2017-2021年浙江中考数学真题分类汇编之图形的变化.pdf

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1、2017-2021年浙江中考数学真题分类汇编之图形的变化一.选 择 题（共 14小题）1.（2020绍兴）将如图的七巧板的其中几块，拼成一个多边形，为中心对称图形的是（）C.A.2.（2020恩施州）如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图为（）4.（2021宁波）如图所示的几何体是由一个圆柱和一个长方体组成的，它的主视图是（）主视方向A.B.C.I J D.I 5.(2020嘉兴)如图，在直角坐标系中，OAB的顶点为0(0,0),A(4,3),5(3,0).以点O为位似中心，在第三象限内作与OAB的位似比为上的位似图形OCO,则点C的6.(2020台州)如 图，把4BC先向右平移

2、3个单位，再向上平移2个单位得到则顶点C(0,-1)对应点的坐标为()=z p.当AC平分/B A C 时，N a与N B满足的数量关系是()DA.Z a=2 Z pB.2 Z a=3 Z pC.4Z a+Z p=180D.3Za+2Zp=1808.（2021 温州）直六棱柱如图所示，它的俯视图是（）A.9.（2021绍兴）如图，树 4 8 在路灯。的照射下形成投影A C,已知路灯高产。=5根，树影A C=3 m,树 A 8与路灯。的水平距离A P=4.5m,则树的高度AB长 是（）A.2m B.3m C.m D.-m2 310.（2020绍兴）如图，等腰直角三角形ABC中，ZA BC=9 0

3、 ,B A=B C,将 BC绕点3顺时针旋转9（0 0中，E为B C上一点，尸 为 延 长 线 上 一 点，N B F E=N A.若BF=4,B E=3,求 A Z)的长.【拓展提高】(3)如图3,在菱形A B C Q中，E是A 8上一点，F是 A B C内一点，EF/AC,AC=2EF,Z E D F=Z B A D,A E=2,D F=5,求菱形 A B C 的边长.2图1图2图32017-2021年浙江中考数学真题分类汇编之图形的变化参考答案与试题解析一.选 择 题（共14小题）1.（2020绍兴）将如图的七巧板的其中几块，拼成一个多边形，为中心对称图形的是（）【考点】中心对称图形；七

4、巧板；多边形.【专题】平移、旋转与对称；儿何直观.【分析】根据中心对称的定义，结合所给图形即可作出判断.【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；8、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；。、是中心对称图形，故本选项符合题意.故选：D.【点评】本题考查了中心对称图形的特点，属于基础题，判断中心对称图形的关键是旋转180后能够于原图形重合.2.（2020恩施州）如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图为（）主视方向，【考点】简单组合体的三视图.【专题】投影与视图；几何直观.【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都

5、应表现在主视图中.【解答】解：从正面看易得第一列有2个正方形，第二列底层有1个正方形.故选：A.【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图.3.（2021衢州）如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图为（）从正面看HB【考点】简单组合体的三视图.【专题】投影与视图；空间观念.【分析】根据主视图的意义，从正面看该组合体所得到的图形进行判断即可.【解答】解：从正面看该组合体，所看到的图形与选项A中的图形相同，故选：A.【点评】本题考查简单组合体的主视图，理解视图的意义，掌握三视图的画法是正确判断的前提.4.（2021宁波）如图所示的几何体是由一个圆柱和一个长方体组

6、成的，它的主视图是（）主视方向C.I D.I【考点】简单组合体的三视图.【专题】投影与视图；空间观念.【分析】根据主视图是从正面看得到的视图，可得答案.【解答】解：从正面看，底层是一个比较长的矩形，上层中间是一个比较窄的矩形.故选：C.【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是正视图，注意圆柱的主视图是矩形.5.(2020嘉兴)如图，在直角坐标系中，OAB的顶点为O(0,0),A(4,3),B(3,0).以点 O 为位似中心，在第三象限内作与OAB的位似比为工的位似图形OCD,则点C 的3坐 标 为()A.(-1,-1)B.(-A,-1)C.(-1,-A)D.(-2,-1)3

7、3【考点】位似变换；坐标与图形性质.【专题】图形的相似；应用意识.【分析】根据关于以原点为位似中心的对应点的坐标的关系，把 A 点的横纵坐标都乘以-工即可.3【解答】解：.以点O 为位似中心，位似比为工，3而 A(4,3),点的对应点C的 坐 标 为(-冬，-1).3故选：B.【点评】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为A，那么位似图形对应点的坐标的比等于/或6.(20 20台州)如 图，把A BC先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到则顶点C(0,-1)对应点的坐标为()DA.(0,0)B.(1,2)C.(1,3)D.(3,1)【考点】坐标与图

8、形变化-平移.【专题】平面直角坐标系；平移、旋转与对称；推理能力.【分析】利用平移规律进而得出答案.【解答】解：把 A BC先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到O E凡 顶点C(0,-1),：.F(0+3,-1+2),即 F (3,1),故选：D.【点评】此题主要考查了坐标与图形变化-平移，正确得出对应点位置是解题关键.7.(20 21衢州)如图.将菱形A 8 C D绕点A逆时针旋转Na得到菱形A 8 C D ,NB=Zp.当A C平分N B A C H寸，Na与NB满足的数量关系是()A.Z a=2 Z pC.4 Z a+Z p=1 8 0 B.2Z a=3 Z pD.3 Z a+2Z

9、 p=1 8 0【考点】旋转的性质；菱形的性质.【专题】矩 形 菱 形 正 方 形；平移、旋转与对称；推理能力.【分析】由菱形和旋转的性质可证：ZBA B=ZB A C=Z CAC=Z D AC=Z a,再根据A D/B C,即可得出 4/a+/0=1 8 O .【解答】解：平分NB A C,：.ZB A C=ZC A C,.菱形ABC。绕点A 逆时针旋转N a 得到菱形AB C D,：.ZBA B =Z C A C=Z a,；AC 平分/BAO,：.Z B A C=Z D A C,：.ZBA B =Z D A C,：.ZBA B =ZB A C=Z CAC=Z D AC=Z a,J A D/

10、BC,NB+NBAD=180,.,.4Za+Zp=180,故选：C.【点评】本题考查了菱形的性质，以及旋转前后对应角相等等知识，熟记其性质是解题的关键.【考点】简单几何体的三视图.【专题】投影与视图；空间观念.【分析】根据简单几何体的三视图进行判断即可.【解答】解：从上面看这个几何体，看到的图形是一个正六边形，因此选项C中的图形符合题意，故选：C.【点评】本题考查简单几何体的三视图，理解视图的意义是正确判断的前提.9.（2021绍兴）如图，树 在 路 灯。的照射下形成投影A C,已知路灯高?。=5?，树影A C=3 m,树A B与路灯。的水平距离A P=4.5m,则树的高度A B长 是（）A.

11、2m B.3m C.m D.2 3【考点】相似三角形的应用；中心投影.【专题】图形的相似；应用意识.【分析】利用相似三角形的性质求解即可.【解答】解：.CABsZxcpo,A B A C,*P 0 PC.A B 3丁 =3+4.5：.A B 2（z）,故选：A.【点评】本题考查中心投影以及相似三角形的应用.测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决.10.（2020绍兴）如图，等腰直角三角形A B C中，NABC=90,B A B C,将 B C绕点B顺时针旋转0（0 090）,得到B P,连接C P,过点A作

12、A H I.C P交CP的延长线于点，连接A P,则的度数（）-斗A.随着。的增大而增大B.随着8的增大而减小C.不变D.随着。的增大，先增大后减小【考点】旋转的性质；三角形的外角性质；等腰直角三角形.【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；推理能力.【分析】由旋转的性质可得B C=B P=B A,由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求N B P C+/8必=1 3 5 =Z C P A,由外角的性质可求N B 4 H=1 3 5 -9 0 =4 5 ,即可求解.【解答】解：将B C绕点8顺时针旋转6 （0 0 E=&4 O=J5，由第二次折叠知，C D=D E=.AB=y2-故选

13、：A.【点评】此题主要考查了折叠问题，掌握折叠前后的对应边，对应角相等是解本题的关键.13.（2019台州）如图是用8 块 A 型 瓷 砖（白色四边形）和 8 块 8 型 瓷 砖（黑色三角形）不重叠、无空隙拼接而成的一个正方形图案，图案中A 型瓷砖的总面积与3 型瓷砖的总面积之比为（）A.&：1 B.3：2 C.7 3：1 D.如：2【考点】图形的剪拼；正方形的性质.【专题】图表型；矩形菱形正方形.【分析】如图，作。C_LEF于 C,D K LFH于K,连接。F.求出QFN与 *的面积比即可.【解答】解：如图，作 OCJ_EF于 C,DKLFH于K,连接。F.由题意：四边形。CFK是正方形，Z

14、 C D M=Z M D F=Z F D N=ZNDK,；.NCDK=NDKF=90 ,DK=FK,D F=4QPK,A ADF N =F N=DF=（角平分线的性质定理，可以用面积法证明）,ADNK 耶 DK.SAgj _ 2 SADFW _SB 型 2sDN K/.图案中A 型瓷砖的总面积与B型瓷砖的总面积之比为血：1,【点评】本题考查图形的拼剪，正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.14.（2020温州）如图，在 RtZVLBC中，ZACB=9Q ,以其三边为边向外作正方形，过点 C 作C R L F G于点R,再过点C作PQ1.CR分别交边DE,B H于

15、点P,Q.若Q H=2PE,P Q=1 5,则 CR 的 长 为（）A.14 B.15 C.8V3 D.6娓【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质.【专题】矩 形 菱 形 正 方 形；图形的相似；解直角三角形及其应用.【分析】如图，连接EC,C H.设 A 8交 CR于 J.证明E CPS.H C。，推 出 匹=四CQ CH空=工，由 P Q=1 5,可得 PC=5,C Q=1 0,由 EC CH=1：2,推出 AC：BC=1：2,H Q 2设 AC=m BC=2a,证明四边形ABQC是平行四边形，推出A8=CQ=1 0,根据AC2+8C2=4 解，构建方程求出a 即可解决问题

16、.【解答】解：如图，连接EC,C H.设 AB交 CR于 J.:四边形A C D E,四边形3C7H都是正方形，.N 4C E=/B CH=45,V ZACB=90,ZBCI=90,A ZACE+ZACB+ZBCW=180,NACB+/BC/=180：.B,C,。共线，A,C,/共线，E、C、H 共线，：DE/AI/BH,：.NCEP=NCHQ,；NECP=NQCH,:.XECPSHCQ,P C=CE E P=X CQ CH H QPQ=15,：.PC=5,CQ=10,:EC：C H=：2,：.AC：BC=1：2,设 AC=a,BC=2a,:PQLCR,CRLAB,J.CQ/AB,JAC/BQ

17、,CQ/AB,.四边形A8QC是平行四边形，.48=CQ=10,AC2+BC2=AB2,A 5a2=100,:.a=2忌（负根已经舍弃），C=2泥，B C=4 娓,：A C B C=A B C J,2 2.C 7=2V 5 x W 5-=4t1 0：JR=AF=AB=1O,：.C R=C J+J R=14,故选：A.【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考选择题中的压轴题.二.填 空 题（共4小题）15.（2021湖州）如图,已知在 RtZ4BC 中，ZA

18、C B=9 0,A C=l,A B=2,则 sinB 的值【考点】锐角三角函数的定义.【专题】解直角三角形及其应用；运算能力.【分析】根据在直角三角形中s in 8=A ,代值计算即可得出答案.AB【解答】解：；NACB=90,AC=1,A B=2,sin B=-=A.AB 2故答案为：1.2【点评】此题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握在直角三角形中，正弦=强空是解斜边题的关键.16.（2021杭州）如图是一张矩形纸片ABC D,点M是对角线A C的中点，点E在BC边上，把 （7沿直线Q E折叠，使 点C落在对角线A C上的点F处，连 接QF,E F.若=A B,则ND4F=18 度.【考点

19、】翻 折 变 换（折叠问题）；矩形的性质.【专题】三角形；矩 形 菱 形 正 方 形；运算能力；推理能力.【分析】连 接 D M,利用斜边上的中线等于斜边的一半可得AM。和MC。为等腰三角形，ZD AF=ZM D A,ZM CD=ZM DC；由折叠可知 F=Q C,可得NOFC=NOCF；由 MF=A8,AB=CD,D F=D C,可得 F M=F D,进而得到NFA）=NF）M；利用三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和，可得/OFC=2N FA）；最后在M CC中，利用三角形的内角和定理列出方程，结论可得.【解答】解：连 接。M,如图：.四边形A8C。是矩形，A ZADC=90.是AC的

20、中点，.DM=AM=CM,：./F A D=NMDA,ZM DC=ZMCD.：DC,关 于OE对称，：.DF=DC,ZD FC=NDCF.;MF=AB,AB=CD,DF=DC,：.MF=FD.：.ZF M D=ZF D M.：ZD FC=NFMD+NFDM,：.ZD FC=2ZFM D./D M C=N E W+N A Q M,：.Z D M C=2 Z F A D.设/以。=工 ,则 N Q P C=4 x 0,Z M CD=ZMDC=4 x .V ZD MC+ZMC D+ZMD C=1 8 0 ,2x+4 x+4 x=1 8 0.Ax=1 8.故答案为：1 8.【点评】本题主要考查了矩形的

21、性质，折叠问题，三角形的内角和定理及其推论，利用三角形内角和定理列出方程是解题的关键.1 7.（2 02 1 嘉兴）如图，在 ABC 中，N5 4 c=3 0,/ACB=4 5 ,A B=2,点 P 从点 A出发沿A B 方向运动,到达点B时停止运动，连结C P,点 A 关于直线CP的对称点为A,连结A C,A P.在运动过程中，点 A 到直线A 8 距离的最大值是 工业；点 2一 2 一到达点8时，线段A P 扫过的面积为（1+1）口-1-遍 .【专题】平移、旋转与对称；推理能力.【分析】如 图 1 中，过点B作 8H LAC于 H.解直角三角形求出CA,当 C 4 LA8时,点 A到直线4

22、B的距离最大，求出C A ,C K.可得结论.如图2中，点 P 到达点8时,线段A尸扫过的面积=S扇 形 4 c A -2SZ SA B C,由此求解即可.【解答】解：如 图 1 中，过点8作于.图1在 RtZVW“中，B，=4Bsin30=1,A H=4 B H=g在 RtZBC”中，ZBCH=45,：.CH=BH=,AC=CA 1 +3，当。_L4B时，点A 到直线A 8的距离最大，设 C A 交 A 8的延长线于K.在 Rtz2i4CK 中，CK=ACsin30_ 2 _：.A K=CA-CK=+y/3-2 2如 图 2 中，点 P 到 达 点 B 时，线 段 A P 扫过的面积=S 扇

23、形上。-2sJ B C=9兀“（1+V）_ 2 x l x （1+V3）x 1 =（1+返）7T-1 -贬”360 2 2图2故答案为：上 正，(1+返)n -1-V 3.2 2【点评】本题考查轴对称的性质，翻折变换，解直角三角形，扇形的面积，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用分割法求面积，属于中考填空题中的压轴题.1 8.(2 0 2 0金 华)图1是一个闭合时的夹子，图2是该夹子的主视示意图，夹子两边为A C,(点A与点B重合)，点。是夹子转轴位置，O E L A C于点E,O F L B D 于点F,O E=O F=lc m,A C=BD

24、=6 c m,C E=DF,C E：A E=2：3.按图示方式用手指按夹子，夹子两边绕点。转动.(1)当E,尸两点的距离最大时，以点4,B,C,。为顶点的四边形的周长是1 6 c m.(2)当夹子的开口最大(即点C与点。重 合)时，A,B两点的距离为 段 c m.-1 3 一【考点】旋转的性质；角平分线的性质.【专题】平移、旋转与对称；应用意识.【分析】(1)当E,F两点的距离最大时，E,O,尸共线，此时四边形AB8是矩形，求出矩形的长和宽即可解决问题.(2)如图3中，连接E F交O C于，.想办法求出E F,利用平行线分线段成比例定理即可解决问题.【解答】解：(1)当E,F两点的距离最大时，

25、E,O,F共线，此时四边形A B C D是矩形，：O E=O F=lc m,:EF=2c tn,*A B=C D=2c m，此 时 四 边 形 的 周 长 为2+2+6+6=1 6 (a n),故答案为1 6.(2)如图3中，连接E F交O C于H.*：O E=O F=c m,C。垂直平分线段ER7。=任2暝2=，(卷)2O E-E C=L C O EH,2 2.1 2=_1_(cvn),1 5IX./.E H=-12.(c m),135：.E F=2 E H=-(c m)13,:EF A B,.EF=CE=_2*AB CB?.42=$=N B,Z A-Z A,A A D C A A C B,

26、.-A-D-二 一AC一，A C A B：.AC2AD-AB.(2)四边形A 3 C D是平行四边形,：.AD=BC,N A =N C,又,：N B F E=N A,:.N B F E=/C,又,：/F B E=N C B F,:.丛 BFEs 丛 BCF,B F B E-二，1-，B C B F:.B=BE，BC,.r_BF2_42 1 6B E 3 3.A O=西.3（3）如图，分别延长E F,0c相交于点G,.四边形A 8 C。是菱形，：.AB/DC,NBAC=LZBAD,2VAC/EF,四边形AEGC为平行四边形，：.AC=EG,CG=AE,ZEAC=ZG,:NEDF=LNBAD,2；

27、.NEDF=NBAC,:.NEDF=/G,又,：NDEF=NGED,:.AEDFs/EGD,-E-D =E F,E G D E:.D=EF*EG,又,：EG=AC=2EF,：.DE1=2EF2,:.DE=4QF,乂 D G D E D F =E F，e Z）G A/DF=5：.DC=DG-CG=5g-2.【点评】此题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，菱形的性质等知识，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键.考点卡片1.坐标与图形性质1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：到X轴的距离与纵坐标有关，到），轴的距离与横坐标有关；距离都是

28、非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号.2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律.3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题.2.七巧板（1）七巧板是由下面七块板组成的，完整图案为一正方形：五块等腰直角三角形（两块小形三角形、一块中形三角形和两块大形三角形）、一块正方形和一块平行四边形.（2）用这七块板可以拼搭成几何图形，如三角形、平行四边形、不规则的多角形等；也可以拼成各种具体的人物形象，或者动物或者是一些中、英文字符号.（3）制作七巧板的方法：首先，在

29、纸上画一个正方形，把它分为十六个小方格.再从左上角到右下角画一条线.在上面的中间连一条线到右面的中间.再在左下角到右上角画一条线，碰到第二条线就可以停了.从刚才的那条线的尾端开始一条线，画到最下面四份之三的位置，从左边开始数，碰到线就可停.最后，把它们涂上不同的颜色并跟著黑线条剪开，你就有一副全新的七巧板了.3.三角形的外角性质（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对.（2）三角形的外角性质：三角形的外角和为3 6 0 .三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.三角形的一个外角大于和它不相邻

30、的任何一个内角.（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质将它们转化到一个三角形中去.（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角.4.角平分线的性质角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.注意：这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，在NAOB的平分线上，C D1.O A,C E1.O B：.C D=C E5.勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方.如

31、果直角三角形的两条直角边长分别是a,b,斜边长为C,那么42+/；2=C.2.（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中.（3）勾股定理公式J+/=c2的变形有：=7c2-b2,人=窄：及 c=*忑.（4）由于a1+b1=c1 a1,所 以 c a,同 理c b,即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边.6.等腰直角三角形（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形.（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质.即：两个锐角都是4 5。，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R

32、,而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为4 5 ,高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r=l,则 外 接 圆 的 半 径/?=扬1,所以r：R=l：V 2+1.7.多边形（1）多边形的概念：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.（2）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.（3）正多边形的概念：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形.（4）多边形可分为凸多边形和凹多边形，辨别凸多边形可用两种方法：画多边形任何一边所在的直线整个多边形都在此直线的同一侧.每个内角

33、的度数均小于1 8 0。，通常所说的多边形指凸多边形.（5）重心的定义：平面图形中，多边形的重心是当支撑或悬挂时图形能在水平面处于平稳状态，此时的支撑点或者悬挂点叫做平衡点，或重心.常见图形的重心（1）线段：中 点（2）平行四边形：对角线的交点（3）三角形：三边中线的交点（4）任意多边形.8.菱形的性质（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.（2）菱形的性质菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线.（3）菱形的面积计算利用平行四边形的面积公式.菱形面积=L4

34、（。、人是两条对角线的长度）29.矩形的性质（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形.（2）矩形的性质平行四边形的性质矩形都具有；角：矩形的四个角都是直角；边：邻边垂直；对角线：矩形的对角线相等；矩形是轴对称图形，又是中心对称图形.它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点.（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.10.正方形的性质（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.（2）正方形的性质正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，

35、并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时:正方形又是轴对称图形，有四条对称轴.11.圆周角定理（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.注意：圆周角必须满足两个条件：顶点在圆上.角的两条边都与圆相交，二者缺一不可.（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.推论：半 圆（或直径）所对的圆周角是直角，9 0 的圆周角所对的弦是直径.（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握.（4）

36、注意：圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形.利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化.圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”圆心角转化.定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角.12.三角形的外接圆与外心（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆.（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心.（3）概念说明:“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点.锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝

37、角三角形的外心在三角形的外部.找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个.13.轴对称的性质(1)如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.由轴对称的性质得到一下结论：如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称；如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴.(2)轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.14.翻折变换(折叠问题)1、翻折变换(折叠问题)实质上就是轴对称变换

38、.2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等.3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系.首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件.解题时，我们常常设要求的线段长为x,然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案.我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数.15.图形的剪拼图形的剪拼.16.坐标与图形变化-平移(1)平移变换与坐标变化向右平移个单位，坐标P (x,y)n P (.x+a,y)向

39、左平移a个单位，坐标P (x,y)=P(x -a,y)向上平移人个单位，坐标P (x,y)n P (x,y+b)向下平移h个单位，坐标P（x,y）（x,y-b）（2）在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个 整 数 a,相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a 个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数“，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移。个单位长度.（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减.）17.利用平移设计图案确定一个基本图案按照一定的方向平移一定的距离，连续作图即可设计出美丽的图案.通过改变平移的方向和距离可使图案变得丰富

40、多彩.18.旋转的性质（1）旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等.对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.旋转前、后的图形全等.（2）旋转三要素：旋转中心；旋转方向；旋转角度.注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样.1 9.中心对称图形（1）定义把一个图形绕某一点旋转180 ,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心.注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同.（2）常见的中心对称图形平行四边形、圆形、正方形、长方形等等.2 0.相似

41、三角形的性质相似三角形的定义：如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似.（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.（2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比.（3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方.由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方.21.相似三角形的判定与性质（1）相似三角形相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等.（2）

42、三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可.22.相似三角形的应用（1）利用影长测量物体的高度.测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决.测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影

43、长来，再计算出被测量物的长度.（2）利用相似测量河的宽度（测量距离）.测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离,常常构造“A”型 或“X”型相似图，三点应在一条直线上.必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形.测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度.（3）借助标杆或直尺测量物体的高度.利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度.2 3.位似变换（1）位似图形的定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行

44、，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心.注意：两个图形必须是相似形；对应点的连线都经过同一点；对应边平行.（2）位似图形与坐标在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为晨那么位似图形对应点的坐标的比等于%或2 4 .相似形综合题相似形综合题.2 5 .锐角三角函数的定义在 R tZ A B C 中，Z C=9 0 .(1)正弦：我们把锐角A的对边。与斜边c的比叫做NA的正弦，记作s i n A.即si nA Z A的对边除以斜边=包.C(2)余弦：锐角A的邻边。与斜边c 的比叫做/A的余弦，记作c o s A.即c osA Z A的邻边除以斜边=上.C(3)正切

45、：锐角A的对边a与邻边b的比叫做乙4的正切，记作ta n A.即 t a n A=N A 的对边除以NA的邻边=包.b(4)三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做NA的锐角三角函数.2 6 .简单几何体的三视图(1)画物体的主视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左:宽相等.(2)常见的几何体的三视图:髓锥的 球体的三视图:视图正方体的 段图4 4阀自的:漫图圆柱的三视图：j2 7 .简单组合体的三视图(1)画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图.（2）视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上.（3）画物体的三视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等.2 8.中心投影（1）中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影.如物体在灯光的照射下形成的影子就是中心投影.（2）中心投影的光线特点是从一点出发的投射线.物体与投影面平行时的投影是放大（即位似变换）的关系.（3）判断投影是中心投影的方法是看光线是否相交于一点，如果光线是相交于一点，那么所得到的投影就是中心投影.