中考九年级数学高频考点 专题训练--二次函数的几种形式.docx

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1、 中考九年级数学高频考点 专题训练-二次函数的几种形式一、综合题1有一个二次函数满足以下条件：函数图象与x轴的交点坐标分别为A（1，0），B（x2，y2）（点B在点A的右侧）；对称轴是x3；该函数有最小值是2（1）请根据以上信息求出二次函数表达式； （2）将该函数图象中xx2部分的图象向下翻折与原图象未翻折的部分组成图象“G”，试结合图象分析：平行于x轴的直线ym与图象“G”的交点的个数情况 2利用配方法，把下列函数写成y=a（xh）2+k的形式，并写出它们图象的开口方向、对称轴和顶点坐标 （1）y=x2+6x+1 （2）y=2x23x+4 （3）y=x2+nx （4）y=x2+px+q 3已

2、知抛物线y=x22x8 （1）用配方法把y=x22x8化为y=（xh）2+k形式； （2）并指出：抛物线的顶点坐标是 ，抛物线的对称轴方程是 ，抛物线与x轴交点坐标是 ，当x 时，y随x的增大而增大 4如图，抛物线的顶点M在x轴上，抛物线与y轴交于点N，且OM=ON=4，矩形ABCD的顶点A、B在抛物线上，C、D在x轴上 （1）求抛物线的解析式； （2）设点A的横坐标为t（t4），矩形ABCD的周长为l，求l与t之间函数关系式 5已知二次函数y=2x24x6（1）用配方法将y=2x24x6化成y=a （xh）2+k的形式；并写出对称轴和顶点坐标（2）当0x4时，求y的取值范围；（3）求函数图象

3、与两坐标轴交点所围成的三角形的面积6 （1）已知某抛物线与抛物线y2x2+3x1的形状和开口方向都相同，并且其对称轴为x1，函数的最大值为4，求此抛物线的解析式； （2）已知一个二次函数图象经过（1，10），（1，4），（2，7）三点，求它的解析式； （3）某抛物线过点（1，0），（2，0）并且与直线y2x1的交点的纵坐标为5，求此抛物线的解析式. 7求二次函数的顶点坐标和对称轴 （1）用配方法：y=3x26x+2； （2）用公式法：y=5x2+80x319 8已知二次函数y = 2x2 -4x-6.（1）用配方法将y = 2x2 -4x-6化成y = a (x -h) 2 + k的形式；并写

4、出对称轴和 顶点坐标。 （2）在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象； （3）当 0x4 时，求y的取值范围； （4）求函数图象与两坐标轴交点所围成的三角形的面积。 9如图，已知抛物线y=x2+9的顶点为A，曲线DE是双曲线y= kx （3x12）的一部分，记作G1，且D（3，m）、E（12，m3），将抛物线y=x2+9水平向右移动a个单位，得到抛物线G2（1）求双曲线的解析式；（2）设抛物线y=x2+9与x轴的交点为B、C，且B在C的左侧，则线段BD的长为 ；（3）点（6，n）为G1与G2的交点坐标，求a的值（4）解：在移动过程中，若G1与G2有两个交点，设G2的对称轴分别交线段DE和G

5、1于M、N两点，若MN 23 ，直接写出a的取值范围10已知：在平面直角坐标系中，抛物线 y=14x2+bx+3 交x轴于A、B两点，交y轴于点C，且对称轴为x=2，点P（0，t）是y轴上的一个动点（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标（2）如图1，当0t4时，设PAD的面积为S，求出S与t之间的函数关系式；S是否有最小值？如果有，求出S的最小值和此时t的值（3）如图2，当点P运动到使PDA=90时，RtADP与RtAOC是否相似？若相似，求出点P的坐标；若不相似，说明理由11已知在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y=x2+bx+c经过点A（2，2），对称轴是直线x=1，顶点为B（1）

6、求这条抛物线的表达式和点B的坐标；（2）点M在对称轴上，且位于顶点上方，设它的纵坐标为m，联结AM，用含m的代数式表示AMB的余切值；（3）将该抛物线向上或向下平移，使得新抛物线的顶点C在x轴上原抛物线上一点P平移后的对应点为点Q，如果OP=OQ，求点Q的坐标12如图，抛物线与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，且x1x2与y轴交于点C（0，4），其中x1，x2是方程x24x12=0的两个根（1）求抛物线的解析式；（2）点M是线段AB上的一个动点，过点M作MNBC，交AC于点N，连结CM，当CMN的面积最大时，求点M的坐标；（3）点D（4，k）在（1）中抛物线上，点E为抛物线上一动点，

7、在x轴上是否存在点F，使以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出所有满足条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由13问题发现：如图1，在ABC中，C=90，分别以AC、BC为边向外侧作正方形ACDE和正方形BCFG（1）ABC与DCF面积的关系是 ；（请在横线上填写“相等”或“不相等”）（2）拓展探究：若C90，（1）中的结论还成立吗？若成立，请结合图2给出证明；若不成立，请说明理由；（3）解决问题：如图3，在四边形ABCD中，ACBD，且AC与BD的和为10，分别以四边形ABCD的四条边为边向外侧作正方形ABFE、正方形BCHG、正方形CDJI、正方形DALK，运用（2）

8、的结论，图中阴影部分的面积和是否有最大值？如果有，请求出最大值，如果没有，请说明理由14如图1，在平面直角坐标系中，直线l与x轴、y轴分别交于点B（4，0）、C（0，3），点A为x轴负半轴上一点，AMBC于点M交y轴于点N（0，43 ）已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A，B，C（1）求抛物线的函数式（2）连接AC，点D在线段BC上方的抛物线上，连接DC，DB，若BCD和ABC面积满足SBCD= 35 SABC，求点D的坐标（3）如图2，E为OB中点，设F为线段BC上一点（不含端点），连接EF一动点P从E出发，沿线段EF以每秒3个单位的速度运动到F，再沿着线段PC以每秒5个单位的速度运动到C

9、后停止若点P在整个运动过程中用时最少，请直接写出最少时间和此时点F的坐标15如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a0）的顶点坐标为Q（2，1），且与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），点P是该抛物线上一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），过点P作PDy轴，交AC于点D（1）求该抛物线的函数关系式；（2）设P（x，y），PD的长度为l，求l与x的函数关系式，并求l的最大值；（3）当ADP是直角三角形时，求点P的坐标16如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）（1）求抛物线的解析式；（2）若点M

10、是x轴下方的抛物线上的一个动点，过点M作MNx轴，交直线BC于点N，求四边形MBNA的最大面积，并求出点M的坐标；（3）在抛物线上是否存在一点P，使BCP为直角三角形？若存在，求出P点坐标，如果不存在，请说明理由答案解析部分1【答案】（1）解：由上述信息可知该函数图象的顶点坐标为：（3，2）， 设二次函数的表达式为：ya（x3）22 该函数图象经过点A（1，0）， 0a（x3）22，解得a 12二次函数解析式为：y 12 （x3）22（2）解：如图所示： 当m0时，直线ym与G有一个交点； 当m0时，直线ym与G有两个交点；当2m0时，直线ym与G有三个交点；当m2时，直线ym与G有两个交点；

11、当m2时，直线ym与G有一个交点2【答案】（1）解：y=x2+6x+1=（x26x）+1=（x3）2+10， 对称轴x=3，顶点坐标为：（3，10），开口向下（2）解：y=2x23x+4=2（x2 32 x）+4=2（x 34 ）2+ 238 ， 对称轴x= 34 ，顶点坐标为：（ 34 ， 238 ），开口向上（3）解：y=x2+nx=（x n2 ）2+ n24 ， 对称轴x= n2 ，顶点坐标为：（ n2 ， n24 ），开口向下（4）解：y=x2+px+q=（x+ p2 ）2+ 4qp24 ， 对称轴x= p2 ，顶点坐标为：（ p2 ， 4qp24 ），开口向上3【答案】（1）解：y=

12、x22x8 =x22x+118=（x1）29（2）（1，9）；（2，0），（4，0）；x=1；14【答案】（1）解：OM=ON=4， M点坐标为（4，0），N点坐标为（0，4），设抛物线解析式为y=a（x4）2，把N（0，4）代入得16a=4，解得a= 14 ，所以抛物线的解析式为y= 14 （x4）2= 14 x22x+4（2）解：点A的横坐标为t， DM=t4，CD=2DM=2（t4）=2t8，把x=t代入y= 14 x22x+4得y= 14 t22t+4，AD= 14 t22t+4，l=2（AD+CD）=2（ 14 t22t+4+2t8）= 12 t28（t4）5【答案】（1）解：y=2

13、x24x6=2（x22x+11）6=2（x22x+1）26=2（x1）28，抛物线的对称轴为x=1，顶点坐标为（1，8）（2）解：当x=1时，y有最小值，最小值为8，0x4，y的最大值为10y的取值范围是8y10（3）解：当x=0时，y=6，当y=0时，2x24x6=0，解得：x=3或x=1，函数图象与两坐标轴交点所围成的三角形的面积= 12 46=126【答案】（1）解：抛物线y2x2+3x1的形状和开口方向都相同， 所求抛物线解析式y2（xh）2+k，又对称轴为x1，函数的最大值为4，抛物线的解析式为y2（x1）2+4，即y2x2+4x+2（2）解：设二次函数的解析式为yax2+bx+c，

14、把（1，10），（1，4），（2，7）各点代入上式得： ab+c=10a+b+c=44a+2b+c=7 ，解得： a=2b=3c=5 .抛物线解析式为y2x23x+5（3）解：抛物线过点（1，0），（2，0）， 设抛物线的解析式为ya（x1）（x+2），抛物线与直线y2x1的交点的纵坐标为5，52x1，解得：x3，抛物线与直线y2x1的交点坐标为（3，5），将（3，5）代入抛物线解析式可得a（31）（3+2）5，a 12 ，抛物线的解析式为y 12 （x1）（x+2），即 y=12x2+12x17【答案】（1）解：y=3x26x+2=3（x1）21， 顶点坐标为（1，1），对称轴为x=1（2）

15、解：a=5，b=80，c=319， b2a = 802(5) =8，4acb24a = 4(5)(319)8024(5) =1，顶点坐标为（8，1），对称轴为x=88【答案】（1）解：y=2x2-4x-6 =2（x2-2x+1）-2-6=2（x-1）2-8；对称轴是直线x=1， 顶点坐标是（1，-8）（2）解：令x=0，得y=-6， 令y=0，得2x2-4x-6=0，解得x=-1或x=3，则抛物线与x轴的交点为：（-1，0），（3，0）；与y轴的交点为：（0，-6）由（1）题得：对称轴为x=1，顶点坐标为（1，-8），开口向上，故图象为：（3）解：当x=1时，y有最小值，最小值为-8， 0x4

16、 ，y的最小值为10，y的取值范围 8y10（4）解：当x=0时，y=-6； 当y=0时，2x2-4x-6=0，解得：x=3或x=-1，函数图象与两坐标轴交点所围成的三角形的面积= 1246=129【答案】（1）把D（3，m）、E（12，m3）代入y= kx 得 m=k3m3=k12 ，解得 m=4k=12 ，所以双曲线的解析式为y= 12x ；（2）2 13（3）解：把（6，n）代入y= 12x 得6n=12，解得n=2，即交点坐标为（6，2），抛物线G2的解析式为y=（xa）2+9，把（6，2）代入y=（xa）2+9得（6a）2+9=2，解得a=6 7 ，即a的值为6 7 ；（4）抛物线G

17、2的解析式为y=（xa）2+9，把D（3，4）代入y=（xa）2+9得（3a）2+9=4，解得a=3 5 或a=3+ 5 ；把E（12，1）代入y=（xa）2+9得（12a）2+9=1，解得a=122 2 或a=12+2 2 ；G1与G2有两个交点，3+ 5 a122 2 ，设直线DE的解析式为y=px+q，把D（3，4），E（12，1）代入得 3p+q=412p+q=1 ，解得 p=13q=5 ，直线DE的解析式为y= 13 x+5，G2的对称轴分别交线段DE和G1于M、N两点，M（a， 13 a+5），N（a， 12a ），MN 23 ， 13 a+5 12a 23 ，整理得a213a+3

18、60，即（a4）（a9）0，a4或a9，a的取值范围为9a122 2 10【答案】（1）解：对称轴为x= b2(14) =2，解得b=1，所以，抛物线的解析式为y= 14 x2x+3，y= 14 x2x+3= 14 （x+2）2+4，顶点D的坐标为（2，4）.（2）解：令y=0，则 14 x2x+3=0，整理得，x2+4x12=0，解得x1=6，x2=2，点A（6，0），B（2，0），如图1，过点D作DEy轴于E，0t4，PAD的面积为S=S梯形AOEDSAOPSPDE，= 12 （2+6）4 12 6t 12 2（4t），=2t+12，k=20，S随t的增大而减小，t=4时，S有最小值，最小

19、值为24+12=4.（3）解：如图2，过点D作DFx轴于F，A（6，0），D（2，4），AF=2（6）=4，AF=DF，ADF是等腰直角三角形，ADF=45，由二次函数对称性，BDF=ADF=45，PDA=90时点P为BD与y轴的交点，OF=OB=2，PO为BDF的中位线，OP= 12 DF=2，点P的坐标为（0，2），由勾股定理得，DP= (20)2+(42)2 =2 2 ，AD= 2 AF=4 2 ，ADDP = 4222 =2，令x=0，则y=3，点C的坐标为（0，3），OC=3，OAOC = 63 =2，ADDP = OAOC ，又PDA=90，COA=90，RtADPRtAOC.11

20、【答案】（1）解：抛物线的对称轴为x=1，x= b2a =1，即 b2(1) =1，解得b=2y=x2+2x+c将A（2，2）代入得：4+4+c=2，解得：c=2抛物线的解析式为y=x2+2x+2配方得：y=（x1）2+3抛物线的顶点坐标为（1，3）（2）解：如图所示：过点A作ACBM，垂足为C，则AC=1，C（1，2）M（1，m），C（1，2），MC=m2cotAMB= CMAC =m2（3）解：抛物线的顶点坐标为（1，3），平移后抛物线的顶点坐标在x轴上，抛物线向下平移了3个单位平移后抛物线的解析式为y=x2+2x1，PQ=3OP=OQ，点O在PQ的垂直平分线上又QPy轴，点Q与点P关于x

21、轴对称点Q的纵坐标为 32 将y= 32 代入y=x2+2x1得：x2+2x1= 32 ，解得：x= 2+62 或x= 262 点Q的坐标为（ 2+62 ， 32 ）或（ 262 ， 32 ）12【答案】（1）解：x24x12=0，x1=2，x2=6A（2，0），B（6，0），又抛物线过点A、B、C，故设抛物线的解析式为y=a（x+2）（x6），将点C的坐标代入，求得a= 13 ，抛物线的解析式为y= 13 x2 43 x4.（2）解：设点M的坐标为（m，0），过点N作NHx轴于点H（如图（1）点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（6，0），AB=8，AM=m+2，MNBC，MNABCANHC

22、O = AMAB ，NH4 = m+28 ，NH= m+22 ，SCMN=SACMSAMN= 12 AMCO 12 AMNH，= 12 （m+2）（4 m+22 ）= 14 m2+m+3，= 14 （m2）2+4当m=2时，SCMN有最大值4此时，点M的坐标为（2，0）.（3）解：点D（4，k）在抛物线y= 13 x2 43 x4上，当x=4时，k=4，点D的坐标是（4，4）如图（2），当AF为平行四边形的边时，AF平行且等于DE，D（4，4），DE=4F1（6，0），F2（2，0），如图（3），当AF为平行四边形的对角线时，设F（n，0），点A的坐标为（2，0），则平行四边形的对称中心的横坐

23、标为： n+(2)2 ，平行四边形的对称中心坐标为（ n22 ，0），D（4，4），E的横坐标为： n22 4+ n22 =n6，E的纵坐标为：4，E的坐标为（n6，4）把E（n6，4）代入y= 13 x2 43 x4，得n216n+36=0解得n=82 7 F3（82 7 ，0），F4（8+2 7 ，0），综上所述F1（6，0），F2（2，0），F3（82 7 ，0），F4（8+2 7 ，0）13【答案】（1）相等（2）解：成立理由如下：延长BC到点P，过点A作APBP于点P；过点D作DQFC于点Q如图所示：APC=DQC=90四边形ACDE，BCFG均为正方形，AC=CD，BC=CF，AC

24、P+PCD=90，DCQ+PCD=90，ACP=DCQ在APC和DQC中， APC=DQCACP=DCQAC=CD ，APCDQC（AAS），AP=DQ又SABC= 12 BCAP，SDFC= 12 FCDQ，SABC=SDFC；（3）解：图中阴影部分的面积和有最大值，理由如下：由（2）得：SAEL=SABD，SBFG=SABC，SCIH=SCBD，SDLK=SDAC，阴影部分的面和S=SAEL+SBFG+SCIH+SDLK=2S四边形ABCD，设AC=x，则BD=10x，ACBD，S四边形ABCD= 12 ACBD= 12 x（10x）= 12 x2+5x= 12 （x5）2+ 252 ，

25、12 0，S四边形ABCD有最大值，最大值为 252 ，图中阴影部分的面积和有最大值为2514【答案】（1）解：C（0，3），OC=3，4CN=5ON，ON= 43 ，OAN=NCM，AONCOB，OAOC = ONOB ，即 OA3 = 434 ，解得OA=1，A（1，0），设抛物线解析式为y=a（x+1）（x4），把C（0，3）代入得a1（4）=3，解得a= 34 ，抛物线解析式为y= 34 （x+1）（x4）= 34 x2+ 94 x+3（2）解：设直线BC的解析式为y=mx+n，把C（0，3），B（4，0）代入得 n=34m+n=0 ，解得 m=34n=3 ，直线BC的解析式为y= 3

26、4 x+3，作PQy轴交BC于Q，如图1，设P（x， 34 x2+ 94 x+3），则Q（x， 34 x+3），DQ= 34 x2+ 94 x+3（ 34 x+3）= 34 x2+3x，SBCD=SCDQ+SBDQ= 12 4（ 34 x2+3x）= 32 x2+6x，SBCD= 35 SABC， 32 x2+6x= 35 12 （4+1）3，整理得x24x+3=0，解得x1=1，x2=3，D点坐标为（1， 92 ）或（3，3）；（3）解：设F（x， 34 x+3），则EF= (x2)2+(34x+3)2 = 2516x2172x+13 ，CF= x2+(34x+33)2 = 54 x，点P在

27、整个运动过程中所用时间t= 13 EF+ CF5 ，13 EF+ CF5 2 EF3CF5 ，当EF= 35 CF时，取等号，此时t最小，即 2516 x2 172 x+13=（ 35 54 x）2得x1=2，x2= 132 （舍去），点P在整个运动过程中所用的最少时间2 34 2=3秒，此时点F的坐标为（2， 32 ）15【答案】（1）解：抛物线的顶点为Q（2，1），设y=a（x2）21，将C（0，3）代入上式得3=a（02）21，解得：a=1，y=（x2）21，即y=x24x+3（2）解：令y=0，得x24x+3=0，解得x1=1，x2=3，点A在点B的右边，A （3，0），B（1，0）设

28、直线AC的函数关系式为y=mx+n，将A（3，0），C（0，3）代入上式得， 0=3m+n3=n ，解得： m=1n=3 ，y=x+3D在y=x+3上，P在y=x24x+3上，且PDy轴，D（x，x+3），P（x，x24x+3），l=PD=x+3（x24x+3）=x2+3x= (x32)2+94当 x=32 时，l取得最大值为 94（3）解：分两种情况：当点P为直角顶点时，如图1，点P与点B重合，由（2）可知B（1，0），P（1，0）当点A为直角顶点时，如图2，OA=OC，AOC=90，OAD=45，当DAP=90时，OAP=45，AO平分DAP，又PDy轴，PDAO，P与D关于x轴对称，D（

29、x，x+3），P（x，x24x+3），（x+3）+（x24x+3）=0，整理得x25x+6=0，x1=2，x2=3（舍去），当x=2时，y=x24x+3=2242+3=1，P的坐标为P（2，1）满足条件的P点坐标为P（1，0），P（2，1）16【答案】（1）解：设抛物线解析式为y=a（x1）（x3），把C（0，3）代入得a（1）（3）=3，解得a=3，抛物线解析式为y=（x1）（x3），即y=x24x+3（2）解：如图1，设直线BC的解析式为y=kx+b，把C（0，3），B（3，0）代入得 b=33k+b=0 ，解得 k=1b=3 ，直线BC的解析式为y=x+3，设M（x，x24x+3）（1x

30、3），则N（x，x+3），MN=x+3（x24x+3）=x2+5x，四边形MBNA的面积=SABM+SABN= 12 ABMN= 12 2（x2+5x）=x2+5x=（x 52 ）2+ 254 ，当x= 52 时，四边形MBNA的面积最大，最大值为 254 ；（3）解：存在OB=OC，OBC为等腰直角三角形，OBC=OCB=45，过B点作PBBC交抛物线于P点，交y轴于Q点，如图2，则CBQ=90，OBQ=45，OBQ为等腰直角三角形，OQ=OB=3，Q（0，3），易得直线BQ的解析式为y=x3，解方程组 y=x24x+3y=x3 得 x=2y=1 或 x=3y=0 ，此时P点坐标为（2，1）

31、；过C点作PCBC交抛物线于P点，如图3，则PCB=90，易得直线CQ的解析式为y=x+3，解方程组 y=x24x+3y=x+3 得 x=0y=3 或 x=5y=8 ，此时P点坐标为（5，8）；当BPC=90时，如图4，作PHy轴于H，BFPH于F，设P（t，t24t+3），易证得CPHPBF，PHBF = CHPF ，即 t(t24t+3) = 3(t24t+3)3t ，t(t3)(t1) = t(t4)t3 ，整理得t25t+5=0，解得t1= 552 ，t2= 5+52 ，此时P点坐标为（ 552 ， 152 ）或（ 5+52 ， 1+52 ），综上所述，满足条件的P点坐标为（2，1），（5，8），（ 552 ， 152 ），（ 5+52 ， 1+52 ） 学科网（北京）股份有限公司