2023年2017中考复习 特殊四边形综合题.pdf

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1、特殊四边形综合题 1如图，BD是正方形 ABCD的对角线，BC=2，边 BC在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为 PQ，连接 PA、QD，并过点 Q 作 QOBD，垂足为 O，连接 OA、OP（1）请直接写出线段 BC在平移过程中，四边形 APQD是什么四边形？（2）请判断 OA、OP 之间的数量关系和位置关系，并加以证明；（3）在平移变换过程中，设 y=SOPB，BP=x（0 x2），求 y 与 x 之间的函数关系式，并求出y 的最大值 2已知在矩形 ABCD中，ADC的平分线 DE与 BC边所在的直线交于点 E，点 P 是线段 DE上一定点（其中 EPPD）（1）如图 1，若点

2、F在 CD边上（不与 D 重合），将DPF绕点 P 逆时针旋转 90 后，角的两边 PD、PF分别交射线 DA于点 H、G 求证：PG=PF；探究：DF、DG、DP之间有怎样的数量关系，并证明你的结论（2）拓展：如图 2，若点 F在 CD的延长线上（不与 D 重合），过点 P 作 PGPF，交射线 DA于点 G，你认为（1）中 DF、DG、DP之间的数量关系是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请写出它们所满足的数量关系式，并说明理由 3已知正方形 ABCD的边长为 4，一个以点 A 为顶点的 45 角绕点 A 旋转，角的两边分别与边 BC、DC的延长线交于点 E、F，连接 EF 设 CE

3、=a，CF=b（1）如图 1，当EAF被对角线 AC平分时，求 a、b 的值；（2）当AEF是直角三角形时，求a、b 的值；（3）如图 3，探索EAF绕点 A旋转的过程中 a、b 满足的关系式，并说明理由 4如图，正方形 ABCD的对角线相交于点 O，点 M，N 分别是边 BC，CD上的动点（不与点B，C，D 重合），AM，AN分别交 BD于点 E，F，且MAN 始终保持 45 不变（1）求证：=；（2）求证：AFFM；（3）请探索：在MAN 的旋转过程中，当BAM等于多少度时，FMN=BAM？写出你的探索结论，并加以证明 5如图，矩形 ABCD中，点 E为 BC上一点，F为 DE的中点，且B

4、FC=90（1）当 E为 BC中点时，求证：BCF DEC；过程中设求与之间的函数关系式并求出的最大值已知在矩形中的平分线的结论拓展如图若点在的延长线上不与重合过点作交射线于点你认为中别与边的延长线交于点连接设如图当被对角线平分时求的值当是直角三（2）当 BE=2EC时，求的值；（3）设 CE=1，BE=n，作点 C关于 DE的对称点 C，连结 FC，AF，若点 C到 AF的距离是，求 n 的值 6如图 1，在菱形 ABCD中，AB=6，tanABC=2，点 E从点 D 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿着射线 DA的方向匀速运动，设运动时间为 t（秒），将线段 CE绕点 C顺时针旋转一个角

5、 （=BCD），得到对应线段 CF（1）求证：BE=DF；（2）当 t=秒时，DF的长度有最小值，最小值等于 ；（3）如图 2，连接 BD、EF、BD交 EC、EF于点 P、Q，当 t 为何值时，EPQ是直角三角形？（4）如图 3，将线段 CD绕点 C顺时针旋转一个角 （=BCD），得到对应线段 CG在点 E的运动过程中，当它的对应点 F位于直线 AD上方时，直接写出点 F到直线 AD的距离 y 关于时间 t 的函数表达式 7已知四边形 ABCD是菱形，AB=4，ABC=60，EAF的两边分别与射线 CB，DC相交于点E，F，且EAF=60（1）如图 1，当点 E是线段 CB的中点时，直接写出

6、线段 AE，EF，AF之间的数量关系；过程中设求与之间的函数关系式并求出的最大值已知在矩形中的平分线的结论拓展如图若点在的延长线上不与重合过点作交射线于点你认为中别与边的延长线交于点连接设如图当被对角线平分时求的值当是直角三（2）如图 2，当点 E是线段 CB上任意一点时（点 E不与 B、C重合），求证：BE=CF；（3）如图 3，当点 E在线段 CB的延长线上，且EAB=15时，求点 F到 BC的距离 8如图，AD为等腰直角ABC的高，点 A和点 C分别在正方形 DEFG的边 DG和 DE上，连接 BG，AE （1）求证：BG=AE；（2）将正方形 DEFG绕点 D 旋转，当线段 EG经过点

7、 A时，（如图所示）求证：BGGE；设 DG与 AB交于点 M，若 AG：AE=3：4，求的值 9如图，在ABC中，BAC=90，AB=AC，点 E在 AC上（且不与点 A，C重合），在ABC的外部作CED，使CED=90，DE=CE，连接 AD，分别以 AB，AD为邻边作平行四边形 ABFD，连接 AF（1）请直接写出线段 AF，AE的数量关系 ；过程中设求与之间的函数关系式并求出的最大值已知在矩形中的平分线的结论拓展如图若点在的延长线上不与重合过点作交射线于点你认为中别与边的延长线交于点连接设如图当被对角线平分时求的值当是直角三（2）将CED绕点 C逆时针旋转，当点 E在线段 BC上时，如

8、图，连接 AE，请判断线段 AF，AE的数量关系，并证明你的结论；（3）在图的基础上，将CED绕点 C 继续逆时针旋转，请判断（2）问中的结论是否发生变化？若不变，结合图写出证明过程；若变化，请说明理由 10如图（1）矩形 ABCD中，AB=2，BC=5，BP=1，MPN=90 将MPN 绕点 P 从 PB处开始按顺时针方向旋转，PM 交 AB（或 AD）于点 E，PN 交边 AD（或 CD）于点 F，当 PN 旋转至PC处时，MPN 的旋转随即停止（1）特殊情形：如图（2），发现当 PM 过点 A时，PN也恰好过点 D，此时，ABP PCD（填：“”或“”（2）类比探究：如图（3）在旋转过程

9、中，的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；（3）拓展延伸：设 AE=t，EPF面积为 S，试确定 S 关于 t 的函数关系式；当 S=4.2 时，求所对应的 t 的值 11已知：点 P 是平行四边形 ABCD对角线 AC所在直线上的一个动点（点 P 不与点 A、C重合），分别过点 A、C向直线 BP作垂线，垂足分别为点 E、F，点 O 为 AC的中点（1）当点 P 与点 O 重合时如图 1，易证 OE=OF（不需证明）（2）直线 BP绕点 B逆时针方向旋转，当OFE=30时，如图 2、图 3 的位置，猜想线段 CF、AE、OE之间有怎样的数量关系？请写出你对图 2、图 3 的

10、猜想，并选择一种情况给予证明 过程中设求与之间的函数关系式并求出的最大值已知在矩形中的平分线的结论拓展如图若点在的延长线上不与重合过点作交射线于点你认为中别与边的延长线交于点连接设如图当被对角线平分时求的值当是直角三 12如图，在正方形 ABCD中，点 E为对角线 AC上的一点，连接 BE，DE（1）如图 1，求证：BCE DCE；（2）如图 2，延长 BE交直线 CD于点 F，G 在直线 AB上，且 FG=FB 求证：DEFG；已知正方形 ABCD的边长为 2，若点 E在对角线 AC上移动，当BFG为等边三角形时，求线段 DE的长（直接写出结果，不必写出解答过程）13如图 1，在正方形 AB

11、CD内作EAF=45，AE交 BC于点 E，AF交 CD于点 F，连接 EF，过点 A作 AHEF，垂足为 H（1）如图 2，将ADF绕点 A顺时针旋转 90 得到ABG 求证：AGE AFE；若 BE=2，DF=3，求 AH的长（2）如图 3，连接 BD交 AE于点 M，交 AF于点 N请探究并猜想：线段 BM，MN，ND 之过程中设求与之间的函数关系式并求出的最大值已知在矩形中的平分线的结论拓展如图若点在的延长线上不与重合过点作交射线于点你认为中别与边的延长线交于点连接设如图当被对角线平分时求的值当是直角三间有什么数量关系？并说明理由 14如图，将矩形 ABCD沿 AF折叠，使点 D落在

12、BC边的点 E处，过点 E作 EGCD交 AF于点 G，连接 DG（1）求证：四边形 EFDG是菱形；（2）探究线段 EG、GF、AF之间的数量关系，并说明理由；（3）若 AG=6，EG=2，求 BE的长 15如图 1，ABC是等腰直角三角形，BAC=90，AB=AC，四边形 ADEF是正方形，点 B、C分别在边 AD、AF上，此时 BD=CF，BDCF成立（1）当ABC绕点 A 逆时针旋转 （0 90）时，如图 2，BD=CF成立吗？若成立，请证明，若不成立，请说明理由；（2）当ABC绕点 A逆时针旋转 45 时，如图 3，延长 BD交 CF于点 H 求证：BDCF；当 AB=2，AD=3时

13、，求线段 DH的长 过程中设求与之间的函数关系式并求出的最大值已知在矩形中的平分线的结论拓展如图若点在的延长线上不与重合过点作交射线于点你认为中别与边的延长线交于点连接设如图当被对角线平分时求的值当是直角三 16如图 1，在矩形 ABCD中，BCAB，BAD的平分线 AF与 BD、BC分别交于点 E、F，点O 是 BD的中点，直线 OKAF，交 AD于点 K，交 BC于点 G（1）求证：DOK BOG；AB+AK=BG；（2）若 KD=KG，BC=4 求 KD的长度；如图 2，点 P 是线段 KD上的动点（不与点 D、K重合），PMDG 交 KG于点 M，PNKG交 DG于点 N，设 PD=m

14、，当 SPMN=时，求 m 的值 17已知正方形 ABCD，P 为射线 AB上的一点，以 BP为边作正方形 BPEF，使点 F在线段 CB的延长线上，连接 EA、EC（1）如图 1，若点 P 在线段 AB的延长线上，求证：EA=EC；（2）若点 P 在线段 AB上 如图 2，连接 AC，当 P 为 AB的中点时，判断ACE的形状，并说明理由；如图 3，设 AB=a，BP=b，当 EP平分AEC时，求 a：b 及AEC的度数 过程中设求与之间的函数关系式并求出的最大值已知在矩形中的平分线的结论拓展如图若点在的延长线上不与重合过点作交射线于点你认为中别与边的延长线交于点连接设如图当被对角线平分时求

15、的值当是直角三 18在四边形 ABCD中，对角线 AC、BD相交于点 O，设锐角AOB=，将DOC按逆时针方向旋转得到DOC（0 旋转角90）连接 AC、BD，AC与 BD相交于点 M（1）当四边形 ABCD为矩形时，如图 1求证：AOCBOD（2）当四边形 ABCD为平行四边形时，设 AC=kBD，如图 2 猜想此时AOC与BOD有何关系，证明你的猜想；探究 AC与 BD的数量关系以及AMB与 的大小关系，并给予证明 19已知菱形 ABCD的边长为 1，ADC=60，等边AEF两边分别交 DC、CB于点 E、F（1）特殊发现：如图 1，若点 E、F分别是边 DC、CB的中点，求证：菱形 AB

16、CD对角线 AC、BD的交点 O 即为等边AEF的外心；（2）若点 E、F 始终分别在边 DC、CB上移动，记等边AEF的外心为 P 猜想验证：如图 2，猜想AEF的外心 P 落在哪一直线上，并加以证明；拓展运用：如图 3，当 E、F 分别是边 DC、CB的中点时，过点 P 任作一直线，分别交 DA边于点 M，BC边于点 G，DC边的延长线于点 N，请你直接写出的值 过程中设求与之间的函数关系式并求出的最大值已知在矩形中的平分线的结论拓展如图若点在的延长线上不与重合过点作交射线于点你认为中别与边的延长线交于点连接设如图当被对角线平分时求的值当是直角三 20在正方形 ABCD中，BD是一条对角线

17、，点 E在直线 CD上（与点 C，D 不重合），连接 AE，平移ADE，使点 D 移动到点 C，得到BCF，过点 F作 FGBD于点 G，连接 AG，EG（1）问题猜想：如图 1，若点 E在线段 CD上，试猜想 AG与 EG的数量关系是 ，位置关系是 ；（2）类比探究：如图 2，若点 E在线段 CD的延长线上，其余条件不变，小明猜想（1）中的结论仍然成立，请你给出证明；（3）解决问题：若点 E 在线段 DC的延长线上，且AGF=120，正方形 ABCD的边长为 2，请在备用图中画出图形，并直接写出 DE的长度 21如图，正方形 ABCD边长为 6，菱形 EFGH的三个顶点 E、G、H分别在正方

18、形 ABCD的边AB、CD、DA上，连接 CF（1）求证：HEA=CGF；（2）当AH=DG=2时，求证：菱形EFGH为正方形；（3）设 AH=x，DG=2x，FCG的面积为 y，试求 y 的最大值 过程中设求与之间的函数关系式并求出的最大值已知在矩形中的平分线的结论拓展如图若点在的延长线上不与重合过点作交射线于点你认为中别与边的延长线交于点连接设如图当被对角线平分时求的值当是直角三 22如图 1，四边形 ABCD中，ADBC，ABBC，点 E在边 AB上，DEC=90，且 DE=EC （1）求证：ADE BEC；（2）若 AD=a，AE=b，DE=c，请用图 1 证明勾股定理：a2+b2=c

19、2；（3）线段 AB上另有一点 F（不与点 E重合），且 DFCF（如图 2），若 AD=2，BC=4，求 EF的长 23如图 1，正方形 ABCD中，AC是对角线，等腰 RtCMN 中，CMN=90，CM=MN，点 M在 CD边上，连接 AN，点 E是 AN的中点，连接 BE（1）若 CM=2，AB=6，求 AE的值；（2）求证：2BE=AC+CN；（3）当等腰 RtCMN 的点 M 落在正方形 ABCD的 BC边上，如图 2，连接 AN，点 E是 AN的中点，连接 BE，延长 NM 交 AC于点 F请探究线段 BE、AC、CN的数量关系，并证明你的结论 过程中设求与之间的函数关系式并求出的

20、最大值已知在矩形中的平分线的结论拓展如图若点在的延长线上不与重合过点作交射线于点你认为中别与边的延长线交于点连接设如图当被对角线平分时求的值当是直角三 24正方形 ABCD的边长为 3，点 E，F分别在射线 DC，DA上运动，且 DE=DF 连接 BF，作EH BF所在直线于点 H，连接 CH（1）如图 1，若点 E是 DC的中点，CH与 AB之间的数量关系是 ；（2）如图 2，当点 E在 DC边上且不是 DC的中点时，（1）中的结论是否成立？若成立给出证明；若不成立，说明理由；（3）如图 3，当点 E，F分别在射线 DC，DA上运动时，连接 DH，过点 D 作直线 DH的垂线，交直线 BF于

21、点 K，连接 CK，请直接写出线段 CK长的最大值 25问题：如图（1），点 E、F分别在正方形 ABCD的边 BC、CD上，EAF=45，试判断 BE、EF、FD之间的数量关系【发现证明】小聪把ABE绕点 A 逆时针旋转 90 至ADG，从而发现 EF=BE+FD，请你利用图（1）证明上述结论【类比引申】如图（2），四边形 ABCD中，BAD90，AB=AD，B+D=180，点 E、F分别在边 BC、CD上，则当EAF与BAD满足 关系时，仍有 EF=BE+FD【探究应用】如图（3），在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形 ABCD 已知 AB=AD=80米，B=60，ADC=120，B

22、AD=150，道路 BC、CD上分别有景点 E、F，且 AE AD，DF=40过程中设求与之间的函数关系式并求出的最大值已知在矩形中的平分线的结论拓展如图若点在的延长线上不与重合过点作交射线于点你认为中别与边的延长线交于点连接设如图当被对角线平分时求的值当是直角三（1）米，现要在 E、F 之间修一条笔直道路，求这条道路 EF的长（结果取整数，参考数据：=1.41，=1.73）26如图 1，正方形 OABC与正方形 ODEF放置在直线 l 上，连结 AD、CF，此时 AD=CF ADCF成立 （1）正方形 ODEF绕 O 点逆时针旋转一定的角度，如图 2，试判断 AD与 CF还相等吗？若成立，请

23、证明；若不成立，请说明理由（2）正方形 ODEF绕 O 点逆时针旋转，使点 E旋转至直线 l 上，如图 3，求证：ADCF（3）在（2）小题的条件下，AD与 OC的交点为G，当AO=3，OD=时，求线段CG的长 27如图，在正方形 ABCD与等腰直角三角形 BEF中，BEF=90，BE=EF，连接 PF，点 P 是FD的中点，连接 PE、PC（1）如图 1，当点 E在 CB边上时，求证：PE=CE；（2）如图 2，当点 E在 CB的延长线上时，线段 PC、CE有怎样的数量关系，写出你的猜想，并给与证明 过程中设求与之间的函数关系式并求出的最大值已知在矩形中的平分线的结论拓展如图若点在的延长线上

24、不与重合过点作交射线于点你认为中别与边的延长线交于点连接设如图当被对角线平分时求的值当是直角三 28 已知：l1l2l3l4，平行线 l1与 l2、l2与 l3、l3与 l4之间的距离分别为 d1、d2、d3，且 d1=d3=1，d2=2我们把四个顶点分别在 l1、l2、l3、l4这四条平行线上的四边形称为“格线四边形”（1）如图 1，正方形 ABCD为“格线四边形”，则正方形 ABCD的边长为 （2）矩形 ABCD为“格线四边形”，其长：宽=2：1，求矩形 ABCD的宽（3）如图 1，EG过正方形 ABCD的顶点 D 且垂直 l1于点 E，分别交 l2，l4于点 F，G将AEG绕点 A顺时针

25、旋转 30 得到AED（如图 2），点 D在直线 l3上，以 AD为边在 ED左侧作菱形ABCD，使 B，C分别在直线 l2，l4上，求菱形 ABCD的边长 29正方形 ABCD边长为 4cm，点 E，M 分别是线段 AC，CD上的动点，连接 DE并延长，交正方形 ABCD的边于点 F，过点 M 作 MNDF于 H，交 AD于 N（1）如图 1，若点 M 与点 C重合，求证：DF=MN；（2）如图 2，若点 M 从点 C出发，以 1cm/s 的速度沿 CD向点 D 运动，点 E同时从点 A出发，以cm/s 速度沿 AC向点 C运动，运动时间为 t（t0）；当点 F是边 AB的中点时，求 t 的

26、值；过程中设求与之间的函数关系式并求出的最大值已知在矩形中的平分线的结论拓展如图若点在的延长线上不与重合过点作交射线于点你认为中别与边的延长线交于点连接设如图当被对角线平分时求的值当是直角三连结 FM，FN，当 t 为何值时MNF 是等腰三角形（直接写出 t 值）30已知，正方形 ABCD中，MAN=45，MAN 绕点 A顺时针旋转，它的两边长分别交 CB、DC（或它们的延长线）于点 M、N，AHMN 于点 H（1）如图，当MAN 点 A旋转到 BM=DN时，请你直接写出 AH与 AB的数量关系：；（2）如图，当MAN 绕点 A旋转到 BMDN时，（1）中发现的 AH与 AB的数量关系还成立吗

27、？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；（3）如图，已知MAN=45，AHMN 于点 H，且 MH=2，NH=3，求 AH的长 特殊四边形综合题答案 1如图，BD是正方形 ABCD的对角线，BC=2，边 BC在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为 PQ，连接 PA、QD，并过点 Q 作 QOBD，垂足为 O，连接 OA、OP（1）请直接写出线段 BC在平移过程中，四边形 APQD是什么四边形？（2）请判断 OA、OP 之间的数量关系和位置关系，并加以证明；（3）在平移变换过程中，设 y=SOPB，BP=x（0 x2），求 y 与 x 之间的函数关系式，并求出y 的最大值 过程中设求与之

28、间的函数关系式并求出的最大值已知在矩形中的平分线的结论拓展如图若点在的延长线上不与重合过点作交射线于点你认为中别与边的延长线交于点连接设如图当被对角线平分时求的值当是直角三 解：（1）四边形 APQD为平行四边形；（2）OA=OP，OAOP，理由如下：四边形 ABCD是正方形，AB=BC=PQ，ABO=OBQ=45，OQBD，PQO=45，ABO=OBQ=PQO=45，OB=OQ，在AOB和OPQ 中，AOBPOQ（SAS），OA=OP，AOB=POQ，AOP=BOQ=90，OAOP；（3）如图，过 O 作 OEBC于 E 如图 1，当 P 点在 B点右侧时，则 BQ=x+2，OE=，y=x，

29、即 y=（x+1）2，又0 x2，当 x=2 时，y 有最大值为 2；如图 2，当 P 点在 B点左侧时，过程中设求与之间的函数关系式并求出的最大值已知在矩形中的平分线的结论拓展如图若点在的延长线上不与重合过点作交射线于点你认为中别与边的延长线交于点连接设如图当被对角线平分时求的值当是直角三 则 BQ=2x，OE=，y=x，即 y=（x1）2+，又0 x2，当 x=1 时，y 有最大值为；综上所述，当 x=2 时，y 有最大值为 2；2已知在矩形 ABCD中，ADC的平分线 DE与 BC边所在的直线交于点 E，点 P 是线段 DE上一定点（其中 EPPD）（1）如图 1，若点 F在 CD边上（

30、不与 D 重合），将DPF绕点 P 逆时针旋转 90 后，角的两边 PD、PF分别交射线 DA于点 H、G 求证：PG=PF；探究：DF、DG、DP之间有怎样的数量关系，并证明你的结论（2）拓展：如图 2，若点 F在 CD的延长线上（不与 D 重合），过点 P 作 PGPF，交射线 DA于点 G，你认为（1）中 DF、DG、DP之间的数量关系是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请写出它们所满足的数量关系式，并说明理由 【分析】（1）若证 PG=PF，可证HPGDPF，已知DPH=HPG，由旋转可知GPF=HPD=90及 DE平分ADC得HPD为等腰直角三角形，即DHP=PDF=45、PD

31、=PH，即可得证；由HPD为等腰直角三角形，HPGDPF知 HD=DP，HG=DF，根据 DG+DF=DG+GH=DH即可得；（2）过点P作PHPD交射线DA于点H，先证HPD为等腰直角三角形可得PH=PD，HD=DP，再证HPGDPF可得 HG=DF，根据 DH=DG HG=DG DF可得 DGDF=DP 解：（1）GPF=HPD=90，ADC=90，过程中设求与之间的函数关系式并求出的最大值已知在矩形中的平分线的结论拓展如图若点在的延长线上不与重合过点作交射线于点你认为中别与边的延长线交于点连接设如图当被对角线平分时求的值当是直角三GPH=FPD，DE平分ADC，PDF=ADP=45，HP

32、D为等腰直角三角形，DHP=PDF=45，在HPG和DPF中，HPGDPF（ASA），PG=PF；结论：DG+DF=DP，由知，HPD为等腰直角三角形，HPGDPF，HD=DP，HG=DF，HD=HG+DG=DF+DG，DG+DF=DP；（2）不成立，数量关系式应为：DGDF=DP，如图，过点 P 作 PHPD交射线 DA于点 H，PFPG，GPF=HPD=90，GPH=FPD，DE平分ADC，且在矩形 ABCD中，ADC=90，HDP=EDC=45，得到HPD为等腰直角三角形，DHP=EDC=45，且 PH=PD，HD=DP，GHP=FDP=18045=135，在HPG和DPF中，过程中设求

33、与之间的函数关系式并求出的最大值已知在矩形中的平分线的结论拓展如图若点在的延长线上不与重合过点作交射线于点你认为中别与边的延长线交于点连接设如图当被对角线平分时求的值当是直角三HPGDPF，HG=DF，DH=DG HG=DG DF，DGDF=DP 3已知正方形 ABCD的边长为 4，一个以点 A 为顶点的 45 角绕点 A 旋转，角的两边分别与边 BC、DC的延长线交于点 E、F，连接 EF 设 CE=a，CF=b（1）如图 1，当EAF被对角线 AC平分时，求 a、b 的值；（2）当AEF是直角三角形时，求a、b 的值；（3）如图 3，探索EAF绕点 A旋转的过程中 a、b 满足的关系式，并

34、说明理由 【分析】（1）当EAF被对角线 AC平分时，易证ACF ACE，因此 CF=CE，即 a=b（2）分两种情况进行计算，先用勾股定理得出 CF2=8（CE+4），再用相似三角形得出 4CF=CE（CE+4），两式联立解方程组即可；（3）先判断出AFD=CEF，再判断出 AF=EF，从而得到ADF FCE即可 解：（1）四边形 ABCD是正方形，BCF=DCE=90 AC是正方形 ABCD的对角线，ACB=ACD=45，ACF=ACE，EAF被对角线 AC平分，CAF=CAE，在ACF和ACE中，ACF ACE，CE=CE，CE=a，CF=b，过程中设求与之间的函数关系式并求出的最大值已

35、知在矩形中的平分线的结论拓展如图若点在的延长线上不与重合过点作交射线于点你认为中别与边的延长线交于点连接设如图当被对角线平分时求的值当是直角三a=b，ACF ACE，AEF=AFE，EAF=45，AEF=AFE=67.5，CE=CF，ECF=90，AEC=AFC=22.5，CAF=CAE=22.5，CAE=CEA，CE=AC=4，即：a=b=4；（2）当AEF是直角三角形时，当AFE=90时，AFD+CFE=90，CEF+CFE=90，AFD=CEF AFE=90，EAF=45，AEF=45=EAF AF=EF，在ADF和FCE中 ADF FCE，FC=AD=4，CE=DF=CD+FC=8，a

36、=8，b=4 当AEF=90时，同的方法得，CF=4，CE=8，a=4，b=8（3）ab=32，理由：如图，过程中设求与之间的函数关系式并求出的最大值已知在矩形中的平分线的结论拓展如图若点在的延长线上不与重合过点作交射线于点你认为中别与边的延长线交于点连接设如图当被对角线平分时求的值当是直角三 ABCD BAG=AFC，BAC=45，BAG+CAF=45，AFC+CAF=45，AFC+AEC=180（CFE+CEF）EAF=18090 45=45，CAF=AEC，ACF=ACE=135，ACF ECA，EC CF=AC2=2AB2=32 ab=32 4（2016 淄博）如图，正方形 ABCD的

37、对角线相交于点 O，点 M，N 分别是边 BC，CD上的动点（不与点 B，C，D 重合），AM，AN分别交 BD于点 E，F，且MAN 始终保持 45 不变（1）求证：=；（2）求证：AFFM；（3）请探索：在MAN 的旋转过程中，当BAM等于多少度时，FMN=BAM？写出你的探索结论，并加以证明 【分析】（1）先证明 A、B、M、F四点共圆，根据圆内接四边形对角互补即可证明AFM=90，根据等腰直角三角形性质即可解决问题（2）由（1）的结论即可证明（3）由：A、B、M、F四点共圆，推出BAM=EFM，因为BAM=FMN，所以EFM=过程中设求与之间的函数关系式并求出的最大值已知在矩形中的平分

38、线的结论拓展如图若点在的延长线上不与重合过点作交射线于点你认为中别与边的延长线交于点连接设如图当被对角线平分时求的值当是直角三FMN，推出 MNBD，得到=，推出 BM=DN，再证明ABMADN即可解决问题（1）证明：四边形 ABCD是正方形，ABD=CBD=45，ABC=90，MAN=45，MAF=MBE，A、B、M、F四点共圆，ABM+AFM=180，AFM=90，FAM=FMA=45，AM=AF，=（2）由（1）可知AFM=90，AFFM（3）结论：BAM=22.5时，FMN=BAM 理由：A、B、M、F四点共圆，BAM=EFM，BAM=FMN，EFM=FMN，MNBD，=，CB=DC，

39、CM=CN，MB=DN，在ABM和ADN中，ABMADN，BAM=DAN，过程中设求与之间的函数关系式并求出的最大值已知在矩形中的平分线的结论拓展如图若点在的延长线上不与重合过点作交射线于点你认为中别与边的延长线交于点连接设如图当被对角线平分时求的值当是直角三MAN=45，BAM+DAN=45，BAM=22.5 5（2016 丽水）如图，矩形 ABCD中，点 E为 BC上一点，F为 DE的中点，且BFC=90（1）当 E为 BC中点时，求证：BCF DEC；（2）当 BE=2EC时，求的值；（3）设 CE=1，BE=n，作点 C关于 DE的对称点 C，连结 FC，AF，若点 C到 AF的距离是

40、，求 n 的值 【分析】（1）由矩形和直角三角形斜边上的中线性质得出 CF=DE=EF，由等腰三角形的性质得出FEC=FCE，证出 CF=CE，由 ASA证明BCF DEC即可；（2）设 CE=a，则 BE=2a，BC=3a，证明BCF DEC，得出对应边成比例=，得出 ED2=6a2，由勾股定理得出 DC=a，即可得出结果；（3）过 C作 CHAF于点 H，连接 CC交 EF于 M，由直角三角形斜边上的中线性质得出FEC=FCE，证出ADF=BCF，由 SAS 证明ADF BCF，得出AFD=BFC=90，证出四边形CMFH 是矩形，得出 FM=CH=，设 EM=x，则 FC=FE=x+，由

41、勾股定理得出方程，解方程求出 EM=，FC=FE=+；由（2）得：，把 CE=1，BE=n代入计算即可得出 n 的值（1）证明；在矩形 ABCD中，DCE=90，F是斜边 DE的中点，CF=DE=EF，FEC=FCE，BFC=90，E为 BC中点，EF=EC，CF=CE，在BCF和DEC中，BCF DEC（ASA）；过程中设求与之间的函数关系式并求出的最大值已知在矩形中的平分线的结论拓展如图若点在的延长线上不与重合过点作交射线于点你认为中别与边的延长线交于点连接设如图当被对角线平分时求的值当是直角三（2）解：设 CE=a，由 BE=2CE，得：BE=2a，BC=3a，CF是 RtDCE斜边上的

42、中线，CF=DE，FEC=FCE，BFC=DCE=90，BCF DEC，=，即：=，解得：ED2=6a2 由勾股定理得：222265DCDE ECaaa，=；（3）解：过 C作 CHAF于点 H，连接 CC交 EF于 M，如图所示：CF是 RtDCE斜边上的中线，FC=FE=FD，FEC=FCE，四边形 ABCD是矩形，ADBC，AD=BC，ADF=CEF，ADF=BCF，在ADF和BCF中，ADF BCF（SAS），AFD=BFC=90，CHAF，CCEF，HFE=CHF=CMF=90，四边形 CMFH 是矩形，FM=CH=，过程中设求与之间的函数关系式并求出的最大值已知在矩形中的平分线的结

43、论拓展如图若点在的延长线上不与重合过点作交射线于点你认为中别与边的延长线交于点连接设如图当被对角线平分时求的值当是直角三设 EM=x，则 FC=FE=x+，在 RtEMC和 RtFMC中，由勾股定理得：CE2EM2=CF2FM2，12x2=（x+）2（）2，解得：x=，或 x=（舍去），EM=，FC=FE=+；由（2）得：，把 CE=1，BE=n代入上式计算得：CF=，解得：n=4 6如图 1，在菱形 ABCD中，AB=6，tanABC=2，点 E从点 D 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿着射线 DA的方向匀速运动，设运动时间为 t（秒），将线段 CE绕点 C顺时针旋转一个角 （=BCD）

44、，得到对应线段 CF（1）求证：BE=DF；（2）当 t=6+6 秒时，DF的长度有最小值，最小值等于 12；（3）如图 2，连接 BD、EF、BD交 EC、EF于点 P、Q，当 t 为何值时，EPQ是直角三角形？（4）如图 3，将线段 CD绕点 C顺时针旋转一个角 （=BCD），得到对应线段 CG在点 E的运动过程中，当它的对应点 F位于直线 AD上方时，直接写出点 F到直线 AD的距离 y 关于时间 t 的函数表达式 【分析】（1）由ECF=BCD得DCF=BCE，结合 DC=BC、CE=CF证DCF BCE即可得；（2）当点 E运动至点 E时，由 DF=BE知此时 DF最小，求得 BE、

45、AE即可得答案；（3）EQP=90时，由ECF=BCD、BC=DC、EC=FC得BCP=EQP=90，根据 AB=CD=6，tanABC=tanADC=2即可求得 DE；EPQ=90时，由菱形 ABCD的对角线 ACBD知 EC与 AC重合，可得 DE=6；（4）连接 GF分别角直线 AD、BC于点 M、N，过点 F 作 FHAD于点 H，证DCE GCF可得3=4=1=2，即 GFCD，从而知四边形 CDMN 是平行四边形，由平行四边形得过程中设求与之间的函数关系式并求出的最大值已知在矩形中的平分线的结论拓展如图若点在的延长线上不与重合过点作交射线于点你认为中别与边的延长线交于点连接设如图当

46、被对角线平分时求的值当是直角三MN=CD=6；再由CGN=DCN=CNG知 CN=CG=CD=6，根据 tanABC=tanCGN=2可得 GM=6+12，由 GF=DE=t得 FM=t612，利用 tanFMH=tanABC=2即可得 FH 解：（1）ECF=BCD，即BCE+DCE=DCF+DCE，DCF=BCE，四边形 ABCD是菱形，DC=BC，在DCF和BCE中，DCF BCE（SAS），DF=BE；（2）如图 1，当点 E运动至点 E时，DF=BE，此时 DF最小，在 RtABE中，AB=6，tanABC=tanBAE=2，设 AE=x，则 BE=2x，AB=x=6，则 AE=6

47、DE=6+6，DF=BE=12，故答案为：6+6，12；（3）CE=CF，CEQ90，当EQP=90时，如图 2，ECF=BCD，BC=DC，EC=FC，过程中设求与之间的函数关系式并求出的最大值已知在矩形中的平分线的结论拓展如图若点在的延长线上不与重合过点作交射线于点你认为中别与边的延长线交于点连接设如图当被对角线平分时求的值当是直角三CBD=CEF，BPC=EPQ，BCP=EQP=90，AB=CD=6，tanABC=tanADC=2，DE=6，t=6 秒；当EPQ=90时，如图 2，菱形 ABCD的对角线 ACBD，EC与 AC重合，DE=6，t=6秒；（4）y=t12，如图 3，连接 G

48、F分别角直线 AD、BC于点 M、N，过点 F作 FHAD于点 H，由（1）知1=2，又1+DCE=2+GCF，DCE=GCF，在DCE和GCF中，DCE GCF（SAS），3=4，1=3，1=2，过程中设求与之间的函数关系式并求出的最大值已知在矩形中的平分线的结论拓展如图若点在的延长线上不与重合过点作交射线于点你认为中别与边的延长线交于点连接设如图当被对角线平分时求的值当是直角三2=4，GFCD，又AHBN，四边形 CDMN是平行四边形，MN=CD=6，BCD=DCG，CGN=DCN=CNG，CN=CG=CD=6，tanABC=tanCGN=2，GN=12，GM=6+12，GF=DE=t，F

49、M=t612，tanFMH=tanABC=2，FH=（t612），即 y=t12 7已知四边形 ABCD是菱形，AB=4，ABC=60，EAF的两边分别与射线 CB，DC相交于点E，F，且EAF=60（1）如图 1，当点 E是线段 CB的中点时，直接写出线段 AE，EF，AF之间的数量关系；（2）如图 2，当点 E是线段 CB上任意一点时（点 E不与 B、C重合），求证：BE=CF；（3）如图 3，当点 E在线段 CB的延长线上，且EAB=15时，求点 F到 BC的距离 【分析】（1）结论 AE=EF=AF 只要证明 AE=AF即可证明AEF是等边三角形（2）欲证明 BE=CF，只要证明BAE

50、 CAF即可（3）过点 A作 AGBC于点 G，过点 F作 FHEC于点 H，根据 FH=CFcos30，因为 CF=BE，只要求出 BE即可解决问题（1）解：结论 AE=EF=AF 理由：如图 1 中，连接 AC，过程中设求与之间的函数关系式并求出的最大值已知在矩形中的平分线的结论拓展如图若点在的延长线上不与重合过点作交射线于点你认为中别与边的延长线交于点连接设如图当被对角线平分时求的值当是直角三 四边形 ABCD是菱形，B=60，AB=BC=CD=AD，B=D=60，ABC，ADC是等边三角形，BAC=DAC=60 BE=EC，BAE=CAE=30，AE BC，EAF=60，CAF=DAF