2023年《数值计算方法》试卷(最新版)与超详细解析答案.pdf

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1、优秀学习资料 欢迎下载 习题一 1设x0 相对误差为 2%，求x，4x的相对误差。解：由自变量的误差对函数值引起误差的公式：()()()()()()f xxf xfxxf xf x得（1）()f xx时 11()()()()*2%1%22xxxxxx；（2）4()f xx时 444()()()4()4*2%8%xxxxxx 2设下面各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出他们各有几位有效数字。（1）12.1x；（2）12.10 x；（3）12.100 x。解：由教材9P关于121 2.mnxa aa bbb 型数的有效数字的结论，易得上面三个数的有效数字位数分别

2、为：3，4，5 3用十进制四位浮点数计算（1）31.97+2.456+0.1352；（2）31.97+（2.456+0.1352）哪个较精确？解：（1）31.97+2.456+0.1352 21(0.3197100.2456 10)0.1352)fl fl =2(0.3443100.1352)fl =0.3457210 （2）31.97+（2.456+0.1352）21(0.319710(0.245610)flfl =21(0.3197100.2591 10)fl =0.3456210 易见 31.97+2.456+0.1352=0.345612210，故（2）的计算结果较精确。4计算正方形面

3、积时，若要求面积的允许相对误差为 1%，测量边长所允许的相对误差限为多少？优秀学习资料 欢迎下载 解：设该正方形的边长为x，面积为2()f xx，由()()()()()()f xxf xfxxf xf x 解得()()()()f xf xxxfx=2()()22f x xf xxx=0.5%5下面计算y的公式哪个算得准确些？为什么？（1）已知1x，（A）11121xyxx，（B）22(12)(1)xyxx；（2）已知1x，（A）211()yxxxxx，（B）11yxxxx；（3）已知1x，（A）22sin xyx，（B）1 cos 2xyx；（4）（A）980y ，（B）1980y 解：当两个

4、同（异）号相近数相减（加）时，相对误差可能很大，会严重丧失有效数字；当两个数相乘（除）时，大因子（小除数）可能使积（商）的绝对值误差增大许多。故在设计算法时应尽量避免上述情况发生。（1）（A）中两个相近数相减，而（B）中避免了这种情况。故（B）算得准确些。（2）（B）中两个相近数相减，而（A）中避免了这种情况。故（A）算得准确些。（3）（A）中2sin x使得误差增大，而（B）中避免了这种情况发生。故（B）算得准确些。（4）（A）中两个相近数相减，而（B）中避免了这种情况。故（B）算得准确些。6用消元法求解线性代数方程组 1515121210102xxxx 假定使用十进制三位浮点数计算，问结果

5、是否可靠？解：使用十进制三位浮点数计算该方程则方程组变为 1161612111120.100 100.100 100.100 10(1)0.100 100.100 100.200 10(2)xxxx（1）-（2）得1 61 62.1 0 1 0.1 0 1 0 x，即12.1 0 1 0 x，把2x的值代入（1）得1.0 0 x；把2x的值代入（2）得110.100 10 x 于型数的有效数字的结论易得上面三个数的有效数字位数分别为用十进迎下载解设该正方形的边长为面积为由解得下面计算的公式哪个算得准许多故在设计算法时应尽量避免上述情况发生中两个相近数相减而中避优秀学习资料 欢迎下载 解1110

6、.100 1020.000 10 xx 不满足（2）式，解1110.100 1020.100 10 xx 不满足（1）式，故在十进制三位浮点数解该方程用消元法计算结果不可靠。7计算函数32()331f xxxx和()(3)3)12.19g xxxxx在处的函数值（采用十进制三位浮点数计算）。哪个结果较正确？解：110657.010480.0310219.010480.0)19.2(1111f 110657.010144.010105.0122 =10.16710 )19.2(g110219.0)310219.0)81.0(11 110219.010123.011=10.16910 即1()0.

7、167 10f x，1()0.169 10g x 而当2.19x 时32331xxx的精确值为 1.6852，故()g x的算法较正确。8按照公式计算下面的和值（取十进制三位浮点数计算）：（1）6113ii；(2)1613ii。解：（1）623456111111113333333ii=0.3330.1110.0370.0120.0040.001 489.0 （2）165432611111113333333ii=0.0010.0040.0120.0370.1110.333 489.0 9已知三角形面积1sin2SabC，其中02C。证明：()()()()SabC。证明：由自变量的误差对函数值的影

8、响公式：1212112(,)(,)()(,)ninniinixf x xxf x xxxf x xxx。得(,)(,)(,)(,)()()()(,)(,)(,)aS a b CbS a b CCS a b CS a b CabCS a b CaS a b CbS a b CC()sin()sin()cos()sinsinsinabCSbCaaCbabCCabCabCabC 于型数的有效数字的结论易得上面三个数的有效数字位数分别为用十进迎下载解设该正方形的边长为面积为由解得下面计算的公式哪个算得准许多故在设计算法时应尽量避免上述情况发生中两个相近数相减而中避优秀学习资料 欢迎下载 =()()()

9、CabCtgC ()()()abC（当02C 时，CtgC），命题得证。习题二 1找出下列方程在0 x 附近的含根区间。于型数的有效数字的结论易得上面三个数的有效数字位数分别为用十进迎下载解设该正方形的边长为面积为由解得下面计算的公式哪个算得准许多故在设计算法时应尽量避免上述情况发生中两个相近数相减而中避优秀学习资料 欢迎下载（1）cos0 xx；（2）3cos0 xx；（3）sin()0 xxe；（4）20 xxe；解：（1）设()c o sf xxx，则(0)1f，(1)-0.4597f ，由()f x的连续性知在 1,0 x内，()f x=0 有根。同题（1）的方法可得：（2），（3），

10、（4）的零点附近的含根区间分别为0,1；0,2；0,1 2用二分法求方程sin10 xx 在 0,2内的根的近似值并分析误差。解：令()sinfxxx，则有(0)1f，(2)0.81860f，()sincos0fxxxx，0,2x 所以函数()f x在 0，2上严格单调增且有唯一实根x。本题中求根使得误差不超过410，则由误差估计式 12|kkabx，所需迭代次数k满足4110202k，即取28.13k便可，因此取14k。用二分法计算结果列表如下：k ka kb kx)(kxf 0 0 2 1-0.1585 1 1 2 1.5 0.4962 2 1 1.5 1.25 0.1862 3 1 1.

11、25 1.125 0.015051 4 1 1.125 1.0625-0.0718 5 1.0625 1.125 1.09375-0.02835 6 1.09375 1.125 1.109375-0.00664 7 1.109375 1.125 1.1171875 0.004208 8 1.109375 1.1171875 1.11328125-0.001216 9 1.11328125 1.1171875 1.115234375 0.001496 10 1.11328125 1.115234375 1.1142578125 0.001398 11 1.11328125 1.114257812

12、5 1.11376953125-0.000538 12 1.11376953125 1.1142578125 1.114013671875-0.000199 13 1.114013671875 1.1142578125 1.1141357421875-0.0000297 14 1.1141357421875 1.1142578125 1.11419677734375 0.000055 于型数的有效数字的结论易得上面三个数的有效数字位数分别为用十进迎下载解设该正方形的边长为面积为由解得下面计算的公式哪个算得准许多故在设计算法时应尽量避免上述情况发生中两个相近数相减而中避优秀学习资料 欢迎下载 由

13、上表可知原方程的根7343751.1141967714x 该问题得精确解为08711.11415714，故实际误差为0000396.0 3判断用等价方程()xx建立的求解的非线性方程32()10f xxx 在 1.5 附近的根的简单迭代法1()kkxx的收敛性，其中（A）2()1 1/xx；（B）32()1xx；（C）1()1xx 解：取 1.5 附近区间1.3,1.6来考察。（A）21()1xx，显然当0 x 时，()x单调递减，而(1.3)1.59171596，(1.6)1.390625，因此，当1.3,1.6x时，()1.3,1.6x。又当1.3,1.6x时，3322()0.9211.3

14、xx，由迭代法收敛定理，对任意初值1.3,1.6x，迭代格式1211kkxx，(0,1,2,)k 收敛。（B）132()(1)xx，则(1.3)1.390755416，(1.6)1.526921344，22312()03(1)xxx(0)x，所以当1.3,1.6x时，()1.3,1.6x。又当1.3,1.6x时，222233221.6()0.552133(1)(1 1.3)xxx，由迭代法收敛定理，对任意初值1.3,1.6x，迭代格式1231(1)kkxx，(0,1,2,)k 收敛。（C）1()1xx，由于当1.3,1.6x时，有 332211()1.07582870612(1)2(1.61)

15、xx，所以对任意初值1.3,1.6x（原方程的根除外），迭代格式111kkxx (0,1,2,k 发散。于型数的有效数字的结论易得上面三个数的有效数字位数分别为用十进迎下载解设该正方形的边长为面积为由解得下面计算的公式哪个算得准许多故在设计算法时应尽量避免上述情况发生中两个相近数相减而中避优秀学习资料 欢迎下载 4确定()xx的简单迭代法1()kkxx的收敛区间,a b。如果收敛，试估计使精度达到410时所需的迭代次数并进行计算。（A）22()3xexx；（B）25()2xx；（C）sincos()2xxx 解：（A）方程为0322xxex，设xxexfx32)(2，则01)0(f，0-0.8

16、987)5.0(f，故有根区间为 5.0,0，题中22()3xexx，3333.0|302|32|)(|0eexxx 故迭代公式22()3xexx 在含根区间 5.0,0内收敛。（B）方程为05223 xx，设52)(23xxxf，则0-1.875)5.2(f，04)3(f，故有根区间为 3,5.2，题中25()2xx，10.64|5.210|10|)(|33xx 故迭代公式25()2xx在含根区间 3,5.2内收敛。（C）方程为02cossinxxx，设xxxxf2cossin)(，则01)0(f，0-0.6182)1(f，故有含根区间 1,0，题中sincos()2xxx，15.0|20s

17、in0cos|2sincos|)(|xxx 5对下点列用埃特金方法加速。01234560.54030,0.87758,0.94496,0.96891,0.98007,0.98614,0.98981.xxxxxxx 于型数的有效数字的结论易得上面三个数的有效数字位数分别为用十进迎下载解设该正方形的边长为面积为由解得下面计算的公式哪个算得准许多故在设计算法时应尽量避免上述情况发生中两个相近数相减而中避优秀学习资料 欢迎下载 解：由埃特金加速公式kkkkkkkxxxxxxx12212)(计算，结果列下表：k kx k kx 0 0.54030 0 0.96178128343831 1 0.87758

18、 1 0.98211751784481 2 0.94496 2 0.98980773260360 3 0.96891 4 0.98007 5 0.98614 6 0.98981 6令初值01x，分别用牛顿迭代法，双点弦割法和单点弦割法求解方程2()60f xx 的解。解：牛顿迭代法 02)1(f，02)2(f，满足0)1()1(ff，由牛顿迭代法的收敛条件知当取初值为01x 时迭代法收敛。牛顿迭代格式为：kkkkkkkkkxxxxxxfxfxx3226)()(21 k kx 0 1 1 3.5 2 2.60714285714286 3 2.45425636007828 4 2.44949437

19、160697 5 2.44948974278755 6 2.44948974278318 7 2.44948974278318 在第 6 部迭代后，迭代点得小数点后 14 位已无变化，故可取2783182.449489746x 双点弦割法 双点弦割法迭代格式为：kkkkkkkkkkkxxxxxxxfxfxfxx111116)()()()(k kx 0 1 于型数的有效数字的结论易得上面三个数的有效数字位数分别为用十进迎下载解设该正方形的边长为面积为由解得下面计算的公式哪个算得准许多故在设计算法时应尽量避免上述情况发生中两个相近数相减而中避优秀学习资料 欢迎下载 1 3.5 2 2.111111

20、11111111 3 2.38613861386139 4 2.45425636007828 5 2.44942735725712 6 2.44948968214144 7 2.44948974278395 8 2.44948974278318 9 2.44948974278318 在第 8 部迭代后，迭代点得小数点后 14 位已无变化。双点弦割法 双点弦割法迭代格式为：kkkkkkkxxxxxxxfxfxfxx000016)()()()(k kx 0 1 1 3.5 2 2.11111111111111 3 2.60714285714286 4 2.38613861386139 5 2.47

21、660818713450 6 2.43818334735072 7 2.45425636007828 8 2.44748955456412 9 2.45033071771908 10 2.44913644779691 11 2.44963821399228 12 2.44942735725712 13 2.44951595791130 14 2.44947872716250 15 2.44949437160696 16 2.44948779773504 17 2.44949056010085 18 2.44948939934302 19 2.44948988709816 于型数的有效数字的结论

22、易得上面三个数的有效数字位数分别为用十进迎下载解设该正方形的边长为面积为由解得下面计算的公式哪个算得准许多故在设计算法时应尽量避免上述情况发生中两个相近数相减而中避优秀学习资料 欢迎下载 20 2.44948968214143 21 2.44948976826509 22 2.44948973207557 23 2.44948974728256 24 2.44948974089252 25 2.44948974357764 26 2.44948974244934 27 2.44948974292346 28 2.44948974272423 29 2.44948974280795 30 2.4

23、4948974277277 31 2.44948974278755 32 2.44948974278134 31k以后，迭代点得小数点后 11 位已无变化，因收敛速度较慢，故只精确到小数点后 11 位 7建立利用方程30 xc 求3(0)c c 的 Newton 迭代格式，并讨论算法的收敛性。解：牛顿迭代格式为：23231323)()(kkkkkkkkkxcxxcxxxfxfxx 令cxxf3)(，因为当0 x时，03)(2 xxf，06)(xxf，故对于任何满足0)(30cxxf，即30cx 的初值0 x，上述 Newton 迭代产生的迭代序列收敛于3c。8建立利用方程20cxx求3(0)c

24、 c 的 Newton 迭代格式，并讨论算法的收敛性。解：牛顿迭代格式为：cxcxxcxcxxxfxfxxkkkkkkk2321)()(3321 令2()cf xxx，因为当0 x时，021)(3xcxf，06)(4xcxf 故对于任何满足0)(30cxxf，于型数的有效数字的结论易得上面三个数的有效数字位数分别为用十进迎下载解设该正方形的边长为面积为由解得下面计算的公式哪个算得准许多故在设计算法时应尽量避免上述情况发生中两个相近数相减而中避优秀学习资料 欢迎下载 即300cx 的初值0 x，上述 Newton 迭代产生的迭代序列收敛于3c。9判断用 Newton 迭代求解方程()()f xs

25、ign xx的收敛性。解：由xxxf)()0()0(xx，)(i当0 x时，xxf)(，021)(xxf，041)(3xxf，要使 Newton 迭代法收敛对于初值0 x，需满足0)(00 xxf，显然这样得初值是不存在的，故当0 x时，Newton迭代法不收敛。)(ii当0 x时，同上的分析方法可得，初值也不存在的，故当0 x时，Newton 迭代法也不收敛。所以用 Newton 迭代求解方程()()f xsign xx不收敛。10写出求解方程1()10f xx 的 Newton 迭代格式并判断以下情形的收敛性。（1）0020 xx或；（2）0020 xx或；（3）002x。解：牛顿迭代格式

26、为：2212111)()(kkkkkkkkkxxxxxxfxfxx),2,1,0(k kxxxxxkkkk20221)1()1(211),2,1,0(k 解之得：)1(1 20kxxk（1）当0020 xx或时，1|1|0 x，kxk20)1(lim，故迭代序列kx不收敛；（2）当0020 xx或时，1|1|0 x，0limkkx，迭代序列kx收敛，但不收敛于方程的解；（3）当200 x时，1|1|0 x，从而0)1(lim20kxk，1limkkx，迭代序列kx收敛，于型数的有效数字的结论易得上面三个数的有效数字位数分别为用十进迎下载解设该正方形的边长为面积为由解得下面计算的公式哪个算得准许

27、多故在设计算法时应尽量避免上述情况发生中两个相近数相减而中避优秀学习资料 欢迎下载 且收敛于方程的解。11求分别用下列迭代格式求解方程()0mxf xx e时的收敛阶。（1）Newton 迭代格式1()()kkkkf xxxfx；（2）迭代格式1()()kkkkf xxxmfx。解：显然0m，否则()0mxf xx e没意义。易知 Newton 迭代格式1()()kkkkf xxxfx收敛于0，又（1）211()(1)()mxkkkkkkmmxkkf xmxxx exxxfxmxx emx mmxmxmxxmxxmxxkkkkkkkkkkk11lim0)1(0limlim21 Newton 迭

28、代格式1()()kkkkf xxxfx的收敛阶为1p（2）迭代格式21()()kkkkkkf xxxxmfxmx mxmxxmxxxkkkkkkkkk11lim)0(0lim)(lim2221 迭代格式1()()kkkkf xxxmfx的收敛阶为2p 12当初值取为下列各值时，用下山 Newton 迭代求解方程组303xx 是否收敛？若收敛，收敛于哪一个根？（1）01.5x （2）00.5x 解：由下山 Newton 迭代格式13)()(231kkkkkkkkkxxxxxfxfxx 于型数的有效数字的结论易得上面三个数的有效数字位数分别为用十进迎下载解设该正方形的边长为面积为由解得下面计算的公

29、式哪个算得准许多故在设计算法时应尽量避免上述情况发生中两个相近数相减而中避优秀学习资料 欢迎下载 习题三 11 分别用高斯消元法和列选主元法解方程组（精确到小数点后四位）：1231231230.26410.17350.86420.75210.94110.01750.14630.63100.86410.42430.07110.2501xxxxxxxxx 解：高斯消元法：于型数的有效数字的结论易得上面三个数的有效数字位数分别为用十进迎下载解设该正方形的边长为面积为由解得下面计算的公式哪个算得准许多故在设计算法时应尽量避免上述情况发生中两个相近数相减而中避优秀学习资料 欢迎下载 0.26410.17

30、350.86420.7521|0.94110.01750.14630.63100.86410.42430.0710.2501A b=0.2641 0.1735 0.8642 -0.7521 0 -0.6358 -2.9332 3.3111 0 0.1434 2.8986 -2.2107 0.2641 0.1735 0.8642 -0.7521 0 -0.6358 -2.9332 3.3111 0 0 2.2372 -1.4640 T(0.7315,-2.1889,-0.6544)x 高斯列选主元消元法 0.26410.17350.86420.7521|0.94110.01750.14630.6

31、3100.86410.42430.0710.2501A b 0.94110.01750.14630.63100.26410.17350.86420.75210.86410.42430.0710.2501 0.9411 -0.0175 0.1463 0.6310 0 0.1784 0.8231 -0.9292 0 -0.4404 0.2054 0.82950.94110.01750.14630.6310 0 -0.4404 0.2054 0.8295 0 0.1784 0.8231 -0.9292 0.9411 -0.0175 0.1463 0.6310 0 -0.4404 0.2054 0.8

32、295 0 0 0.9064 -0.5931 x=0.7315,-2.1889,-0.6544 T 2分别用高斯消元法和列选主元法解方程组 12121.1335.2816.414,24.141.21022.93xxxx 解：高斯消元法 1.1330 5.2810 6.4140A|b24.14 -1.210 22.93=1.1330 5.2810 6.4140 0 -113.7284 -113.7284(1,1)Tx 列选主元法 于型数的有效数字的结论易得上面三个数的有效数字位数分别为用十进迎下载解设该正方形的边长为面积为由解得下面计算的公式哪个算得准许多故在设计算法时应尽量避免上述情况发生中两

33、个相近数相减而中避优秀学习资料 欢迎下载 1.1330 5.2810 6.4140A|b24.14 -1.210 22.9324.14 -1.210 22.931.1330 5.2810 6.4140 24.1400 -1.2100 22.9300 0 5.3378 5.3378(1,1)Tx 3.方程组 Ax=b 经过一次 Gauss 消元后,系数矩阵 A=(1),1niji ja,变为(1)11(2)*0aA,其中(2)A=(2),2niji ja为(n-1)(n-1)矩阵.其元素为(2)ija=(1)ija-(1)(1)11ija a/(1)11a,i j 2,3,n.证明下面结论:（1

34、）当 A 对称正定时,(2)A也对称正定;（2）当 A 对角占优时,(2)A也对角占优.证明:（1）因为 A 对称,所以(1)(1)i jjiaa;(2)ija=(1)ija-(1)(1)11ija a/(1)11a=(1)(1)(1)(1)1111/jijiaa aa=(2)jia 故(2)A对称;A 正定,(1)110a，又 (1)11(2)*0aA=1L A 其中:(1)21(1)111(1)1(1)11101naaLaa 显然,1L非奇异;对任何 x 0,有:10L x A 正定,1111()0TTTL xA L xxL AL x，11TL AL正定;又:11TL AL=(1)11(2

35、)00aA 而 (1)110a 故(2)A正定;于型数的有效数字的结论易得上面三个数的有效数字位数分别为用十进迎下载解设该正方形的边长为面积为由解得下面计算的公式哪个算得准许多故在设计算法时应尽量避免上述情况发生中两个相近数相减而中避优秀学习资料 欢迎下载(1)当 A 对角占优时,(1)(1)|niiijijaa (2)(2)|ni ii jijaa(1)(1)(1)(1)(1)(1)111 1111 1,2|/|/|niiiiijijij jaaaaaaaa (1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)11111111(1),2111|niiiiijijij ja aa aa aa aa

36、 (1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)11111111(1),2111|(|)niiiiijijij ja aa aa aa aa (1)(1)(1)(1)(1)1111(1),2,1111|(|)|nniiijijij jij jaaaa aa (1)(1)(1)(1)(1)1111(1),2,1111|(|)|nniiijijij jij jaaaaaa (1)(1)(1)(1)(1)11111(1),2111|(|)|niiijiij jaaaaaa (1)(1)11(1),1111|nijij jaaa0 故 (2)A对角占优 4.证明(1)两个单位上(下)三角形矩阵的乘积

37、仍为单位上(下)三角形矩阵;(2)两个上(下)三角形矩阵的乘积仍为上(下)三角形矩阵.证明:(1)不妨考虑证单位下三角矩阵,单位上三角矩阵证明方法相同 设 AB=C 其中:001;1;(),ijn ni ji jjijiAjiBjiCcajibji，当 ij 时 当i=j时，11niiikkiiiiikca ba b 1niijikkjikkjkkjca ba b当ij 时，所以,C 为单位上三角矩阵(2)证明方法类似(1)5证明单位上(下)三角形矩阵的逆矩阵仍为单位上(下)三角形矩阵;非奇异上(下)三角形矩阵的逆矩阵仍为非奇异的上(下)三角形矩阵;证明:6.用矩阵的三角分解求解下列线形代数方

38、程组（1）123422351121242532713230 xxxx 解：111213112112L (0)X22355112233223U 172923y 2121x （2）1234123421491610182764441 1681256190 xxxx 解：于型数的有效数字的结论易得上面三个数的有效数字位数分别为用十进迎下载解设该正方形的边长为面积为由解得下面计算的公式哪个算得准许多故在设计算法时应尽量避免上述情况发生中两个相近数相减而中避优秀学习资料 欢迎下载 1111311761L 1234261262424U 281824y 11 11x （3）123481362718252361

39、166268148276298447418684490134xxxx 解：94103582617L 2826157y 4321x （4）123442.42312.2802.45.4445.816.928245.217.4522.95735.87.4519.6650.945xxxx 解 21.2211.41.51.522.13L 6.1 44.7 86.7 56y 1.20.81.72x 7求解矩阵方程12341247101446142231451417X。解；X=112341247101446142231451417=111000101 于型数的有效数字的结论易得上面三个数的有效数字位数分别为

40、用十进迎下载解设该正方形的边长为面积为由解得下面计算的公式哪个算得准许多故在设计算法时应尽量避免上述情况发生中两个相近数相减而中避优秀学习资料 欢迎下载 8用追赶法解线性代数方程组 21313151113213X。解：12b 23b 31b 41b 21a 31a 42a 11c 21c 31c 112lb 111/1/2ucl 222152lba u 2222/5ucl ，333235lba u ，3335/3ucl，444373lba u 132y 221227()/5ydy al 332338()/3ydy al，44344()/1ydy al 441xy 33341xyu x 2223

41、1xyu x 11121xyu x 1111x 10 证明等价关系：1211|xxxxn 证明：2211|x|max|niii nixxx 又11111|max|nnniii niiixxxxnx，所以 1|xxn 由 Cauchy 不等式知：211|nniiiixx，所以：12|xx 综上说述，即证。11 证明由|0|m a x|ppxpAxAx定义的|是n nR中的范数。于型数的有效数字的结论易得上面三个数的有效数字位数分别为用十进迎下载解设该正方形的边长为面积为由解得下面计算的公式哪个算得准许多故在设计算法时应尽量避免上述情况发生中两个相近数相减而中避优秀学习资料 欢迎下载 证明：显然：

42、|0|0|0|()|max|maxmax|ppxppPppxxppAB xAxBxAXBAxx|pA0 且|00pAA 任意常数|0|m a x|ppxpAxAx|0|m a x|pxpAxx|0|max|pxpAxx=|A|A+B|=|0|()|max|pxpAB xx=|0|max|pxpAXBxx|0|max|PpxpAXBxx|0|0|maxmax|pPxxppBxAXxx=|pA+|pB 12 证明111|max|ni jj niAa 证明：对任何1|1x 由于1|1ix 故 1111111|max|max|max|nnnijjijjijj nj nj niiiAxa xaxa，因此

43、，111|max|nijj niAa 另一方面：设指标oj满足：111|max|onnijijj niiaa 定义*x如下：*1010ooijijaxa 显然，*|x=1 而且，*1111|max|ooonnnijiijijjj niiiAxa xaa 从而，*111|max|onjijj niAxAxa 即成立：1*111|11|max|max|nijxj niAAxAxa 综上得命题成立 于型数的有效数字的结论易得上面三个数的有效数字位数分别为用十进迎下载解设该正方形的边长为面积为由解得下面计算的公式哪个算得准许多故在设计算法时应尽量避免上述情况发生中两个相近数相减而中避优秀学习资料 欢迎

44、下载 13 研究线形代数方程组121.0001.0012.0011.0001.0002.000 xx 的性态，并求精确解，设近似解20 x，计算余量rbAx 以及近似解的相对误差|xxx 解：因为该线性方程组的系数矩阵的逆矩阵为：-1000 1001 1000 -1000 条件数为 4.0020e+003，远大于 1。所以其为病态的，其精确解为：11x 余量为：r=2.0012.0001.0001.00121.0001.0000 0.0010 1|1.41421xx ，1|1.41421x，所以：|100%|xxx 14计算 Hilbert 矩阵 1111231111234111111221n

45、nHnnnnn 解：先求出3456,HHHH的逆矩阵11113456,HHHH 然后，计算3|,H 13|,H 4|,H 14|,H 5|,H 15|,H 6|,H 16|,H得出：3()748cond H 34()3 10cond H 55()9 10cond H 76()6 10cond H 15求用雅克比迭代解下列线性代数方程组的两次迭代解（取初始向量(0)X0）。于型数的有效数字的结论易得上面三个数的有效数字位数分别为用十进迎下载解设该正方形的边长为面积为由解得下面计算的公式哪个算得准许多故在设计算法时应尽量避免上述情况发生中两个相近数相减而中避优秀学习资料 欢迎下载 12312312

46、331,(1)3620,3374;xxxxxxxxx 12123234341056,510425,(2)4811,511;xxxxxxxxxx 解：（1）雅可比迭代式为：(1)()()123(1)()()213(1)()()3121(1)31(2)61(43)7kkkkkkkkkxxxxxxxxx，取(0)000 x 则(1)13047x (2)1751437x （2）雅可比迭代式为 (1)()12(1)()()213(1)()()324(1)()431(65)101(2554)101(114)81(11)5kkkkkkkkkkxxxxxxxxxx 取(0)0000 x，则(1)3552118

47、115x (2)13203320259940 x 于型数的有效数字的结论易得上面三个数的有效数字位数分别为用十进迎下载解设该正方形的边长为面积为由解得下面计算的公式哪个算得准许多故在设计算法时应尽量避免上述情况发生中两个相近数相减而中避优秀学习资料 欢迎下载 16若要求精度()310kxx，仍用雅克比迭代求解 15 题，至少需迭代多少次？解：1）雅可比迭代矩阵为：110331102333077JB|0.8084JB 由公式(1)(0)1|lnln(|)|JJBKBxx知，需要 10 次迭代（2）雅可比迭代矩阵为：1000212002511002810005JB，同上，需要 22 次迭代。17求

48、用高斯塞德尔迭代求解 15 题的两次迭代解（取初始向量(0)X0）。（1）高斯赛德迭代式(1)()()123(1)(1)()213(1)(1)(1)3121(1)31(2)61(43)7kkkkkkkkkxxxxxxxxx 取(0)000 x，则 (1)131612x (2)19291321x 于型数的有效数字的结论易得上面三个数的有效数字位数分别为用十进迎下载解设该正方形的边长为面积为由解得下面计算的公式哪个算得准许多故在设计算法时应尽量避免上述情况发生中两个相近数相减而中避优秀学习资料 欢迎下载（2）高斯赛德迭代式(1)()12(1)(1)()213(1)(1)()324(1)(1)431

49、(65)101(2554)101(114)81(11)5kkkkkkkkkkxxxxxxxxxx 取(0)0000 x 则(1)0.60002.20002.75002.2550 x (2)0.5 0 0 02.6 4 0 00.3 3 6 92.2 6 7 4x 1 8 求用 SOR 迭代（1.1）求解 15 题的两次迭代解（取初始向量(0)X0）。解：（1）(1)()()()()11123(1)()()(1)()22213(1)()()(1)(1)333121.1(31)31.1(62)61.1(743)7kkkkkkkkkkkkkkkxxxxxxxxxxxxxxx k=0,1,取(0)00

50、0 x，则 (1)0.3 3 3 30.1 8 3 30.5 0 0 7x (2)0.04920.19230.5880 x （2）(1)()()()1112(1)()()(1)()22213(1)()()(1)()33324(1)()()(1)44431.1(1065)101(102554)101(8114)81(511)5kkkkkkkkkkkkkkkkkkxxxxxxxxxxxxxxxxxx k=0,1,于型数的有效数字的结论易得上面三个数的有效数字位数分别为用十进迎下载解设该正方形的边长为面积为由解得下面计算的公式哪个算得准许多故在设计算法时应尽量避免上述情况发生中两个相近数相减而中避优