2017-2021年河南中考数学真题分类汇编之图形的变化.pdf

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1、2017-2021年河南中考数学真题分类汇编之图形的变化一.选 择 题（共8小题）1.（2021河南）如图是由8个相同的小正方体组成的几何体，其主视图是（）4.（2019河南）如图是由大小相同的小正方体搭成的几何体，将上层的小正方体平移后得到图.关于平移前后几何体的三视图，下列说法正确的是（）A.主视图相同B.左视图相同C.俯视图相同D.三种视图都不相同5.(2 0 1 9河南)如 图，在4。4 3 中，顶点 O(0,0),A (-3,4),f i (3,4),将0 4 8与正方形A B C。组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转9 0 ,则第7 0次旋转结束时,点。的坐标为（)(-3,1 0)

2、C.(1 0,-3)D.(3,-1 0)6.（2 0 1 8河南）将图中的小正方体沿箭头方向平移到图位置，下列说法正确的是（）A.图的主视图和图的主视图相同B.图的主视图与图的左视图相同C.图的左视图与图的左视图相同D.图的俯视图与图的俯视图相同7.（2 0 2 1河南）如图，n OA B C的顶点O（0,0）,A （1,2）,点C在x轴的正半轴上，延长8 4交y轴于点 .将 OD4绕点。顺时针旋转得到0。A,当点。的对应点落在0 4上时，D A 的延长线恰好经过点C,则点C的坐标为（）A.（2 ,0）B.（2旄，0）C.（2百 H,0）D.（2泥+1,0）8.（2017河南）如图，在横格作业

3、纸（横线等距）上画一条直线，与横格线交于A,B,C三点，则 BC：AC等 于（）填 空 题（共 6 小题）9.（2017河南）如图，在等边三角形A8C中，点 M 为 边 的 中 点，点 N为边AB上的任意 一 点（不与点A,8 重合），若点8 关于直线M N的对称点片恰好落在等边三角形A B C的边上，则B N的长为 cm.10.（2017河南）如图，在ABC中，A8=8,A C=1 2,。为 A 8 的中点，点 E 为 CD上一点，若四边形AG M 为正方形（其中点尸,G分别在AC,AB上），则BEC的面积为.11.小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如 图 1,在 RtaABC中，ZACB

4、=90 ,Z B=30,A C=1.第一步，在 A 8边上找一点。，将纸片沿C。折叠，点 A 落在次处，如图 2；第二步，将纸片沿C 4 折叠，点。落在。处，如图3.当点。恰 好落在原直角三角形纸片的边上时，线段A D 的长为.1 2.（2 0 1 9 河南）如图，在矩形 中，A B=1,B C=a，点 E在边 B C 上，S.BE=-ci.连接A E,将AABE沿A E折叠，若 点 8的对应点B 落在矩形A B C D的边上，则a的值为_ _ _ _ _ _ _.1 3.（2 0 1 8 河南）如图，在矩形A 8 C D 中，点 E为AB的中点，点 F 为射线AO 上一动点，A 所与关于E

5、F 所在直线对称，连接AC,分别交E4、E F 于点、M、N,AB=2,A D=2.若 E M N 与4 ：/相似，则A 尸的长为.D I-1 4.（2 0 1 7 河南）如图，在 Rt ZA 8 C 中，ZA=9 0 ,AB=AC,B C=J 1,点、M,N 分别是边B C,A3上的动点，沿 M N 所 在 的 直 线 折 叠 使 点 B的对应点3始终落在边AC 上，若MB C 为直角三角形，则的长为.三.解 答 题（共 6 小题）1 5.（2 0 2 1 河南）开凿于北魏孝文帝年间的龙门石窟是中国石刻艺术瑰宝，卢舍那佛像是石窟中最大的佛像.某数学活动小组到龙门石窟景区测量这尊佛像的高度.如

6、图，他们选取的测量点A与佛像8。的底部。在同一水平线上.已知佛像头部BC为 4 m,在 A处测得佛像头顶部B的仰角为45 ,头底部C的仰角为37.5 ,求佛像8。的 高 度（结果精确到 O.b n.参考数据:s i n 37.5 -0.61,co s 37.5 比0.79,t a n 37.5 -0.77）.16.（20 19河南）数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像（塑像中高者）的高度.如图所示，炎帝塑像。E在高55机的小山EC上，在 A处测得塑像底部E的仰角为34 ,再沿AC方向前进21机到达8 处，测得塑像顶部。的仰角为60 ,求炎帝塑像。E的高度.（精确到 1%参考数据：s i n

7、 34 弋0.56,co s 340 =0.83,t a n 34 -0.67,遍 七 1.73）17.（20 18河南）20 18年 5 月 1 3 日清晨，我国第一艘自主研制的0 0 1A 型航空母舰从大连造船厂码头启航，赴相关海域执行海上试验任务已知舰长8 0约 30 6办 航母前端点E到水平甲板B D的距离D E为6m,舰岛顶端A到B D的距离是A C,经测量,N B A C=71.6,N E 4 c=80.6,请计算舰岛AC的高度.（结果精确到13参考数据：s i n 71.6 -0.95,co s 71.6 0.32,t a n 71.6 -3.0 1,s i n 80.6 -0.

8、99,co s 80.6 =0.16,t a n 80.6 -6.0 4)-十福-AA18.(20 20 河南)位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一.某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度.如图所示，他们在地面一条水平步道MP上架设测角仪，先在点M 处测得观星台最高点A的仰角为22 ,然后沿MP方向前进16?到达点N处，测得点A的仰角为45 .测角仪的高度为1.6?.(1)求观星台最高点A距离地面的高度(结果精确到0.1，.参考数据：s i n 22七0.37,co s 22 弋0.93,t a n 22 -0.40,亚 如 1.4

9、1)；(2)“景点简介”显示，观星台的高度为126”.请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议.19.(20 19河南)在 A 8C 中，C A =C 8,N A C 8=a.点 P是平面内不与点A,C重合的任意一点.连接A P,将线段AP绕点尸逆时针旋转a得到线段。P,连接A O,BD,CP.(1)观察猜想如 图 1,当 a=6 0 时，毁的值是，直 线 与 直 线 C P相交所成的较小角的度CP数是.(2)类比探究如图2,当 a=9 0。时，请写出世的值及直线8。与直线C P 相交所成的较小角的度数,CP并就图2的情形说明理由.(3)解决问题当 a=9 0 时，若点E,F分

10、别是CA,C B的中点，点 P在直线E F 上，请直接写出点C,P,。在同一直线上时也的值.CP图1图2 备用图2 0.（2 0 1 7河南）如图 1,在 Rt Z XA B C 中，Z A=9 0 ,A B=A C,点。，E 分别在边 A 8,AC 上，A D=A E,连接。C,点 M,P,N 分别为Q E,DC,BC 的中点.（1）观察猜想：图 1 中，线段PM 与 PN 的数量关系是,位置关系是;（2）探究证明：把 A CE 绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接M M BD,CE,判断 P M N 的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把 4 O E 绕点A在平面内自由旋转，若 A =4

11、,A B=1 0,请直接写出 P M N 面积的最大值.2017-2021年河南中考数学真题分类汇编之图形的变化参考答案与试题解析选 择 题（共8小题）1.（2021河南）如图是由8个相同的小正方体组成的几何体，其主视图是（）【专题】投影与视图；空间观念.【分析】将图形分成三层，从上而下第一层主视图为一个正方形，第二层主视图为两个正方形，第三层主视图为三个正方形，且左边是对齐的.【解答】解：该几何体的主视图有三层，从上而下第一层主视图为一个正方形，第二层主视图为两个正方形，第三层主视图为三个正方形，且左边是对齐的.故 选:A.【点评】本题主要考查三视图的定义，在理解三视图的基础上，还要有较强的

12、空间想象能力.2.（2020河南）如图摆放的几何体中，主视图与左视图有可能不同的是（）A.S B.A C.D.S【考点】简单几何体的三视图.【专题】投影与视图；几何直观.【分析】分别确定每个几何体的主视图和左视图即可作出判断.【解答】解：A、主视图和左视图是长方形，一定相同，故本选项不合题意；8、主视图和左视图都是等腰三角形，一定相同，故选项不符合题意；C、主视图和左视图都是圆，一定相同，故选项不符合题意；。、主视图是长方形，左视图是可能是正方形，也可能是长方形，故本选项符合题意;故选：D.【点评】本题考查了简单几何体的三视图，确定三视图是关键.【考点】由三视图判断几何体.【分析】左视图是从左

13、边看到的，据此求解.【解答】解：从左视图可以发现：该几何体共有两列，正方体的个数分别为2,1,D不符合，故选：D.【点评】考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是了解该几何体的构成，难度不大.4.（2019河南）如图是由大小相同的小正方体搭成的几何体，将上层的小正方体平移后得到图.关于平移前后几何体的三视图，下列说法正确的是（）/正 面图 图A.主视图相同 B.左视图相同C.俯视图相同 D.三种视图都不相同【考点】简单组合体的三视图；平移的性质.【专题】投影与视图.【分析】根据三视图解答即可.【解答】解：图的三视图为：主视图 左视图 俯视图BID rB 吁图的三视图为：主视图 左视图 俯视

14、图故选：C.【点评】本题考查了几何体的三视图，解题的关键是学生的观察能力和对几何体三种视图的空间想象能力.5.(2 0 1 9河南)如 图，在0 A 8 中，顶点 O(0,0),A (-3,4),B (3,4),将。4 8与正方形A B CD组成的图形绕点。顺时针旋转，每次旋转9 0 ,则第70次旋转结束时，点。的坐标为()A.(1 0,3)B.(-3,1 0)C.(1 0,-3)D.(3,-1 0)【考点】坐标与图形变化-旋转：规律型：点的坐标.【专题】平移、旋转与对称.【分析】先求出A B=6,再利用正方形的性质确定)(-3,1 0),由 于7 0=4 X 1 7+2,所以第7 0次旋转结

15、束时，相当于 O A B与正方形A B C D组成的图形绕点。顺时针旋转2次，每次旋转90 ,此时旋转前后的点。关于原点对称，于是利用关于原点对称的点的坐标特征可得到旋转后的点。的坐标.【解答】解：(-3,4),B(3,4),.A8=3+3=6,.四边形ABC。为正方形,：.AD=AB=6,：.D(-3,10),V70=4X 17+2,.每4次一个循环，第70次旋转结束时，相当于OAB与正方形A B C D组成的图形绕点。顺时针旋转2次，每次旋转90,二点。的坐 标 为（3,-10）.故选：D.【点评】本题考查了坐标与图形变化-旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后

16、的点的坐标.常见的是旋转特殊角度如：30,45,60,90,180.6.（2018河南）将图中的小正方体沿箭头方向平移到图位置，下列说法正确的是（）A.图的主视图和图的主视图相同B.图的主视图与图的左视图相同C.图的左视图与图的左视图相同D.图的俯视图与图的俯视图相同【考点】简单组合体的三视图；平移的性质.【专题】投影与视图.【分析】根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、侧面和上面看所得到的图形,得出图、图的三视图即可.【解答】解：找到图、图从正面、侧面和上面看所得到的图形，可知图的主视图与图的左视图相同，图的左视图与图的主视图相同.故选：B.【点评】本题主要是从比较图、图来考查物体的三

17、视图，难度一般.7.（2021河南）如图，O04BC的顶点0（0,0）,A（1,2）,点 C 在 x 轴的正半轴上，延长 BA交y 轴于点D 将OD4绕点。顺时针旋转得到0。A,当点。的对应点。落在OA上时，D A 的延长线恰好经过点C,则点C 的坐标为（）A.（2仃 0）B.（2泥，0）C.（2百 H,0）D.（2泥+1,0）【考点】旋转的性质；坐标与图形性质；平行四边形的性质.【专题】多边形与平行四边形：运算能力.【分析】延长A D 交 y 轴于点E,延长。A,由题意O A 的延长线经过点C,利用点A 的坐标可求得线段A。，OD,OA的长，由题意：OA D 丝O A O,可得对应部分相等；

18、利用O。J_A E,OA平分NA O E,可得4 O E为等腰三角形，可得O E=O A=近，ED=A D=1；利用OE。A C O,得到比例式可求线段O C,则点C 坐标可得.【解答】解：延长A D 交 y 轴于点E,延长。A,由题意。A 的延长线经过点：.A D=,OD=2,O/1=VAD2-H3D2=712+22=V 5-由题意：X O N D,四04。，D=AD=1,OA=OA=疾,OD=OD=2,Z A1 D O=ZADO=90,Z A OD=4 D 0 D.则 OD _LA E,OA 平分NA OE,.4 0 E为等腰三角形.：.O E=OA=泥，E D1=A O =1.：EOOC

19、,OD _ L E C,J.OED s/CEO.E D，二E O 0 Dy O C.1后：.OC=2 娓.：.C（2娓,0）.故选：B.【点评】本题主要考查了旋转的性质，平行四边形的性质，坐标与图形的性质，三角形相似的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度和利用线段的长度表示相应点的坐标是解题的关键.8.（2 0 1 7河南）如图，在横格作业纸（横线等距）上画一条直线，与横格线交于A,B,CA.2：3 B.2：5 C.3：4 D.3：5【考点】平行线分线段成比例.【专题】线段、角、相交线与平行线.【分析】根据已知图形构造相似三角形，进而得出A B Qs/v i C E,【解答】解：如图所

20、示：过点A作平行线的垂线，交点分别为。，E,：.BC：A C=3：4,故选：c.【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，根据题意构造ABQS/XACE是解题关键.二.填 空 题（共6小题）9.（2017河南）如图，在等边三角形ABC中，A B=2 0 p n,点 M 为边B C 的中点，点 N为边AB上的任意一点（不与点A,8 重合），若点B 关 于 直 线 的 对 称 点 8 恰好落在等边三角形A B C的边上，则B N的长为返 或，打 a”.【考点】轴对称的性质.【专题】平移、旋转与对称.【分析】如 图 1，当点8 关于直线M N的对称点后恰好落在等边三角形A B C的边A B上时，于是得

21、到MN AB,B N=B N,根据等边三角形的性质得到=AC=8C,NA8C=60,根据线段中点的定义得到BN=2BM=返，如图2,当点8 关于直线MN的对称2 2点 8恰好落在等边三角形A8C的边A,C 上时，则,四边形BMB N 是菱形，根据线段中点的定义即可得到结论.【解答】解：如 图 1,当点8 关于直线MN的对称点夕恰好落在等边三角形ABC的边AB上时，则 MNA.AB,B N=B N ,/ABC是等边三角形，：.AB=AC=BC,ZABC=60,；点 M 为边8 c 的中点，8 c=工 8=,2 2:.BN=LBM=,2 2如图2,当点3 关于直线的对称点恰好落在等边三角形4B C

22、的边A,C 上时，则,四边形BMB N 是菱形，.,/ABC=60,点 M 为边8 c 的中点，.BN=BM=2BC=X1B=,2 2故答案为：返 或 立.2【点评】本题考查了轴对称的性质，等边三角形的性质，菱形的判定和性质，分类讨论是解题的关键.10.（2017河南）如图，在ABC中，A8=8,AC=12,。为A 8的中点，点E为CD上一点，若四边形AGEF为正方形（其中点E G分别在A C A 8上），则BEC的面积为J【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质.【专题】矩 形 菱 形 正 方 形；图形的相似.【分析】由题意可得：EF/AG,A F=E F=E G=A G,4 0=0 8

23、=4,即可证 C EFs4C D A,可 得 里0,即 迎J 2-A F,可求A F=3,即可求回（7的面积.A D A C 4 12【解答】解：.四边形AGEF是正方形J.EF/AG,A F=E F=E G=A G.点。是A B中点：.D B=A D=1 A B=42,JEF/AG:.CEFs/CDAEFADAF4C FA C.12-A F12A F=3:S/、B C E=SMBC-S1ACD-SABDEA SABC=X8X 12-A x 12X4-工,将纸片沿8折叠，点 4 落在W处，如图 2；第二步，将纸片沿C4折叠，点。落在。处，如图3.当点。恰好落在原直角三角形纸片的边上时，线段A

24、D 的长为 工 或 2-、值.【考点】翻折变换（折叠问题）；含 30度角的直角三角形.【专题】操作型；等腰三角形与直角三角形；运算能力.【分析】分两种情形解答：点。恰好落在直角三角形纸片的AB边上时，由题意：A D C A DC/A D C,则N。A C=/DA C=NA=60,A C=AC=1；A c 垂直平分线段m；利用5强（;承，改=和磔，可求得5则 4 E=AC-C E,解直角三角形A D E 可求线段A D；点。恰好落在直角三角形纸片的 8c 边上时，由题意：AOC丝D C 9 X N D C,则/。A C=A D A C=ZA=60,A C=A C=,Z A C D=Z A C D

25、=ZA CD=NACB=30:在 Rt3A D C 中，利用3 0 所对的直角边等于斜边的一半可得结论.【解答】解：点。恰 好落在直角三角形纸片的A 8边上时，设 A C 交 AB边于点E,如图，B由题意：A D C 2 X N DC/A D C,A C垂直平分线段。O.则N Q A C=Z D A C=ZA=60 ,A1 C=A C=1.V Z A C B=90 ,Z B=30,AC=,.B C=A U t a nA =l X t a n6 0。=西AB=2AC=2,.11 SABC 而AOBC 或ABCE/.C E=.2_.A,E=A C-C E=1-返.2在 RtZAE 中，V c o

26、s Z ,A E=,A D .A E 1”，A D 2；.A，D=2A E=2 -5/3.点。恰 好落在直角三角形纸片的8 c边上时，如图,由题意：ADC/A DC/A D C,Z A C D=Z A C D=Z A CD=Z A C B3=30；则/O 4 C=N D A C=N A=6 0 ,A C=A C=1.：ZD A C=6 0,ZA CD=30,./A D C=90,.A D=iz C=x 1 =-2 2 2综上，线段A D 的长为：工 或2-b.2故答案为：工 或2-2【点评】本题主要考查了翻折问题，含3 0 角的直角三角形，直角三角形的边角关系，特殊角的三角函数值，全等三角形的

27、性质.翻折属于全等变换，对应部分相等，这是解题的关键，当点。恰好落在直角三角形纸片的边上时，要注意分类讨论.12.（2019河南）如图，在矩形A B C O中，AB=1,8 C=a,点E在边8 C上，且8?=旦”.连5接A E,将4 4 8 6沿A E折叠，若点8的对应点8 落在矩形4 B C C的边上，则 的值为【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质.【专题】平移、旋转与对称.【分析】分两种情况：点8 落在A O边上，根据矩形与折叠的性质易得A 8=8 E,即可求出”的值；点B 落在CZ）边上，证明AOB/B CE,根据相似三角形对应边成比例即可求出a的值.【解答】解：分两种情况：当点8

28、落在A O边上时，如 图1.四边形A 8 8是矩形，；.NBAD=NB=90 ,.将A A B E沿A E折叠，点B的对应点B 落在A O边上，；.NBAE=/B AE=AZBAD=45,2.AB=BE,5；3当点 落在C O边上时，如图2.四边形ABC。是矩形，:./B A D=NB=NC=ND=90,AD=BC=a.将ABE沿 AE折叠，点 B 的对应点8 落在CD边上，：.Z B=Z A B E=90,AB=AB=1,EB=EB=&,5夕=加 A2-A D 2=V T 7,E C=B C-B E=a-la=Z a.在A O B 与CE 中，AD=NEB C=90-N A B T,IZD=

29、ZC=90:.AADB s 丛B CE,DB=AB即 1 c T FT、2 a 3 a 5 a 5 a解得.2=-Y G （舍去）.3 3综上，所求”的值为反或逅._ 3 3故答案为5 或 返.3 3图2【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等.也考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质.进行分类讨论与数形结合是解题的关键.13.（2018河南）如图，在矩形ABC。中，点 E 为 AB的中点，点尸为射线A。上一动点，A E F与AEF关于E F 所在直线对称，连接A C,分别交E A、E F于点M、N,

30、AB=2 ,A O=2.若EMN与AEF相似，则4尸的 长 为 1或 3【考点】相似三角形的性质；矩形的性质；轴对称的性质.【专题】矩形菱形正方形.【分析】分两种情形当EM_LAC时，丛E M N s 丛E A F.当 ENJ_AC时，X E N M sE A F,分别求解.【解答】解：当EM_LAC时，A E M N s E A F,；四边形A8C。是矩形，：.AD=BC=2,ZB=90,，tanNCAB=坨=返，AB./CAB=30,：.Z A E M=6 0Q,A ZAF=30,.AF=AEtan30 当 ENJ_AC时，3=正 退=1,3 ENMsAEAF,可得 AF=4Etan60=

31、3,【点评】本题考查翻折变换，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.14.（2017河南）如图，在 RtZXABC 中，ZA=90,AB=AC,B C=1,点、M,N 分别是边BC,4 8 上的动点，沿 MN所在的直线折叠N B,使点B 的对应点B 始终落在边A C上，若M B C为直角三角形，则 M的长为 1行+工或12 2【考点】翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形.【分析】如图1，当NB M C=9 0 ,B 与A重合，M是B C的中点，于是得到结论;如图2,当NMB C=9 0 ,推出 C M B是等腰直角三角形，得 到C M=通 历 夕，列方

32、程即可得到结论.【解答】解：如图1,当/B MC=90,B 与A重合，M是B C的中点，.B M=AB C=A J 2+A；2 2 2如图2,当NMB C=9 0。，：/A=9 0 ,ABAC,A ZC=4 5 ,是等腰直角三角形，.沿MN所在的直线折叠NB,使点8的对应点8,：.BM=B M,:.C M=B M,V BC=V 2 4-1,C M+B M=&B M+B M=y 1,综上所述，若M 3,C为直角三角形，则3M的 长 为 工 技 工 或1,2 2故答案为：工 技 工 或1.2 2BA【点评】本题考查了翻折变换-折叠问题，等腰直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键.三.解 答

33、题（共 6 小题）15.（2021河南）开凿于北魏孝文帝年间的龙门石窟是中国石刻艺术瑰宝，卢舍那佛像是石窟中最大的佛像.某数学活动小组到龙门石窟景区测量这尊佛像的高度.如图，他们选取的测量点A 与佛像BD的底部。在同一水平线上.已知佛像头部BC为 4加，在 A 处测得佛像头顶部B 的仰角为45,头底部C 的仰角为37.5,求佛像BO的 高 度（结果精确到 0.1%参考数据：sin37.5 弋0.61,cos37.5 M).79,tan37.5 0.77).【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题.【专题】应用题；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力.【分析】根据tan/D 4C=JS=ta

34、n37.5 M）.7 7,列出方程即可解决问题.AD【解答】解：根据题意可知：NZM8=45,：.BD=AD,在 Rt/XADC 中，DC=BD-BC=（AD-4）in,ZDAC=31.5,V tanZ D A C=-,AD，t a n3 7.5 =A 0.7 7,AD解得 A D*1 7.4 m,：.BD=AD1Am,答：佛像的高度约为1 7.4/.【点评】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用构建方程的思想思考问题.1 6.（2 0 1 9 河南）数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像（塑像中高者）的高

35、度.如图所示，炎帝塑像。E 在高55的小山E C上，在 4处测得塑像底部E 的仰角为34 ,再沿A C方向前进2 1 机到达8 处，测得塑像顶部。的仰角为60 ,求炎帝塑像OE 的高度.（精确到 m.参考数据：sin 34 弋0.56,cos34 g 0.83,t a n 34 弋0.67,巡 弋 1.7 3）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题.【专题】解直角三角形及其应用.【分析】由三角函数求出A C=四-82.1 相，得 出 B C=A C-4 8=61.1 相，在 R t 4tan34BC。中，由三角函数得出C =BC Q 1 0 5.7 3即可得出答案.【解答】解：ZACE=90

36、,N C AE=34 ,CE=55m,.tanZC A=,AC.AC=-=-82.1/n,tan34 0.67：AB=2m,：.BC=AC-AB=6Am,在 中，t a n 60 0 =型=百，BCA C Z）=V 3 B C 1.7 3X 61.1 1 0 5.7/T?,：.D E=C D -E C=1 0 5.7 -55g 51 根，答：炎帝塑像OE 的高度约为51?.【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角和俯角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解，难度适中.1 7.（2 0 1 8河南）2 0 1 8年 5 月 1 3 日清晨，我国第一艘自主研制的0 0 L 4

37、 型航空母舰从大连造船厂码头启航，赴相关海域执行海上试验任务已知舰长8。约 30 6如 航母前端点E 到水平甲板B D的距离OE 为 6?,舰岛顶端A到B D的距离是AC,经测量，/8AC=7 1.6,N E4 C=80.6,请计算舰岛A C的高度.（结果精确到1 处 参考数据：sin 7 1.630.9 5,cos7 1.6 七0.32,t a n 7 1.6 g 3.0 1,sin 80.6 g 0.9 9,cos80.6 七0.1 6,t a n 80.6 6.0 4）【专题】解直角三角形及其应用.【分析】设 A C=x m.作 E H LA C于 H,则 四 边 形 是 矩 形.根 据

38、 8 0=3 0 6,构建方程即可解决问题.【解答】解：设 A C=x，.作 E，_ L AC 于”，则四边形E/C O 是矩形.：BD=3 06m,/.3.0 1 X+6.0 4 （x-6）=30 6,解 得:x=38,答：岛A C的高度为38米.【点评】本题考查解直角三角形的应用，具体的关键性学会添加常用辅助线构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型.1 8.（2 0 2 0 河南）位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一.某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度.如图所示，他们在地 面 一 条 水 平 步 道 上 架 设 测 角 仪

39、，先在点例处测得观星台最高点A 的仰角为22 ,然 后 沿 方 向 前 进 16 机到达点N 处，测得点A 的仰角为4 5 .测角仪的高度为1 6”.（1）求观星台最高点A 距离地面的高度（结果精确到0.b n.参考数据：s i n 22。=0.3 7,co s 22 g0.9 3,t an 22 七0.4 0,&七 1.4 1）；（2）“景点简介”显示，观星台的高度为126”.请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议.【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题.【专题】解直角三角形及其应用；应用意识.【分析】（1）过 A 作A D 1.P M于D,延长B C交 A O于E,则四

40、边形B M N C,四边形B M D E是矩形，于是得到 B C=M N=1 6 m,D E=C N=B M=1.6 m,求得 C E=A E,设 A E=C E=x,得到BE=16+x,解直角三角形即可得到结论；（2）建议为：为了减小误差可以通过多次测量取平均值的方法.【解答】解：（1）过 A 作于。，延长8c 交 40 于 E,则四边形B M N C,四边形B M D E是矩形，:.BC=MN=16m,D E=C N=B M=1.6 m,VZ A C=9 0 ,Z A C E=4 5 ,.AC E 是等腰直角三角形，：.CE=AE,设 AE=CE=x,B E 16+x,V ZABE=22,

41、：.AE=BEan22o,即 x=(16+x)X0.4 0,.,.X5 1 0.7（772）,.AD=10.7+1.6=12.3 (m),答：观星台最高点A 距离地面的高度约为12.3 加(2).“景点简介”显示，观星台的高度为12.6m,本次测量结果的误差为12.6 -12.3=0.3 (w),减小误差的合理化建议为：为了减小误差可以通过多次测量取平均值的方法.M N P D【点评】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形.19.(2019 河南)在 4 BC 中，CA=CB,N A C B=a.点 P是平面内不与点A,C重合的任意一点.连接

42、A P,将线段A P绕点P逆时针旋转a 得到线段OP,连接A。，BD,CP.(1)观察猜想如 图 1,当 a=6 0 时，毁 的 值 是 1 ,直线8。与直线CP相交所成的较小角的度数C P是 6 0。.(2)类比探究如图2,当 a=9 0。时，请 写 出 毁 的 值 及 直 线 与 直 线 C P 相交所成的较小角的度数，C P并就图2 的情形说明理由.(3)解决问题当 a=9 0 时，若点E,F分别是C 4,的中点，点尸在直线EF上，请直接写出点C,P,。在同一直线上时延的值.C P【考点】相似形综合题.【专题】几何综合题.【分析】(1)如 图 1中，延长CP交 8。的延长线于E,设 AB

43、交 EC于点0.证明CAP会BAO(.SA S),即可解决问题.(2)如图2 中，设 3。交 AC于点0,8 0 交 PC于点E.证明D 4Bs%c,即可解决问题.(3)分两种情形：如图3-1中，当点。在线段PC上时，延长4。交 BC的延长线于H.证明AO=)C 即可解决问题.如图3-2 中，当点P 在线段 8 上时，同法可证：OA=Z)C解决问题.【解答】解：(1)如 图 1 中，延长C尸交8力的延长线于E,设 AB交 EC于点0.图1,：ZPAD ZCAB=60,：.ZCAPZBAD,：CA=BA,PADA,.CAP丝BAO(SAS),：.PC=BD,ZACPZABD,：NAOC=NBOE

44、,：.ZBEO=ZCAO=60,.段=1,直线8。与直线C P相交所成的较小角的度数是60,PC故答案为1.60.(2)如图2中，设BO交AC于点O,8D交PC于点E.图2,：ZPAD=ZCAB=45a,：.ZPAC=ZDAB,.迪=地=&,AC AP:.DABS/PAC,：.ZPCA=ZDBA,BD=M=A/2PC ACNEOC=ZAOB,：.ZCEO=ZOAB=45,二直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数为45.(3)如图3-1中，当点。在线段PC上时，延 长 交BC的延长线于巴H,:CE=EA,CF=FB,：.EF/AB,：.ZEFC=ZABC=45,/%。=45,NPAO=/OFH

45、,：4P0A=4F0H,NH=NAPO,V ZAPC=90,EA=EC,：.PE=EA=EC,：.ZEPA=ZEAP=/BAH,:.N H=/B A H,V ZADP=ZBDC=45,A ZADB=90,：.BDAHf：.ZDBA=ZDBC=22.5,V ZADB=ACB=90,A,D,C,8 四点共圆，ZDAC=ZDBC=22.5,ZDCA=ZABD=22.5,：.ZDAC=ZDCA=22.5,：.D A=D C,设 4。=。，则 OC=AO=a,P D=J2a,解法二：在 RtAR4Z）中，E 是 AC的中点,:.PE=EA=EC,：.ZEPC=ZECP,/CE产=45=NEPC+/ECP

46、,：.ZEPC=ZECP=22.5,VZPDA=45=ZACD+ZDAC,：.ZDAC=22.5,：.AD=DC,设尸。=m 则 A O=Z X 7=&a,.包_=岭=2-我CP a+/2如图3-2中，当点P在线段CD上时，同法可证：D A=D C,设 A =，则。=AO=a,P D=H a,2【点评】本题属于相似形综合题，考查了旋转变换，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题.2 0.(2 0 1 7 河南)如图 1,在 R t/X A B

47、C 中，N A=9 0 ,AB=AC,点。，E 分别在边 A 8,AC上，A D=A E,连接。C,点 M,P,N分别为Z)E,DC,BC的中点.(1)观察猜想：图 1 中，线段PM与 PN的数量关系是 P M=P N,位置关系是 P ML P N；(2)探究证明：把 A O E 绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MM BD,CE,判断P A/N 的形状，并说明理由；(3)拓展延伸：把绕点A在平面内自由旋转，若 A O=4,A B=1 0,请直接写出 P M N 面积的最大值.EB N C B N c图1图2【考点】几何变换综合题.【专题】综合题.【分析】（1）利用三角形的中位线得出PM=

48、CE,P N=LBD,进而判断出8O=CE,2 2即可得出结论，再利用三角形的中位线得出P例CE得出NDPM=NDC4,最后用互余即可得出结论；（2）先判断出448。丝/4比,得 出BD=CE,同（1）的方法得出P M=LBD,P N=1BD,2 2即可得出PM=PN,同（1）的方法即可得出结论：（3）方 法1、先判断出MN最大时，的面积最大，进而求出AN,A M,即可得出MN最大=AM+AN,最后用面积公式即可得出结论.方法2、先 判 断 出 最 大 时，PMN的面积最大，而B。最大是AB+AZ）=1 4,即可.【解答】解：（1）:点P,N是BC，CD的中点，：.PN/BD,P N=LD,2

49、:点P,M是C,OE的中点，J.PM/CE,P M=LCE,2：AB=AC,AD=AE,：.BD=CE,：.PM=PN,：PN/BD,：.ZDPN=ZADC,：PM/CE,：.NDPM=NDCA,V ZBAC=90 ,A ZADC+ZACD=90,二 NMPN=ZDPM+ZDPN=N3C4+NADC=90,.,.PM1.PN,故答案为：PM=PN,PMPN,（2）PMN是等腰直角三角形，理由如下：由旋转知，ZBAD=ZCAE,：AB=AC,AD=AE,：./ABD/ACE（SAS）,；.NABD=NACE,BD=CE,同（i）的方法，利用三角形的中位线得，PN=XBD,PM=1.CE,2 2：

50、.PM=PN,.PMN是等腰三角形，同（1）的方法得，PM/CE,：.ZDPM=/DCE,同（1）的方法得，PN/BD,：.ZPNC=ZDBC,：NDPN=/DCB+/PNC=ZDCB+ZDBC,：.NMPN=NDPM+NDPN=NDCE+NDCB+NDBC=ZBCE+ZDBC=ZACB+ZACE+ZDBC=ZACB+ZABD+ZDBC=ZACB+ZABC,ZBAC=90,：.ZACB+ZABC=90,；.NMPN=90,.PMN是等腰直角三角形，（3）方法1、如图2,同（2）的方法得，PMN是等腰直角三角形,.MN最大时，PMN的面积最大，J.DE/BC且DE在顶点A上面，最大=AM+AN,