《高中数学文第一章常用逻辑用语教案湘教版选修一-》.doc

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1、第一章 常用逻辑用语知识体系总览常用逻辑用语命题及其关系简单的逻辑联结词全称量词与存在量词四种命题充分条件与必要条件量词全称量词存在量词含有一个量词的否定或且非或并集交集补集运算1.1 命题及其关系1.1.1 命题的概念和例子知识梳理命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题。典例剖析题型一 命题例1：下列语句的表述形式有什么特点？你能判断它们的真假吗？若xy1，则x、y互为倒数；相似三角形的周长相等；2+4=5如果1，那么方程有实根；若，则；3不能被2整除；解：这些语句都是陈述句，且它们都能判断真假,所以上述语句都是命题。其中为真命题，为假命题。 评析：一般地，我们用语言、符号或式子表达的，可以

2、判断真假的陈述句，叫做命题。其中判断为正确的命题，为真命题；判断为不正确的命题，为假命题。题型二 命题的真假例2：判断下列命题的真假，你能发现各命题之间有什么关系？如果两个三角形全等，那么它们的面积相等；如果两个三角形的面积相，那么它们全等；如果两个三角形不全等，那么它们的面积不相等；如果两个三角形不相等，那么它们不全等；解：命题为真，为假；与、与条件和结论互逆，与、与条件和结论互否，评析：根据学过的知识判断命题的真假。备选题例3：已知p:方程x2+mx+1=0有两个不等的负根；q:方程4x2+4(m-2)x+1=0无实根.若p和q都为假命题，求m的取值范围.解:若方程x2+mx+1=0有两个

3、不等的负根，则解得m2，即p:m2.若方程4x2+4(m-2)x+1=0无实根，则=16(m-2)2-16=16(m2-4m+3)0.解得1m3,即q:1m3.p和q都为假命题，解得m3.评析：先求出真命题的范围，再求假命题的范围。点击双基1、下若为全体正实数的集合，则下列结论正确的是（ ）A B C D解：是全体非正数的集合即负数和0，所以，故选D2、下列命题中的真命题是（ ）A 是有理数 B 是实数 C 是有理数 D 解：属于无理数指数幂，结果是个实数；和都是无理数；，故选B3、下列语句不是命题的有x2-3=0与一条直线相交的两直线平行吗3+1=55x-36A.B.C.D.解：在不给定变量

4、值之前，无法判定真假；不是陈述句，不涉及真假.故选C4、判断命题的真假性: 若m0，则方程x2xm0有实根 （答对或错）解： ，故命题为假命题，答：错。5、给定下列命题，其中真命题为 若k0，则方程x2+2x-k=0有实数根；若，则；矩形的对角线相等；若，则x、y中至少有一个为0.解：=4-4(-k)=4+4k0,是真命题；、是真命题.课外作业一、选择1、设为全集，是的三个非空子集，且，则下面论断正确的是ABC D解：所表示的部分是图中蓝色的部分，所表示的部分是图中除去的部分，故选C2、“”的含义为 （ ）A不全为0 B 全不为0 C至少有一个为0 D不为0且为0，或不为0且为0解：全为0不对

5、，故选A3、给定下列四个命题： 若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； 若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； 垂直于同一直线的两条直线相互平行；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中，为真命题的是 A和 B和 C和 D和 解：错, 正确, 错, 正确.故选D4、设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是（ ）A若，则 B若，则 C若，则 D若，则 解：对于A、B、D均可能出现，故选Cw.w.w.k.s.5.u.c.o.m 5、已知函数f(x)=，对所有的都有

6、意义，则k的取值范围是 （ ）A0k B0k Ck D00时，若ab，则acbc”，写出它的逆命题、否命题与逆否命题，并分别判断它们的真假.解：逆命题：当c0时，若acbc，则ab.它是真命题；否命题：当c0时，若ab，则acbc.它是真命题；逆否命题：当c0时，若acbc，则ab.它是真命题.13、把下列命题改写成“若p则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题，同时指出它们的真假。（1）两个全等的三角形的三边对应相等；（2）四边相等的四边形是正方形；（3）负数的平方是正数；解：（1）原命题可以写成：若两个三角形全等，则这两个三角形的三边对应相等；（真）逆命题：若两个三角形的三边对应

7、相，则这两个三角形全等；（真）否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不是三边对应相等；（真）逆否命题：若两个三角形不是三边对应相等，则这两个三角形不全等；（真）（2）原命题可以写成：若一个四边形四边相等，则它是正方形；（假）逆命题：若一个四边形是正方形，则它的四条边相等；（真）否命题：若一个四边形四边不相等，则它不是正方形；（真）逆否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等；（假）(3)原命题可以写成：若一个数是负数，则它的平方是正数；逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数；否命题：若一个数不是负数，则它的平方不是正数；逆否命题：若一个数的平方不是正数，则它不是负数.另解：原命题

8、可写成：若一个数是负数的平方，则这个数是正数；（真）逆命题：若一个数是正数，则它是负数的平方；（假）否命题：若一个数不是负数的平方，则这个数不是正数；（假）逆否命题：若一个数不是正数，则它不是负数的平方. （真）14、写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假：（1）若x0则x20； （2）若x2= y2则 x= y。（3）在三角形ABC中，若AB，则BCAC；解：（1）原命题：“若x0则x20”为真，； 逆命题：“若x20则x0”为假，； 否命题：“若x0则x20”为假，；逆否命题：“若x20则x0”为假，。（2）原命题：“若x2= y2则 x=y”为假，；逆命题：“若x= y

9、则x2=y2”为真，；否命题：“若x2y2则 xy”为真，； 逆否命题：“若xy则x2y2”为假，。（3）原命题：在三角形ABC中，若AB，则BCAC为真， 逆命题：在三角形ABC中，若BCAC，则AB为真， 否命题：在三角形ABC中，若AB，则BCAC为真， 逆否命题：在三角形ABC中，若BCAC，则AB为真， 思悟小结命题 “若p则q” 中的“p”、 “q”、是原命题，逆命题，否命题，逆否命题中的条件和结论.1.1.3 充分条件和必要条件知识梳理判断充要条件关系的四种方法：定义法：若，则是的充分条件，是的必要条件； 若，则是的充要条件。利用原命题和逆否命题的等价性来确定。 等价于利用集合的

10、包含关系：对于集合问题，记条件、对应的集合分别为、若，则是的充分条件，是的必要条件；若，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件；若，则是的充要条件；若且，则是的既不充分也不必要条件利用“”传递性典例剖析题型一 充分条件与必要条件例1：指出下列命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件：（1）p：x2，q：x1；（2）p：x1,q：x2；（3）p：x0 ,y0，q：x+y2x1，p是q的充分条件，q是p的必要条件.（2）x1x2，但x2x1，p是q的必要条件，q是p的充分条件.（3）x0 ,y0x+y0，x+y0 ,y0，p不是q的充分条件，p也不是q的必要条件；q不是p的充分条件，q也不是p

11、的必要条件.（4）x=0，y=0x2+y2=0，p是q的充分条件，q是p的必要条件；又x2+y2=0x=0，y=0，q是p的充分条件，p是q的必要条件.评析：在问题中，p既是q的充分条件，p又是q的必要条件，此时，我们统说，p是q的充分必要条件，简称充要条件.题型二 充要条件例2：指出下列各组命题中，p是q的什么条件？（1） p：x-1=0；q：(x-1)(x+2)=0. （2） p：两条直线平行；q：内错角相等.（3） p：ab；q：a2b2（4）p：四边形的四条边相等；q：四边形是正四边形.分析：可根据“若p则q”与“若q则p”的真假进行判断.解：由pq，即x-1=0(x-1)(x+2)=

12、0，知p是q的充分条件不必要条件；由pq，即两条直线平行内错角相等，知p是q的充要条件；由pq，即ab a2b2，知p不是q的充分条件，q不是p的必要条件；qp，即a2b2ab，知q不是p的充分条件，p不是q的必要条件.综述：p是q的既不充分条件又不必要条件。由q p，即四边形是正四边形四边形的四条边相等，知q是p的充分条件，p是q的必要条件. 由pq，即四边形的四条边相等四边形是正四边形，知p不是q的充分条件，q不是p的必要条件；综述：p是q的必要不充分条件。评析：以上是直接利用定义由原命题判断充分条件与必要条件的方法.那么，如果由命题不是很好判断的话，我们可以换一种方式，根据互为逆否命题的

13、等价性，利用它的逆否命题来进行判断.备选题例3：求证实系数一元二次方程有两个异号根的充要条件是证明：（1）先证充分性方程的方程有两个不相等的实根，设其为。方程有两个异号实根（2）再证必要性方程有两个异号实根，设其为由（1）（2）原命题得证。评析 首先要区分清楚“必要性”、“充分性”各应证明的命题，分清这里的条件和结论各是什么。证明充分必要条件，实际上需要证明原命题和逆命题都成立。它亦等价于证明： (1)原命题和否命题都成立； (2)逆否命题和逆命题都成立； (3)逆否命题和否命题都成立。这种等价转换的思想，就能使思路更广阔，方法更灵活，复杂问题简单化.点击双基1、“”是“”的( )A充分不必要

14、条件 B.必要不充分条件 C充分必要条件 D.既不充分也不必要条件解：由得，故选A. 2、“”是“”的（ ）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 解：对于“”“”；反之不一定成立，因此“”是“”的充分而不必要条件故选A3、“a=1”是“直线x+y=0和直线x-ay=0互相垂直”的（ ）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解：若互相垂直，则的斜率必定为1，反之显然，故选C4、若非空集合，则“或”是“”的 条件解：必要不充分条件5、是的 条件解：的解集为，充分不必要条件课

15、外作业一、选择1、“成立”是“成立”的( )A充分不必要条件 B.必要不充分条件 C充分必要条件 D.既不充分也不必要条件解：由得，由得，故选B.2、“”是“”的A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件解：因但，故选B。3、设集合A=x|,B=x|0x3,那么“mA”是“mB”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解：由得,可知“”是“”的充分而不必要条件，故选A4、是方程至少有一个负数根的（ ）A必要不充分条件 B充分不必要条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解：当，得a1时方程有根。a0时，方程有负根，又a=1时，

16、方程根为，故选B5、有下述说法：是的充要条件 是的充要条件 是的充要条件 则其中正确的说法有（ ）A 个B 个C 个D 个解： ，仅仅是充分条件，故选A6、已知条件，条件，则是的（ ）A 充分不必要条件 B 必要不充分条件C 充要条件 D 既不充分也不必要条件解：， ，充分不必要条件，故选A7、设是两条直线，是两个平面，则的一个充分条件是A . B . C . D. 解：A、B、D直线可能平行，故选C8、在中，“”是“”的（ ）A 充分不必要条件 B 必要不充分条件C 充要条件 D 既不充分也不必要条件解： 当时，所以“过不去”；但是在中，即“回得来”， 故选B二、填空9、命题“p：四边形的四

17、条边相等，q：四边形是正方形”中，p是q的 条件（在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分又不必要条件”中选出一种）解：必要不充分条件。10、用“充分、必要、充要”填空： , , 则是的_条件 解： ，充分条件11、用“充分”或“必要”填空，并说明理由：“a和b都是偶数”是“a+b也是偶数”的 条件；“x5”是“x3”的 条件；“x3”是“|x|3”的 条件；“个位数字是5的自然数”是“这个自然数能被5整除”的 条件；“至少有一组对应边相等”是“两个三角形全等”的 条件；对于一元二次方程ax2+bx+c=0（其中a,b,c都不为0）来说，“b2-4ac0”是“这个方程

18、有两个正根”的 条件；解：充分 充分 充分 充分 必要 必要 三、解答12、已知命题若非是的充分不必要条件，求的取值范围 解: 而，即 13、已知集合A=x|x2-3x+2=0，B=x|x2-mx+2=0，若A是B的必要不充分条件，求实数m范围。解：化简条件得A=1，2，A是B的必要不充分条件，即AB=BBA根据集合中元素个数集合B分类讨论，B=，B=1或2，B=1，2当B=时，=m2-80 当B=1或2时，m无解当B=1，2时， m=3综上所述，m=3或14、设A=x-2xa，B=yy=2x+3,xA，M=ZZ=x2,xA.求使MB的充要条件是什么?解：A=x-2xa,M=ZZ=x2,xA.

19、B=yy=2x+3,xA=y-1y2a+3.当-2a0时，M=Za2Z4.当0a2时，M=Z0Z4.当a2时，M=Z0Za2.当-2a2时，MB42a+3，即a2；当a2时，MBa22a+3，即2a3.综上可知，所求的充要条件为a3.思悟小结判断充要关系的关键是分清条件和结论；判断“是的什么条件”的本质是判断命题“若，则”及“若，则”的真假；3.充分不必要条件，即pq，而q p.必要不充分条件，即：p q，而qp.既充分又必要条件，即pq，又有qp.既不充分又不必要条件，即p q，又有q p.1.2简单的逻辑联结词1、2、1逻辑联结词“非”、“且”和“或”知识梳理1、联结词“非”设p是一个命题

20、，非是对命题p作否定。得到命题“非p”记为：p补集）。（区别：否命题同时否定条件和结论，命题的否定只否定结论）例如：矩形的对角线相等的否命题不是矩形的对角线不相等。其命题的否定为矩形的对角线不相等。2、联结词“且”联结两个命题p、q得到新命题“p且q”，记为pq(交集)3、联结词“或”联结词“或”用来联结两个命题p、q得到新命题“p且q”，记作pq （并集）4、常用小写拉丁字母p、q、r、s表示简单命题，复合命题的构成形式是：p或q；p且q；非p。“非p”形式复合命题的真假与p的真假相反；“p且q”形式复合命题当p与q同为真时为真，其他情况为假；“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假，其他

21、情况为真。典例剖析题型一 联结词“非”例1：写出下列命题p的否定p。（1）p：是大于5的实数。（2）p：矩形的对角线互相垂直。（3）p：16不是5的倍数。解：（1） p ：是不大于5的实数。（2）p ： 矩形的对角线不互相垂直。（3）p ：16是5的倍数。评析：命题的否定只否定结论，注意与否命题的区别。题型二 联结词“且”例2：根据下列命题中的p、q，写出命题pq并判断其真假。(1)p：矩形的对角线互相平分 。 q：矩形的对角线互相垂直。(2)p：函数y=x2在(0,+)上单调递增 。 q：函数y=x2在（-，0）上单调递减解：(1) pq ：矩形的对角线互相垂直平分。 p是真命题，q是假命题

22、，pq是假命题(2)pq ：函数y=x2在（0，+）上单调递增，在（-，0）上单调递减 p是真命题，q是真命题 ，pq是真命题。评析：当p、q为真时，p且q为真；当p、q中至少有一个为假时，pq为假。备选题例3：根据下列命题的p、q写出命题“pq”，并判断其真假。（1） p：5是集合2，3，4中的元素。 q：3是集合2，3，4中的元素。（2） p：方程x2+x-1=0有两个正实数根。q：方程x2+x-1=0有两个负实数根解：（1）pq：集合2，3，4中含有数5或3（2）pq：方程x2+x-1=0有两个正实数根或两个负实数根评析：当p、q中至少有一个为真时，p或q为真；当p、q都为假时，pq为假

23、。点击双基1、若命题“”为假，且“”为假，则（ ）A 或为假 B 假 C 真 D 不能判断的真假解：“”为假，则为真，而（且）为假，得为假，故选B2、对命题p：A，命题q：AA，下列说法正确的是（ ）Ap且q为假Bp或q为假C非p为真D非p为假解：命题p、命题q都为真，故选D3、若命题“p或q”为真，“非p”为真，则（ ）Ap真q真Bp假q真 Cp真q假Dp假q假解：由“非p”为真可得p为假，若同时“p或q”为真，则可得q必须为真，故选B4、由命题p：不等式x2+2x-80的解集是：x|-4x2、q：不等式x2+2x-80的解集是：x| x 2构成的“p或q”形式的复合命题是 解：p或q：不等

24、式x2+2x-80的解集是：x|-4x2或x| x 25、若p：“平行四边形一定是菱形”，则“非p”为 解： “非p”：“平行四边形不一定是菱形”课外作业一、选择1、若命题p: 0是偶数，命题q: 2是3的约数.则下列命题中为真的是( )A.p且q B.p或q C.非pD.非p且非q解：命题p为真，命题q为假，故选B2、“至多有三个”的否定为（ ）A至少有三个B至少有四个 C有三个 D有四个解：这是一个含有量词的命题的否定，故选B3、如果命题“p且q”与命题“p或q”都是假命题，那么（ ）A.命题“非p”与命题“非q”的真值不同B.命题p与命题“非q”的真值相同C.命题q与命题“非p”的真值相

25、同D.命题“非p且非q”是真命题解：由“p且q”是假命题可知，p和q至少有一个是假命题，由“p或q”是假命题可知，p和q都是假命题.这样“非p”和“非q”就都是真命题，故选D4、给出命题:p:31,q:42,3,则在下列三个复合命题:“p且q”“p或q”“非p”中,真命题的个数为（ ）A.0B.3C.2D.1解：因为p真q假,可知:“p且q”为假,“p或q”为真,“非p”为假，故选D5、已知：p且q为真，则下列命题中的假命题是：（）p；p或q； p且q； q A B C D解：由p且q为真，得p假q真，故选C6、已知命题所有有理数都是实数，命题正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是 (

26、)A. B. C.D.解：由已知得p真q假，故选D7、已知条件，条件，则是的（ ）A 充分不必要条件 B 必要不充分条件C 充要条件 D 既不充分也不必要条件解：， ，充分不必要条件，故选A8、命题若，则是的充分而不必要条件；命题函数的定义域是，则（ ）A “或”为假 B “且”为真C 真假 D 假真解：当时，从不能推出，所以假，显然为真故选D二、填空9、命题p：“平行四边形对角线相等”、q：“平行四边形对角线互相平分”构成的 “p且q”形式的复合命题是 解： p且q：平行四边形对角线相等且互相平分10、命题p：“方程的解是”、 q：“方程的解是”构成的“p或q”形式的命题是 。解： p或q：

27、方程的解是或方程的解11、分别用“p或q”“p且q”“非p”填空.(1)命题“的值不超过2”是_形式;(2)命题“方程(x-2)(x-3)=0的解是x=2或x=3”是_形式;(3)命题“方程(x-2)2+(y-3)2=0的解是”是_形式.解：(1)非p(2)p或q(3)p且q三、解答12、指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题：（1）24既是8的倍数，也是6的倍数；（2）李强是篮球运动员或跳高运动员；（3）平行线不相交解：（1）中的命题是p且q的形式，其中p：24是8的倍数；q：24是6的倍数.（2）的命题是p或q的形式，其中p：李强是篮球运动员；q：李强是跳高运动员.（3）命题是非p的形式，其中p：平行线相交。13、分别指出由下列各组命题构成的p或q、p且q、非p形式的复合命题的真假：（1）p：2+2=5；q