2023年三角函数一轮复习精品讲义1.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 第三章 三角函数.1 第一节 角的概念与任意角的三角函数.2 第二节 同角三角函数的基本关系式与诱导公式.9 第三节 三角函数的图象与性质.16 第四节 函数 yAsin(x )的图象及三角函数模型的应用.24 第五节 和角公式.37 第六节 倍角公式与半角公式.45 第七节 正弦定理和余弦定理.53 第八节 正弦定理、余弦定理的应用举例.61 第三章 三角函数 知识网络：学习重点：三角函数是高考命题的重点，分值约占 10%15%，一般是一个小题和一个大题，以中低档题为主 1主要考查三角函数的图象与性质，简单的三角恒等变换，正、余弦定理及其应用，且题目常考常新 2客观题主要

2、涉及三角函数的求值，函数的图象及性质，解答题主要以三角变换为工具，综合考查函数的图象与性质；或以正、余弦定理为工具，结合三角变换考查解三角形的有关知识 3高考命题中，本章常与平面向量相结合，既可以考查平面向量的运算，又可以考查三角函数式的化简和三角函数的性质，符合高考命题“要在知识点的交汇处命题”的要求.学法指导：1.立足基础，着眼于提高立足课本，牢固掌握三角函数的概念、图象和性质；弄清每个公式成立的条件，公式间的内在联系及公式的变形、逆用等要在灵、活、巧上下功夫，切不可死记硬背 2突出数学思想方法应深刻理解数与形的内在联系，理解众多三角公式的应用无一不体现等价转化思想在解决三角函数的问题时仔

3、细体会拆角、切化弦、三角函数归一的方法技能 3抓住关键，三角函数的化简、求值中，要熟练掌握三角变换公式的应用，其中角的变换是解题的关键，注意已知与待求中角的关系，力争整体处理 4注意三角函数与向量等内容的交汇渗透，这也是命题的热点之一.学习必备 欢迎下载 第一节 角的概念与任意角的三角函数 学习目标：1.了解任意角的概念，了解弧度制的概念 2能进行弧度与角度的互化 3理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义 考点梳理：1角的有关概念(1)从运动的角度看，角可分为正角、负角和零角(2)从终边位置来看，可分为象限角与轴线角(3)若 与 是终边相同的角，则 用 表示为 2k (kZ)2弧度与角度

4、的互化(1)1 弧度的角 长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角(2)角 的弧度数 在半径为 r 的圆中，弧长为 l 的弧所对圆心角为 rad，则 lr.(3)角度与弧度的换算n n180rad；rad(180).(4)弧长、扇形面积的公式 设扇形的弧长为 l，圆心角大小为 (rad)，半径为 r，则 lr，扇形的面积为 S12lr12r2.3任意角的三角函数(1)定义：设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(x，y)，那么 sin y，cos x，tan yx.(2)三角函数在各象限的符号 一全正，二正弦，三正切，四余弦 4单位圆与三角函数线(1)单位圆：半径为 1 的圆叫做

5、单位圆(2)三角函数线(3)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在 x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)思考：1“角 为锐角”是“角 为第一象限角”的什么条件？【提示】充分不必要条件 2终边在直线 yx 上的角的正弦值相等吗？【提示】当角的终边一个在第一象限，一个在第三象限时，正弦值不相等 学情自测：1已知锐角 终边上一点 A的坐标是(2sin 3，2cos 3)，则 弧度数是()A2 B.3 C.6 D.23【解析】点 A的坐标为(3，1)sin 132112，又 为锐角，6.【答案】C 公式第七节正弦定理和余弦定理第八节正弦定理余弦定理的应

6、用举例第等变换正余弦定理及其应用且题目常考常新客观题主要涉及三角函数的常与平面向量相结合既可以考查平面向量的运算可以考查三角函数式的学习必备 欢迎下载 2(2012 江西高考)下列函数中，与函数 y13x定义域相同的函数为()Ay1sin x Byln xx Cyxex Dysin xx【解析】函数 y13x的定义域为x|x0，选项 A 中由 sin x0 xk，k Z，故 A不对；选项 B 中 x0，故 B 不对；选项 C 中，x R，故 C 不对；选项 D 中由正弦函数及分式型函数的定义域确定方法可知定义域为x|x0，故选 D.【答案】D 3若 sin 0 且 tan 0，则 是()A第一

7、象限角 B第二象限角 C第三象限角 D第四象限角【解析】由 sin 0，得 在第三、四象限或 y 轴非正半轴上，又 tan 0，在第三象限【答案】C 4弧长为 3，圆心角为 135 的扇形半径为_，面积为_【解析】l3，135 34，rl4，S12lr123 46.【答案】4 6 5已知角 的顶点为坐标原点，始边为 x 轴的正半轴若 P(4，y)是角 终边上一点，且 sin 2 55，则 y_.【解析】由三角函数的定义，sin y16y2，又 sin 2 550，y0 且y16y22 55，解之得 y8.【答案】8 典例探究：例 1（角的集合表示）(1)写出终边在直线 y 3x 上的角的集合；

8、(2)已知 是第三象限角，求2所在的象限【思路】(1)角的终边是射线，应分两种情况求解(2)把 写成集合的形式，从而2的集合形式也确定【解答】(1)当角的终边在第一象限时，角的集合为|2k 3，k Z，当角的终边在第三象限时，角的集合为|2k 43，k Z，故所求角的集合为|2k 3，k Z|2k 43，k Z|k 3，k Z(2)2k 2k 32(k Z)，公式第七节正弦定理和余弦定理第八节正弦定理余弦定理的应用举例第等变换正余弦定理及其应用且题目常考常新客观题主要涉及三角函数的常与平面向量相结合既可以考查平面向量的运算可以考查三角函数式的学习必备 欢迎下载 k 22k 34(k Z)当 k

9、2n(n Z)时，2n 222n 34，2是第二象限角，当 k2n1(n Z)时，2n 3222n 74，2是第四象限角，综上知，当 是第三象限角时，2是第二或第四象限角,变式训练 1：若角 的终边与3角的终边相同，则在0,2)内终边与角3的终边相同的角为_【解析】32k(k Z)，3923k(k Z)，当 k0,1,2 时，39，79，139.【答案】9，79，139 例 2（弧度制的应用）已知扇形的圆心角是 ，半径为 R，弧长为 l.(1)若 60，R10 cm，求扇形的弧长 l.(2)若扇形的周长为 20 cm，当扇形的圆心角 为多少弧度时，这个扇形的面积最大？(3)若 3，R2 cm，

10、求扇形的弧所在的弓形的面积【思路】(1)可直接用弧长公式，但要注意用弧度制；(2)可用弧长或半径表示出扇形面积，然后确定其最大值时的半径和弧长，进而求出圆心角 ；(3)利用 S弓S扇S，这样就需要求扇形的面积和三角形的面积【解答】(1)l103103(cm)(2)由已知得：l2R20，所以 S12lR12(202R)R10RR2(R5)225，所以 R5 时，S 取得最大值 25，此时 l10，2 rad.(3)设弓形面积为 S弓 由题知 l23cm，S弓S扇S122321222sin 3(23 3)(cm2)变式训练 2：已知半径为 10 的圆 O 中，弦 AB的长为 10，(1)求弦 AB

11、所对的圆心角 的大小；(2)求 所在的扇形弧长 l 及弧所在的弓形的面积 S.【解】(1)在 AOB 中，ABOAOB10，AOB 为等边三角形 因此弦 AB 所对的圆心角 3.(2)由扇形的弧长与扇形面积公式，得 l R310103，S扇形12R l12 R2503.又 S AOB12 OA OB sin 325 3.公式第七节正弦定理和余弦定理第八节正弦定理余弦定理的应用举例第等变换正余弦定理及其应用且题目常考常新客观题主要涉及三角函数的常与平面向量相结合既可以考查平面向量的运算可以考查三角函数式的学习必备 欢迎下载 弓形的面积 SS扇形S AOB50(332).例 3（三角函数的定义）(

12、1)已知角 的终边经过点 P(m，3)，且 cos 45，则 m 等于()A114 B.114 C4 D4(2)已知角 的终边在直线 3x4y0 上，求 sin ，cos ，tan 的值【思路】(1)求出点 P 到原点 O 的距离，根据三角函数的定义求解(2)在直线上设一点 P(4t，3t)，求出点 P 到原点 O 的距离，根据三角函数的定义求解，由于点 P 可在不同的象限内，所以需分类讨论【解答】(1)点 P 到原点 O 距离|OP|m29，cos mm2945，m216m0，m4.【答案】C(2)在直线 3x4y0 上任取一点 P(4t，3t)(t0)，则 x4t，y3t，r|PO|x2y

13、2 4t2 3t25|t|，当 t0 时，r5t，sin yr3t5t35，cos xr4t5t45，tan yx3t4t34；当 t0 时，r5t，sin yr3t5t35，cos xr4t5t45，tan yx3t4t34.综上可知，当 t0 时，sin 35，cos 45，tan 34.当 t0 时，sin 35，cos 45，tan 34.变式训练 3：设 90 180，角 的终边上一点为 P(x，5)，且 cos 24x，求 4sin 3tan 的值 【解】rx25，cos xx25，从而24xxx25，解得 x0 或 x 3.90 180，x0，因此 x 3.则 r2 2，公式第七

14、节正弦定理和余弦定理第八节正弦定理余弦定理的应用举例第等变换正余弦定理及其应用且题目常考常新客观题主要涉及三角函数的常与平面向量相结合既可以考查平面向量的运算可以考查三角函数式的学习必备 欢迎下载 sin 52 2104，tan 5 3153.故 4sin 3tan 10 15.小结：一条规律 三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦 两个技巧 1.在利用三角函数定义时，点 P 可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点 2利用单位圆和三角函数线是解简单三角不等式的常用技巧 三点注意 1.第一象限角、锐角、小于 90 的角是三个不同的概念，前者是象限角，后两者是

15、区间角 2角度制与弧度制可利用 180 rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用 3注意熟记 0 360 间特殊角的弧度表示，以方便解题 课后作业(十六)角的概念与任意角的三角函数 一、选择题 图 312 1(2013 宁波模拟)如图 312，在直角坐标系 xOy 中，射线 OP 交单位圆 O 于点 P，若AOP，则点 P 的坐标是()A(cos ，sin )B(cos ，sin )C(sin ，cos )D(sin ，cos )【解析】设 P(x，y)，由三角函数定义知 sin y，cos x，故点 P 的坐标为(cos ，sin )【答案】A 2已知 2 弧度的圆

16、心角所对的弦长为 2，则这个圆心角所对的弧长是()A2 Bsin 2 C.2sin 1 D2sin 1【解析】由题设，圆弧的半径 r1sin 1，圆心角所对的弧长l2r2sin 1.【答案】C 3(2013 海淀模拟)若 k 360 ，m 360 (k，mZ)，则角 与 的终边的位置关系是()A重合 B关于原点对称 C关于 x 轴对称 D关于 y 轴对称【解析】由题意知角 与角 的终边相同，角 与角 的终边相同，又角 与角公式第七节正弦定理和余弦定理第八节正弦定理余弦定理的应用举例第等变换正余弦定理及其应用且题目常考常新客观题主要涉及三角函数的常与平面向量相结合既可以考查平面向量的运算可以考查

17、三角函数式的学习必备 欢迎下载 的终边关于 x 轴对称，故选 C.【答案】C 4若角 的终边在直线 y2x 上，且 sin 0，则 cos 和 tan 的值分别为()A.55，2 B55，12 C2 55，2 D55，2【解析】由题意知，角 的终边在第二象限，在角 的终边上取点 P(1,2)，则 r 5，从而 cos 1555，tan 212，故选 D.【答案】D 5(2013 昆明模拟)设 是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且 cos 15x，则 tan ()A.43 B.34 C34 D43【解析】由题意知 x0，rx216，cos xx21615x，x29，x3，tan 43.

18、【答案】D 6已知点 P(sin 34，cos 34)在角 的终边上，且 0,2)，则 的值为()A.4 B.34 C.54 D.74【解析】由已知得 P(22，22)，tan 1 且 是第四象限角，74.【答案】D 二、填空题 7(2013 潍坊模拟)若角 120 的终边上有一点(4，a)，则 a 的值是_【解析】由题意知a4tan 120，a4 3，a4 3.【答案】4 3 8已知角 的终边落在直线 y3x(x0)上，则|sin|sin|cos|cos _.【解析】因为角 的终边落在直线 y3x(x0)上，所以角 是第二象限角，因此 sin 0，cos 0，故|sin|sin|cos|co

19、s sin sin cos cos 112.【答案】2 9点 P 从(1,0)出发，沿单位圆 x2y21 逆时针方向运动23弧长到达 Q 点，则 Q 点的坐标为_【解析】由题意知点 Q 是角23的终边与单位圆的交点，设 Q(x，y)，则 ysin 2332，xcos 2312，故 Q(12，32)公式第七节正弦定理和余弦定理第八节正弦定理余弦定理的应用举例第等变换正余弦定理及其应用且题目常考常新客观题主要涉及三角函数的常与平面向量相结合既可以考查平面向量的运算可以考查三角函数式的学习必备 欢迎下载【答案】(12，32)三、解答题 10已知角 的终边上有一点 P(x，1)(x0)，且 tan x

20、，求 sin cos 的值【解】的终边过点(x，1)(x0)，tan 1x，又 tan x，x21，x 1.当 x1 时，sin 22，cos 22，因此 sin cos 0；当 x1 时，sin 22，cos 22，因此 sin cos 2.11已知扇形 OAB 的圆心角 为 120，半径长为 6，(1)求 AB 的长；(2)求 AB 所在弓形的面积【解】(1)120 23，r6，AB 的长 l2364.(2)S扇形 OAB12lr124 612，S ABO12r2 sin 231262329 3，S弓形S扇形 OABS ABO12 9 3.12角 终边上的点 P 与 A(a,2a)关于 x

21、 轴对称(a0)，角 终边上的点 Q 与 A关于直线 yx 对称，求 sin cos sin cos tan tan 的值【解】由题意得，点 P 的坐标为(a，2a)，点 Q 的坐标为(2a，a)所以，sin 2aa2 2a225，cos aa2 2a215，tan 2aa2，sin a 2a2a215，cos 2a 2a2a225，tan a2a12，故有 sin cos sin cos tan tan 25151525(2)121.公式第七节正弦定理和余弦定理第八节正弦定理余弦定理的应用举例第等变换正余弦定理及其应用且题目常考常新客观题主要涉及三角函数的常与平面向量相结合既可以考查平面向量

22、的运算可以考查三角函数式的学习必备 欢迎下载 第二节 同角三角函数的基本关系式与诱导公式 学习目标：1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2xcos2x1，sin xcos xtan x.2能利用单位圆中的三角函数线推导出2 ，的正弦、余弦、正切的诱导公式.考点梳理：1同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin2 cos2 1.(2)商数关系：tan sin cos(2k，kZ)2诱导公式 组数 一 二 三 四 五 角 2k(kZ)(2k1)(kZ)2 2 正弦 sin sin_ sin_ cos_ cos_ 余弦 cos cos_ cos_ sin_ sin_ 正切 tan tan_

23、tan_ 口诀 函数名不变符号看象限 思考：1有人说 sin(k )sin()sin (kZ)，你认为正确吗？【提示】不正确当 k2n(n Z)时，sin(k )sin(2n )sin ；当 k2n1(n Z)时，sin(k )sin(2n )sin()sin .2sin()如何使用诱导公式变形？【提示】sin()sin()sin .学情自测：1已知 cos()513，且 是第四象限角，则 sin ()A1213 B.1213 C.512 D1213【解析】cos()cos()cos 513，cos 513，又 是第四象限角，sin 0，则 sin 1cos2 1213.【答案】A 2已知 s

24、in()3cos(2 )，|2，则 等于()A6 B3 C.6 D.3【解析】由 sin()3cos(2 )得 sin 3cos ，tan 3，公式第七节正弦定理和余弦定理第八节正弦定理余弦定理的应用举例第等变换正余弦定理及其应用且题目常考常新客观题主要涉及三角函数的常与平面向量相结合既可以考查平面向量的运算可以考查三角函数式的学习必备 欢迎下载 又|2，3，故选 D.【答案】D 3sin 585 的值为()A22 B.22 C32 D.32【解析】sin 585 sin(360 225)sin 225 sin(180 45)sin 45 22.【答案】A 4若 cos 35且 (，32)，则

25、 tan ()A.34 B.43 C34 D43【解析】cos 35，且 (，32)，sin 1cos2 1 35245，tan sin cos 43.【答案】B 5(2012 辽宁高考)已知 sin cos 2，(0，)，则 sin 2()A1 B22 C.22 D1【解析】因为 sin cos 2，所以 12sin cos 2，即 sin 2 1.【答案】A 典例探究：例 1（同角三角函数关系式的应用）(1)(2013 潍坊模拟)已知sin 3cos 3cos sin 5，则 sin2 sin cos 的值是()A.25 B25 C2 D2(2)(2013 银川模拟)已知 (，32)，ta

26、n 2，则 cos _.【思路】(1)先根据已知条件求得 tan ，再把所求式变为用 tan 表示的式子求解；(2)切化弦，结合 sin2 cos2 1 求解【解答】(1)由sin 3cos 3cos sin 5，得tan 33tan 5，即 tan 2.所以 sin2 sin cos sin2 sin cos sin2 cos2tan2 tan tan2 125.(2)依题意得 tan sin cos 2，sin2 cos2 1，由此解得 cos2 15；又 (，32)，因此 cos 55.【答案】(1)A(2)55,变式训练 1：公式第七节正弦定理和余弦定理第八节正弦定理余弦定理的应用举例

27、第等变换正余弦定理及其应用且题目常考常新客观题主要涉及三角函数的常与平面向量相结合既可以考查平面向量的运算可以考查三角函数式的学习必备 欢迎下载(2012 大纲全国卷)已知 为第二象限角，sin 35，则 sin 2()A2425 B1225 C.1225 D.2425【解析】为第二象限角且 sin 35，cos 1sin2 45，sin 2 2sin cos 235(45)2425.【答案】A 例 2（诱导公式的应用）(1)已知 tan 2，sin cos 0，则sin 2 sin cos sin 3 cos _.(2)已知 为第三象限角，f()sin 2 cos32 tan tan sin

28、 ，化简 f()；若 cos(32)15，求 f()的值【思路】(1)先利用诱导公式对原式进行化简，再根据 tan 2，结合 的范围和同角三角函数关系式求解；(2)直接利用诱导公式化简约分利用 在第三象限及同角三角函数关系的变形式得 f()【解答】(1)原式sin sin cos sin cos sin ，tan 20，为第一象限角或第三象限角 又 sin cos 0，为第三象限角，由 tan sin cos 2，得 sin 2cos 代入 sin2 cos2 1，解得 sin 2 55.【答案】2 55(2)f()sin 2 cos32 tan tan sin cos sin tan tan

29、 sin cos .cos(32)15，sin 15，从而 sin 15.又 为第三象限角，cos 1sin2 2 65，f()2 65.变式训练 2：(1)(2013 烟台模拟)sin 600 tan 240 的值等于()A32 B.32 C.312 D.312(2)(2013 台州模拟)已知 f(x)asin(x)bcos(x)4(a，b，为非零实数)，若 f(2 012)5，则 f(2 013)()公式第七节正弦定理和余弦定理第八节正弦定理余弦定理的应用举例第等变换正余弦定理及其应用且题目常考常新客观题主要涉及三角函数的常与平面向量相结合既可以考查平面向量的运算可以考查三角函数式的学习必

30、备 欢迎下载 A3 B5 C1 D不能确定【解析】(1)sin 600 tan 240 sin(360 240)tan(180 60)sin(180 60)tan 60 sin 60 tan 60 32 332.(2)f(2 012)asin(2 012 )bcos(2 012 )4 asin bcos 45，asin bcos 1，f(2 013)asin(2 013 )bcos(2 013 )4 asin bcos 4(asin bcos )4143.【答案】(1)B(2)A 例 3（sin cos 与 sin cos 的关系）(2013 扬州模拟)已知 x0，sin xcos x15.(

31、1)求 sin xcos x 的值；(2)求sin 2x2sin2x1tan x的值【思路】(1)利用平方关系，设法沟通 sin xcos x 与 sin xcos x 的关系；(2)先利用倍角公式、商数关系式化为角 x 的弦函数，再设法将所求式子用已知表示出来【解答】(1)由 sin xcos x15，平方得 sin2x2sin xcos xcos2x125，整理得 2sin xcos x2425.(sin xcos x)212sin xcos x4925.又 x0，sin x0，又 sin xcos x0，cos x0，sin xcos x0，故 sin xcos x75.(2)sin 2

32、x2sin2x1tan x2sin x cos xsin x1sin xcos x 2sin xcos x cos xsin xcos xsin x2425157524175.变式训练 3：已知2x0，sin xcos x15.(1)求 sin xcos x 的值；(2)求 tan x 的值【解】(1)由 sin xcos x15，平方得 sin2x2sin xcos xcos2x125，即 2sin xcos x2425，(sin xcos x)212sin xcos x4925.公式第七节正弦定理和余弦定理第八节正弦定理余弦定理的应用举例第等变换正余弦定理及其应用且题目常考常新客观题主要涉

33、及三角函数的常与平面向量相结合既可以考查平面向量的运算可以考查三角函数式的学习必备 欢迎下载 又2x0，sin x0，cos x0，sin xcos x0，故 sin xcos x75.(2)由(1)得 sin xcos x75，故由 sin xcos x15sin xcos x75，得 sin x35，cos x45，tan xsin xcos x354534.小结：一个口诀 诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限 两个防范 1.利用诱导公式进行化简求值时，要注意函数名称和符号的确定 2在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要注意判断三角函数值的符号 三种方法 在求值与化简时，常用方

34、法有：(1)弦切互化法：主要利用公式 tan sin cos 进行弦、切互化(2)和积转换法：利用(sin cos )21 2sin cos 的关系进行变形、转化(3)巧用“1”的变换：1sin2 cos2 cos2(1tan2)tan 4等 课后作业(十七)同角三角函数的基本关系式与诱导公式 一、选择题 1(2013 郑州模拟)记 cos(80)k，那么 tan 100()A.1k2k B1k2k C.k1k2 Dk1k2【解析】由 cos(80)k，得 cos 80 k，sin 80 1k2，tan 100 tan(180 80)tan 80 1k2k.【答案】B 2(2013 温州模拟)

35、若 cos(2)32，且|2，则 tan ()A 3 B.33 C33 D.3【解析】cos(2)32，sin 32，公式第七节正弦定理和余弦定理第八节正弦定理余弦定理的应用举例第等变换正余弦定理及其应用且题目常考常新客观题主要涉及三角函数的常与平面向量相结合既可以考查平面向量的运算可以考查三角函数式的学习必备 欢迎下载 即 sin 32，|2，3，tan tan(3)3.【答案】A 3(2013 济南模拟)已知 (2，0)，sin(32)55则 sin()()A.55 B.2 55 C55 D2 55【解析】sin(32)sin(32)cos 55，且 (2，0)，sin 1cos2 152

36、52 55，sin()sin()sin 2 55.【答案】D 4(2013 保定模拟)已知 tan 2，则 sin2 sin cos 2cos2()A43 B.54 C34 D.45【解析】sin2 sin cos 2cos2 sin2 sin cos 2cos2sin2 cos2 tan2 tan 2tan2 14224145.【答案】D 5(2013 普宁模拟)若sin cos sin cos 2，则sin cos3cos sin3的值为()A81727 B.81727 C.82027 D82027【解析】sin cos sin cos 2，sin 3cos ，sin cos3cos si

37、n33cos2127cos28227cos2 由 sin 3cos ，sin2 cos2 1得 cos2 110，sin cos3cos sin382027.【答案】C 6若 sin 是 5x27x60 的根，则sin 32 sin32 tan2 2 cos2 cos2 sin ()A.35 B.53 C.45 D.54 公式第七节正弦定理和余弦定理第八节正弦定理余弦定理的应用举例第等变换正余弦定理及其应用且题目常考常新客观题主要涉及三角函数的常与平面向量相结合既可以考查平面向量的运算可以考查三角函数式的学习必备 欢迎下载【解析】方程 5x27x60 的两根为 x135，x22，则 sin 3

38、5.原式cos cos tan2sin sin sin 1sin 53.【答案】B 二、填空题 7已知 sin(4)32，则 sin(34)的值为_【解析】sin(34)sin(4)sin(4)32.【答案】32 8(2013 青岛模拟)已知 tan 2，则 7sin2 3cos2 _.【解析】7sin2 3cos2 7sin2 3cos2sin2 cos27tan2 3tan2 17223221315.【答案】315 9已知 sin(x6)14，则 sin(76x)cos2(56x)_.【解析】原式sin(6x)cos2(6x)14(1142)1116.【答案】1116 三、解答题 10已知

39、函数 f(x)1sin x32 cos x2 tan 34cos x.(1)求函数 yf(x)的定义域；(2)设 tan 43，求 f()的值【解】(1)由 cos x0，得 x2k，k Z，所以函数的定义域是x|x2k，k Z(2)tan 43，f()1sin 32 cos 2 tan 34cos 1cos sin 1cos cos sin cos 1tan 13.11已知 tan(87)a.求证：sin157 3cos 137 sin207 cos 227 a3a1.【证明】由已知得 公式第七节正弦定理和余弦定理第八节正弦定理余弦定理的应用举例第等变换正余弦定理及其应用且题目常考常新客观题

40、主要涉及三角函数的常与平面向量相结合既可以考查平面向量的运算可以考查三角函数式的学习必备 欢迎下载 左边sin 87 3cos 87 3 sin4 87 cos2 87 sin 87 3cos 87 sin 87 cos 87 tan 87 3tan 87 1a3a1右边，所以原等式成立 12在ABC 中，若 sin(2 A)2sin(B)，3cos A 2cos(B)，求ABC的三个内角【解】由已知得 sin A 2sin B，3cos A 2cos B，22得 2cos2A1，即 cos A22或 cos A22.(1)当 cos A22时，cos B32，又 A、B 是三角形的内角，A4

41、，B6，C(AB)712.(2)当 cos A22时，cos B32.又 A、B 是三角形的内角，A34，B56，不合题意 综上知，A4，B6，C712.第三节 三角函数的图象与性质 学习目标：1.能画出 ysin x，ycos x，ytan x 的图象，了解三角函数的周期性 2理解正弦函数、余弦函数在区间0,2 上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与 x轴的交点等)，理解正切函数在区间(2，2)内的单调性.考点梳理：1周期函数和最小正周期 对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得定义域内的每一个 x 值，都满足 f(xT)f(x)，那么函数 f(x)就叫做周期函数，非零常数 T

42、叫做这个函数的周期若在所有周期中，存在一个最小的正数，那么这个最小的正数叫做 f(x)的最小正周期 2正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质 函数 ysin x ycos x ytan x 公式第七节正弦定理和余弦定理第八节正弦定理余弦定理的应用举例第等变换正余弦定理及其应用且题目常考常新客观题主要涉及三角函数的常与平面向量相结合既可以考查平面向量的运算可以考查三角函数式的学习必备 欢迎下载 图象 定义域 R R x|x2k，kZ 值域 1,1 1,1 R 单调性 递增区间是2k 2，2k 2(kZ)；递减区间是2k 2，2k 32(kZ)递增区间是2k ，2k(kZ)；递减区间是2k，2k

43、 (kZ)递增区间是(k 2，k 2)(kZ)最大值和最小值 ymax1；ymin1 ymax1；y min1 无最大值 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对 称 性 对称中心(k，0)，kZ(k 2，0)，kZ(k2，0)，kZ 对称轴 xk 2，kZ xk，kZ 无对称轴 最小正周期 2 2 思考：1是否每一个周期函数都有最小正周期？【提示】不一定如常数函数 f(x)a，每一个非零数都是它的周期 2正弦函数和余弦函数的图象的对称轴及对称中心与函数图象的关键点是什么关系？【提示】ysin x 与 ycos x 的对称轴方程中的 x 都是它们取得最大值或最小值时相应的 x.对称中心的横坐标都是它

44、们的零点 学情自测：1函数 ytan 3x 的定义域为()Ax|x32 3k，kZ Bx|x6k，kZ Cx|x6k，kZ Dx|x6k3，kZ【解析】由 3x2k，k Z 得 x6k3，k Z，故选 D.【答案】D 2函数 f(x)2cos(x52)是()A最小正周期为 2 的奇函数 B最小正周期为 2 的偶函数 C最小正周期为 2 的非奇非偶函数 D最小正周期为 的偶函数【解析】f(x)2cos(x52)2cos(x2)2sin x，故 f(x)是最小正周期为 2 的奇函数【答案】A 3(2012 福建高考)函数 f(x)sin(x4)的图象的一条对称轴是()公式第七节正弦定理和余弦定理第

45、八节正弦定理余弦定理的应用举例第等变换正余弦定理及其应用且题目常考常新客观题主要涉及三角函数的常与平面向量相结合既可以考查平面向量的运算可以考查三角函数式的学习必备 欢迎下载 Ax4 Bx2 Cx4 Dx2【解析】法一 正弦函数图象的对称轴过图象的最高点或最低点，故令 x4k 2，k Z，xk 34，k Z.取 k1，则 x4.法二 x4时，ysin(44)0，不合题意，排除 A；x2时，ysin(24)22，不合题意，排除 B；x4时，ysin(44)1，符合题意，C 项正确；而 x2时，ysin(24)22，不合题意，故 D 项也不正确【答案】C 4比较大小：sin(18)_sin(10)

46、【解析】210180，sin(18)sin(10)【答案】5函数 y23cos(x4)的最大值为_，此时 x_.【解析】当 cos(x4)1 时，函数有最大值 5，此时，x4 2k，k Z，即 x34 2k，k Z.【答案】5 34 2k，kZ 典例探究：例 1（三角函数的定义域和值域）(1)(2012 山东高考)函数 y2sin(x63)(0 x9)的最大值与最小值之和为()A2 3 B0 C1 D1 3(2)函数 y1tan x1的定义域为_【思路】(1)先确定 x63的范围，再数形结合求最值；(2)由 tan x10 且 xk 2，k Z 求解【解答】(1)0 x9，36x376，sin

47、(6x3)32，1 y 3，2，ymaxymin2 3.(2)要使函数有意义，公式第七节正弦定理和余弦定理第八节正弦定理余弦定理的应用举例第等变换正余弦定理及其应用且题目常考常新客观题主要涉及三角函数的常与平面向量相结合既可以考查平面向量的运算可以考查三角函数式的学习必备 欢迎下载 必须有 tan x10，x2k，k Z，即 x4k，k Z，x2k，k Z.故函数的定义域为x|x4k 且 x2k，k Z【答案】(1)A(2)x|x4k 且 x2k，kZ,变式训练 1：(1)函数 y 2sin x1的定义域为_(2)当 x6，76时，函数 y3sin x2cos2x 的最小值是_，最大值是_【解

48、析】(1)由 2sin x10 得 sin x12，2k 6x2k 56，k Z，故函数的定义域为2k 6，2k 56(k Z)(2)x 6，76 12sin x1，又 y3sin x2cos2x2sin2xsin x12(sin x14)278，当sin x14时，ymin78，当 sin x1 或12时，ymax2.【答案】(1)2k 6，2k 56(kZ)(2)78 2 例 2（三角函数的单调性）(2012 北京高考)已知函数 f(x)sin xcos x sin 2xsin x.(1)求 f(x)的定义域及最小正周期；(2)求 f(x)的单调递减区间【思路】(1)求定义域时考虑分母不为

49、零，然后对 f(x)解析式进行化简，转化成正弦型函数的形式，再求周期；(2)求单调递减区间时利用整体代换，把 x 当作一个整体放入正弦的减区间内解出x 即为减区间，不要忽略对定义域的考虑【解答】(1)由 sin x0 得 xk(k Z)，故 f(x)的定义域为x R|xk，k Z 因为 f(x)sin xcos x sin 2xsin x2cos x(sin xcos x)sin 2xcos 2x1 2sin(2x4)1，所以 f(x)的最小正周期 T22.(2)函数 ysin x 的单调递减区间为2k 2，2k 32(k Z)由 2k 22x42k 32，xk(k Z)，公式第七节正弦定理和

50、余弦定理第八节正弦定理余弦定理的应用举例第等变换正余弦定理及其应用且题目常考常新客观题主要涉及三角函数的常与平面向量相结合既可以考查平面向量的运算可以考查三角函数式的学习必备 欢迎下载 得 k 38xk 78(k Z)所以 f(x)的单调递减区间为k 38，k 78(k Z)变式训练 2:(2013 武汉模拟)已知函数 ysin(32x)，求：(1)函数的周期；(2)求函数在，0上的单调递减区间【解】由 ysin(32x)可化为 ysin(2x3)(1)周期 T222.(2)令 2k 22x32k 2，k Z，得 k 12xk 512，k Z.所以 x R 时，ysin(32x)的减区间为k