2016年上海市高考数学试卷（文科）.pdf

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1、2016年上海市高考数学试卷（文科）一、填 空 题（本大题共14题，每小题4分，共56分）.1.（4 分）（2016上海）2.（4 分）（2016上海）3.（4 分）（2016上海）离.4.（4 分）（2016上海）设x E R,则不等式【x-3|V I的解集为.设z=3+?i,其中i为虚数单位，则z的虚部等于.1己知平行直线h：2x+y-1=0 h：2x+y+l=0,则h，b的距某次体检，5位同学的身高（单位：米）分别为1.72,1.78,1.80,1.69,1.76.则 这 组 数 据 的 中 位 数 是 （米）.5.（4分）（2016上海）若函数f（x）=4sinx+acosx的最大值为

2、5,则常数a=.6.（4分）（2016上海）已知点（3,9）在函数f（x）=l+a 的图象上，则f（x）的反函数f 1（x）=.7.（4分）（2016上海）若x,y满足.y 0 ，则x-2 y的最大值为.,yx+l8.（4分）（2016上海）方程3sinx=l+cos2x在区间 0,2川上的解为.9.（4 分）（2016上海）在（山-2）x的二项式中，所有的二项式系数之和为2 5 6,则常数项等于.10.（4分）（2016上海）己知A A B C的三边长分别为3,5,7,则该三角形的外接圆半径等于.11.（4分）（2016上海）某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同 学 各

3、 自 所 选 的 两 种 水 果 相 同 的 概 率 为.12.（4 分）（2016 上海）如图，已知点 0（0,0）,A（l,0）,B（0,-1）,P 是曲线 丫=五上一个动点，则0PBA的取值范围是13.（4分）（2016上海）设a0,b 0.若关于x,y的 方程组无解，则a+b的（x+by=l取值范围是.14.（4分）（2016上海）无穷数列 a/由k个不同的数组成，Sn为 a j的前n项和，若对任意ndN*,SnG 2,3 ,则k的最大值为.二、选 择 题（本大题共有4题，满分20分，每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一脸得零分）.15.（5 分）（2016上海）设 a G R

4、,则a l是的（）A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件16.(5 分)(2016 上海)如 图，在正方体A B C D-A iB iJD i中，E、F 分别为BC、B B i的中点，则下列直线中与直线EF相交的是()A.直线A A iB.直线AiBi C.直线AiDi D.直线BCi17.(5 分)(2016上海)设 aGR,be 0,2 n),若对任意实数 x 都有 sin(3 x-)=sin3(ax+b),则满足条件的有序实数对(a,b)的对数为()A.1 B.2 C.3 D.418.(5 分)(2016上 海)设 f(x)、g(x)、h(x)是定义域

5、为R 的三个函数，对于命题：若 f(x)+g(x)、f(x)+h(x)、g(x)+h(x)均是增函数，则 f(x)、g(x)、h(x)均是增函数；若 f(x)+g(x)、f(x)+h(x)、g(x)+h(x)均是以T 为周期的函数,则 f(x)、g(x)、h(x)均是以T 为周期的函数，下列判断正确的是()A.和均为真命题 B.和均为假命题C.为真命题，为 假 命 题 D.为假命题，为真命题三、简答题：本大题共5 题，满分74分19.(12分)(2016上海)将 边 长 为 1的正方形AAiOQ(及其内部)绕OOi旋转一周形成圆柱，如图，筋 长 为 且 L,丁 维 长 为 生，其中B|与 C

6、在平面A A Q Q 的同侧.6 1 1 3(1)求圆柱的体积与侧面积；(2)求异面直线0 田1与 OC所成的角的大小.20.(14分)(2016上海)有一块正方形EFGH,EH所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到F 点或河边运走.于是，菜地分别为两个区域S i和 S2,其中S i中的蔬菜运到河边较近,S2中的蔬菜运到F 点较近，而菜地内S i和S2的分界线C 上的点到河边与到F 点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点。为 EF的中点，点 F 的坐标为(1,0),如图(1)求菜地内的分界线C 的方程;(2)菜农从蔬菜运量估计出S i 面积是S2面积的两倍，由此得到S i 面积的经验值为2

7、.设3M 是 C上纵坐标为1 的点，请计算以EH为一边，另一边过点M 的矩形的面积，及五边形EOMGH的面积，并判断哪一个更接近于S i 面积的经验值.21.(14分)(2016上海)双曲线X?-工=1(b 0)的左、右焦点分别为F i、F,直线1b2过 F 2且与双曲线交于A、B两点.(1)若 1的倾斜角为工，F i A B 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；2(2)设若1的斜率存在，且|A B|=4,求 1的斜率.22.(16分)(2016上海)对于无穷数列 a j 与 0 ,记人=辰氏=2|1,n G N ,B=x x=bn,n G N*,若同时满足条件：aj,电 均单调递增；A c

8、B=。且 A U B=N*,贝麻 a j 与%是无穷互补数列.(1)若 a n=2n-l,bn=4n -2,判断 a j 与 b j 是否为无穷互补数列,并说明理由；(2)若 a n=2且 a j 与 b j 是无穷互补数列,求数量%的 前 16项的和；(3)若 a j 与 、是无穷互补数列，5 为等差数列且a m=3 6,求 a j 与 b j 的通项公式.23.(18 分)(2016上海)己知 aC R,函数 f(x)=l o g2(L a).X(1)当 a=1时，解不等式f(x)1；(2)若关于X的方程f(x)+I o g2(x2)=0 的解集中恰有一个元素，求 a的值；(3)设 a 0

9、,若对任意t L,1,函数f(x)在区间 t,t+1 上的最大值与最小值的差不超过1,求 a的取值范围.2016年上海市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填 空 题（本大题共14题，每小题4分，共56分）.1.（4分）（2016 上海）设x d R,则 不 等 式 的 解 集 为 （2,4）.【考点】绝对值不等式.【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式的解法及应用.【分析】由含绝对值的性质得-1VX-3 1,由此能求出不等式|x-3|V I的解集.【解答】解：xG R,不等式|x-3|V l,-l x -3 b解得2 x l).【考点】反函薪.【专题】方程思想；转化思想；函数的性质及

10、应用.【分析】由于点(3,9)在函数f (x)=l+a x的图象上，可得9=l+a 3,解得a=2.可得f (x)=1+2 由 l+2*=y,解得x=l o g 2 (y-1),(y l).把 x 与 y 互换即可得出f (x)的反函数f1(x).【解答】解：,点(3,9)在函数f (x)=l+a X 的图象上，9=l+a 3,解得a=2.；.f (x)=1+2、由 l+2*=y,解得 x=l o g 2 (y-1),(y l).把 x 与 y 互换可得：f (x)的反函数f 1(x)=l o g 2 (x-1).故答案为：l o g 2 (x-1),(x l).【点评】本题考查了反函数的求法

11、、指数函数与对数函数的互化，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.x 07.(4 分)(2 0 1 6 上 海)若 x,y 满足，y 0 ，则 x-2 v的 最 大 值 为-2 .y x+l【考点】简单线性规划.【专题】计算题；数形结合；数形结合法；不等式的解法及应用.【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可.【解答】解：画出可行域（如图），设 z=x-2 y=y=L -三，2 2由图可知，当直线1 经过点A （0,1）时，Z 最大，且最大值为Z m a x=0-2 X l=-2.故答案为：-2.【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是

12、解决问题的关键,利用数形结合是解决问题的基本方法.8.（4分）（2 0 1 6 上海）方程3 s i n x=l+c o s 2 x在区间 0,2 用上的解为 旦 L.一 6 一 6 一【考点】三角函数的恒等变换及化筒求值.【专题】计算题；规律型：转化思想；三角函数的求值.【分析】利用二倍角公式化简方程为正弦函数的形式，然后求解即可.【解答】解：方程 3 s i n x=l+c o s 2 x,可得 3 s i n x=2 -Z s i/x,即 2 s i r 2 x+3 s i n x-2=0.可得 s i n x=-2,（舍去）s i n x=xG 0,2 n 2解得x=且 L6 6故答案

13、为：-6 6【点评】本题考查三角方程的解法，恒等变换的应用，考查计算能力.9.（4分）（2 0 1 6 上海）在（山-2）1 1的二项式中，所有的二项式系数之和为256,则常数 项 等 于 112.【考点】二项式定理的应用.【专题】计算题；转化思想；综合法；二项式定理.【分析】根据展开式中所有二项式系数的和等于2n=256,求 得 n=8.在展开式的通项公式中，令 x的基指数等于0,求得r 的值，即可求得展开式中的常数项.【解答】解：在（也-2）11的二项式中，所有的二项式系数之和为256,.2n=256,解得 n=8,8-4 r（五-/8 中，T*%（我产（_2）r/x k，.当g-n力,即

14、 厂2 时，常数项为13=（-2）2r2=1 1 2-3u8故答案为：112.【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题.10.（4分）（20 16 上海）已知aABC的三边长分别为3,5,7,则该三角形的外接圆半径等 于 上 叵.3【考点】解三角形的实际应用.【专题】方程思想；分析法；解三角形.【分析】可设aABC的三边分别为a=3,b=5,c=7,运用余弦定理可得c os C,由同角的平方关系可得s i nC,再由正弦定理可得该三角形的外接圆半径为一,代入计算即可得到2 sinC所求值.【解答】解：可设AABC的三边分别

15、为a=3,b=5,c=7,由余弦定理可得，c os C=a 2+b 2-c 2=9+25-4 9=,工，2 ab 2 X3X5 2可得 s i nC 1_CO s2c=1_ l）可 得 该 三 角 形 的 外 接 圆 半 径 为 -口&.2 sinC V3_ 3故答案为：丸号.3【点评】本题考查三角形的外接圆的半径的求法，注意运用正弦定理和余弦定理，考查运算能力，属于基础题.11.（4分）（20 16 上海）某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为1 .6【考点】古典概型及其概率计算公式.【专题】计算题；对应思想；数学模型法；概率与统计.【分析

16、】利用分步乘法求出两同学总的选法种数，再求出选法相同的选法种数，利用古典概型概率计算公式得答案.【解答】解：甲同学从四种水果中选两种，选法种数为C；，乙同学的选法种数为C；，则两同学的选法种数为C.C/也两同学相同的选法种数为C 系由古典概型概率计算公式可得：甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为。2.，2 C2 6J v4故答案为：X6【点评】本题考查古典概型概率计算公式的应用，考查了组合及组合数公式，是基础题.12.(4 分)(20 16 上海)如图，已知点 O (0,0),A (1,0),B(0,-1),P 是曲线 y=J _ *2上一个动点，则 而 嬴 的 取 值 范 围 是 1,

17、、万.【考点】向量在几何中的应用；平面向量数量积的运算.【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用.【分析】设出0 P=(X,y),得至|J 0 P B A=x+,_ *2,令 x=c os。，根据三角函数的性质得至 I J 而 加=s i n9+c os e=J i n(0+2L),从而求出6?欣的范围即可.4【解答】解：设 尾(x,y),则 尾(x,J _ x 2)，由 A (1,0),B (0,-1),得：B A=(1.1).二 祈 就 =x+&-x 2,令 x=c os。，8 0,n,则 而 就 =s i ne+c os 6=J i n(0+2 L),0,n,4故而就的范围是-，1，&，

18、故答案为：-1,5/5.【点评】本题考查了向量的运算性质，考查三角函数问题，是一道基础题.13.(4 分)(20 16 上 海)设 a 0,b 0.若关于x,y的方程组a x+v=l无解，则 a+b 的(x+b y=l取值范围是(2,+8).【考点】参数方程化成普通方程.【专题】方程思想；综合法；直线与圆.【分析】根据方程组无解可知两直线平行，利用斜率得出a,b 的关系，再使用基本不等式得出答案.【解答】解：.关于x,y 的方程组a x+y=l无解，I x+by=l；直线ax+y-1=0与直线x+by-1=0平行，即 a=L且 bWl.bVa0,b0.；.a+b=b+L2.b故答案为：（2,+

19、8）.【点评】本题考查了直线平行与斜率的关系，基本不等式的应用，属于基础题.14.（4 分）（2016上海）无穷数列 a j由k 个不同的数组成，Sn为 a j的前n 项和，若对任意 nGN*,Sne 2,3 ,则 k 的 最 大 值 为 4.【考点】数列与函数的综合.【专题】分类讨论；分析法；点列、递归数列与数学归纳法.【分析】对任意nCN*,Sne21 3 ,列举出n=l,2,3,4 的情况，归纳可得n 4 后都为0 或 1或-1,则 k 的最大个数为4.【解答】解：对任意nGN*,Sne2,3 ,可得当 n=l 时，ai=S=2 或 3；若 n=2,由 S2G 2,3）,可得数列的前两项

20、为2,0；或 2,1 ；或 3,0；或 3,-1；若 n=3,由 S3 G 2,3 ,可得数列的前三项为2,0,0；或 2,0,1；或 2,1,0；或 2,1,-1；或 3,0,0；或 3,0,-I；或 3,1,0；或 3,1,-1；若 n=4,由 S3G 2,3 ,可得数列的前四项为2,0,0,0；或 2,0,0,1；或 2,0,1,0；或 2,0,1,-1；或 2,I,0,0；或 2,1,0,-1；或 2,1,-1,0；或 2,1,-1,1：或 3,0,0,0；或 3,0,0,-1；或 3,0,-1,0；或 3,0,-1,1；或 3,-1,0,0；或 3,-1,0,1；或 3,-1,1,0

21、；或 3,-1,1,-1；即有n 4 后一项都为0 或 1或-1,则 k 的最大个数为4,不同的四个数均为2,0,1,-1,或 3,0,1,-1.故答案为：4.【点评】本题考查数列与集合的关系，考查分类讨论思想方法，注意运用归纳思想，属于中档题.二、选 择 题（本大题共有4 题，满分20分，每题有且只有一个正确答案，选对得5 分，否则一脸得零分）.15.（5 分）（2016上海）设 a G R,贝 a l是喘 1的（）A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.【专题】转化思想；定义法；简易逻辑.【分析】根据不等式的关系

22、，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【解答】解：由 a 2 l 得 a l 或 a 1 是 的 充 分 不 必 要 条 件，故选：A.【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，比较基础.1 6.（5分）（2 0 1 6 上海）如图，在正方体A B C D-A i B Q i D i 中，E、F分别为B C、B B i 的中点，则下列直线中与直线E F 相交的是（）A.直线A A i B.直线A i B i C.直线A i D i D.直线【考点】空间中直线与平面之间的位置关系.【专题】数形结合；综合法；空间位置关系与距离

23、.【分析】根据异面直线的定义便可判断选项A,B,C的直线都和直线E F 异面，而由图形即可看出直线B i G 和直线相交，从而便可得出正确选项.【解答】解：根据异面直线的概念可看出直线A A|,A|B|,A|D|都和直线E F 为异面直线;B i G 和 E F 在同一平面内，且这两直线不平行；.直线B i C i 和直线E F 相交，即选项D正确.故选：D.【点评】考查异面直线的概念及判断，平行直线和相交直线的概念及判断，并熟悉正方体的图形形状.1 7.（5 分）（2 0 1 6 上海）设 a C R,b e 0,2 n）,若对任意实数 x 都有 s i n （3 x -）=s i n3（a

24、 x+b）,则满足条件的有序实数对（a,b）的对数为（）A.1 B.2 C.3 D.4【考点】终边相同的角.【专题】分类讨论；三角函数的求值；三角函数的图像与性质.【分析】根据三角函数恒成立，则对应的图象完全相同.【解答】解：对于任意实数x都有s i n （3 x -2L）=s i n （a x+b）,3则函数的周期相同，若 a=3,此时 s i n （3 x -=s i n （3 x+b）,3此时 b=-2 L+2T I=5 兀,3 3若 a=-3,则方程等价为 s i n (3 x -)=s i n (-3 x+b)=-s i n (3 x -b)=s i n (3 x -b+n),3贝l

25、j-b+n,贝b=-4 穴 一,3 3综上满足条件的有序实数组(a,b)为(3,史二)，(-3,-1 2 L),3 3共有2组，故选：B.【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，结合三角函数恒成立，利用三角函数的性质，结合三角函数的诱导公式进行转化是解决本题的关键.1 8.(5分)(2 0 1 6上 海)设f (x)、g (x)、h (x)是定义域为R的三个函数，对于命题：若 f (x)+g (x)、f (x)+h (x)、g (x)+h (x)均是增函数，则 f (x)、g (x)、h (x)均是增函数；若f (x)+g (x)、f (x)+h (x)、g (x)+h (x)均是以T为周期

26、的函数，则f (x)、g (x)、h (x)均是以T为周期的函数，下列判断正确的是()A.和 均为真命题 B.和均为假命题C.为真命题，为 假 命 题D.为假命题，为真命题【考点】复合命题的真假.【专题】转化思想：定义法；简易逻辑.【分析】举反例说明命题不成立；根据定义得 f (x)+g (x)=f (x+T)+g (x+T),f (x)+h (x)=f (x+T)+h (x+T),h(x)+g (x)=h (x+T)+g (x+T),由此得出：g (x)=g (x+T),h (x)=h (x+T),f (x)=f (x+T),即可判断出真假.【解答】解:对 于 ，举反例说明：f (x)=2x

27、,g (x)=-x,h (x)=3x；f (x)+g (x)=x f (x)+h (x)=5 x,g (x)+h (x)=2x 都是定义域 R 上的增函数，但 g(x)=-x不是增函数，所以是假命题；对于，(x)+g (x)=f (x+T)+g (x+T),f (x)+h (x)=f (x+T)+h (x+T),h (x)+g (x)=h (x+T)+g (x+T),前两式作差可得：g (x)-h (x)=g (x+T)-h (x+T),结合第三式可得：g (x)=g (x+T),h (x)=h (x+T),同理可得：f (x)=f (x+T),所以是真命题.故选：D.【点评】本题考查了函数的

28、单调性与周期性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题目.三、简答题：本大题共5 题，满分74分1 9.(1 2分)(201 6上海)将边长为1的正方形A A i O Q(及其内部)绕O O i旋转一周形成圆柱，如图，/长 为 旦L,丁 方-长 为 空，其中B|与C在平面AAQ Q的同侧.6 1 1 3(1)求圆柱的体积与侧面积：(2)求异面直线O i B i与OC所成的角的大小.【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角.【专题】计算题；转化思想；空间位置关系与距离；空间角.【分析】（1）直接利用圆柱的体积公式，侧面积公式求解即可.（2）设点B i在下底面圆周的射

29、影为B,连结B B i，即可求解所求角的大小.【解答】解：（1）将边长为1的正方形A A i O Q（及其内部）绕O O i旋转一周形成圆柱,圆柱的体积为:n*l2 l=n.侧面积为:2n*l=2n.（2）设点&在下底面圆周的射影为B,连结B B i，0 B,则O B O i B,Z A 0 B=2 L,异面直线O 1 B 与0 C所成的角的大小就是/C O B,3大小为：1 2L-2L 2L.【点评】本题考查凡何体的体积侧面积的求法，考查两直线所成角的大小的求法，是中档题,解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养.20.（1 4分）（201 6上海）有一块正方形E F G H,E H所在直线

30、是一条小河，收获的蔬菜可送到F点或河边运走.于是，菜地分别为两个区域S）和S 2,其中S i中的蔬菜运到河边较近,S 2中的蔬菜运到F点较近，而菜地内S,和S2的分界线C上的点到河边与到F点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点。为E F的中点，点F的坐标为（1,0）,如图（1）求菜地内的分界线C的方程；（2）菜农从蔬菜运量估计出S i面积是S 2面积的两倍，由此得到S i面积的经验值为旦.设3M是C上纵坐标为1的点，请计算以E H为一边，另一边过点M的矩形的面积，及五边形E O M G H的面积，并判断哪一个更接近于S 1面积的 经验值.【考点】圆锥曲线的轨迹问题.【专题】分类讨论；转化

31、思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】（1）设分界线上任意一点为（X,y）,根据条件建立方程关系进行求解即可.（2）设 M（x0,yo），则 yo=l，分别求出对应矩形面积，五边形FOMGH的面积，进行比较即可.【解答】解：（1）设分界线上任意一点为（x,y）,由题意得|x+11 =7（X-l）2+y2得 y=2，（OWxWl）,（2）设 M（xo,yo），则 yo=l，2.x（）=-y-0-1,4 4.设所表述的矩形面积为S 3,则 S3=2X(L+1)=2XJ”，4 4 2设五边形EMOGH 的面积为 S4,则 S4=S3-S4OMP+S/MGN=-X X +L x-x 1=2

32、 2 4 2 4 4Si-S3=&-邑 L S4-S|=H-丝 3 2 6 4 3 12 6五边形EMOGH的面积更接近S i的面积.【点评】本题主要考查圆锥曲线的轨迹问题，考查学生的运算能力，综合性较强，难度较大.221.（14分）（2016上海）双曲线X?-上=1（b0）的左、右焦点分别为F i、F2,直线1b2过 F2且与双曲线交于A、B 两点.（1）若 1的倾斜角为工，a F iA B 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程;2（2）设 b=J5，若 1的斜率存在，且|A B t4,求 1的斜率.【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；双曲线的简单性质.【专题】综合题；方程思想；设而不求法；圆锥

33、曲线的定义、性质与方程.【分析】(1)由题意求出A点纵坐标，由A F i A B 是等边三角形，可得t a n/A F1F2=t a n 2 L 从而求得b值，则双曲线的渐近线方程可求；6 2717?(2)写出直线1 的方程y-O=k (x-2),B|J y=k x-2 k,与双曲线方程联立，利用弦长公式列式求得k 值.【解答】解：(1)若 1 的倾斜角为工，F i A B 是等边三角形，2把 x=c=J M 代入双曲线的方程可得点A的纵坐标为b2,由 t a n/A F|F 2=t a n 兀,求得=2,b=J，,6 3 2 /1+b2故双曲线的渐近线方程为y=b x=&x,即双曲线的渐近线

34、方程为y=&x.2(2)设 b=、/5，则双曲线为 F2(2,0),3若 1 的斜率存在，设 1 的斜率为k,则 1 的方程为y-0=k (x-2),即 y=k x-2 k,尸k x-2 k联立,2 ,可 得(3 -k2)x2+4 k2x-4 k2-3=0,2-守=1由直线与双曲线有两个交点，则 3-1?工0,即 k 卉士=3 6 (1+k2)0.4k 2X|+X2=一k2-34k 2+3X1X2=k2-3A B =V l+k2*x i-X2=7 1+k2，(x1+x2)2-4 x j -x2_ I-a./4k2 2.4k2+3_4化简可得，5 k4+4 2 k2-2 7=0,解得 k 2=3

35、,_5求得k=+叵.-5 _.1 的 斜 率 为+逗.一 5【点评】本题考查直线与圆锥曲线位置关系的应用，考查了双曲线的简单性质，考查弦长公式的应用，体现了“设而不求”的解题思想方法，是中档题.2 2.(1 6 分)(2 0 1 6 上海)对于无穷数列 a j 与 b j ,记人=反除=2(1,n N ,B=x|x=bn,n N*,若同时满足条件：a/,也 均单调递增；A c B=。且 A U B=N*,则称 a j 与、是无穷互补数列.(1)若 a n=2 n-l,bn=4n -2,判断 a j 与 b j 是否为无穷互补数列，并说明理由;(2)若 a n=2 n 且 a j 与 是 无 穷

36、 互 补 数 列，求数量、的 前 1 6 项的和；(3)若 a n 与 b n 是无穷互补数列，晞 为等差数列且a i 6=3 6,求 a j 与 b j 的通项公式.【考点】数列的应用：数列的求和.【专题】新定义；转化思想；分析法；等差数列与等比数列.【分析】(1)a n 与 、不是无穷互补数列.由4阵 A,4轴，4 4 A U B=N*,即可判断；(2)由 a n=2 可得彻=1 6,a 5=3 2,再由新定义可得也6=1 6+4=2 0,运用等差数列的求和公式，计算即可得到所求和；(3)运用等差数列的通项公式，结合首项大于等于1,可得d=l 或 2,讨论d=l,2求得通项公式，结合新定义

37、，即可得到所求数列的通项公式.【解答】解：(1)a j 与 、不是无穷互补数列.理由：由 a n=2 n -1,b n=4n -2,可得 4&A,44B,即有46 A U B=N*,即有 a j 与 bn 不是无穷互补数列；(2)由 a n=2n,可得 3 4=1 6,3 5=3 2,由 an 与 b n 是无穷互补数列，可得b i6=1 6+4=2 0,即有数列 b n 的 前 1 6 项的和为(1+2+3+.+2 0)-(2+4+8+1 6)=L!也X 2 0-3 0=1 80；2(3)设 a j 为公差为d (d 为正整数)的等差数列且a i 6=3 6,则 a +l 5 d=3 6,由

38、 a i=3 6 -1 5 d l,可得 d=l 或 2,若 d=l,则 a i=2 1,an=n+2 0,bn=n (l W n W 2 0),与 a j 与 b n 是无穷互补数列矛盾，舍去；fn,n45右 d=2,则 a i=6,an=2 n+4,bn=.2n-5,n5综上可得，a n=2 n+4,bn=(n，”小 .2n-5,n5【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查运算和推理能力，属于中档题.2 3.(1 8 分)(2 0 1 6 上 海)已知 aR,函数 f (x)=l o g 2 (+a).x(1)当 a=l 时，解不等式f (x)1；(

39、2)若关于x的方程f (x)+l o g 2 (x 2)=0 的解集中恰有一个元素，求 a的值；(3)设 a 0,若对任意1 ,函数f(x)在区间 t,t+1 上的最大值与最小值的差2不超过1,求 a的取值范围.【考点】函数的最值及其几何意义；一元二次不等式；指、对数不等式的解法.【专题】分类讨论；转化思想；函数的性质及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用.【分析】当 a=l 时，不等式f(x)1化为：log(+1)1,因此工+12,解出2 X X并且验证即可得出.(2)方程 f (x)+l o g 2 (x2)=0 B P l o g 2 (+a)+l o g 2 (x2)=0,(+a)

40、x2=l,化为：a x2+xX X-1=0,对 a 分类讨论解出即可得出.(3)a 0,对任意te 1,1 ,函数f(x)在区间 t,t+1 上单调递减，由题意可得1。g 2 (y+a)-i o g e(-+a)W l,因此q+ta)(t+R W2,化为：(t),tG 1,1 ,利10g2kt+l t l+a(t+l)t2+t 2用导数研究函数的单调性即可得出.【解答】解：(1)当 a=l 时，不等式f(x)1化为：logo(+1)2 X，工+1 2,化为：工 1，解得O V x V l,X X经过验证满足条件，因此不等式的解集为：(0,1).(2)方程 f (x)+l o g 2 (x2)=

41、0 即 l o g 2 (+a)+l o g 2 (x2)=0,(+a)x2=l,化为：a x2+xX X-1=0,若 a=0,化为x-1=0,解得x=l,经过验证满足：关于x的方程f (x)+l o g2(x2)=0 的解集中恰有一个元素1.若 a W O,令=l+4a=0,解得a=-L,解得x=2.经过验证满足：关于x的方程f (x)+l o g 24(x2)=0 的解集中恰有一个元素1.综上可得：a=0 或-L.4(3)a 0,对任意te L,1 ,函数f(x)在区间 t,t+1 上单调递减，2,l o g2(y+a)-l o g2.(1+ta)(t+1),t l+a(t+l)化为：a

42、2印-L g ，1 ,t2+t 2,L、-(t2+t)-(1-t)(2 t+l)t2 2 t-1 (t-l)2-2(T-1)3g (t)=-=-=-、-)小于(2,p 是 q 成立的充分条件，而 r：x 3,也是q 成立的充分条件.必要条件：如果q 成立，那么p 成立，即q O p,或者如果p 不成立，那么q 一定不成立，也就是 若非p 则非q”,记作 p0 q ,这是就说条件p 是 q 的必要条件，意思是说条件p 是 q 成立的必须具备的条件.充要条件：如果既有p0 q ,又有q0 p ,则称条件p 是 q 成立的充要条件，或称条件q 是p 成立的充要条件，记作“pOq.2.从集合角度看概念

43、：如果条件p 和结论q 的结果分别可用集合P、Q 表示，那么p q ,相当于 P G Q .即：要使xW Q成立，只要X G P 就足够了-有它就行.q O p,相当于 P 2 Q ,即：为使x d Q 成立，必须要使x C P-缺它不行.p O q,相当于P=Q,即：互为充要的两个条件刻画的是同一事物.3.当命题 若p 则 q为真时，可表示为，则我们称p 为 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件.这里由，得出p 为 q 的充分条件是容易理解的.但为什么说q 是 p 的必要条件呢？事实上，与 等价的逆否命题是它的意义是：若 q 不成立，则 p 一定不成立.这就是说，q 对于p是必不可少的，所

44、以说q 是 p 的必要条件.4.充要条件”的含义，实际上与初中所学的 等价于 的含义完全相同.也就是说，如果命题 p 等价于命题q，那么我们说命题p 成立的充要条件是命题q 成立；同时有命题q 成立的充要条件是命题p 成立.【解题方法点拨】1.借助于集合知识加以判断，若 P U Q,则 P 是 Q 的充分条件，Q 是的P 的必要条件；若P=Q,则 P 与 Q 互为充要条件.2.等价法：P Q Q0 P”,即原命题和逆否命题是等价的；原命题的逆命题和原命题的否命题是等价的.3.对于充要条件的证明，一般有两种方法：其一，是用分类思想从充分性、必要性两种情况分别加以证明；其二，是逐步找出其成立的充要

45、条件用 连接.【命题方向】充要条件主要是研究命题的条件与结论之间的逻辑关系，它是中学数学最重要的数学概念之一，它是今后的高中乃至大学数学推理学习的基础.在每年的高考中，都会考查此类问题.3.函数的最值及其几何意义【知识点的认识】函数最大值或最小值是函数的整体性质，从图象上看，函数的最大值或最小值是图象最高点或最低点的纵坐标，求函数的最值一般是先求出极值在求出端点的值，然后进行比较可得.【解题方法点拨】_ _ _ _ _ _ 基本不等式法：如当x 0 时，求 2x+旦的最小值，有2x+爸2区.窿 8；转化法：如求lx-5 l+|x-3|的最小值，那么可以看成是数轴上的点到x=5和 x=3的距离之

46、和，易知最小值为2；求导法：通过求导判断函数的单调性进而求出极值，再结合端点的值最后进行比较.【命题方向】本知识点是常考点，重要性不言而喻，而且通常是以大题的形式出现，所以务必引起重视.本知识点未来将仍然以复合函数为基础，添加若干个参数，然后求函数的定义域、参数范围或者满足一些特定要求的自变量或者参数的范围.常用方法有分离参变量法、多次求导法等.4.反函数【知识点归纳】【定义】一般地，设函数y=f (x)(x e A)的值域是C,根据这个函数中x,y的关系，用y把 x表示出，得到x=g (y).若对于y 在中的任何一个值，通过x=g (y),x在 A中都有唯一的值和它对应，那么，x=g (y)

47、就表示y是自变量，x是因变量是y的函数，这样的函数 y=g (x)(x 6 C)叫做函数y=f (x)(x G A)的反函数，记作y=f *1*(x)反函数y=f d (x)的定义域、值域分别是函数y=f (x)的值域、定义域.【性质】反函数其实就是y=f (x)中，x和 y互换了角色(1)函数f (x)与他的反函数f T (x)图象关于直线y=x 对称；函数及其反函数的图形关于直线y=x 对称(2)函数存在反函数的重要条件是，函数的定义域与值域是一一映射；(3)一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；(4)大部分偶函数不存在反函数(当函数y=f (x),定义域是 0 且 f (x)=C

48、(其中C是常数)，则函数f (x)是偶函数且有反函数，其反函数的定义域是 C ,值域为 0).奇函数不一定存在反函数，被与y 轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数.若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数.(5)一切隐函数具有反函数；(6)一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性；(7)严格增(减)的函数一定有严格增(减)的反函数【反函数存在定理】：(8)反函数是相互的且具有唯一性；(9)定义域、值域相反对应法则互逆(三反)；(1 0)原函数一旦确定，反函数即确定(三定)(在有反函数的情况下，即 满 足(2).5.一元二次不等式【概念】含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不

49、等式叫做一元二次不等式.它的一般形式是 a x2+b x+c 0 或 a x2+b x+c 0 时 元二次方程a x2+b x+c=0 有两个实根，那么a x,b x+c 可写成a (x-X )(x-xj)当=b 2 -4 a c=0 时 一元二次方程a x+b x+c R 仅有实根，那么a x?+b x+c 可写成a (x-xi)2.当=b 2 -4 a c 0 时.一元二次方程a x2+b x+c=0 没有实根，那么a x2+b x+c 与 x 轴没有交点.【实例解析】例 1：一元二次不等式x2 x+6 的解集为.解：原不等式可变形为(x-3)(x+2)0所以，-2 x 3故答案为：(-2

50、,3).这个题的特点是首先它把题干变了形，在这里我们必须要移项写成ax2+bx+c0的形式;然后应用了特征当中的第一条，把它写成两个一元一次函数的乘积，所用的方法是十字相乘法；最后结合其图象便可求解.【高考趋势】这类题还是相当重要的，历年来都有很多省份在这个考点上出题，希望广大考生扎实基础，认真总结，一般选择题和填空题都是易拿分的题，争取全部拿下.6.简单线性规划【概念】线性规划主要用于解决生活、生产中的资源利用、人力调配、生产安排等问题，它是一种重要的数学模型.简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的线性规划,其最优解可以用数形结合方法求出.我们高中阶段接触的主要是由三个二元一次不等式组限