2020届全国高三数学模拟考试题四理.pdf

《2020届全国高三数学模拟考试题四理.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020届全国高三数学模拟考试题四理.pdf（28页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、2020届全国高三数学模拟考试试题（四）理（含解析）时量：1 2 0分钟满分：1 5 0分注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡相应的位置上.2 .回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后，再涂选其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选 择 题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 .己知集合 用=即 l ,则（q N）u M=（）A.0,3 B.（0,3）C.（-1,5）D.-1,5【答案】D【解析】【分析】根据指数函

2、数与对数函数的性质，分别求得集合M=x|0 W x W 4 和N=x x 5,得到QN=x|-l W x W 5 ,再结合并集的概念与运算，即可求解.【详解】由题意，集合M=X l W 3 8 1 =x|0 x 1,即 4 x 50，解得 x 5,即集合N=x|x 5,则为N=x|lx4 5 所以 1WXW5=-1,5 .故选：D.【点睛】本题主要考查了集合的混合运算，以及指数函数与对数的函数的图象与性质的应用，其中解答中结合指数对数函数的性质，正确求解集合A,8是解答的关键，着重考查运算与求解能力.2 .已知 =2 （加,e R）,其中i为虚数单位，则复数z=机一加在复平面内对应的点 在（）

3、A第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答 案】B【解 析】分 析】根据复数相等则对应系数相等，求得?的值，写 出z=m-的坐标，判断即可.【详 解】-名=2 R)1 一根，=i(2 =十 万:.n=,-m=2 m=-2:.z=-2 +2i,在复平面内对应的点为（-2,2）,在第二象限.故 选：B.【点 睛】本题考查了复数相等的条件和复数在复平面内对应的点，属于基础题.3.据 孙子算经记 载：“今有方物一束，外周一匝有三十二枚，问积几何？该著作中的一种解决方法为：“重置二位，左位减八，余加右位，至尽虚减一，即得.”如图所示是解决此类问题的程序框图，若输入=3 2,则 输 出 的 结 果

4、 为（）结束A.47B.48C.7 9D.8 0【答 案】C【解 析】【分析】按照程序框图输入=32,逐步执行循环到=0,即得结果.【详解】按照程序框图：输入=32,则5 =32,执行第一次循环：=24,5 =32+24执行第一次循环：7 1 =16,S =32+24+16执行第一次循环：=8,5 =32+24+16 +8执行第一次循环：=0,5 =32+24+16 +8 +0=8 0跳出循环，S =S 1,故S =7 9,即输出结果.故选：C.【点睛】本题利用数学文化考查了程序框图中的循环结构，属于基础题.(3兀2石4.已知a为锐角，且s i n-a18(3 7 1 ，则t a n-2 a的

5、 值 为(I 4)3A.-43B.-44C.-33 2D.或443【答案】C【解析】【分析】先利用已知条件得到百-a为锐角，求出其余弦值，再利用二倍角公式求出sin和(3兀4c os -2aI 4最后利用同角三角函数的基本关系求出正切即可.71【详解】由0 a 一2,又s i n 型 一a 。，I 8 )故c os3兀则7r-a为锐角,8故选：c.【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系以及二倍角公式求值的问题，属于较易题.5.已知抛物线Y=6 y的焦点为尸，M，N,K为此抛物线上三点，若FM +E V +尸K =0，则卜 +同 卜 也 为()9 9A.9 B.-C.4 D.-2 4【答案

6、】A【解析】【分析】由 题 意 可 得/(og：是 AWNK的 重 心，故,再由抛物线的定义可得1 k M+|外+|小=(jg)+(2*)+(3)T)=.【详解】解：抛物线r=6y焦点坐标F(0,1),准线方程：j =-|,设 M（X ,y）,N（X2,y2）,K（w ,、3）FM+FN+FK=0,二点厂是AM NK重心，则 吐+%,=-,3 29X+%+%=由抛物线的定义可知：网+网+网=(凶+(%+|)+(%+=9,故选：A.【点睛】本题考查三角形的重心坐标公式，抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用,属于基础题.(2、(11 6.函数y =|i-7一 彳,c os 3 +x的图象大致

7、为()1 +2/1 2 J【解析】【分析】先记/(x)=(l-g71c os化简整理，由函数解析式，判定奇偶性，再判断0 X 7 T时，/(x)八 J 2一+1 )2+l 2V+1 -/2、(it因此函数丁=1-c os -+x是偶函数：故排除B C；I 1+212 J1 _1 _当0v x 7 T时，s i nx0 因此/(x)=s i nx 0；排除 D；2 +1 /2 +1故 选:A.【点睛】本题主要考查判定函数图像的识别，熟记函数的性质即可，属于常考题型.7.九章算术卷五描述：“今有刍餐，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高丈.”意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的几何体，下底面宽3丈，

8、长4丈，上棱长2丈，高1丈.”若该刍薨的三视图如图所示，其中网格纸上每个小正方形边长均为1丈，则该刍薨的体积（单2【答案】B【解析】【分析】根据三视图，作出几何体的直观图，再利用柱体、锥体的体积公式即可求解.【详解】根据三视图知，该几何体是三棱柱，截去两个三棱锥，如图所示：结合图中数据，计算该几何体的体积为:咚 棱 柱 2%棱锥=x3xlx4-2x X x3xlxl=5.2 3 2故选：B【点睛】本题考查了根据几何体的三视图求几何体的体积，考查了柱体、锥体的体积公式，需熟记公式，属于基础题.8.为了解我国古代数学的辉煌成就，学校决定从 周髀算经 九章算术等10部古代数学专著中选择2部作为“数学

9、文化”校本课程学习内容，已知这10部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期.则所选2部专著中至多有一部是魏晋南北朝时期的专著的概率为（）.1 7 八 8 14A.B.C.D.15 15 15 15【答案】D【解析】【分 析】根据对立事件的概率公式进行求解即可.【详 解】设 事 件”所 选2部专著中至多有一部是魏晋南北朝时期的专著”为 事 件A,所 以 事 件“所 选2部 专 著 中2部都是魏晋南北朝时期的专著”为 事 件 入，C2 1因为 P(A)=#=R,d o-1 1 4所以 P(A)=1 P(A)=1-6=话，故 选：D【点 睛】本题考查了对立事件概率公式的应用，考查了数学运算能力.9.某厂家

10、加工甲、乙两种通讯设备零部件，其 销 售 利 润 分 别 为1 0百元/件、1 5百元/件.甲、乙两种零部件都需要在A，8两种设备上加工，生产一件甲产品需用A设 备1小时，3设备3小时；生产一件 乙 产 品 需 用A设 备2小时，3设 备2小时.A，3两种设备每周可使用时间分 别 为2 4小时、3 6小时，若生产的零部件供不应求，则 该 企 业 每 周 利 润 的 最 大 值 为()A.1 5 0百元B.1 9 5百元C.2 4 0百元D.3 0 0百元【答 案】B【解 析】【分 析】先设该企业每周生产甲乙两种零部件分别为：,y件，每 周 利 润 为z,根据题意，得出约束条件，和目标函数，利用

11、数形结合的方法，即可得出结果.【详 解】设该企业每周生产甲乙两种零部件分别为：,y件，每周利润为：z,则由题意可得:%+2 y 2 43 x +2 y 4 3 6x w Nz =1 0 x+1 5 y,x+2 y 2 43 x+2 y 0y 02 1 1 7 1因为目标函数z =1 0 x+1 5 y可化为y=-x+z ,则 一z表示直线丁=一一x+z在 3 1 5 1 5 3 1 5轴的截距，由图像可得，当直线y=-|x +七z过点A时，在y轴的截距最大，此时z取最大值;由，x+2 y=2 4c ；“解得：3 x+2 y=3 6x-6c，即4(6,9),满足 y=9x+2 y x+2 y 3

12、 6 x w Ny N因此 Z m a x=1 0 x6+1 5 x9 =1 9 5.故选：B.【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合的方法求解即可，属于常考题型.1 0.已知曲线/(x)=s i n 2 x+F)按向量a =3，()(0 0)平移，得到的曲线y=g(x)经过 点 一 二,1 ,则()I 1 2 )A.函数y=8(%)的最小正周期7 =调递减C.曲线y=g(x)关于直线x j对称【答案】B【解析】B.函数y=g(x)在 7 1,7 1上单D.曲线y=g(x)关 于 点 方,0对称【分析】先由向量平移和定点一二,1求得g。)的解析式g(x)=c o s(2 x+J),再

13、根据三角函数的周 y 6期性、单调性和对称性对选项逐一判断正误即可.【详解】设y=/(x)上任一点(x,y)，按向量a=0 0)(e 0)平移后得y=g(x)上点(x,y),则7 1x=x+,y=y+O=y ,故x=x-,y=y，代入,f(x y=s i n 2(x-(p)+-677 77 77,W 2 x(-)-2 +-=-2M eZ)1 2 6 2nJT 兀 JT又 夕 2 x4-=,g(x)=O,y=g(x)关于点|2,0|中心对称，故，选6 6 2 o )项错误；选项中，当x=W，2 x+-=,g(x)*o,点不是y=g(x)的对称中心，故,D3 6 6 3 )选项错误.故 选:B.【

14、点睛】本题考查了三角函数的平移变换求解析式和代入验证法判断余弦型函数的性质，属于中档题.2 2 21 1.已知椭圆G：,月，鸟 分别为双曲线C2：0 卓=1(。/0)的左、右焦点，两曲线G，。2的离心率互为倒数，双曲线G渐近线上的点M满足 岫 =0且片闻鸟的面积为3 2,其中0为坐标原点，则双曲线G 的实轴长是（）A.4 B.8 C.1 6 D.3 2【答案】C【解析】【分析】记椭圆G 的离心率为4,双曲线G 的离心率为0 2,根据桶圆方程，由题意，求 出 备=且，2得出双曲线渐近线方程为y=；x,不妨令点“在直线y=上，设根据题中条件，列出方程组求解，即可得出结果.【详解】记椭圆G 的离心率

15、为4,双曲线C2的离心率为02，因为椭圆方程为三+丁=1 ,所以0=避 二=2后，5 7 5 5又两曲线G，C2 的离心率互为倒数，所以e 2=当，所哈患/I 乙质口斗因此双曲线的渐近线方程为y=2 x=,x,a 2不妨令 点 在直线y=；X上，设则 0 M2 2又 耳，口 2 分别为双曲线。2：3 一 六=1（4，。）的左、右焦点，所以耳（-c，0），6（。,0）,因 此=卜,一 天）,一（玉），因为所以x（）（-c-X o）-；x（）2 =0,整理得：c+|xo=O,又片知鸟的面积为3 2,所以=g忻巴卜=；c|x0|=3 2,由2 c 同=3 2因此“475e2 V|T=8所以双曲线。2

16、的实轴长是2 a =1 6.故选：C.【点睛】本题主要考查求双曲线的实轴长，考查双曲线与椭圆的简单性质，涉及向量垂直的坐标表示，属于常考题型.X H-,X 2,-1)X-2,X 6 -1,一21 2.已知函数/(九)=0,即-2,-1 为增区间，x%/(x)e -4,-2 ,当-L,时，/(%)=-2；1 1 1 3 3当:领k 2 时，/(x)=x-，f(x)=l+0,此时函数递增，则=.2 x x 2 2则/(x)的值域为-2 -：,3.2 2 2对于任意为引-2,2 ,总存在不以-2,2 ,使得g(X o)=/(%)成立，得到函数/(在-2,2 上的值域是g(x)在-2,2 上值域的子集

17、.对。讨论，当。=0 时，g(x)=2,显然不成立；当。0 时，g(x)的值域为 I 2 a 2,2 a 2 ,由-2“-2 -=5 且 2 a-2 3：，即。7一；2 2 45 3 7当 a =(_ .2 6-0 铲-6X所以炉的系数为(-1)3 23 C +x(-l)4 22.C：=-160+60。,令一160+60。=2 0,解得a=3.故答案为：3.【点睛】本题主要考查了二项式的应用，其中解答中熟记二项展开式的通项，结合题意，列出方程是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.14.在 ABC中，NB=g E为 AB边上一点,且C=2,4=石，EA EC=2,6则 BC=.【答案

18、】15【解析】【分析】先由向量夹角公式，根据题中条件，求出cosNAEC,从而求出sin/B E C,再由正弦定理,即可得出结果.【详解】因为EC=2,E4=J L EA EC=2,EAEC x/5所以cs/AEC=回同二丁.所以又E为AB边上一 点,所以NAEC+NBEC=兀,因此cosNBEC=-cosNAEC=所以sin NBEC=拽，5 52 BC在B E C,由正弦定理可得：即了一 而，sin ZB sin ZBEC 力解得：BC=5故答案为：巫5【点睛】本题主要考查正弦定理解三角形，涉及向量的夹角公式，属于常考题型.15.给出的下列四个命题中，正确的命题序号为从匀速传递的产品生产流

19、水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测,这样的抽样是分层抽样；设回归直线方程为夕=0.2x+12,当变量X每增加一个单位时，平均增加2个单位；已知自服从正态分布N（O,），且P（2 2）=0.2：变量U与丫相对应的一组样本数据为（1,L4）,（2,2.2）,（3,3）,（4,3.8）,由上述样本数据得到U与丫的线性回归分析，若R2表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，则R2=.【答案】【解析】【分析】根据抽样方法的概念，直接判断，即可得出结果；根据回归直线方程的性质，即可得出结果；根据正态分布的性质，计算概率，即可得出结果；根据在线性回归中，相关指数等于相关系数，计算相关系数

20、，即可得出结果.【详解】对于，从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是系统抽样；故错误；对于，回归直线方程9=O.2x+12中，当变量x每增加一个单位时，9平均增加0.2个单位；故错误；对于，若J服从正态分布N（O,c/）,且尸（一2。0）=0.4,则P（0 2）=0.5-P（O J W 2）=0.1,故错误；对于，在线性回归中，相关指数等于相关系数，由题意，占=1,W =2,刍=3,几=4,X=L4,y2=2.2,y3=3,y4=3.8,则1=2.5，5=2.6,所以相关指数R?=r=之(x，T(y-y)i=1.5x1.2+0.5x0.4+

21、0.5x0.4+1.5xl.24Vl.52+0.52+0.52+1.52 71.22+0.42+0.42+1.22 75x721 ,故正确;故答案为：【点睛】本题主要考查统计与概率的综合，熟记抽样方法的概念，回归直线的特征，正态分布的性质，以及相关指数的计算公式即可，属于常考题型.1 6.定义：设函数y =在(。,力)上的导函数为了(力,若/(x)在3 上也存在导函数，则称函数y =/(x)在(。/)上存在二阶导函数，简记为y =7 (x).若在区间(。力)上r(x)0,则称函数y =/(x)在区间(。力)上 为“凸函数”.已知/(x)=l n(l +e )一侬2在区间(-L 1)上 为“凸函

22、数”，则实数的取值范围为【答案】O【解析】【分析】根据题意对函数y =/(x)求二阶导函数y =/(x),令/(x)0 在区间(-L 1)恒成立，分离参数，解得实数加的取值范围即可.【详解】/(x)=l n(l +eA)-z n x2ex Iff(x=-2mx=1-2iwcJ I 7 l +ev 1 +e”e-v/.fn(x=-2m)(l +eA)2/(力=1 1 1(1 +6)一如2 在区间(_ 1,1)上 为“凸函数，ev，(x)=-_-2 根 -e-(-1/)上恒成立(1 +e)e*/、设g(x)=7；一 不,xe(T),(1 +e)当且仅当人。时取得最大值：，.，丹1m 8故答案为：m

23、!.o【点睛】本题考查了新定义“凸函数”，考查了分离参数法解决恒成立问题和基本不等式，属于中档题.三、解答题(一)必考题：1 7.己知函数/(x)=sin(Tx j +sin(x+l)(x e R )的所有正数的零点构成递增数列 (N*)(1)求数列 的通项公式；(2)设数列出 满足2他=凡+“求数列出 的前项和a.o【答案】an=n (eN*);T.=2 .【解析】【分析】(1)令 x)=0可得出x=+；(k e Z),根据题意确定数列 q 的首项和公差，即可求得数列 4 的通项公式；n 门丫(2)求出=上，然后利用错位相减法可求得2 2?详解】(1)/(x)=sin-乃 x)+sin 乃(

24、x+1)=cos TLX-sin TLX-sin-彳)令/(x)=。，得一s in 4%-1=0,所以万x-工=攵 乃(ZwZ),k 4；4所以X=攵 +；(Z e Z),这就是函数y=/(x)的全部零点，所以数列%是以首项为。，公差为1的等差数列，所以=-+(n-l)xl=n-wN*);3 因 为2色=4+；,所以=.则”(扑哂+3-H-F (一 1)Y-12)得：-T2*咱(1 所以Z,=2 1-;乙)+2 23 X【点睛】本题考查函数的零点，考查等差数列通项公式的求法，考查错位相减法求和，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.1 8.某食品加工厂对生产机器升级改造，现从机器改造前后

25、生产的食品中各抽取100件产品作为样本，检测某项营养成分含量,根据国家食品卫生标准，若该项营养成分含量落在 20,40)内的食品视为合格品，否则为不合格品.如图所示是机器改造前样本的频率分布直方图；下表是机器改造后样本的频数分布表.频率赢0.080-0.0360.0320.0240.02008O404535312520养分量营成含营养成分含量15,20)20,25)25,30)30,35)35,40)40,45)频数21 84 81 41 62(1)请估算食品加工厂在机器升级改造前食品营养成分含量的平均值；(2)工厂质检规定：不合格食品必须全部销毁合格食品分等级销售，营养成分含量落在 25,3

26、0)内的定为一等品，每件售价2 4 0 元；营养成分含量落在，20,25)或 30,35)内的定为二等品，每件售价1 8 0 元；其他的合格品定为三等品，每件售价1 2 0 元.根据表中的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率.现有一名顾客随机购买改造后的两件该食品，设其支付的费用为X(单位:元)，求X的分布列和数学期望.【答案】3 0.2 (2)见解析【解析】【分析】(1)由每一组区间的中间值乘以该组的频率再相加，可得平均值.(2)根据样本频率分布估计总体分布，样本中一、二、三等品的频率分别为!二,2，从所2 3 6有产品中随机

27、抽一件，是一、二、三等品的概率分别为!，!，随机变量彳的取值为240,2 3 63 0 0,3 6 0,4 2,4 8 0,分别求出相应的概率，由此能求出随机变量力的分布列和6 (/).【详解】根据图1 可知，机器改造前样本的频数分布表如下：营养成分含量15,20)20,25)25,30)30,35)35,40)40,45)频数41 64 01 21 81 0.估计在机器升级改造前食品营养成分含量的平均值为(4 X 1 7.5+1 6 X 2 2.5+4 0 X 2 7.5+1 2 X 3 2.5+1 8 X 3 7.5+1 0 X 4 2.5)=3 0.2.100(2)根据样本频率分布估计总

28、体分布，样本中合格食品有9 6 件，则样本中一、二、三等品的 频 率 分 别 为，故从所有产品中随机抽一件，是一、二、三等品的 概 率 分 别 为,2 3 6 2 3 6随机变量才的取值为2 4 0,3 0 0,3 6 0,4 2 0,4 8 0,1 1 1P =2 4 0)=-x-=,6 6 36P(=3 0 0)、=CK x-1 x-1 =-1,2 3 6 9、1 1 1 1 5P(X 3 6 0)=C x x +x f2 2 6 3 3 1 8P(Z=4 2 0)=C*x-x-=-,2 3 2 3P(/=4 8 0)=x,2 2 4；.随机变量片的分布列为：X24030036042048

29、011511Pi-3 691 834E(Z)=2 4 0 x +3 0 0 x-+3 6 0 x+4 2 0 x-+4 8 0 x-=4 0 0.3 6 9 1 8 3 4【点睛】本题考查平均数、离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，考查频率分布直方图、频率分布表、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.1 9.如图，在四棱锥P A B C。中，A B =A D,C B =C D,P B=P D，且P C=2 Q 4 =4,I)Z A P C =60.(1)求证：平面Q 4 C_ L平面A B C。；(2)若底面A 8 C D中，N A 0 C=9 0。，N A CO

30、 =3 0。，在P C上是否存在点“，使得直线与平面自应)所成的角的正弦值为 小 叵4?若存在，试求P M:M C的值；若不存在，请说明9 5理由.【答案】(1)证明见解析；(2)存在，P M :M C =E【解析】【分析】（1）设AC B D=O,连接P O,由已知条件得。为BO的中点，利用线面垂直的判定定理证明0 8上面P 4 C，又O B u平面A8C。，即可得出结论；（2）先利用已知条件证明 ABCD，再以A为坐标原点，过A作A 3垂线即为 轴，A 8为x轴，A P为z轴建立如图所示的空间坐标系，写出点坐标，令PM=8M C，求出平面P8/）的法向量，利用空间向量求线面所成角即可得出结

31、论.【详解】（1）证明：设4 c BD=O,连接P。，因为AB=AD,CB=CD,所以。为8。的中点，B D 1 A C，又 PB=PD，.B D L PO 又 AC PO=O,;.DB 上面 PAC,D B u 平面 ABC。，所以平面B4C _L平面ABC。.(2)在 2 4 c中,PC 2PA=4,ZAPC=60,易得 NQ4C=90,即 Q4 _L A C,由（1）知5_LQ4，：2 4 _L面ABC。；以A为坐标原点，过A作A 3垂线即为丁轴，AB为x轴，A P为z轴建立如图所示的空间坐标系，则 A（O,O,O）,P（O,O,2）,6（6,O,O）,0 -,-,0 ,C（6,3,0）

32、,PB=(6 0,2),P/一4,4,I 2 2 J令 P M =A M C，J V32 32 2)*f-y/3 32 2 1:.M-,-,-,B M =-,-,-1 +4 1 +2 1 +4 1 +4 1 +2 1 +4 J 7设平面P8）的法向量为”=（x,y,z）,PB.n=Q 产I z=O皿 =0=鸟+%2z=0I 2 2，取=（2,2后6）,设直线B M与平面P B D所成的角为（P，则 sin(p-cosn-B MHM6Vn495解得4 =血，即 P M：M C=&.【点睛】本题主要考查了线面垂直以及面面垂宜的判定定理，考查了利用空间向量解决线面所成角的问题.属于中档题.2 0.已

33、知。：/+2 =2交x轴于“，N两点，过以MN为长轴，离心率 为 注 的椭圆C-2的左焦点厂的直线/交椭圆。于A，B,分别交y轴和圆。于P,H.（1）求椭圆。的标准方程；（2）若 PA=S4 F，=.求证：S+/为定值；（3）过原点。作直线/的垂线交直线 =-2于点K.试探究：当 点 在 圆。上运动时（不与M，N重合），直线 K与圆。是否保持相切？若是，请证明；若不是，请说明理由.【答案】（1）+y2=i；（2）-4；（3）故直线HK与圆。相切，证明见详解.【解析】【分析】（1）由题意可得a =也，再根据离心率可得c =l,由=&一=,可得椭圆C的标准方程.（2）设直线/的方程为：y=Z（x+

34、l）,将直线与椭圆方程联立，求出两根之和、两根之积，再根据向量的坐标运算可得5 =-7土一/=一3一，求出即可证出.1 +玉 l +x2（3）设”（玉），%乂/。土 血），则为2=2-/2,只 要 证 出 的=T即可【详解】（1）由2 a =20，解得a =J 5,又因为e=正，所以c =l，a 2所以 Z?=/a2 c2-1，所以椭圆C的标准方程为y +y =1.（2）证明，如图，由题设知直线/的斜率存在，设直线/的方程为：y=A(x+l),则点P(OM),将直线/代入椭圆方程+V =1可得(1 +2 k2)x2+4炉x+2&2 2 =0,设A(百,y),8(W，M),-4 k2 2 k2-

35、2由 P4=s A F，PB=tBF 知sX】t=X21 +“l+x24k2 4k2-4-1-s +t=1+2中2 =1 +2/1 +2公乂 l+xl+x2+xx2(4k 2k2-2(3)点，在 圆。上运动时，直 线 K与 圆。相 切，证 明：设”(X 0，%乂七)，则%=2-X o?,.k”x F x()+l%直 线O K的 方 程 为y=-3 1X,2工0 +2.=%_%2 _(2/+2)_ _/2 _ 2/厂 /,k0 H=江,4+2(%+2)%(%+2)%A 必+么?。+2%成 立，求实数。的取值范围.,花 1 (e2+、【答 案】(1)(-0 0,1 -,+0 0 ；(2)(o,-2

36、)u l Y，+o o I.【解 析】【分 析】Y?1 r2 1(1)由题意得 a ln x _ 2 =0,令b(x)=1 a ln x 由题意得只需函数 =E(x)在 l,e上有唯一的零点；求导，分 当 时，当a z e?时，当1 。e?时三种情况1a分析单调性求零点，即可求出a的取值范围；(2)把已知条件转化为J+丁-。也%+丁 0在f e L e上有解，即函数(x)=x +：a ln x+f在 l,e上的最小值小于零，求导，分当a+1 2 e时，当a +l l时，当l a+l e时三种情况分析单调性求最值，即可求出。的取值范围.【详解】(1)f(x)=g(x),2anx 八 1-x=2x

37、,xxx2 1即-alnx=0 ；2 2令 F(x)=、-alnx-g,由题意得只需函数y =E(x)在 l,e上有唯一的零点；2又F(x)=x-3 =三二乌，其中x e l,e,X X当a W l时，9(力“恒成立，F(x)单调递增，又 尸(1)=0,则函数E(x)在区间 l,e上有唯一的零点；当a N e?时，/(x)W 0恒成立，/(x)单调递减，又尸(1)=0,则函数网x)在区间 l,e上有唯一的零点；当1 a /时，当1 4 x 4 6时，F(x)0,E(x)单调递减，又尸(1)=0,二尸(右)尸(1)=0,则函数F(x)在区间 1,&上有唯一的零点;当G 0,产(x)单调递增,则当

38、尸(e)0时符合题意，p j即 a g/一1 当-Q 记+L+2 f o成立,t(二等价于+1一 alnf o+m O 在/(；e l,e上有解,即函数/z(x)=x+L-a l n x+3在 l,e上的最小值小于零,(x+l)(x a 1)当a+l N e时,即。*1时，M )在 口,百上单调递减,所以力(%)的最小值为力(。,由 (e)=e+*-a 0,当4 +1 W 1时，即4 4 0时，(x)在 l,e上单调递增，所以(x)最小值为M。，由=l +l +a 0,可得。一2；当 即0 a e-l时，可得(x)的最小值为(。+1)，0 ln(a+l)l,r.0 aln(a+l)2 ,所以(

39、l+a)-3)2=1x=1 +c os 0曲线C的参数方程为 .八(。为参数)y=3+s m 9l x=1+c os 综上，直线/的普通方程为x-Gy =0,曲线。的参数方程为 c .八(。为参数)；y=3+s m。(2)要使切线长GQ最短，则需C G最短，故当C G _ U时最短，此时直线C G的斜率为一百，直线C G方程为y-3=G(x 1),即Gx+y -6-3 =0,联立直线方程X 鸟 =得G(3 +3,正 电)yl3 x+y-y/3-3 =0 4 4故G点的极坐标为：G(正，巳).2 6【点睛】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化以及点坐标的互相转化，考查了普通方程与参数方程的转化，属于常考题.选修4一5：不等式选讲23.已知函数 x)=k +3|-2(/e R),且“x 3)+0 的解集为x|-2 x .【答案】(1)m=2；(2)证明过程见详解.【解析】【分析】(1)根据题意，得到|x|W加，再由不等式的解集，即可得出结果；(2)根据柯西不等式，由题中条件，即可得出结果.【详解】(1)由题意，不等式x 3)+wO可化为凶-区0,即忖区加，所以-m x m；又/(%-3)+40的解集为何24%2+?2 1.【点睛】本题主要考查由不等式的解集求参数，考查由柯西不等式证明不等式，属于常考题型.