中考数学二轮复习热点题型突破训练---图形的变换问题.docx

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1、图形的变换问题 图形的变换在中考中一直是常考知识点,就难易度分为两类:运用变换的概念或性质进行简单的图形判断、识别、作图、推理、计算等;在复杂的情境中结合三角函数、相似、函数等进行综合与探究.知识点1.翻折后所形成的图形与原图形成轴对称,构成全等图形.2.折痕是角的平分线.3.大部分题在翻折时会出现直角三角形,通常用勾股定理计算线段长度.4.个别题型会利用相似求线段长度.一、翻折与角:利用全等,折痕是角的平分线,求角的度数1.将一张矩形纸片ABCD按如图所示操作:将DA沿DP向内折叠,使点A落在点A1处;将DP沿DA1向内继续折叠,使点P落在点P1处,折痕与边AB交于点M.若P1MAB,则DP

2、1M的大小是 ( )A.135 B.120 C.112.5D.1152.如图,在ABC中,D,E分别为BC,AC上的点,将CDE沿DE折叠,得到FDE,连接BF,CF,BFC=90,若EFAB,AB=43,EF=10,则AE的长为 . 3.(2022沈阳)如图,将矩形纸片ABCD折叠,折痕为MN,点M,N分别在边AD,BC上,点C,D的对应点分别为点E,F,且点F在矩形内部,MF的延长线交BC与点G,EF交边BC于点H.EN=2,AB=4,当点H为GN三等分点时,MD的长为 .4.如图,在RtABC中,C=90,AC=5,AB=13.点D在边BC上,以AD为折痕将ADB折叠得到ADB,AB与边

3、BC交于点E.若DEB为直角三角形,则BD的长是 .5.(2022苏州)如图,在矩形ABCD中,ABBC=23.动点M从点A出发,沿边AD向点D匀速运动,动点N从点B出发,沿边BC向点C匀速运动,连接MN.动点M,N同时出发,点M运动的速度为v1,点N运动的速度为v2,且v1v2.当点N到达点C时,M,N两点同时停止运动.在运动过程中,将四边形MABN沿MN翻折,得到四边形MABN.若在某一时刻,点B的对应点B恰好在CD的中点重合,则v1v2的值为 .6.(2022杭州)如图是以点O为圆心,AB为直径的圆形纸片,点C在O上,将该圆形纸片沿直线CO对折,点B落在O上的点D处(不与点A重合),连接

4、CB,CD,AD.设CD与直径AB交于点E.若AD=ED,则B= 度;BCAD的值等于 .二、利用相似或等面积法求线段长度7.三角形纸片ABC如图所示,D是BC边上一点,连接AD,把ABD沿着AD翻折,得到AED,DE与AC交于点G,连接BE交AD于点F.若DG=GE,AF=3,BF=2,ADG的面积为2,则点F到BC的距离为 ( )A.55 B.255 C.455 D.4338.如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=3,E为AD上一点,且ABE=30.将ABE沿BE翻折,得到ABE,连接CA并延长,与AD相交于点F,则DF的长为 .三、利用变换后的图形和原图形是全等图形求线段长度9.(20

5、22黔东南)如图,在边长为2的等边三角形ABC的外侧作正方形ABED,过点D作DFBC,垂足为F,则DF的长为 ( )A.23+2B.5-33C.3-3 D.3+110.如图,在ABC中,AB=AC=4,将ABC绕点A按顺时针方向旋转30得到ACD,延长AD交BC的延长线于点E,则DE的长为 .11.(2020山西)综合与实践问题情境:如图,点E为正方形ABCD内一点,AEB=90,将RtABE绕点B按顺时针方向旋转90,得到CBE,延长AE交CE于点F,连接DE.猜想证明:(1)试判断四边形BEFE的形状,并说明理由;(2)如图,若DA=DE,请猜想线段CF与FE的数量关系并加以证明;解决问

6、题:(3)如图,若AB=15,CF=3,请直接写出DE的长.12.(2022河南)综合与实践综合与实践课上,老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动.(1)操作判断操作一:对折矩形纸片ABCD,使AD与BC重合,得到折痕EF,把纸片展平;操作二:在AD上选一点P,沿BP折叠,使点A落在矩形内部点M处,把纸片展平,连接PM,BM.根据以上操作,当点M在EF上时,写出图1中一个30的角: .(2)迁移探究小华将矩形纸片换成正方形纸片,继续探究,过程如下:将正方形纸片ABCD按照(1)中的方式操作,并延长PM交CD于点Q,连接BQ.如图2,当点M在EF上时,MBQ= ,CBQ= ;改变点P在A

7、D上的位置(点P不与点A,D重合),如图3,判断MBQ与CBQ的数量关系,并说明理由.(3)拓展应用在(2)的探究中,已知正方形纸片ABCD的边长为8 cm,当FQ=1 cm时,直接写出AP的长.四、强化训练13.如图,在ABC中,ACB=90,点D,E分别在AC,BC上,且CDE=B,将CDE沿DE折叠,点C恰好落在AB边上的点F处,CF与DE交于点G.下列结论:AB=2CF;若ABC=50,则AFD=60;若AB=4,则DGGE=1;若AC=4,BC=3,则CE=2512.其中正确的结论是 .(填序号)14.(2022绥化)我们可以通过面积运算的方法,得到等腰三角形底边上的任意一点到两腰的

8、距离之和与一腰上的高之间的数量关系,并利用这个关系解决相关问题.(1)如图,在等腰ABC中,AB=AC,BC边上有一点D,过点D作DEAB于点E,DFAC于点F,过点C作CGAB于点G.利用面积证明:DE+DF=CG.(2)如图,将矩形ABCD沿着EF折叠,使点A与点C重合,点B落在B处,点G为折痕EF上一点,过点G作GMFC于点M,GNBC于点N.若BC=8,BE=3,求GM+GN的长.(3)如图,在四边形ABCD中,E为线段BC上的一点,EAAB,EDCD,连接BD,且ABCD=AEDE,BC=51,CD=3,BD=6,求ED+EA的长. 15.(2021齐齐哈尔)综合与实践数学实践活动,

9、是一种非常有效的学习方式.通过活动可以激发我们的学习兴趣,提高动手动脑能力,拓展思推空间,丰富数学体验.让我们一起动手来折一折、转一转、剪一剪,体会活动带给我们的乐趣.折一折:将正方形纸片ABCD折叠,使边AB、AD都落在对角线AC上,展开得折痕AE、AF,连接EF,如图1.(1)EAF= ,写出图中两个等腰三角形: (答案不唯一);转一转:将图1中的EAF绕点A旋转,使它的两边分别交边BC,CD于点P,Q,连接PQ,如图2.(2)线段BP,PQ,DQ之间的数量关系为 ;(3)连接正方形对角线BD,若图2中的PAQ的边AP,AQ分别交对角线BD于点M,点N.如图3,则CQBM= ;剪一剪:将图

10、3中的正方形纸片沿对角线BD剪开,如图4.(4)求证:BM2+DN2=MN2.16.(2022新疆)如图,在ABC中,ABC=30,AB=AC,点O为BC的中点,点D是线段OC上的动点(点D不与点O,C重合),将ACD沿AD折叠得到AED,连接BE.(1)当AEBC时,AEB= ;(2)探究AEB与CAD之间的数量关系,并给出证明;(3)设AC=4,ACD的面积为x,以AD为边长的正方形的面积为y,求y关于x的函数解析式.图形的变换问题参考答案一、翻折与角:利用全等,折痕是角的平分线,求角的度数1.C2.10-433.213-4或44.7或2635.356.363+52二、利用相似或等面积法求

11、线段长度7.B8.6-23三、利用变换后的图形和原图形是全等图形求线段长度9.D10.23-211.解:(1)四边形BEFE是正方形,理由:由旋转可知E=AEB=90,EBE=90.AEB+FEB=180,FEB=90,四边形BEFE是矩形.由旋转可知,BE=BE,四边形BEFE是正方形.(2)CF=FE.证明:如图,过点D作DHAE,垂足为H,则DHA=90,1+3=90.DA=DE,AH=12AE.四边形ABCD是正方形,AB=DA,DAB=90,1+2=90,2=3.又AEB=DHA=90,AEBDHA,AH=BE.由(1)知四边形BEFE是正方形,BE=EF,AH=EF.由旋转可得CE

12、=AE,FE=12CE,CF=FE.(3)DE的长为317.理由如下.过点D作DHAE于点H.同(2)可得AEBDHA,AH=BE.又四边形BEFE是正方形,FE=BE=AH.由旋转的性质,得AE=CE,EH=CF=3.设BE=AH=x.在RtABE中,由勾股定理,得BE2+AE2=AB2.即x2+(x+3)2=152,解得x1=-12(不合题意,舍去),x2=9,即AH=9,AE=AH+HE=12,DH=AE=12.在RtEDH中,由勾股定理,得DE=DH2+HE2=317.12.解:(1)ABP或PBM或MBC(2)四边形ABCD是正方形,AB=BC,A=ABC=C=90.由折叠性质得:A

13、B=BM,PMB=BMQ=A=90,BM=BC.BM=BC,BQ=BQ,RtBQMRtBQC(HL),MBQ=CBQ.MBC=30,MBQ=CBQ=15.故答案为15,15.BM=BC,BQ=BQ,RtBQMRtBQC(HL),MBQ=CBQ.(3)当点Q在点F的下方时,如图,FQ=1 cm,DF=FC=4 cm,AB=8 cm,QC=CD-DF-FQ=8-4-1=3(cm),DQ=DF+FQ=4+1=5(cm).由(2)可知,QM=QC设AP=PM=x,PD=8-x,PD2+DQ2=PQ2,即(8-x)2+52=(x+3)2,解得x=4011,AP=4011 cm;当点Q在点F的上方时,如图

14、,FQ=1 cm,DF=FC=4 cm,AB=8 cm,QC=5 cm,DQ=3 cm,由(2)可知,QM=QC.设AP=PM=x,PD=8-x,PD2+DQ2=PQ2,即(8-x)2+32=(x+5)2,解得x=2413,AP=2413 cm.AP的长为4011 cm或2413 cm.四、强化训练13.14.(1)证明:连接AD,如图所示:SABC=SABD+SACD,12ABCG=12ABED+12ACFD,DE+DF=CG;(2)解:连接CG,过点F作FHBC于点H,如图所示:根据折叠可知AFE=CFE,在矩形ABCD中,ADBC,则AFE=FEC,CFE=FEC,即EFC是等腰三角形,

15、在等腰EFC中,FC=EC,EF边上有一点G,过点G作GMFC于点M,GNBC于点N,过点F作FHBC于点H,由(1)可得GM+GN=FH,在RtABE中,B=90,BE=3,AE=EC=BC-BE=8-3=5,则AB=AE2BE2=5232=4,在四边形ABHF中,B=BAF=FHB=90,则四边形ABHF为矩形,FH=AB=4,即GM+GN=FH=AB=4;(3)解:延长BA、CD交于点F,连接EF,过点B作BGFC于点G,在四边形ABCD中,E为线段BC上的一点,EAAB,EDCD,则BAE=CDE=90,又ABCD=AEDE,ABEDCE,ABE=C,即ABC是等腰三角形,由(1)可得

16、ED+EA=BG,设GD=x,EDC=BGC=90,BC=51,CD=3,在RtBCG中,BG=BC2CG2=(51)2(3+x)2,在RtBDG中,BD=6,BG=BD2DG2=62x2,(51)2(3+x)2=BG=62x2,解得x=1,BG=6212=35,即ED+EA=BG=35.15.解:(1)45ABC,ADC;(2)PQ=DQ+BP;(3)2;(4)如图,将ADN顺时针旋转90至ABN,连接MN,由(2)中的结论可证AMNAMN,MN=MN.D=45,ABD=45,根据旋转的性质可得:D=ABN=45,DN=BN,MBN=ABD+ABN=90.在RtMBN中有BM2+BN2=MN2,BM2+DN2=MN2.16.解:(1)60;(2)AEB=30+CAD,理由如下:将ACD沿AD折叠得到AED,AE=AC,CAD=EAD,ABC=30,AB=AC,BAC=120,BAE=120-2CAD,AB=AE=AC,AEB=180(1202CAD)2=30+CAD;(3)如图,连接OA,AB=AC,点O是BC的中点,OABC,ABC=ACB=30,AC=4,AO=2,OC=23,OD2=AD2-AO2,OD=y4,SADC=12OCAO-12ODOA,x=12223-122y4,y=(23x)2+4.学科网（北京）股份有限公司