立空间直角坐标系，设，则， ，设面的法向量，则，取，得，同理，得平面的法向量，设二面角的平面角为，则， 二面角的余弦值为【点睛】本题考查面面垂直及线面垂直性质定理、线面垂直判定与性质定理以及利用空间向量求线面角与二面角，考查基本分析求解能力，属中档题20、（1）列联表见解析，有；（2）分布列见解析，.【解析】（1）根据题意，结合已知数据即可填写列联表，计算出的观测值，即可进行判断；（2）先计算出时间在和选取的人数，再求出的可取值，根据古典概型的概率计算公式求得分布列，结合分布列即可求得数学期望.【详解】（1）因为样本数据中有流动人员210人，非流动人员90人，所以办理社保手续所需时

19、间与是否流动人员列联表如下：办理社保手续所需时间与是否流动人员列联表流动人员非流动人员总计办理社保手续所需时间不超过4天453075办理社保手续所需时间超过4天16560225总计21090300结合列联表可算得.有95%的把握认为“办理社保手续所需时间与是否流动人员”有关.（2）根据分层抽样可知时间在可选9人，时间在可以选3名，故，则，可知分布列为0123可知.【点睛】本题考查独立性检验中的计算，以及离散型随机变量的分布列以及数学期望，涉及分层抽样，属综合性中档题.21、（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】（1）利用平行四边形的方法，证明平面.（2）通过证明平面，由此证得.【详解】（1）

20、设是中点，连接，由于是中点，所以且，而且，所以与平行且相等，所以四边形是平行四边形，所以，由于平面，平面，所以平面.（2）连接，由于直三棱柱中，而，所以平面，所以，由于,所以.由于四边形是矩形且，所以四边形是正方形，所以,由于,所以平面，所以.【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查线面垂直的证明，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.22、（1）（2）证明见解析【解析】（1）求导，代入，求出在处的导数值及函数值，由此即可求得切线方程；（2）分类讨论得出极大值即可判断.【详解】（1），当时，则在的切线方程为；（2）证明：令，解得或，当时，恒成立，此时函数在上单调递减，函数无极值；当时，令，解得，令，解得或，函数在上单调递增，在，上单调递减，；当时，令，解得，令，解得或，函数在上单调递增，在，上单调递减，综上，函数的极大值恒大于0.【点睛】本小题主要考查利用导数求切线方程，考查利用导数研究函数的极值，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.