2015～2016学人苏教版高中数学必修5全册导学案.pdf

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1、苏教版高中数学必修5全册导学案目 录1.1.1 正弦定理导学案1.1.2 余弦定理导学案1.2.1 正、余弦定理在实际中的应用导学案1.2.2 正、余弦定理在三角形中的应用导学案2.1.1 数列的概念与通项公式导学案2.1.2 数列的通项公式与递推公式导学案2.2.1 等差数列导学案2.2.2 等差数列的性质导学案2.3 等差数列的前n 项和导学案2.4.1 等比数列导学案2.5.1 等比数列的前n 项和导学案2.5.2 等比数列的前n 项和导学案3.1 不等关系与不等式导学案3.2 一元二次不等式及其解法导学案3.4 基本不等式导学第 一 章 第L 1.1节：正弦定理A.学习目标让学生从已有

2、的知识经验出发，通过对特殊三角形边角间数量关系的探求，发现正弦定理；再由特殊到一般，从定性到定量，探究在任意三角形中，边与其对应角的关系，引导学生通过观察、猜想、比较推、导正弦定理，由此培养学生合情推理探索数学规律的数学思考能力；培养学生联想与引申的能力，探索的精神与创新的意识，同事通过三角函数，向量与正弦定理等知识间的联系来帮助学生初步树立事物之间的普遍联系与辩证统一的唯物主义观点。B.学习重点、难点重点：正弦定理的探索、证明及基本应用；难点：正弦定理应用中“已知两角和其中一边的对角解三角形，判断解的个数”，以及逻辑思维能力的培养。C.学法指导通过对特殊三角形边角间数量关系的探求，发现正弦定

3、理；再山特殊到一般，从定性到定量，探究在任意三角形中，边与其对应角的关系，引导学生通过观察、猜想、比较推、导正弦定理，由此培养学生合情推理探索数学规律的数学思考能力。D.知识链接本节内容安排在第一章正弦定理第一课时，是在学生学习了三角等知识之后，显然是对三角知识的应用；同时作为三角形中的一个定理，也是对初中解直角三角形内容的直接延伸。E.自主学习 提出问题如图，在 R t a i 式 中，4=3 0 ,斜边 c=2,A问题1：比 的其他边和角为多少？提示：N B=60，Z C 9O0，a=l,b=#.I/a、B问题2：试计算一 y,二7 的值，三者有何关系？s i n A s i n B s

4、m C提示：-y=2,丁=2,=7、=2,三者的值相等.s i n A s m B s i n 6 0 s m C问题3：对于任意的直角三角形是否也有类似的结论？4提示：是.如 图 s i n /=*第1页 共124页a b b/-:=c.s i n B=i :=c,s i n A c s i n B.八 a b c s i n C 1,:.=7,s i n A s i n B s i n C问题4：在钝角1 比 中，B=C=3 0：b=小,试求其他边和角.提示：如图，为直角三角形，/，=3 0 ACy/3,则 4G乎,BC=3、.AB=小,/胡 C=1 2 0。.B0 D问题5：问题4中所得

5、数字满足问题3中的结论吗？提示：满足.问题6：若是锐角三角形上述结论还成立吗？提示：都成立.导入新知1 .正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即一s i n A s i n B s m C2.解三角形般地，把三角形的三个角4B、。和它们的对边外以 叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.化解疑难对正弦定理的理解(1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立.(2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式.(3)揭示规律：正弦定理指出的是三角形中三条边与对应角的正弦之间的一个关系式，它描述了三角形中边与角的一种数量关系.(4)主要

6、功能：正弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的转化.F.合作探究已知两角及一边解三角形 例 1 在中，已知 a=8,8=60,8 7 5 ,求 4 6,c.解 4=1 8 0(6+0=1 8 0-(60+7 5 )=4 5 .第2页 共124页由bsin B sin A得,asin B 8Xsin 60 厂,b=7=:=4 7 6,由sin A sin 45 vasin A sinasin C 8Xsin 75 4C；7sin Asin 45=4(，5+l).4=45,6=4乖，c=4(4 +l).亚2 类题通法已知三角形任意两角和一边解三角形的基本思路(1)由三角形的内角和定理求出第三个角

7、.(2)由正弦定理公式的变形，求另外的两条边.注意：若己知角不是特殊角时，往往先求出其正弦值(这时应注意角的拆并，即将非特殊角转化为特殊角的和或差，如75=45+30),再根据上述思路求解.活学活用1.在/%中，已知c=1 0,4=45,7=30,解这个三角形.解：.力=45,C=30,；.Q180(4+0=105.由什生得csin 力 lOXsin 45 r-3=sin C=sin 30-=102,由 石 尹 嬴 N导b=csin B 10Xsin 105sin Csin 30=20sin 75,Vsin 75=sin(30+45)=sin 30 cos 450+cos 30 sin 45一

8、 4A b=20 x心;乖=5y2+5y/6.已知两边及一边的对角解三角形 例2在力阿中，已知A=45,a=2,解这个三角形.解asin A sin CAsin Ccsin A V6Xsin 45 3a22 C=60或C=120.当 C=60 时，Q75csin B m sin 750 i-，b=sin C=sin 600=艰 +1；当 0=120 时，6=15,b=csin B 15sin C sin 120=乖1第3 页 共 124页.=4 +1,6=7 5 ,C=60 或。=#一 1,4 15,a,：.O A,一，冗工只口 自 取4：.B=nJI n 5 兀T-T=L2bc s i n

9、Bs i n Csin Tm a 判断三角形的形状 例 3 在中，s i n2 J=s i n2 B+s in C,且s i n 力=2s i n B,c o s 试判断力回的形状.解 由正弦定理，得 s i n 力=泰 s i n 8=得，s i n C=%V s i n2 J=s i n2 8+s i n,C,即才=万+/,故 1=9 0.0=9 0-B,c o s C=s i n B.*.2s i n B co s.C=2s i n，/?=s i n /=1.A s i n B=.:B=4 5。或 4 =1 3 5 （力+3=225 1 8 0,故舍去）.第4页 共124页.力况1 是等

10、腰直角三角形.类题通法1.判断三角形的形状，可以从考查三边的关系入手，也可以从三个内角的关系入手，从条件出发，利用正弦定理进行代换、转化，呈现出边与边的关系或求出角与角的关系或大小，从而作出准确判断.2.判断三角形的形状，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别.活学活用3.在力欧中，若 6=acos C,试判断该三角形的形状.a b解：=a c o s C,-k 2 R.（27?为力欧外接圆直径）sin A sin B/.6sin 8=sin A cos C.B=n （J+0 ,A sin（J+6）

11、=sin A cos C.即 sin Jcos C+cos 力 sin C=sin A cos C,/.cos/sin C=09（0,兀），Acos J=0,.A=f四。为直角三角形.软 瞬 系 列1.警惕三角形中大边对大角 典例 在中，已知a=2 4,6=2,4=60,则B=_ 解析 由正弦定理，得 sin 8=6X 红）=2Xsin 60 1 。-7=-V0 5180,：.B2小 2=30,或=150.：b a,根 据 三 角 形 中 大 边 对 大 角 可 知.8=150不符合条件，应舍去，.6=30.答案 30。易错防范1.由 sin 6=3 导8=30,或 150,而忽视6=2 a

12、知皮 4：.S=60 或 1 2 0 .(1)当 8=6 0 时，C=1 8 0 -A-B=1 8 0 -3 0 -6 0 =9 0 .在 R t Z U b C 中，90。，a=2 6=6,c=44a c=2小 X 4乖=24.(2)当 8=1 2 0 时，1 8 0 一 月-8=180-3 0 -1 2 0 =3 0 ,.A=C,则有 a=c=2y3.a c=2季 X 2木=12.G.课堂小结由学生整理学习了哪些内容？有什么收获？H.达标检测一、选择题1 .在/!欧 中，下列式子与四/的值相等的是（）a解析：选 C 由正弦定理得一匕=,所 以 当 二=业 三s i n A s i n C

13、a c2 .（2 0 1 3 浏阳高二检测）在?1 比 中，若 s i n/s i n 氏 则 1与 8的大小关系为（）A.AB B.A 2 7 f e i n B,即 a A 故给人3.一个三角形的两个角分别等于1 2 0 和 4 5 ,若 4 5 角所对的边长是4m,那么1 2 0 角所对边长是（）第6 页 共 124页A.4.B.1 2 3D.12解析：选 D 若 设 1 2 0 角所对的边长为x,则由正弦定理可得:x4ms i n 1 2 0 0 -s i n 4 5 0 于 是 户，4#s i n 1 2 0。4 乖 又 当s i n 4 5 0亚2=1 2,故选D.4.的三个内角4

14、 B,C 所对的边分别为 a,b,c,a s i n J s i n B+bco s2A=y2a,的=()B.2mD，V2解析：选 D 由正弦定理，得 s i n/s i n 5+s i n%o s M=小 s i n A,即 s i n B,(s i n J+c o s2j 4)=2 s i n A.所 以 s i n 5=隹 s i n A./=当 冲=啦.a s m A5.以下关于正弦定理或其变形的叙述错误的是()A.在力8 c 中，a b c=s i n A:s i n B s i n CB.在中，若 s i n 2/=s i n 2 8,则 a=6C.在中，若 s i n 4 s i

15、 n B,则/B,若/6,则 s i n O s i n 8都成立,.A.a b-cD.在/a 中，:=r-s i n A s i n m-s i n C解析：选 B 由正弦定理易知A,C,D i E确.对 于 B,由 s i n 2 4=s i n 2 6,可得4=6,或 2/1+2 2 7=JI,即 A=B,或 4+6=；,a=b,或 a +=c,故 B 错误.二、填空题6.在/a 中，若 a=1 4,b=7乖,8=6 0 ,则 C=.解析：由正弦定理知一；=1 又 a=1 4,b=7 邓,5=6 0 ,s i n A s i n B v.a s i n B I 4 s i n 6 0 亚

16、.s i n A-;-=-7=-.a b,/，b 7y6 2.月=45 ,.8 1 8 0(6+4=1 8 0-(60 +45 )=7 5 .答案：7 5。7.在中，8=3 0,C=1 2 0,则 a：6：c=.第7页 共124页解析：J=1 8 0-5，=3 0，由正弦定理得 a：b：c=s i n A：s i n B：s i n C,即 a：6：c=s in 300:s i n 3 0 :s i n 1200=1:1:近答案：1:1:#8 .在中，若力=1 2 0,1 Q 5,B C=7,则 s i n 归,解析：由正弦定理，得AB*s i n As i n C=-DC5 s i n 1

17、2 0 5 3=7 =1 4-可知 C 为锐角，c os C=-l-s i n ,=*A s i n 8=s i n(1 8 0-1 2 0 一。=s i n(60 0。3A/3=s i n 60 c os C-c os 60 s i n C=h-.1 4答 案:唔三、解答题9 .(2 01 1 安 徽 高 考)在 中，a,b,c 分别为内角4 B,C 所对的边长，a=木,b=&,l+2 c os(8+6)=0,求边比1 上的高.解：由 1+2 c os (夕+。=0 和 9+。=五一4得1 2 c os 4=0,所以 c os 力亚s i n =2,一r aq e i ,=力 s i n A

18、 yJ2再由正弦定理，得 s i n B=-;=.a zj i山伙w 知夕 4 所以少不是最大角，B26ccos 力,1)=+故 4=30.2bc 2XA/3XX2X 2同理可求得 cos.8=；,cos C0,所以 Q6 0 ,C=90.类题通法己知三角形的三边解三角形的方法(1)先利用余弦定理求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再利用余弦定理或山求得第1 1页 共1 2 4页的第一个角，利用正弦定理求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角.(2)利用余弦定理求三个角的余弦，进而求三个角.活学活用1.边长为5,7,8 的三角形中，最 大 角 与 最 小 角 的 和 是.解析：设中

19、间角为0,由于8 7 5,故。的对边的长为7,由余弦定理，得 cos 0=所以 0=6 0，故另外两角和为 180-60=120.Z A O A o Z答案：120 例 2 在/!况中，已知a=8,片 60,c=4(，5+l),解此三角形.已知三角形的两边及其夹角解三角形 解由余弦定理得：4=a：+c-2accos 6=8 +4(4 +1)一2X 8X 4(4+1)cos 60=64+16(4+273)-6 4(V3+1)x1=96,6=4乖.法一:,l)+c-a 96+16 m+1 264 亚由 c s =F =2 X 4 mx 4 小+1=2,V0 J a,c a,.a最小，即 4 为锐角

20、.因此4=45.故 仁 180 4-6=180-45-60=75.类题通法已知三角形的两边及其夹角解三角形的方法先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解有两种思路：一是利用余弦定理的推论求出其余角；二是利用正弦定理(已知两边和一边的对角)求解.若用正弦定理求解，需对角的取值进行取舍，而用余弦定理就不存在这些问题(在(0,工)上，余弦值所对角的值是唯一的)，故用余弦定理求解较好.活学活用2.在俶7,已知a=2*,b=2木,C=15,解此三角形.解：c=a+l)-2abcos C=(2*/+(2 4)2-2 X 2 啦 X 2#X cos(45-30)第12页 共124页=8-4 7 3=（乖 一:

21、）2c=#一木.法一：由余弦定理的推论得_ 2 镜2+乖 一 42 _ 2/2 啦2 X 2-/3 X 2 V 0 J 1 8 0 ,.4=4 5 ,从而 =1 2 0 .法二：由正弦定理得a s in C 4 A/2S l t l =1-=#-m=2 -*/c?b,又 0 J 1 8 0 ,，.4 必为锐角，.=4 5 ,从而得 8=1 2 0 .例 3 在/（a中，已知6=3,c=3 8=3 0 ,求角/、角 C 和边a.解 法-,:山余弦定理方J a+c -2 a c c o s B,丁 日|已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形得 3?=a 2+（3 镉）2-2 a X 3/X c

22、o s 3 0 ,.,.a-9 a+1 8=0,得 a=3 或 6.当 a=3 时，1=3 0。,.-.=1 2 0 .当 a=6 时，由正弦定理得1.a sm BR 6 X乙9s in A-=7 -1.b 3：.A=90,：.C=60.法二：由 b c s in 3 0 =3，5 X；=安 兴知本题有两解.第13页 共124页由正弦定理得s in C=*=1=岁，u J 乙.=6 0 或 1 2 0 ,当 0=6 0 时，J=9 0 ,为直角三角形.由勾股定理得a=Q 炉 春=,+3m 2=6,当 0=1 2 0 时，J=3 0 ,4 6 C 为等腰三角形，a=3.类题通法已知三角形的两边及

23、其中一边的对角解三角形的方法可根据余弦定理列一元二次方程求出第三边（注意边的取舍），再利用正弦定理求其他的两个角；也可以由正弦定理求出第二个角（注意角的取舍），再利用三角形内角和定理求出第三个一角，最后再利用正弦定理求出第三边.活学活用33.已知：在中，cos A-,a=4,6=3,则 c=_ _ _ _ _ _ _ _.解析：4为 b,c 的夹角，由余弦定理得才=4+c 2 2 6ccos 42 3，1 6=9+。?-6X=c,o整理得 5。2 1 8。-3 5=0.7解 得。=5 或。=一鼻（舍）,答案：57 判断三角形的形状 例 4 在4 6C 中，若（3 cos 力+A cos Sa

24、cco s C,试判断 4%的形状.解由余弦定理可得a 典户+告三2 be 2a ca c=C -2a b-等式两边同乘以2 a儿得+c-a）+Z（a+c2Z 22）=e（z?2+Z?2c?2）,整理化简得3+6 2,方 2=小.（J 为 2=/因此有才一方2=/或 4 a =c.即才=Z +c2 或 2=3+。2故力欧为直角三角形.第14页 共124页 类题通法判断三角形的形状应围绕三角形的边角关系进行思考，可用正、余弦定理将已知条件转试判断其形状.化为边边关系，通过因式分解、配方等方式得出边的相应关系，从而判断三角形的形状，也可利用正、余弦定理将已知条件转化为角与角之间的关系，通过三角变换

25、，得出三角形各内角之间的关系，从而判断三角形形状.活学活用4.在力比 中，若 cos 4=组弓sin C5 ,sin B/口 b解：ill cos A;得 cos 力=一，sin 6 c：BM=2廿,即 d+b，=c9因此力回是以C为直角的直角三角形.即,b +c-a b2 be c簪 癖 身系列1.利用正、余弦定理求解平面图形中线段长 典例 如图所示，在四边形4 先9 中，AD V CD,AD=10,AB=14,ABD A=60,NHQ=135,求出比的长.解题流程t3啰 审 结 论 一明解题方向 3防 审 条 件 一挖解题信息 期得 逢 联 系 一找解邃突破口要 奈EC的 长.应 侑 定H

26、C所住的 由 4川)叱 的AI)10.AB II.余弦定叟三角彩中的故语关系.IDA 60.可 利 用 余 欣 定 理 解 此 三 I.-二 求 的 长，力形.从而求得BI)的 长；山 )CF).正首定 匚3,京 JC的代可汴 Iil)C SO.BCD t -F如两角一 边 可 相 此 三 角 忧 规范解答设 初=x,在力切中，根据余弦定理，A E=A +B G-2 A DBIk o s/BD A,A142=102+f 2X 10义 xcos 60,即 y21096=0,解 得 汨=1 6,上 2=6（舍去），:.BD=16.AD A.CD,N 板=60,.Z6Z=30.在丛BCD、,由正弦定

27、理，-/析 s in/CD B s in/BCIJ第15页 共124页.“1 6s i n 3 0 八 i-*B=s i n 1 3 5。名师批注将四边形4 版 分 解 为 两 个 物 和 颇，利用余弦定理列出关于x 的一元二次方程,化简方程时易出错，应注意步骤及计算的准确性。由力1缪，N E M=6 0 得NC Z 心=3 0,学生有时不易想到.活学活用如图所示，在/欧中，已知d=4 5 ,是a1 边上一点，4 9=5,AC=7,D C=S,求AB.1 1 7 1f .A G+D G AI 72+32-52 1 1解：在cos C=2-AC-D C=2 X 7 X 3 =U 5、/5 AC又

28、.0 C c o s C=a+7 2 2X8 X7 X7 7=9,第16 页 共 124 页所 以。=3,故 a 最大，所以最大角的余弦值为c o s A=-62+C2-2_ 72+32-82-2bc-=2 X 7 X 31T3.在?!%中，6=6 0,a c，则此三角形一定是（）A.直角三角形 B.等边三角形C.等腰直角三角形 D.钝角三角形解析：选 B由余弦定理，得万二才+da c,又*.*B=a c,才+/2 a c=0,即（a c）2=0,a c.,夕=6 0,：.A=C=60.故力比是等边三角形.4.（2013 宁阳高二检测）在/阿中，bco s A=a co s Bf 则 4%是（

29、）A.等边三角形 B.等腰三角形C.直角三角形 D.锐角三角形解析：选 B因为bco s A=a co s B,所以巴所以 I f+c-a a +ct i.所 以 2=比所 以a=b.故此三角形是等腰三角形.5.在?1%中，6=6 0,最大边与最小边之比为（4+1）：2,则最大角为（）A.4 5 B.6 0C.7 5 D.9 0解析：选 C由题意可知e V A V a,或 a b 5 7,由正弦定理可得 a：b：c=3：5 ：7,设Q Q 1a=3*(A 0),则 6=5 4,cl k,由余弦定理的推论得 c o s C=.=一：,又 0 CAa b 2 18 0,所 以(7=120.答案：1

30、20三、解答题9 .在/a 1中，若已知(a+b+c)(a+6 c)=3 a 8,并且 s in C=2s in%o s 4 试判断 力 a的形状.b c解：由正弦定理，可得s in 8=诋s in C=/2 I 2_,2由余弦定理，得 c o s k:.Z be层+02一才代入 s in 3=2s in Seo s A,得 c=2Z?.Z o e整 理 得a=b.又因为(d+b+c)(a+b c)=3 a b,所以 a+l c=a b,第18页 共124页a +t c 1即 C 0 S C=2a b 而故 占 0又 a=b,所 以 为 等 边 三 角 形.10.在/!%中，角力、B、C 的对

31、边分别为&、b、c,_ H 2b c o s A=c c o s A+a,c o s(1)求角/的大小；若 a=巾，6+c=4,求 b e 的值.解：根.据正弦定理2b c o s A=c c o s A+a c o s C02c o s I s in 4=s in Aco s CH-c o s 力 s in C=s in (4+。=s in B,V s in 肝0,1 1.COS 力=5，V 0 J 18 0,：.A=&0.山余弦定理得：l=a=l)+c 2bc c o s 6 0=b-1-c-bc=(b+c)J3 姐把b+c=4代入得b c=3,故bc=3.第19页 共124页第 1.2.

32、2节：正、余弦定理在实际中的应用A.学习目标1.使学生能够运用正弦定理，余弦定理等知识解决一些有关测量距离的实际问题。了解常用的测量相关术语，如坡度、仰角、俯角、方向角、方位角等。2.结合实际测量工具，能用正弦定理、余弦定理等知识解决生活中一些有关底部不可到达的物体高度的测量问题。3.通过有关角的研究，让学生根据题意能准确地画出平面示意图，灵活应用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题。B.学习重点、难点重点：分析测量距离问题，高度问题，角度问题的实际背景，能应用正、余弦定理解决实际测量问题。能根据正、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系。弄清仰角、俯角、方位角、方向角的概念，将实际问题转化为

33、数学问题。难点：根据题意准确画出示意图（平面或立体图形），灵活应用正、余弦定理解决有关实际测量问题。C.学法指导通过巧妙的设疑，结合学生的实际情况，采用“提出问题引发思考探索猜想一一总结规律反馈训练”的教学过程，使学生能够运用正弦定理和余弦定理等知识解决些与测量有关的实际问题，帮助学生掌握常规解法，能够通过类比解决实际问题。D.知识链接本章引言中就提出经常萦绕着我们的这么个问题:“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？今天我们将起学习这个神奇的方法”出示课题：正、余弦定理在实际问题中的应用。E.自主学

34、习 提出问题李尧出校门向南前进2 0 0 米，再向东走了 2 0 0 米，回到自己家中.E333测量中的基本术语问题1：李尧家在学校的哪个方向？提示：东南方向.问题2：能否用角度再进一步确定其方位？提示：可以，南偏东4 5 或东偏南4 5 .导入新知实际测量中的有关名称、术语定义图示第2 0页 共124页基线在测量上，根据测量需要适当确定的线段叫做基线仰角在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时与水平线的夹角铅垂线视线而角水平线俯角在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时与水平线的夹角铅垂线乂 啜 水 平 线、视线基线在测量上，根据测量需要适当确定的线段叫做基线方向角从指定方向线到目标方向线的水平角（

35、指定方向线是指正北或正南或正东或正西，方向角小于9 0 ）北1西南1南偏西6 0 指以正南方向为始边，转向目标方向线形成的角方位角从正北的方向线按顺时针到目标方向线所转过的水平角北O%)120奏 化解疑难解三角形实际问题的一般步骤，在弄清题意的基础上作出示意图，在图形中分析己知三角形中哪些元素，需求哪些量.用正、余弦定理解三角形是解题的关键环节.E.合作探究测量高度问题 例 1 如图，为了测量河对岸的塔高/6，有不同的方案，其中之一是选取与塔底方在同一水平面内的两个测点，和 测 得 切=2 0 0 米，在。点和点测得塔顶 A/的仰角分别是4 5 和 3 0 ,且/物=3 0 ,求塔高%解 在

36、中，/1 g 4 5 ,若设 4Q4 贝|J 6 C=/?；在 R I 胸中，Z AD B=3 0,则 劭=4 h.在 腼 中，由余弦定理可得C匕=B r+B廿-2 B O BD-cosZm即 2 0 02=A2+（V 3/?）2-2 力/力 乎，第2 1页 共124页所以力2=200?,解得/?=200（方=-2 0 0 舍去）即塔高4 Q 200米.类题通法测量高度问题的要求及注意事项（1）依题意画图是解决三角形应用题的关键，问题中，如果既有方向角（它是在水平面上所成的角），又有仰（俯）角（它是在铅垂面上所成的角），在绘制图形时，可画立体图形和平而图形两个图，以对比分析求解；（2）方向角是

37、相对于在某地而言的，.因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪点的方向角.从这个意义上来说，方向角是一个动态角，在理解题意时，应把它看活，否则在理解题意时将可能产生偏差.活学活用1.如图，/、6 是水平面上两个点，相 距 800 m,在力点测得山顶。的仰角是25,N E U llO。，又在点6 测 得/加=40,其中点是点C在水平面上的垂足.求山高（精确到1 m）.解：在 即 中，/力场=180-110-40=30,由正弦定理得ABsin B 800Xsin 40A D=sinZAD lT-sin 30028.5（m）,在 RtZ4切 中，CD=ADtan 252480（m）.答：山高约为480

38、m.F T T 测量角度问题 例 2 如图，在 海 岸/处，发现北偏东4 5 方向，距 处（一 D nm ile的 8 处有一艘走私船，在 A 处北偏西7 5 的方向，距 离/处 2 nm ile的 C处的缉私船奉命以10曲 n m ile/h的速度追截走私船.此时，走私船正以10 n m ile/h的速度从6 处向北偏东3 0 方向逃窜，问缉私、船沿着什么方向能最快追上走私船？解 设缉私船用t h 在处追上走私船，则有切=1附 心 B g Q t,在中，AC=2,ZBAC=120,二由余弦定理，得第2 2页 共124页BC1=A +A Ct-2AB-/Ce o s ABAC=(V 3-D2+

39、22-2 (A/3-D -2 COS 1 2 0。=6,.，=乖，l AC 2 术 小且 s i n Z.ABC=-s i n Z.BAC BC#22：.Z ABC=A5.，町与正北方向垂直.V Z C K 9=9 0o,+3 0 =1 2 0 ,在 a 中，由正弦定理，得BD*s i n 4 CBD l O t s i n 1 2 0 0 1s i n Z-BCD=5,CD l O j S t 2./优力=3 0 .即缉私船沿东偏北3 0 方向能最快追上走私船.类题通法.解决追及问题的步骤(1)把实际问题转化为数学问题；(2)画出表示实际问题的图形，并在图中标出有关的角和距离，这样借助于正弦

40、定理或余弦定理，就容易解决问题了；(3)最后把数学问题还原到实际问题中去.活学活用2.某货船在索马里海域航行中遭海盗袭击，发出呼叫信号，如图，我海军护航舰在4处获悉后，立即测出该货船在方位角为4 5 ,距离为1 0海里的C 处，并测得货船正沿方位角为1 0 5 的方向，以 1 0 海里/小时的速度向前行驶，我海军护航舰立即以海里/小时的速度前去营救，求护航舰的航向和靠近货船所需的时间.解：在/欧 中，根据,余弦定理，有A E=A d+B C-2 A 5 BCco s 1 2 0 ,W(1 0 V 3 f)2=1 02+(1 0 t)2-2 X1 0 X1 0 f co s 1 2 0 ,整理得

41、2 1 一匕-1 =0,解得 或/(舍去).舰艇需1 小时靠近货船.此时4 6=1 附，比=1 0,又 1 0=1 0,所 以 步=3 0 ,第2 3页 共124页所以护航舰航行的方位角为75.麓 酶 系 列1 .探究距离测量问题测量距离问题分为三种类型：两点间不可通又不可视，两点间可视但不可达，两点都不可达.解决此问题的方法是：选择合适的辅.助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解.【角度一】两点不相通的距离如图所示，要测量一水塘两侧46两点间的距离，其方法先选定适当的位置G用经纬仪测出角a,再分别测出4C,笈 的 长6,a,丁云彳则可求出A,6两点

42、间的距离.即 AB-ja+l)2a bco s a.若测得0=4 00 m,=600 m,N47/=60,试 计 算 长.解：在/!a1中，由余弦定理得+比 一2/0 BCco s N ACB,：.2?=4002+6002-2 X 400 X 600cos 600=280 000.AB2OOyf l m.即48两点间的距离为200小m.【角度二】两点间可视但有一点不可到达如图所示，A,6两点在一条河的两岸，测量者在/的同侧，且6点不可到达，要测出16的距离，其方法在力所在的岸边选定一点C,可以测出4C的距离如，再借助仪器，测出/1必=。，4 CAB=B,在中，运用正弦定理就可以求出47.若测出

43、力 6 0 m,N54C=75,N B C A=4 5 ,则4、6两点间的距离为解析：N4%=180-7 5 -4 5 =60,所以由正弦定理得,AB ACsin C sin BBAC-sin C 60Xsin 45 -=-sin B sin 60=20m(m).即/、8两点间的距离为20mm.答案：2哪m【角度三】两点都不可到达如图，A,6两点在河的同侧，且4 6两点均不可到达，测出46第2 4页 共124页的距离，其方法测量者可以在河岸边选定两点G D,测 得 但 a,同时在G 两点分别测得/况4=a,NCDB=y,NBDA=万.在 和 腕 中，由正弦定理分别计算 出 然 和 比，再 在

44、板 中，应用余弦定理计算出45r若测得 g岁 km,NADB=NCDB=3&,N4必=60,ZACB=450,求4 8两点、间的距离.解：,?Z ADC=Z ADB+Z CDB=60,/4 3 6 0 ,J 3.=%=半也DC2在加9中，ZDBC=45,由正弦定理，得 加=./.S B D C=.冒二。sinsmZDBC sin 45在力欧中，由余弦定理，得AF=AG+BC2AO BCcos 454+3.2 X 也 X近 X也 一4十8 2X 2*4 义 2-8。：.AB=：.A,8 两点间的距离为叩km.G.课堂小结由学生整理学习了哪些内容？有什么收获？H.达标检测一、选择题1.从 4 处望

45、6 处的仰角为a,从 8 处望4 处的俯角为,则 a,的关系为（）A.。B.。=水平线C.a+=9 0 D.a+=180 彳丁）解析：选 B根据题意和仰角、俯角的概念画出草图，如 图.知 a=喘线,故应选B.齐备-水平线2.两 灯 塔 4 8 与海洋观察站C的距离都等于a（km）,灯 塔/在 C北偏东30,B在.C第2 5页 共124页南偏东6 0 ,则 4 6 之间距离为()A.啦 a k m B.小 a k mC.a k m D.2a k m解析：选 A 力比 中，AC=BC=a,Z ACS=90,3.有一长为1 0 m的斜坡，倾斜角为7 5 ,在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方

46、法将它的倾斜角改为3 0 ,则坡底要延长的长度（单位：面是（）A.5 B.1 0C.1 0 2 D.l（h/3解析：选 C 如图，设将坡底加长到夕时，倾斜角为3 0。，在 AABB中，利用正弦定理可求得仍 的长度.y/P在A A B B 中，N B=3 0。，.S o。姓B1 B/BAf f=7 5 -3 0 =4 5 ,AB=10 m,由正弦定理，得虚o X 2BB小i n 4 5 0s i n 3 0 1=l(h j 2(m).-2坡底延伸1 谈 m时，斜坡的倾斜角将变为3 0 .4.一船自西向东匀速航行，上 午 1 0 时到达一座灯塔夕的南偏西7 5 距塔6 8 海里的M处，下午2时到达

47、这座灯塔的东南方向的“处，则这只船的航行速度为（A.I.海里/小时 B.3 4m 海里/小时C.当 也海里/小时 D.3 44海里/小时PM解析：选 A如图所示，在刃印中，.=3。，s i n 45 s m 1 2 0).防=甯=3 4m,斗=学 黄（海里/小时）.5.如图，甲船以每小时3 M 海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于4 处时，乙船位于甲船的北偏西41第2 6页 共124页1 0 5方向的笈处，此时两船相距2 0 海里，当甲船航行2 0 分钟到达4 处时，乙船航行到甲船的北偏西1 2 0 方向的与处，此时两船相距1g海里，则乙船每小时航行（）A.1g 海

48、里 B.2 町 海 里C.3 0 海里 D.3 班海里解析：选 D 如图，连 结 出 跖 在 氏 中，易知N4 4 氏=6 0 ,又易求得X；=10=4 与，.44旦为正三角形，在 4 2 8 中,易知在小4/=45,展=40 0+2 0 0-2 X 2 0 义 X平=2 0 0,.台氏=1 脑，.乙船每小时航行3 0 地 海里.二、填空题6 .某人从4 处出发，沿北偏东6 0 行走3 第k m 到占处，再沿正东方向行走2 k m 到 C处，则力，。两地距离为_ _ _ _ _ _ _k m.解析：如右图所示，由题意可知力8=3，5,BC=2,N 4?C=1 50 .由余弦定理，得 f4 d=

49、2 7+4-2 X 3/X 2 X c o s 1 50 =49,4厂AC=7.则A,C 两地距离为7 k m.答案：77.一蜘蛛沿东北方向爬行x c m 捕捉到一只小虫，然后向右转1 0 5 ,爬 行 1 0 c m 捕捉到另一只小虫，这时它向右转1 3 5爬行回它的出发点，那 么 x=解析：如图所示，设蜘蛛原来在。点，先爬行到力点，再爬行到B 点,易知在月如中，然=10 c m,NO A 41 5 ,N48 g4 5 ,则/力如=6 0 ,由正弦定理知：AB-s in Z ABO IQ X s i n 450 1 0 6=s in N AOB=s i n 6 0 =3 加答 案:呼cm8.

50、某船开始看见灯塔在南偏东3 0 方向，后来船沿南偏东6 0 方向航行3 0 n m i l e后，看见灯塔在正西方向，则 这 时 船 与 灯 塔 的 距 离 为 n m i l e.第2 7页 共124页解析：如图所示，6是灯塔，4 是船的初始位置，C 是船航行后的位置,则比工助，/物 8=3 0 ,/以 1 0=6 0。，则在R tZ/切 中，D CACs in N ZZ4C=3 0 s i n 6 0 =15 4 n m i l e,AD=ACco s ZZM 2=3 0 c os 6 0 =1 5 n m i l e,则在R tZi/ZW 中，例a n/ZM 华 1 5ta n 3 0