高等数学-二重积分概念课件.ppt

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1、第九章一元函数积分学一元函数积分学多元函数积分学多元函数积分学重积分重积分曲线积分曲线积分曲面积分曲面积分重 积 分 1目录 上页 下页 返回 结束 三、二重积分的性质三、二重积分的性质 第一节一、引例一、引例 二、二重积分的定义与可积性二、二重积分的定义与可积性 二重积分的概念与性质 2目录 上页 下页 返回 结束 解法解法:类似定积分解决问题的思想:一、引例一、引例曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体:底：底：xOy 面上的闭区域 D顶顶:连续曲面侧面：侧面：以 D 的边界为准线,母线平行于 z 轴的柱面求其体积.“大化小,常代变,近似和,求 极限”3目录 上页 下页 返回 结束 1

2、)“大化小”用任意曲线网分D为 n 个区域以它们为底把曲顶柱体分为 n 个2)“常代变”在每个3)“近似和”则中任取一点小曲顶柱体4目录 上页 下页 返回 结束 4)“取极限”令5目录 上页 下页 返回 结束 二、二重积分的定义及可积性二、二重积分的定义及可积性定义定义:将区域 D 任意分成 n 个小区域任取一点若存在一个常数 I,使可积可积,在D上的二重积分二重积分.积分和积分域被积函数积分表达式面积元素记作是定义在有界区域 D上的有界函数,6目录 上页 下页 返回 结束 引例中曲顶柱体体积:如果 在D上可积,元素d也常记作二重积分记作这时分区域 D,因此面积 可用平行坐标轴的直线来划 7目

3、录 上页 下页 返回 结束 三、二重积分的性质三、二重积分的性质(k 为常数)为D 的面积,则 8目录 上页 下页 返回 结束 特别,由于则5.若在D上6.设D 的面积为,则有9目录 上页 下页 返回 结束 7.(二重积分的中值定理)证证:由性质6 可知,由连续函数介值定理,至少有一点在闭区域D上 为D 的面积,则至少存在一点使使连续,因此10目录 上页 下页 返回 结束 例例1.比较下列积分的大小:其中解解:积分域 D 的边界为圆周它在与 x 轴的交点(1,0)处与直线从而而域 D 位于直线的上方,故在 D 上11目录 上页 下页 返回 结束 例例2.估计下列积分之值解解:D 的面积为由于积

4、分性质5即:1.96 I 2D12目录 上页 下页 返回 结束 例例3.判断积分的正负号.解解:分积分域为则原式=猜想结果为负 但不好估计.13目录 上页 下页 返回 结束 8.设函数D 位于 x 轴上方的部分为D1,当区域关于 y 轴对称,函数关于变量 x 有奇偶性时,仍在 D 上在闭区域上连续,域D 关于x 轴对称,则则有类似结果.在第一象限部分,则有14目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1.二重积分的定义2.二重积分的性质(与定积分性质相似)15目录 上页 下页 返回 结束 被积函数相同,且非负,思考与练习思考与练习解解:由它们的积分域范围可知1.比较下列积分值的大小关系:16目录 上页 下页 返回 结束 2.设D 是第二象限的一个有界闭域,且 0 y 1,则的大小顺序为()提示:因 0 y 1,故故在D上有17目录 上页 下页 返回 结束 3.计算解解:18目录 上页 下页 返回 结束 4.证明:其中D 为解解:利用题中 x,y 位置的对称性,有又 D 的面积为 1,故结论成立.19目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题1.估计 的值,其中 D 为解解:被积函数D 的面积的最大值的最小值20目录 上页 下页 返回 结束 2.判断的正负.解：解：当时，故又当时，于是21