2016届高三数学（理）33个黄金考点总动员考点14解三角形解析版含解析.pdf

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1、2 0 1 6 届高三数学3 3 个黄金考点总动员考 点1 4解三角形(理)【考点剖析】1.最新考试说明：(D 考查余弦定理、三角形面积公式，考查方程思想、运算能力，是历年常考内容.(2)考查利用正、余弦定理判断三角形的形状.(3)考查利用正、余弦定理解任意三角形的方法.2.命题方向预测：(1)利用正、余弦定理求三角形中的边、角及其面积问题是高考考查的热点.(2)常与三角恒等变换相结合，综合考查三角形中的边与角、三角形形状的判断等.3.课本结论总结：(1)正弦定理：.=rsin A sin B sm 0(2)余弦定理：a k)+c 2Z?ccosJ,8 a+c 2accosBf c=c i b

2、 2abcosC.余弦定理可以变形为：COS 4=%二且，cos 8=妇 U，c o s。=宁户.2 be 2ac 2 ab(3)五侬二万口后!！C=bcsir A=acsin B(4)已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况.如已知a,b,A,则A 为锐角A 为钝角或直角图形.外,CNLA BABJ 一场0B关系式3/?sin Aa=bsin AOsin Aa baW力解的个数无解一解两解一解一解无解(5)常见题型:在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角.情况(2)中结果可能有一解、两解、无解，应注意区分

3、.余弦定理可解决两类问题：（1）已知两边及夹角求第三边和其他两角；（2）已知三边，求各角.4.名 师 二 级 结 论：（1）在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在加中，A BO a b O s i n /s i n B.（2）正弦定理的变形：一 一=一 匕=-7.=2 凡其中彳是三角形外接圆的半径.s i n A s i n B s m Ca:b:c=s i n A:s i n B：s i n C a=2?s i n _/,b=2R stn_B,c=2?s i n _Gs i n 力=源 s i n s i n 等形式，以解决不同的三角形问题.ill

4、 1（4）三角形的面积公式：5 k M=j d b s i n C=zbcsix A=-acsin b+c）r（是三角形外接圆半径，r是三角形内切圆的半径），并可由此计算?,r.（5）解三角形的常用途径：化边为角；化角为边，并常用正弦（余弦）定理实施边、角转换.5.课 本 经 典 习 题：新 课 标 A版 第 10页，第 B 2 题（例题）在&4 5。中，如果有性质a c o s A =A c o s 5 ,试问这个三角形的形状具有什么特点.【解析】法一 利用正弦定理及 a c o s-T =6 c o s B （得 s i n ,4 c o s d =s i n B c o s 5,s i

5、n 2A=s i n 2B；0 A;B ,：.2A=2 8 或 2 a+2 3 =肛 即A =B 或A+8 =1,所以三角形是等腰三角形或直角三角形.法二：利用余弦定理及a c o s/d =6 c o s 3,得,化简得2bc lac（a+b）（a-b）（+/-c：）=0,则 a=6 或f+/=/,即三角形是等腰三角形或直角三角形.【经典理由】一题多解，既可利用正弦定理进行求解，也可利用余弦定理进行求解。新课标A版 第 2 5 页，第 B 3 题（例题）研究一下，一个三角形能否同时具有一下两个性质：（1）三边是连续的三个自然数；（2）最大角是最小角的2倍.s i n?4 n+I【解析】设三角

6、形的二边长依次为-1/1 +1,对应角依次为A,8,2 4;由正弦定理，得-=,si n A n-1贝 i J2 c o sA =-,又由余弦定理得-=-,化简得（几+4）（几 一 1）=（+1）,n-1 （+1）n-1解得=5,即存在这样的三角形，边长依次为4,5,6.【经典理由】综合考查解三角形与二倍角公式.6.考点交汇展示：(1)与三角函数的图像与性质的交汇【2 0 1 5 高考山东，理 1 6】设/(X)=si n x c o sx-c o s x +a)(I )求“X)的单调区间；(II)在锐角A A 8 C中，角A,8,C的对边分别为a,b,c,若/0 =，。=1，求MBC面积的最

7、大值.JT JT【答案】(I)单调递增区间是-七+k兀2+k兀(k w Z)；L 4 4 ，jr 3 jr单调递减区间是+k兀,k兀伏eZ)(ID MBC面枳的最大值为2拽4【解析】.、1+C OS,2 x+,(I)由题意知 f(x)=F-si n 2x 1 -si n 2x.一 1=-=si n 2 x-2 2 2RR 万由一三+1 k 2 x +2kz:k e Z 可得 +k x y +ktk e Z一 一由 9+2 k 2 x -+2 k z,k e Z 可得:+k?ix/3因此一be si n A 0,所以c=3.故AABC的面积为-be sinA=也.解法二：由正弦定理，得？一=二

8、一s in-sinB从而sin 5又由a 6,知A B,所以cosB=友 .故 sinC=sin(A+B)=sin B+-=sin 5 cos +cos5 sin =7 3 J 3 3 14所以AABC的面积为-be sinA=芷.2考点：1、平行向量的坐标运算；2、正弦定理；3、余弦定理；4、三角形的面枳公式.【名师点晴】本题主要考查的是平行向量的坐标运算、正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式，属于中档 题.解 题 时 一 定要注意角的范围，否则很容易失分.高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，期中关键是三角变换，而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角

9、”,即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式.(3)与实际问题的交汇【2015高考湖北，理 13】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 4 处时测得公路北侧一山顶。在西偏北30的方向上，行驶600m后到达8 处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为3 0 ,则此山的高度CC=m.D【答案】IOOA/6【解析】依题意，X.B AC =3,Z.1 3 C =1 0 5=,在 X i 3 c 中，由4lSC +Z A d C+Z J C 6 =1 8(r,所以ZJ C 3=4 5 ，因为.1 3 =6 0 0,由 正 弦 定 理 可 得-=即8 C=3 0 0 g m,

10、si n 4 5=si n 3 0：在 R tAB C D 中,因为NC&)=3 0 ,5 C=3 0 0 7 2.所以 t a n 3O=0=二 _,所以C D =1 0 0加m.B C 3 0 0-7 2【考点定位】二角形三内角和定理，三角函数的定义，有关测量中的的几个术语，正弦定理.【名师点睛】本题是空间四面体问题，不能把四边形A 8 CD看成平面上的四边形.【考点分类】热点一、利用正余弦定理在三角形中求三角函数值、求角、求边长1.1 2 0 1 4全国2高考理第4题】钝角三角形A B C的面积是4，A B=1,B C=V2 ,则AC=()A.5 B.V5 C.2 D.1【答案】B【解析

11、】由面积公式得：-x V 2 s i n B-,解得si n8 =4Z,所以8 =4 5 或6 =1 3 5,当8 =4 5 时，2 2 2山余弦定理得：A C2=l+2-2 V2 cos4 5=l,所以A C =1,又因为A B=1,B C=0 ,所以此时A A 8 C为等腰直角三角形，不合题意，舍去；所以B =1 3 5,由余弦定理得：AC2=1+2-2/2COS135O=5,所以A C =4 5,故选 B.【考点】本小题主要考查余弦定理及三角形的面积公式，考查解三角形的基础知识.2.1 2 0 1 5高考重庆，理1 3】在A B C中，8=1 2 0 ,A B=C，A的角平分线4。=百，

12、则A C=.【答案】V6【解析】由正弦定理得 =2，即-，解得si nNA D B =也,si n Z A D B si n 5 si n Z A D B si n 1 2 0 2ZA B =4 5,从而所以 C =1 8 0。1 2 0。3 0。=3 0。，|A C|=2|A Z?|cos3 0 =V6.【考点定位】解三角形（正弦定理，余弦定理）【名师点晴】解三角形就是根据正弦定理和余弦定理得出方程进行的.当一知三角形边长的比时使用正弦定理可以转化为边的对角的正弦的比值，本例第一题就是在这种思想指导下求解的；当已知三角形三边之间的关系式，特别是边的二次关系式时要考虑根据余弦定理把边的关系转化

13、为角的余弦关系式，再考虑问题 的 卜一步解决方法.3.1 2 0 1 4高考广东卷理第1 2题】在A A B C中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c,已知b cos C +c cos B -2 b,则=_.b【答案】2.【解析】v b cos C+c cos B =2b,由边角互化得 si nB cosC+si nC cos_B =2 si nB,B Psi nlff+C）=2 si n5 1 RP si n J =2 si n5 .所以a=2 b=2.b【考点】本题考查正弦定理中的边角互化思想的应用以及两角和的三角函数，属于中等题.4.已知aA B C的内角A、B、C所对应边分别为a、

14、b、c,3 a*2 3+2ab+3 b2-3 c2=0,则角C的大小是（结果用反三角函数值表示）.【答案】-a rccos -32 1 【解析】2）ci+2ab+3 b 3 c =0 c=（i+b H cib,故 cos C =,C =n一a rccos .3 3 3【方法规律】（1）已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可.（2）已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意.（3）已知三边，解三角形，利用余弦定理；（4）已知两边与夹角解三角形，利用余弦定理；【解题技巧】在处理解三角形过程中，要注意“整体思想

15、”的运用，可起到事半功倍的效果。如：在A A B C 中，B C=a,A C =b,a,b 是方程-+2 =0 的两个根，且2 cos（A +8）=1。求：（1）角C的度数；(2)A B的长度。【解析】(1)cos C =cos /r-I K +3 l=cos I M+3 I=三 /.C=1 2 0 C a+5 =2 y3 由 题 设：ab=2:.A B：=A C1+3C：-2 A CB C cos C =a:-labcos 1 2 0 0=a+ab=(a+-ab=!工6 I 2=10/.AB =J 1 0【易错点睛】已知两边和边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这

16、是解题的难点，应引起注意.如：在a A B C 中，a=2A/3,b=2 2 ,B=4 5 ,贝U A 等 于()A.3 0 B.6 0 C.6 0 或 1 2 0 D.3 0 或 1 5 0【解析】由正弦定理，可得工 巫=2,解得s i n A =3；s i n A s i n 4 5 0 2因为a =2 6b =2贬，.48 =工，所以4 =6 0 或1 2 0,故选C.4热点二、利用正余弦定理判断三角形形状1.【2 0 1 4全 国1高考理第1 6题】已知a,c分别为A A 8 C三个内角A,8,C的对边，a =2,且(2 +6)(s i n A s i n 8)=(c-b)s i n

17、C,则 A 4 8 c 面积的最大值为一【答案】V 3【解析】试题分析：由。=2,且(2 +66诂4一5抽8)=(?-毋4 1 1。，故(a+b)(s i n A s i n B)=(c b)s i n C,又根V.2,2 _ 2|据正弦定理，得(a+b)(a b)=(c b)c,化简得，b2+c2-a2=b c,故cos A =-=,所以2 b e 2A=60,X b2+c2-/?c=4 Z?c,故=bcsinA 0且sin ZCAD 0,则由正余弦的关系可得sin ABAD=I-cos2 ZB AD=之旦 且 sin/CAO=V l-cos2 ZCA,再由正弦的和差角公式14 7可得 si

18、n ABAC=sin(/BAD -ZCAD)=sin ABAD cos ACAD-sin ZCAD cos NBAD3721 277 V21-X-X14 7 7理+普=弓，再由M B C的正弦定理可得出 V3sin Z C B A sin A B A C【考点定位】三角形正余弦定理正余弦之间的关系与和差角公式【方法规律】依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法：1.利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；2.利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出

19、三角形的形状，此时要注意应用/+8+U n这个结论.【解题技巧】熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用如：在 A4BC 中，a2=b2+c2+b c,则角 A 为()7 t 27r 7 C _ 2万A.B.C.D.一或一3 6 3 3 3【解析 考虑余弦定理的公式特点，则：4-，二6-2=一儿,-又.0 4 乃，二月=U，故选c.2bc 2 3【易错点睛】在利用正弦定理或余弦定理判定三角形的形状时;在化简过程中，要保证等价变形，,定不要漏解。如：新 课 标A版 第1 0页，第B2题(例 题)在AABC中，如果有性质ocos A=6cos 8,试问这个三角形的

20、形状具有什么特点.【解析】法一：利用正弦定理及4 8 S 4 =儿0$8,得sin AcosA=sin BcosB,即sin2A=sin2B；rr ,0 A,8 2：.-cos I B =siazC,又由乂=三，即 B+C=三，得一 co s2 3 =si n 2 c=2 si n C co sC,4 4解得 ta n C =2；(2)由 ta n C =2,C W(0,T)得 si n C =咨，co sC =q，又si n B =si n(K +C)=si n(；+C),s i n B ,由正弦定理得c=,又,4=2,be sin A =3 1.,.5 c=6,5/2,故 6 =3.4 2

21、【考点定位】1.三角恒等变形：2.正弦定理.【名师点睛】本题主要考查了解三角形以及三角横等变形等知识点，同时考查了学生的运算求解能力，三角函数作为大题的一个热点考点，基本每年的大题都会涉及到，常考查的主要是三角恒等变形，函数y=A si n(yx+)的性质，解二角形等知识点，在复习时需把这些常考的知识点弄透弄熟.3.1 2 0 1 5高考陕西，理1 7(本小题满分1 2分)A A B C的内角A,B ,C所对的边分别为a ,b,c.向量玩=与万=(co s A,si n B)平行.(I)求 A ；(II)若 Q=J7,/?=2 求 AABC 的面积.【答案】(I)(II)迪.3 2【解析】(I

22、)因 为 而 行,所以asinB-括bcosd=0,由正弦定理，得sinAsinB-道sinBcos A=0又sin B iO,从而tanM=指，由于所以.4=二(H)解法一：由余弦定理，得f =/十1一2儿8 sz而 a=7*b=2.A=三3得 7=4+L-2 c,即 L-2 c-3=0因为c 0,所以c=3.故AABC的面积为-be sinA=正9 7解法二：由正弦定理,_V7 2得-=-兀 sinBsin 3从而sin BV21又由a b,知AB，所以cos B=2包7故 sinC=sin（A+B）=sinf B+y=sin6cos2+cos8si=l i33 14所以AABC的面积为-

23、be sinA=迪22考点：1、平行向量的坐标运算；2、正弦定理；3、余弦定理；4、三角形的面积公式.【名师点晴】本题主要考查的是平行向量的坐标运算、正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式，属于中档题.解题时一定要注意角的范围，否则很容易失分.高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，期中关键是三角变换，而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式.4.12014高考浙江理第18题】在A4BC中，内角4,&C所对的边分别为a/,c.已知。H b,c=6 ,cos2 A-cos2 B=V3 sin A co

24、s A-A/3 sin B cos B.(I)求角。的大小；4(I I)若sinA=,求A4BC的面积.5【答案】(I)。=工：(II)S=+.3 25【解析】试题分析：(I)求角C的大小,由已知cosH.cos3=JJsin 8 cosB,可利用阵帚公式进行降嘉 及倍角公式变形得1+cos u _ 1+C O S 23=造就2H-正sin I S，移项整理，sin 2A-cos 2A=sin 2B-c o s 2B有两角和与差的三角函数关系，得2 _ _sin(2 J-)=s in(2 5-),可得乂+3=，从而可得(II)求、必C的面积，由已知c=6,6 6 3 J4?R 1sin J =

25、,且。=二，可由正弦定理求出=,可由S=acsin 3求面积，故求出sin 5即可，由5 3 5 24 7Tsin.d=-,C=,故由sinB=sin lJ+C l即可求出sinB,从而得面积.5 3试虺解析：(/TI)、山I 的迦工忌/日得，-1 -+-c-o-s-2-A-1-+-c-o-s-2-8-=V3 sin.2一A.-J-3-si.n 2B，即an2 2 2 2G O 人 1 9 _ V3.1 sin 2A cos 2A=sin 2B cos 2B，2 2 2 2sin(2A-)=s in(2 5-),山.力沙得，又A+8 e(0,万)，得2A 工+2 8工=万，即6 6 6 6A+

26、B =,所以C=工；3 3(Il)由。=百，sin A=,-=-得由。，得 A C,从而 cos A=3,故5 sin A sinC 5 5sinB=sin(A+C)=sin A cos C+cos A sin C4+3 610所以A48C的面积为S=L s in人述任2 25试题点评：本题主要考查诱导公式，两角和与差的三角函数公式，二倍角公式，正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，等基础知识，同时考查运算求解能力.【方法规律】常用三角形的面积公式 S-ah2 S=ab sin C=be sin A=ac sin B2 2 2S=p pa pb pc 是周长的一半,即=卢:r 为内切圆半径）；S

27、=*（为外接圆半径）.4/r【解题技巧】在解三角形问题时，要注意正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的综合使用.如：【浙江 省“六市六校”联盟2 0 1 4 届高考模拟考试】在&4 B C 中，内角A,8,C的对边分别为a,b,c,且2ac o s A=bcosC+c c o s 8 .（1）求角4的大小；（2）若。=6,b+c =8,求 A A 6 C 的面积.解析：（1）由2 4 c o s/=6 c o s C-c c o s 3及余弦定理或正弦定理可得c o s X =1.4分所以片=；.6分.2 8（2）由余弦定理#=加+6 4 得 bc=3 6.又 5+L8,所以 不.1 0 分由

28、三 角 形 面 积 公 式 户 4 得 板 的 面 积 为 逑.1考点：1、正弦定理；2、两角和的三角函数；3、余弦定理.【易错点睛】在利用面积公式解三角形时，要注意不要漏解.如：已知A A B C 的面积为3,月 2=2,c =Ji,则NA等 于（）2A.3 0 B.3 0 或 1 5 0 C.6 0 D.6 0 或 1 2 0【解析】由三角形的面积公式S=-feesin A,W-X2XV3 sin A2 23解得：sin A2V3.T 10 A 180,所以 A=60。或 120.【热点预测】1.在AABC 中，若出 =3,/-4 2=9。，则 cosB 的 值 为(sin A 2(A)(

29、B)(C)3 2 5【答案】D【解析】试题分析：解：由正弦定理：-=3.a sin A25注道 D /+/-/L -1 C 5 3由余弦正_ 理：cos B=-=-=x =一lac lac 2 a 4 2)(D)4故应选D.考点：1、正弦定理；2、余弦定理.4 42.12015高考天津，理13在A 4B C中，内角A,B,C所对的边分别为。，仇c,已知A4BC的面积为3V15,b-c =2,cosA=-,则a 的值为4【答案】8【解析】因为0 4 万，所以sinA=J l-c o s 2A4又 S,MBC=be sin A=巫be=3V15,.-.be 2 4,解方程组 MBC 2 8,b c

30、 2 一,=得。=6,C=4,由余弦定理得be=24=+。2-2bc cos A-62+42-2 X 6 X 4X64,所以a=8.【考点定位】同角三角函数关系、三角形面积公式、余弦定理.【名师点睛】本题主要考查同角三角函数关系、三角形面积公式、余弦定理.解三角形是实际应用问题之先根据同角三角关系求角A的正弦值，再由三角形面积公式求出be=2 4,解方程组求出仇c的值，用余弦定理可求边。有值.体现了综合运用三角知识、正余弦定理的能力与运算能力，是数学重要思想方法的体现.3.2 0 1 5高考上海,理1 4】在锐角三角形ABC中，t an A =L,D为边BC上的点，AABD与A A C D的2

31、面积分别为2和4.过D作D E J.A B于E,DFLAC于F,则 诙 丽=【答案】一百【解析】由题意得:i is i n A=-7=,c os A =,AB -AC-s i n A =2 +4 AB -AC=1 2-7 5 ,又V5 5 2113 25 A B。E =2,5 A C。尸 =4 n A B O E x A C。尸 =3 2 n。E。F=,因为D E A F四点共圆，因此.j 5 p=DE-DF c os(4-A)=1 615【考点定位】向量数量积，解三角形【名师点睛】向量数量枳的两种运算方法(1)当己知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即“力=k i l l ft l c o

32、s .(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解，即若a=S，y O,6=(x 2，丫2)，WJab=xix2+)叮2.向量夹角与三角形内角的关系，可利用三角形解决；向量的模与三角形的边的关系，可利用面积解决.4.1 2 0 1 5高考广东，理1 1】设A 4 8 c的内角A ,B,C的对边分别为a,b,c,若a=#，s i n B =-,2J IC =,则b=.6【答案】1.【解析】因为s i n S=L且3 c(0.m，所以8=三 或3=三，又C =L 所以8=三，2 6 6 6 6A =7 1-B-C =,又。=有，由正弦定理得一L 即 _与=，_解得5=1,故应埴入1.3 s i n

33、d s i n 5 而3 s i.3 6【考点定位】三角形的内角和定理，正弦定理应用.【名师点睛】本题主要考查三角形的内角和定理、运用正弦定理解三角形，属于容易题，解答此题要注意I T T STF STT由s i n B =得出8 =或5 =时，结合三角形内角和定理舍去B =.2 6 6 6s i n，45.1 2 0 1 5高考北京，理1 2】在 A B C中，。=4,h=5,c=6,则 绘2 =_ _ _ _.s i n C【答案】1s i n 2A 2 s i n A c os A 2a b2+c2-a2 2 x 4 2 5 +3 6 -1 6 ,解析-=-=-1s i n C s i

34、n C c 2bc 6 2x5x6考点定位：本题考点为正弦定理、余弦定理的应用及二倍角公式，灵活使用正弦定理、余弦定理进行边化角、角化边.【名师点睛】本题考查二倍角公式及正弦定理和余弦定理，本题属于基础题，题目所求分式的分子为二倍角正弦，应用二倍角的正弦公式进行恒等变形，变形后为角的正弦、余弦式，灵活运用正弦定理和余弦定理进行角化边，再把边长代入求值.6.12015高考新课标1,理 16】在平面四边形ABCO中，NA=NB=NC=75,B C=2,则AB的取值范围是.【答案】(V 6-V 2,V 6+V 2)【解析】如图所示，延长8 交 于 E,平移X D 当工与D 重合与E 点时，工5 最长

35、，在中，p r 7 DrZ3=ZC-75S Z=30S 3 C-2,由正弦定理可得=上_,即=_竺)，解得sin Z sinZ C sin 30 sin 750B E二aY，平移,当 D 与 C 重合时，.4 最短，此时与.4 交于F,在 C F 中，N3=N3FC=呼,RP RF 2NFC3=3Ci=,由正弦定理知，=,即 上 解 得 3F=而-e，所以sin ZFCB sin Z 5F C sin 300 sin 75的取值范围为(6-0,7 6-7 2).EAB C【考点定位】正余弦定理；数形结合思想【名师点睛】本题考查正弦定理及三角公式，作出四边形，发现四个为定值，四边形的形状固定，边

36、 BC长定，平移4 0,当AO重合时，A 8最长，当CO重合时AB最短，再利用正弦定理求出两种极限位置是AB的长，即可求出4 8 的范围，作出图形，分析图形的特点是找到解题思路的关键.7.【广东省惠州一中等六校2015届高三8 月联考11】已知AABC中，角A.B.C 的对边分别为a.b.c,且a=2,NB=135,1 AABC=则b=.【答案】2 A【解析】i i B试题分析：由题知，4=Sg8c=acsin B 二 一x2cx 解得c=4 e,.2 2 2h2=a2+c2-2accosB=2?+(4V 2)2 一2 x 2 x 4 亚 x(-)=5 2,所以。=2V13.考点：三角形面枳公

37、式；余弦定理8.在A 4 8 c中，角A,8,C所对边分别为a,b,c,且c=4，I 8 =45,面积S=2,则8=.【答案】5.【解析】因为 c=4n/，8 =45：,面积 S=2,所以：a c s i n 6 =工 xa x x-=2,即 a=l；由余弦定理得 b=a2+c2-2accosB=Jl+3 2-8、叵 x q=5.考点：三角形的血枳公式、余弦定理.T T9 .在a A BC中，a、b、c分别为N A、ZB./C的对边，三边a、b、c成等差数列，且8=，贝l j I cos A4-cos C I的值为.【答案】V 2【解析】由2 8 =a +c及8 =工得2 s i n 8 =s

38、 i n A +s i n C=及，4所以 s i n?A +2 s i n A s i n C+s i n?C =2,又（cos A -cos C =cos2 A-2 cos A cos C +cos2 C ,二式相加得，（cos A-cos C）2=-2 cos（A +C）-2 cos B -4 2 .故 I cos A-cos C -y/21 0.【河南省安阳一中2 0 1 5届高三第次月考1 8】（本小题满分1 2分）A 4 B C中，、氏c分别为角A、B、C的对边，满足 /=c.（I ）求角A的值；（II）若。=百，设角8的大小为x,A A B C的周长为y,求y=/（x）的最大值.

39、【答案】（I ）A =q；（II）y1 r ax=3#.【解析】试题分析：（I）先已 知 +。2一/=儿 根据余弦定理可求出角A的余弦值，然后可得到角A的值.（II）先根据正弦定理用角B表示出边b,c,然后代入整理成了=A s i n（皿+0）+8的形式，注意角B的取值范围，再由正弦函数的性质可求最大值试题解析：3)在上1 5。中，由独-c：-r=儿及余弦定理得cos.4=-L -A2bc而0 乂兀，则 且=:三(II)由&=及 正 弦 定 理 得3s i n 5 s i n C s i n 4 召b抬一同理 c=-s i n C =s i n（三-x）s i n A 3i1=2 s i n

40、x+2 s i n（三 一x）+括=2 7 3 s i n（K+二）+括3 6。06。+品泛当,3-3 6 6 6，x+三=三 即x=三时,6考点：1.正弦定理与余弦定理;2.正弦函数的图象与性质.1 1.【河北省”五个一名校联盟”2 0 1 5高三教学质量监测(一)1 7(本小题满分1 2分)在A 4 8 C中，角A,B,C7T所对的边分别是a,。,c,已知C=2,C=23(1)若A 4 B C的面积等于右，求a,方；（2）若s i n C+s i n（3 -A）=2 s i n 2 A ,且。Q,求 A A 8 C的面积.【答案】（I ）2,2 （I I ）3【解析】试题分析：(I)由c=

41、2,C=9,运用余弦定理可得4=+/-2 a beos 9,由工1 8 c的面积等于JJ,运用三角形面积公式可得，-a 6 s i n=J J,联立即可解得。力；(I I )利用三角形内隹和定理先将2 3s i n C +血(3 -乂)=2 s i n 2 4化为s i n;T-(-4+5)+s i n(5 -=2 s i n 1A,利用诱导公式及两角和与差的正弦公式将上式化为s i n 5 cos M=2而H c o s H,因为6 a,S s i n 5 =2 s i n J,求 出A,B关系，利用，,7 T正弦定理求出a力关系，结 合(I)中结果4=,+V-2 a 6 cos二求出a力，

42、从而求出三角形面积.试题解析:(I)由余弦定理及已知条件得a?+从 一=4又 丁 g a方 sin C=，得 出=4.3 分联 立“一0=4 解得=2 1=2 5分4 6=4(I I)由题意得，sin(3 +X)+sin(B-J)=4 sin A cos A即 sin B cos A=2 sin J cos-4,cos A=0：或 而 B=2S”二 W 又 6 V ac,%n 1 4币,2招 八cos A=Q.A=.B=.a=-.b=.9 分2 6 3 3AzIBC的面积S=上於=12分2 3考点：正弦定理，余弦定理，三角形面枳公式，三角变换，运算求解能力12.【江苏省苏州市2015届高三9月

43、调研测试17如图，有两条相交直线成60角的直路X X,y y,交点是。,甲、乙两人分别在o x,o y上，甲的起始位置距离。点弘祖,乙的起始位置距离。点1八 ,后来甲沿X X 的方向，乙沿y y的方向，两人同时以依加/的速度步行（1）求甲乙在起始位置时两人之间的距离；（2）设妨后甲乙两人的距离为d。），写出d Q）的表达式；当t为何值时，甲乙两人的距离最短，并求出此时两人的最短距离【答案】（1）阮 2 （2）当f 时，最 短 距 离 为2【解试题分析：(1)由余弦定理得：-1 S =3*+T -2 xlx3 xcos60=4,所以甲乙在起始位苴时两人之间的距离为历(2)当 血 时，AB=J(3

44、 -*)2 +(1 +4/尸 一 2 x(1 +4 r)x(3 -4。x cos 60=5 4 8 J -2 W +7 ,因此当 r=(时，两人的最短距离为2 km.当时，_,r.4B =yj(4t-3):+(1 +4 r):-2 X(1 +4 r)X(4 r-3)X C O S 1 2 0=4 8 r-2 4 r+7 ,因此当r=-W,两人的最短距离为4 km.综上，当r=L时，两人的最短距离为2 km.4试题解析：(1)由余弦定理得：.宓=6+f-2 xlx3 xcos60 =,所以甲乙在起始位置时两人之间的距离为 丁 嬴(2)当 晚 0,6时,.4B =yj(3 -4 r):+(1 +4

45、 r):-2 x(1+4 r)x(3 -4 r)x cos60=V4 8 r-2 4 r+7 ,因此当？=!时，两人的最短距离为2 km.当re阜+8)时，_ r rAB =(4 r-3):+(1 +4 r):-2 x(1 +4 r)x(4 r-3)x cos 1 2 0=，4 8 r：-2 4 r+7 ,因此当=:时，两人的最短距离为4 km.综 上,当？=时，两人的最短距离为2 km.4考点：余弦定理1 3.【河南省安阳一中2 0 1 5届高三第一次月考1 9】(本小题满分1 2分)在A 4 B C中，A,8,C的对边分别为 a,b,c 且acosC,bcos 3,ccos A 成等差数列

46、.(1)求8的值；(2)求2 sin?A +cos(A C)的范围.【答案】(1)B =-：(2)1 +V33 I 2 J【解析】试题分析：(1)先利用等差中项的定义找出等量关系，再利用三角恒等变换化简求解；(2)先 由(1)得A +C =，从而C =-A代入2 sin2 A +cos(A C),转化为只含A的三角函数,2 7 r利用三角公式将其化为y=A sin(姐+。)+5的形式，可注意到0 A 与-,进而转化成三角函数求值域问题求解.试题解析：(1)acosC+ccosA=2bcosB由正弦定理得，2R sin A cos C +2 J?cos A sin C =4 2?sin 5 co

47、s B ,即：sin(K +C)=sin2 B ,二 sin B=sin I B又在 A J B C 中，B =2B或B +2B =7 T.0 B TT9 B=三q.(2)B=-,所以X+C=U3 32 sin，+cos(A-C)=1 -cos 2A+cos(2-4 -三)3=1-cos 2A-g cos 2A+-sin 2 4 =1 +-sin T -：cos 2 A=1 -sin(2 H -二)0 J -_ _ 2 J-.-.-s i n(2 J-)l3 ,3 3 2 32 sin，4+cos(d-C I的 氾 围 是 个 1 +J .考点：1 .等差数列的性质：2 .正弦定理：3.三角函

48、数的图象和性质.1 4.【2 0 1 5江苏高考，1 5(本小题满分1 4分)在 A 4 8 c 中，已知4 B =2,A C =3,A =60 .(1)求8C的长；(2)求sin2 c的值.【答案】(1)7 7 ；(2)7【解析】试题分析：(1)已知两边及夹角求第三边，应用余弦定理，可 得 的 长，(2)利 用(1)的结果，则由余弦定理先求出角C的余弦值，再根据平方关系及三角形角的范围求出角C的正弦值，最后利用二倍角公式求出sin 2 c的值.试题解析：(1)山余弦定理知，B C2=A B2+A C2-2 A B A C-cosA =4 4-9-2 x2 x3 x1 =7,2所以B C=JV（2）由正弦定理知，善=生，所以sin C=任.sin A=2=史sinC sin A BC 手：因为A B v B C,所以C为锐角,贝II cos C=Jl-siiT C=因此sin2C=2 sin Ccos C=2xx:=士 .【考点定位】余弦定理，二倍角公式【名师点晴】如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.已知两角和一边或两边及夹角，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，本题解是唯一的，注意开方时舍去负根.