2017年中考数学二次函数压轴题汇编二.pdf

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1、1.如图1,经过原点。的抛物线y=ax2+bx（aWO）与 x 轴交于另一点A（怖,0）,在第一象限内与直线y=x交于点B（2,t）.（1）求这条抛物线的表达式；（2）在第四象限内的抛物线上有一点C,满足以B,0,C 为顶点的三角形的面积为2,求点C 的坐标；（3）如图2,若点M 在这条抛物线上，且NMBO=NAB。，在（2）的条件下,是否存在点P,使得PO CsM O B?若存在，求出点P 的坐标；若不存在,交于A,B,C 三点，其中点A 的坐标为（-3,0）,点 B 的坐标为（4,0）,连接AC,B C.动点P 从点A 出发，在线段AC上以每秒1 个单位长度的速度向点C 作匀速运动；同时，

2、动点Q 从点O 出发，在线段OB上以每秒1 个单位长度的速度向点B 作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t 秒.连 接 PQ.（1）填空：b=,c=；（2）在点P,Q 运动过程中，APQ可能是直角三角形吗？请说明理由；（3）在 x 轴下方，该二次函数的图象上是否存在点M,使PQM是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出运动时间t；若不存在，请说明理由；（4）如图，点 N 的坐标为（-1,0）,线段PQ 的中点为H,连接NH,2当点Q 关于直线NH的对称点恰好落在线段BC上时，请直接写出点CT的坐标.3.定义：对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当x

3、VO时，它们对应的函数值互为相反数；当x 2 0时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函数.例如：一次 函 数y=x-l,它的相关函数为f-x+1(xCO)y=、.I xT (x)0)(1)已知点A(-5,8)在一次函数y=a x-3的相关函数的图象上，求a的值；(2)已知二次函数y=-x 2+4 x-L.当点B(m,2)在这个函数的相关函2 2数的图象上时，求m的值；当-3WxW3时，求函数y=-x2+4x-工的相关函数的最大值和最小值；2(3)在平面直角坐标系中，点 M,N的坐标分别为(-2，1),(X 1),2 2连结MN.直接写出线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的

4、相关函数的图象有两个公共点时n的取值范围.4.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A,B两点的坐标分别为(-4,0),(4,0),C(m,0)是线段A B上 一 点(与A,B点不重合)，抛物线Li：y=a x2+bix+ci(a 0)经过点 A,C,顶点为 D,抛物线 l_2：y=a x2+bzx+c2(a 0)经过点C,B,顶点为E,AD,BE的延长线相交于点F.(1)若a=-L m=-1,求抛物线Li，L2的解析式；2(2)若 a=T,AF_LBF,求 m 的值；(3)是否存在这样的实数a (a0)个单位得到抛物线M2.设点D平移后的对应点为点D，当点D，恰好在直线AE上时，求m的值；当l

5、W xW m （m l）时，若抛物线M2与直线AE有两个交点，求m的取值范围.7.如图，已知抛物线y=a x2+2x+c与y轴交于点A（0,6）,与x轴交于点B（6.0）,点P是线段AB上方抛物线上的一个动点.（1）求这条抛物线的表达式及其顶点坐标；（2）当点P移动到抛物线的什么位置时，使得NPAB=75。，求出此时点P的坐标；（3）当点P从A点出发沿线段AB上方的抛物线向终点B移动，在移动中，点P的横坐标以每秒1个单位长度的速度变动；与此同时点M以每秒1个单位长度的速度沿A O向终点。移动，点P,M移动到各自终点时停止.当两个动点移动t秒时，求四边形PAMB的面积S关于t的函数表达式，并求t

6、为何值时，S有最大值，最大值是多少？8.如图，直线y=-B x+分别与x轴、y轴交于B、C两点，点A在x轴3上，ZA C B=9 0,抛物线y=a x2+bx+b经过A，B两点.（1）求A、B两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）点M是直线BC上方抛物线上的一点，过点M作M H 1B C于点H,作MD y轴交BC于点D,求 DM H周长的最大值.9.如图，抛物线y=ax2+bx-2的对称轴是直线x=l,与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,点A的坐标为（-2,0）,点P为抛物线上的一个动点，过点P作P D lx轴于点D,交直线BC于点E.（1）求抛物线解析式；（2）若点P在第一象限内，当O

7、D=4PE时，求四边形POBE的面积；（3）在（2）的条件下，若点M为直线BC上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M和点N,使得以点B,D,M,N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.1 0.如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴分另U交于A（-1,0）,B（5,0）两点.（1）求抛物线的解析式；（2）在第二象限内取一点C,作CD垂直X轴于点D,链接A C,且AD=5,CD=8,将RtAACD沿x轴向右平移m个单位，当点C落在抛物线上时，求m的值；（3）在（2）的条件下，当点C第一次落在抛物线上记为点E,点P是抛物线对称轴上一点.试探究：在抛物

8、线上是否存在点Q,使以点B、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.V1 1.如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c 过点 A(-1,0),B(3,0),C(0,3),点M、N为抛物线上的动点，过点M作MDy轴，交直线BC于点D,交x轴于点E.(1)求二次函数y=ax2+bx+c的表达式；(2)过点N作NF_Lx轴，垂足为点F,若四边形MNFE为正方形(此处限定点M在对称轴的右侧)，求该正方形的面积；0(0,0)和点A(4,0),函数图象最低点M的 纵 坐 标 为 直 线I的解析式为y=x.（1）求二次函数的解析式;（2）直线I沿x轴向右平移，得直线

9、P,I与线段0 A相交于点B,与x轴下方的抛物线相交于点C,过点C作CE_Lx轴于点E,把4BCE沿直线r折叠，当点E恰好落在抛物线上点E，时（图2）,求直线 的解析式；（3）在（2）的条件下，r与y轴交于点N,把 B O N绕点。逆时针旋转135。得到 B 9 N，P为 上的动点，当 P B N为等腰三角形时，求符合条件的点P的坐标.13.如图，矩形。ABC的两边在坐标轴上，点A的坐标为（10,0）,抛物线y=a x?+bx+4过点B,C两点，且与x轴的一个交点为D （-2,0）,点P是线段CB上的动点，设CP=t（0 t O c,且 a+b+c=O.(1)直接写出关于x的一元二次方程a x

10、2+b x+c=O的一个根；(2)证明：抛物线y=a x2+b x+c的顶点A在第三象限；(3)直线y=x+m与x,y轴分别相交于B,C两点，与抛物线y=a x 2+b x+c相交于A,D两点.设抛物线丫=2*2+6乂+:的对称轴与x轴相交于E.如果在对称轴左侧的抛物线上存在点F,使得4 A D F与 B O C相似，并且SM D F=L SM D E，2求此时抛物线的表达式.1 7 .已知二次函数 y=-x2+b x+c+l,当b=l时，求这个二次函数的对称轴的方程；若c=-L b 2-2 b,问：b为何值时，二次函数的图象与x轴相切？4若二次函数的图象与x轴交于点A （x i，0）,B（X

11、 2，0）,且x i 0,与y轴的正半轴交于点M,以A B为直径的半圆恰好过点M,二次函数的对称轴I与x轴、直线B M、直线AM分别交于点D、E、F,且满足些=工，求EF 31 8 .如图1,点A坐标为（2,0）,以OA为边在第一象限内作等边O A B,点C为x轴上一动点，且在点A右侧，连接B C,以B C为边在第一象限内作等边A B C D,连接AD交B C于E.(1)直接回答：a O B C与a A B D全等吗？试说明：无论点C如何移动，AD始终与0 B平行；(2)当点C运动到使AC2=AEAD时，如图2,经过0、B、C三点的抛物线为VI.试问：y i上是否存在动点P，使4B E P为直

12、角三角形且BE为直角边？若存在，求出点P坐标；若不存在，说明理由；(3)在(2)的条件下，将y i沿x轴翻折得丫2,设y i与丫2组成的图形为M,函数y=F x+E m的图象I与M有公共点.试写出：I与M的公共点为3个时，m的取值.1 9.抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(1,0),B(m,0),与y轴交于C.(1)若m=-3,求抛物线的解析式，并写出抛物线的对称轴；(2)如图1,在(1)的条件下，设抛物线的对称轴交x轴于D,在对称轴左侧的抛物线上有一点E,使S”CE=W SM CD，求点E的坐标；3(3)如图2,设F(-1,-4),F G y于G,在线段0 G上是否存在点P,使NOBP=

13、NFPG?若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由.2 0.在平面直角坐标系xOy中，规定：抛物线y=a (x-h)?+k的伴随直线为y=a (x-h)+k.例如：抛物线 y=2(x+1)2-3 的伴随直线为 y=2(x+1)-3,即 y=2x-1.(1)在上面规定下，抛物线y=(x+1)2-4的 顶 点 坐 标 为,伴随直线为,抛 物 线y=(x+l)2-4与其伴随直线的交点坐标为和；(2)如图，顶点在第一象限的抛物线y=m(x-1)2 -4 m与其伴随直线相交于点A,B(点A在点B的左侧)，与x轴交于点C,D.若NCAB=90。，求m的值；如果点P(x,y)是直线BC上方抛物线上的一个

14、动点，P B C的面积记为S,当S取得最大值2 1时，求m的值.21.我们知道，经过原点的抛物线可以用y=ax2+bx(a W O)表示，对于这样的抛物线：(1)当抛物线经过点(-2,0)和(-1,3)时，求抛物线的表达式；(2)当抛物线的顶点在直线y=-2 x上时，求b的值；(3)如图，现有一组这样的抛物线，它们的顶点A l、A2、.，An在直线y=-2 x上，横坐标依次为-1,-2,-3,.-n (n为正整数，且nW 12),分别过每个顶点作X轴的垂线，垂足记为Bl、B 2,，B n,以线段AnBn为边向左作正方形AnBnCnDn，如果这组抛物线中的某一条经过点Dn，求此时满足条件的正方形

15、AnBnCnDn的边长.22.如图，抛物线y=a(x-1)(x-3)与x轴交于A,B两点，与y轴的正半轴交于点C,其顶点为D.（1）写出C,D两点的坐标（用含a的式子表示）;（2）设 SCD：SAABD=k,求 k 的值;（3）当4B C D是直角三角形时，求对应抛物线的解析式.-）的抛物线 y=ax2+bx+c 过点 M（2,0）.（1）求抛物线的解析式；（2）点A是抛物线与x轴的交点（不与点M重合），点B是抛物线与y轴的交点，点C是直线y=x+l上一点（处于x轴下方），点D是反比例函数y=k（kX知 A(3,0),且 M(1,-1）是抛物线上另一点.3（1）求a、b的值;（2）连结A C,

16、设点P是y轴上任一点，若以P、A、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，求P点的坐标;（3）若点N是x轴正半轴上且在抛物线内的一动点（不与。、A重合），过点N作NHAC交抛物线的对称轴于H点.设ON=t,A O N H的面积为S,求S与t之间的函数关系式.25.如图1,在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx-5与x 轴交于A(-1,0),B(5,0)两点，与y 轴交于点C.(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点D 是y 轴上的一点，且以B,C,D 为顶点的三角形与ABC相似,求点D 的坐标；(3)如图2,CEx 轴与抛物线相交于点E,点 H 是直线CE下方抛物线上的动点，过点H 且与y 轴

17、平行的直线与BC,CE分别相交于点F,G,试探究当点 H 运动到何处时，四边形CHEF的面积最大，求点H 的坐标及最大面积；(4)若点K 为抛物线的顶点，点 M(4,m)是该抛物线上的一点，在 x 轴,y 轴上分别找点P,Q,使四边形PQKM的周长最小，求出点P,Q 的坐标.2 6.如图，抛物线 y=2x2+bx+c 经过点 B(3,0),C(0,-2),直线 I：y=-32 x-2 交y 轴于点E,且与抛物线交于A,D 两点，P 为抛物线上一动点(不3 3与 A,D 重合).(1)求抛物线的解析式；(2)当点P 在直线I 下方时，过点P 作 PMx 轴交I 于点M,PNy 轴交I于点N,求

18、PM+PN的最大值.(3)设 F 为直线I 上的点，以 E,C,P,F 为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求出点F 的坐标；若不能，请说明理由.2 7.如图，O M的圆心M(-1,2),O M经过坐标原点0,与y轴交于点A.经过点A的一条直线I解析式为：y=-lx+4与x轴交于点B,以M为顶点的抛2物线经过x轴上点D (2,0)和点C(-4,0).(1)求抛物线的解析式；(2)求证：直线I是G)M的切线；(3)点P为抛物线上一动点，且PE与直线I垂直，垂足为E；PFy轴，交直线I于点F,是否存在这样的点P,使4P E F的面积最小.若存在，请求出此时点P的坐标及4P EF面积的最小值；若

19、不存在，请说明理由.2 8.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA、0 C分别在x轴、y轴上，点B坐标为(4,t)(t 0),二次函数y=x2+bx(b 0)的图象经过点B,顶点为点D.(1)当t=12时，顶点D到x轴 的 距 离 等 于；(2)点E是二次函数y=x2+bx(b 0)的图象与x轴的一个公共点(点E与点。不重合)，求OEEA的最大值及取得最大值时的二次函数表达式；(3)矩形OABC的对角线OB、AC交于点F,直线I平行于x轴，交二次函数 y=x2+bx(b 0)的图象于点 M、N,连接 DM、DN,当DM N gF O C 时,求t的值.2 9.如图甲，直线y=-x+3与

20、x轴、y轴分别交于点B、点C,经过B、C两点的抛物线y=x2+bx+c与x轴的另一个交点为A,顶点为P.（1）求该抛物线的解析式；（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M,使以C,P,M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当0 V x V 3时，在抛物线上求一点E,使4C B E的面积有最大值（图乙、丙供画图探究）.3 0.如图，抛物线y=ax2+bx+c（aWO）与直线y=x+l相交于A（-1,0）,B（4,m）两点，且抛物线经过点C（5,0）.（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线上的一个动点（不与点A、点B重合），过点P作直

21、线PD_Lx轴于点D,交直线A B于点E.当PE=2ED时，求P点坐标；是否存在点P使4B EC为等腰三角形？若存在请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.一.解 答 题(共3 0小题)1.如图1,经过原点。的抛物线y=ax2+bx(a W O)与x轴交于另一点A(3,20),在第一象限内与直线y=x交于点B(2,t).(1)求这条抛物线的表达式；(2)在第四象限内的抛物线上有一点C,满足以B,0,C为顶点的三角形的面积为2,求点C的坐标；(3)如图2,若点M在这条抛物线上，且NM BO=NABO,在(2)的条件下,是否存在点P,使得P O C s/X M O B?若存在，求出点P的坐标；

22、若不存在,【分析】(1)由直线解析式可求得B点坐标，由A、B坐标，利用待定系数法可求得抛物线的表达式；(2)过C作CD丫轴，交x轴于点E,交OB于点D,过B作BF1CD于点F,可设出C点坐标，利用C点坐标可表示出CD的长，从而可表示出aB O C的面积，由条件可得到关于C点坐标的方程，可求得C点坐标；(3)设M B交y轴于点N,则可证得AAB。之 N B O,可求得N点坐标，可求得直线B N的解析式，联立直线B M与抛物线解析式可求得M点坐标，过M作M G y轴于点G,由B、C的坐标可求得OB和OC的长，由相似三角形的性质可求得到的值，当点P在第一象限内时，过P作PH_Lx轴于点H,由0P条件

23、可证得MOGSPOH,由QL=胆=史_ 的值，可求得PH和O H,可求得OP PH 0HP点坐标；当P点在第三象限时，同理可求得P点坐标.【解答】解：(1)VB(2,t)在直线 y=x 上，：.1=2,AB(2,2),4a+2b=2（把A、B两点坐标代入抛物线解析式可得9 3，解得1*2,1a+yb=O lb=-3.抛物线解析式为y=2x2-3x；（2）如图1,过C作CDy轴，交x轴于点E,交0 B于点D,过B作BF_LCD于点F,.点C是抛物线上第四象限的点，二可设 c(t,2t2-设),则 E (t,0),D (t,t),/.OE=t,BF=2-t,CD=t-(2t2-3t)=-2t2+4

24、t,SAOBC=SACDO+SACDB=CD OE+CD BF=(-2t2+4t)(t+2-t)=-2t2+4t2 2 2V A O B C的面积为2,Z.-2t2+4 t=2,解得 ti=t2=l,AC(1,-1)；(3)存在.连接AB、OM.设M B交y轴于点N,如图2,VB(2,2),/.ZAOB=ZNOB=45,X，45,itA A O B 和NOB 中ZA0B=ZN0B OB=OBZA BO=ZN B O.AOBANOB(ASA),.ON=OA=a,2AN(0,2),2.可设直线BN解析式为y=kx+1,把B点坐标代入可得2=2 k+3,解得k=l,2 4，直线BN的解析式为y=lx

25、+.1r _1_ 3联立直线BN和抛物线解析式可得 了、2,解得，*=2或.T 2 q I y=2y=2x-3x.,.M(-2,变)，8 32VC(1,-1),/.ZC 0A=ZA0B=45o,且 B(2,2),OB=22，OC=V,V A P O C A M O B,AON=OB=2,ZPOC=ZBOM,OP 0C当点P在第一象限时，如图3,过M作MGJ_y轴于点G,过P作PH，x轴于点H,图3VZCOA=ZBOG=45,/.Z M O G=Z P O H,且NPHO=NMGO,.,.MOG APOH,O M一_.M.G.一 O G _ o“一.一 ,O P P H 0 HVM （-2,尊）

26、,8 3 2.MG=W,0G=变，8 3 2.,.PH=1MG=A,OHOG=空，2 1 6 2 6 4A P （驾 A）；6 4 1 6当点P在第三象限时，如图4,过M作MG_Ly轴于点G,过P作PH，y轴于点H,图4同理可求得PH=LMG=_L,OH=LDG=至，2 1 6 2 6 4.P（-J,-4 5）.1 6 6 4综上可知存在满足条件的点P,其坐标为（至，且）或（-&，-变）.6 4 1 6 1 6 6 4【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角形的面积、二次函数的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、方程思想及分类讨论思想等知识.在（1）中注意待定系

27、数法的应用，在（2）中用C点坐标表示出BOC的面积是解题的关键，在（3）中确定出点P的位置，构造相似三角形是解题的关键，注意分两种情况.本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大.2.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-Lx2+bx+c的图象与坐标轴3交于A,B,C三点，其中点A的坐标为（-3,0）,点B的坐标为（4,0）,连接AC,B C.动点P从点A出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动；同时，动点Q从点0出发，在线段0 B上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t秒.连 接PQ.(1)填空：b=,c=4；一工

28、一(2)在点P,Q运动过程中，APQ可能是直角三角形吗？请说明理由；(3)在x轴下方，该二次函数的图象上是否存在点M,使PQM是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出运动时间t；若不存在，请说明理由；(4)如图，点N的坐标为(-1,0),线段P Q的中点为H,连接NH,2当点Q关于直线N H的对称点恰好落在线段BC上时，请直接写出点Q，的【分析】(1)设抛物线的解析式为y=a(x+3)(x-4).将a=-1代入可得到3抛物线的解析式，从而可确定出b、c的值；(2)连结Q C.先求得点C的坐标，则P C=5-t,依据勾股定理可求得AC=5,CQ2=t2+1 6,接下来，依据CQ2-CP

29、2=AQ2-AP2列方程求解即可；(3)过点P作DEx轴，分别过点M、Q作MD_LDE、Q E 1 D E,垂足分别为D、E,M D交x轴与点F,过点P作PG，x轴，垂足为点G,首先证明aP A G-A A C O,依据相似三角形的性质可得到PG=&t,G=lt,然后可求得5 5PE、DF的长，然后再证明MDP之PEQ,从而得到PD=EQ=_lt,MD=PE=3+2t,5 5然后可求得FM和OF的长，从而可得到点M的坐标，然后将点M的坐标代入抛物线的解析式求解即可；(4)连结：0 P,取0 P的中点R,连结R H,N R,延长NR交线段BC与点Q，.首先依据三角形的中位线定理得到RH=lQ O

30、=lt,R HOQ,N R=lA P=lt,则2 2 2 2RH=NR,接下来，依据等腰三角形的性质和平行线的性质证明N H是NQNQ，的平分线，然后求得直线NR和BC的解析式，最后求得直线NR和BC的交点坐标即可.【解答】解：(1)设抛物线的解析式为y=a(x+3)(x-4).将a=-L代入得:3v=-LX2+A.X+4,3 3/.b=,c=4.3(2)在点P、Q运动过程中，APQ不可能是直角三角形.理由如下：连结QC.图.在点P、Q运动过程中，NPAQ、NPQ A始终为锐角，.当APQ是直角三角形时，则NAPQ=90。.将x=0代入抛物线的解析式得：y=4,AC(0,4).VAP=OQ=t

31、,Z.PC=5-t,.在RtAO C中，依据勾股定理得：AC=5,在RtC O Q中，依据勾股定理可知：CQ2=t2+16,在RtACPQ中依据勾股定理可知：PQ2=CQ2-CP2,在RtAAPQ中，AQ2-AP2=PQ2,；.CQ2-CP2=AQ2-A P 2,即(3+t)2-t2=t2+16-(5-t)2,解得：t=4.5.由题意可知：0W tW4,t=4.5不合题意，即aA PC i不可能是直角三角形.(3)如图所示：过点P作DEx轴，分别过点M、Q作MD，DE、Q E L D E,垂足分别为D、E,M D交x轴与点F,过点P作PG_Lx轴，垂足为点G,则PGy轴，ZE=ZD=90.PG

32、y 轴，A PAG ACO,PG _A G _A P g j PG _A G _tO C O A A C 4 3 5PG=lt,AG=Wt,5 5PE=GQ=GO+OQ=AO-AG+OQ=3-热+t=3+2t,DF=GP=&t.5 5 5VZMPQ=90,ZD=90,/.ZDMP+ZDPM=ZEPQ+ZDPM=90,/.ZDM P=ZEPQ.又.,/0=NE,PM=PQ,.MDPgPEQ,.PD=EQ=&t,MD=PE=3+Zt,5 5，FM=MD-DF=3+2t-lt=3-2 t,OF=FG+GO=PD+OA-AG=3+.lt-2 t=3+lt,5 5 5 5 5 5AM (-3-I t,-

33、3+2t).5 5.点M在x轴下方的抛物线上，/.-3+2t=-L x (-3-I t)2+LX(-3-L t)+4,解得：t=W至 灭 恒.5 3 5 3 5 2V 0 t 4,.t=-6 5+5 4 2 0 5,2(4)如图所示：连结O P,取O P的中点R,连结R H,N R,延长NR交线段BC与点CTy.0图.点H为PQ的中点，点R为OP的中点，.R HQOt,R HOQ.2 2VA(-3,0),N(-3,0),2.点N为O A的中点.又Y R为OP的中点，NRA p J t,2 2，R H=NR,/.ZRNH=ZRHN.R HOQ,.NR HN=/HNO,，N RN H=N H N

34、O,即 NH 是/QNCT的平分线.设直线AC的解析式为y=mx+n,把点A(-3,0)、C(0,4)代入得：卜3 n=0,I n=4解得：m=&,n=4,3直线AC的表示为y=&x+4.3同理可得直线BC的表达式为y=-x+4.设直线NR的函数表达式为y=Ax+s,将点N的坐标代入得：1 x(-2)+s=0,3 3 2解得：s=2,，直线NR的表述表达式为y=Ax+2.34将直线NR和直线BC的表达式联立得：户1*+2,解得：x=6.?22,7 7y=-x+4：.Q!(1,22).7 7【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、相似三角形的性

35、质和判定、全等三角形的性质和判定，依据勾股定理列出关于t 的方程是解答问题（2）的关键；求得点M的坐标（用含t 的式子表示）是解答问题（3）的关键；证 得 NH为NQHQ，的平分线是解答问题（4）的关键.3.定义：对于给定的两个函数，任取自变量x 的一个值，当x 0 时，它们对应的函数值互为相反数；当x 2 0 时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函数.例如：一次 函 数 y=x-l,它的相关函数为（1）已知点A（-5,8）在一次函数y=ax-3 的相关函数的图象上，求 a 的值；（2）已知二次函数y=-x 2+4 x-L.当点B（m,2）在这个函数的相关函2 2数的图象上时

36、，求 m 的值；当-3WxW3时，求函数y=-X2+4X-工的相关函数的最大值和最小值；（3）在平面直角坐标系中，点 M,N 的坐标分别为（-2，1）,（旦，1）,连结MN.直接写出线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象有两个公共点时n 的取值范围.【分析】（1）函数y=ax-3 的相关函数为y=ax+3 0）,将然后将点人（一ax-3（x）0）5,8）代入y=-ax+3求解即可；（2）二次函数丫=-x2+4x-2 的相关函数为x-4x+y(x0)-x2+4x-y(xO)，分为m 0 和 mNO两种情况将点B 的坐标代入对应的关系式求解即可；当-3WxV O 时，y=x2-4

37、x+,然后可此时的最大值和最小值，当 0WxW3时，函数 y=-x2+4 x-L 求得此时的最大值和最小值，从而可得到当-3&W 3 时的最大值和最小值；（3）首先确定出二次函数y=-x2+4x+n的相关函数与线段MN恰好有1 个交点、2 个交点、3 个交点时n 的值，然后结合函数图象可确定出n 的取值范围.【解答】解：（1）函数y=ax-3的相关函数为y=ax+3（x 0）5,8)代入 y=-ax+3 得：5a+3=8,解得：a=l.（2）二次函数y=-X2+4X-2 的相关函数为y=2x2-4x+y(x0)当 m0 时，将 B（m,W）代入 y=x2-4x+工得 m2-4m+=.5.,解得

38、:m=2+泥2 2 2 2（舍去）或 m=2-当 m 2。时，将 B（m,）代入 y=-x?+4x-工得：-m2+4m-L=反，解得：2 2 2 2m=2+后或 m=2-综上所述：m=2-泥 或 m=2+&或 m=2-.当-3W xV0时，y=x2-4x+L,抛物线的对称轴为x=2,此时y 随x 的增大2而减小,此时y 的最大值为丝.2当 0 4 W 3 时，函数y=-x2+4 x-L 抛物线的对称轴为x=2,当x=0有最小2值，最小值为-工，当x=2时，有最大值，最大值y=工.2 2综上所述，当-3W xW 3时，函数y=-x2+4x-L的相关函数的最大值为毁，2 2最小值为-工；2（3）如

39、图1 所示：线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有所以当 x=2 时，y=l,即-4+8+n=l,解得 n=-3.如图2 所示：线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有3 个公共点.抛物线y=x2-4x-n 与 y 轴交点纵坐标为1./.-n=l)解得：n=-1.当-3nW-1 时，线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有 2 个公共点.如图3 所示：线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有3 个公共点.,抛物线 y=-x2+4x+n 经过点（0,1）,/.n=l.如图4 所示：线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相

40、关函数的图象恰有2 个公共点.,抛物线 y=x2-4x-n 经过点 M(-1,1),+2-n=l,解 得:n=.4 4.lVnW”时，线 段 M N与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有24个公共点.综上所述，n的取值范围是-3VnW -1或lV n W4【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数的图象和性质、函数图象上点的坐标与函数解析式的关系，求得二次函数y=-x2+4x+n的相关函数与线段M N恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n的值是解题的关键.4.如图，在平面直角坐标系xO y中，已知A,B两点的坐标分别为(-4,0),(4,0),C(m,0

41、)是线段A B上 一 点(与A,B点不重合)，抛物线Li：y=ax2+bix+ci(a 0)经过点 A,C,顶点为 D,抛物线 L2：y=ax2+bzx+c2(a 0)经过点C,B,顶点为E,AD,BE的延长线相交于点F.(1)若a=-2，m=-1,求抛物线Li，L2的解析式；2(2)若 a=-l,A F B F,求 m 的值；(3)是否存在这样的实数a(a 0)个单位得到抛物线M2.设点D 平移后的对应点为点 当点D，恰好在直线AE上时，求 m 的值；当lWxWm(m l)时，若抛物线M2与直线AE有两个交点，求 m 的取值范围.【分析】(1)如图1 中，作 DHLOA于 H.则四边形CDH

42、。是矩形.在ADH中，解直角三角形，求出点D 坐标，利用待定系数法即可解决问题；(2)如图 1-1 中，设 P(2,m).由NCPA=90。，可得 PC2+PA2=AC2,可得22+(m-6)2+22+m2=42+62,解方程即可；(3)求出D，的坐标；构建方程组，利用判别式XL 求出抛物线与直线 AE有两个交点时的m 的范围；求出x=m时，求出平移后的抛物线与直线 AE的交点的横坐标；结合上述的结论即可判断.【解答】解：(1)如图1 中，作 DH_LOA于 H.则四边形CDHO是矩形.四边形CDHO是矩形，0C=DH=6,V tan ZDAH=2,AH，AH=3,V 0A=4,/.CD=OH

43、=1,AD(1,6),把 D(1,6),A(4,0)代入 y=ax2+bx 中，则有解得卜=-2,lb=8，抛物线M i的表达式为y=-2x2+8x.a+b=616a+4b=0(2)如图 1-1 中，设 P(2,m).V ZCPA=90,PC2+PA2=AC2,/.22+(m-6)2+22+m2=42+62,解得 m=3V 13，：.P(2,3+任)，P(2,3-V13).易知直线AE的解析式为y=-x+4,x=l 时，y=3,.，.D,(1,3),平移后的抛物线的解析式为y=-2X2+8X-m,把点 坐标代入可得3=-2+8-m,m=3.由 尸-x+；,消去y得到2x2,9x+4+m=0,y

44、=-2 X2+8XT O当抛物线与直线AE有两个交点时，(),.92-4 X 2 X (4+m)0,m V 498x=m 时，-m+4=-2m2+8m-m,解得 1 7)=2+调或 2-血(舍 弃)，综上所述，当2+W m 6+m),把P点坐标代入抛物线表达式可得6+m=-1(V3m)2+2V 3m+6,解得m=02或-2,3 3经检验，P(0,6)与点A重合，不合题意，舍去，所求的P点坐标为(4-2 ,H+1 V 3)；3 3 3(3)当两个动点移动t秒时，则P(t,-l.t2+2t+6),M(0,6-t),如图2,作PE_Lx轴于点E,交AB于点F,则EF=EB=6-t,F(t,6-t),

45、AFP=-l t2+2t+6-(6-t)=-l t2+3t,2 2.点A到PE的距离竽O E,点B到PE的距离等于BE,A SAPAB=FP*0E+1FPBE=1FP（OE+BE）=1FPOB=1X（-l t2+3t）X6=2 2 2 2 2 2-2t2+9 t,且 S/1AMB=AM OB=1 X t X 6=3t,2 2 2 S=S 四 边 柩PAMB=SAPAB+SMMB=-t+12t=（t-4）之+24，2 2.当t=4时，S 有最大值，最大值为24.【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、直角三角形的性质、二次函数的性质、三角形的面积及方程思想等知识.在（1）中注意待定系数

46、法的应用，在（2）中构造RtPAC是解题的关键，在（3）中用t 表示出P、M 的坐标，表示出PF的长是解题的关键.本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中.8.如图，直线y=-分别与x 轴、y 轴交于B、C 两点，点 A 在 x 轴3上，NACB=90,抛物线y=ax2+bx+经过A,B 两点.（1）求 A、B 两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）点 M 是直线BC上方抛物线上的一点，过点M 作 M HBC于点H,作MDy 轴交BC于点D,求DMH周长的最大值.【分析】（1）由直线解析式可求得B、C 坐标，在 RtABOC中由三角函数定义可求得NOCB=60。，则在R 3A O C 中可

47、得NACO=30。，利用三角函数的定义可求得0 A,则可求得A 点坐标；（2）由A、B 两点坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（3）由平行线的性质可知NMDH=/BCO=60。，在 RtDM H中利用三角函数的定义可得到DH、MH与 DM的关系，可设出M 点的坐标，则可表示出DM的长，从而可表示出aDIVIH的周长，利用二次函数的性质可求得其最大值.【解答】解：（1）;直线y=-返 x+正 分别与x 轴、y 轴交于B、C 两点，3AB(3,0),C(0,遮)，/.OB=3,O C=,/.tanZ B C O=-=b，V3NBCO=60,V ZACB=90,，ZACO=30,.&=tan3

48、0o=返，即 粤 返，解得AO=1,CO 3 V3 3AA(-1,0)；(2).抛物线y=ax2+bx+百经过A,B两点,”b+丝，解得9a+3b+V3=0k 2 b.二抛物线解析式为1冬+争+四(3)；MDy 轴，MHBC,.,.ZM D H=ZBC O=60,则NDMH=30,.DH=1DM,MH=2/1DM,2 2 _.DMH 的周长=DM+DH+MH=DM+LDM+退D M=i D M,2 2 2.当D M有最大值时，其周长有最大值，.点M是直线BC上方抛物线上的一点，二可设 M(t,-返t 2+3 f it+),贝U D(t,-西+扬，3 3 3.DM=-2Zlt2+-Z lt+V

49、3)则 D(t,-西+虫)，3 3 3/.D M=-3+S x+M -(-返t+)=-2/lt2+V3t=-返(t-3 3 3 3 3 2 4.当t=g时，D M有最大值，最大值为之叵，2 4止匕时如色DM二型度X班=姐+9,2 2 4 8即ADIVIH周长的最大值为2叵电.8【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角函数的定义、二次函数的性质、方程思想等知识.在(1)中注意函数图象与坐标的交点的求法，在(2)中注意待定系数法的应用，在(3)中找到DH、MH与 DM的关系是解题的关键.本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中.9.如图，抛物线y=ax?+bx-2 的对称轴是直线x=

50、l,与x 轴交于A,B两点，与 y 轴交于点C,点A 的坐标为(-2,0),点 P 为抛物线上的一个动点，过点 P 作 PD x轴于点D,交直线BC于点E.(1)求抛物线解析式；(2)若点P 在第一象限内，当OD=4PE时，求四边形POBE的面积；(3)在(2)的条件下，若点M 为直线BC上一点，点 N 为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M 和点N,使得以点B,D,M,N 为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由.【分析】(1)由抛物线 y=ax2+bx-2的对称轴是直线x=l,A(-2,0)在抛物线上，于是列方程即可得到结论；(2)根据函数解析式得到B(