2023年《复变函数》考试试卷(最新版).pdf

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1、优秀学习资料 欢迎下载 伊犁师范学院数学系考试试题 课程：复变函数 专业：数学与应用数学 年级：考试形式：闭卷 编号：一 命题教师：一、判断题（4x10=40 分）：1、若函数 f(z)在 z0解析，则 f(z)在 z0的某个邻域内可导。（）2、如果 z0是 f(z)的本性奇点，则)(lim0zfzz一定不存在。（）3、若函数),(),()(yxivyxuzf在D内连续，则u(x,y)与v(x,y)都在D 内连续。()4、cos z 与 sin z 在复平面内有界。（）5、若 z0是)(zf的 m 阶零点，则 z0是 1/)(zf的 m 阶极点。（）6、若 f(z)在 z0处满足柯西-黎曼条件

2、，则 f(z)在 z0解析。（）7、若)(lim0zfzz存在且有限，则z0是函数的可去奇点。（）8、若f(z)在单连通区域D 内解析，则对D 内任一简单闭曲线 C 都有0)(Cdzzf。（）9、若函数 f(z)是单连通区域 D 内的解析函数，则它在 D 内有任意阶导数。（）10、若函数 f(z)在区域 D 内的解析，且在 D 内某个圆内恒为常数，则在区域 D内恒等于常数。（）二、填空题（4x5=20 分）1、函数 ez的周期为_。2、幂级数 0nnnz的和函数为_。3、设11)(2zzf，则 f(z)的定义域为_。4、0nnnz的收敛半径为_。5、)0,(Resnzze_。三、计算题（8x5

3、=40 分）：优秀学习资料 欢迎下载 1、.)(9(2|2zdzizzz 2、求).,1(Res2izeiz 3、.62limnni 4、求)2)(1(1)(zzzf在|z|2内的罗朗展式。5、求0154 zz，在|z|1 内根的个数。内连续与在复平面内有界若是的阶零点则是的阶极点若在处满足柯西黎若函数在区域内的解析且在内某个圆内恒为常数则在区域内恒等于常数迎下载伊犁师范学院数学系考试试题课程复变函数专业数学与应用数学优秀学习资料 欢迎下载 伊犁师范学院数学系考试试题 课程：复变函数 专业：数学与应用数学 年级：考试形式：闭卷 编号：二 命题教师：一、判断题（4x10=40 分）：1、若函数

4、f(z)在 z0解析，则 f(z)在 z0连续。（）2、有界整函数必为常数。（）3、若nz收敛，则 Renz与 Imnz都收敛。()4、若 f(z)在区域 D 内解析，且0)(zf，则Czf)(（常数）。（）5、若函数 f(z)在 z0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数。（）6、若 f(z)在 z0解析，则 f(z)在 z0处满足柯西-黎曼条件。（）7、若函数 f(z)在 z0可导，则 f(z)在 z0解析。（）8、若 f(z)在区域 D 内解析，则|f(z)|也在 D 内解析。（）9、若幂级数的收敛半径大于零，则其和函数必在收敛圆内解析。（）10、cos z 与 sin z 的周

5、期均为k2。（）二、填空题（4x5=20 分）1、1|00)(zznzzdz_。2、设11)(2zzf，则 f(z)的孤立奇点有_。3、若函数 f(z)在复平面上处处解析，则称它是_。4、zz22cossin _。5、若函数 f(z)在区域 D 内除去有限个极点之外处处解析，则称它是 D 内的_。三、计算题（8x5=40 分）：1、.cos11|zdzz 2、求).,1(Res2izeiz 内连续与在复平面内有界若是的阶零点则是的阶极点若在处满足柯西黎若函数在区域内的解析且在内某个圆内恒为常数则在区域内恒等于常数迎下载伊犁师范学院数学系考试试题课程复变函数专业数学与应用数学优秀学习资料 欢迎下

6、载 3、nnii2121。4、求)2)(1(1)(zzzf在|z|2内的罗朗展式。5、求0282269zzzz在|z|0，则 z0是)(zf的_零点。7、若函数 f(z)在区域 D 内除去有限个极点之外处处解析，则称它是内D_。、8、函数|)(zzf的不解析点之集为_。内连续与在复平面内有界若是的阶零点则是的阶极点若在处满足柯西黎若函数在区域内的解析且在内某个圆内恒为常数则在区域内恒等于常数迎下载伊犁师范学院数学系考试试题课程复变函数专业数学与应用数学优秀学习资料 欢迎下载 9、)0,(Resnzze_，其中 n 为自然数。10、公式xixeixsincos称为_.三、计算题（8x5=40 分

7、）：1、设Cdzzf173)(2，其中 3|:|zzC，试求).1(if 2、求3|1|1)4)(1(21sinzzzzzdzizdze。3、设1)(2zezfz，求).),(Rezfs 4、求函数ze1在|0z内的罗朗展式。5、求复数11zzw的实部与虚部。6、求.212122ii 四、证明题（6+7+7=20分）：1、若函数f(z)在 z0处可导，则 f(z)在 z0连续。2、若数列nz收敛，则 Renz与 Imnz都收敛。3、设函数 f(z)在区域 D 内解析，试证：f(z)在 D 内为常数的充要条件是)(zf在 D内解析。内连续与在复平面内有界若是的阶零点则是的阶极点若在处满足柯西黎若

8、函数在区域内的解析且在内某个圆内恒为常数则在区域内恒等于常数迎下载伊犁师范学院数学系考试试题课程复变函数专业数学与应用数学优秀学习资料 欢迎下载 伊犁师范学院数学系考试试题 课程：复变函数 专业：数学与应用数学 年级：考试形式：闭卷 编号：四 命题教师：一、判断题（3x10=30 分）：1、若函数 f(z)在 z0处满足 Cauchy-Riemann 条件，则 f(z)在 z0解析。（）2、若函数 f(z)在 z0解析，则 f(z)在 z0的某个邻域内可导。（）3、若)(lim0zfzz存在且有限，则 z0是函数 f(z)的可去奇点。()4、若函数 f(z)在是区域 D 内的单叶函数，则)(0

9、)(Dzzf。（）5、若 f(z)在单连通区域D 内解析，则对 D 内任一简单闭曲线C 都有0)(Cdzzf。（）。6、若函数 f(z)在区域 D 内解析且0)(zf，则 f(z)在 D 内恒为常数。（）7、函数zsin与zcos在整个复平面内有界。（）8、存在一个在零点解析的函数f(z)使0)11(nf且,.2,1,21)21(nnnf。（）9、如果函数f(z)在 1|:|zzD上解析，且)1|(|1|)(|zzf，则)1|(|1|)(|zzf。（）10、若函数f(z)是区域 D 内解析且在D 内的某个圆内恒为常数，则数 f(z)在区域D 内为常数。（）二、填空题（2x10=20 分）1、若

10、nnninnz)11(12，则nznlim_。2、若C是单位圆周，n 是自然数，则Cndzzz)(10_。3、函数zsin的周期为_。4、函数 ez的周期为_。5、幂级数 0nnnx的收敛半径为_。内连续与在复平面内有界若是的阶零点则是的阶极点若在处满足柯西黎若函数在区域内的解析且在内某个圆内恒为常数则在区域内恒等于常数迎下载伊犁师范学院数学系考试试题课程复变函数专业数学与应用数学优秀学习资料 欢迎下载 6、幂级数 0nnnx的和函数为_。7、若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是 _。8、若nnzlim，则nzzznn.lim21_。9、方程083235zzz在单位圆内的零点个数为 _

11、。10、函数211)(zzf的幂级数展开式为 _。三、计算题（5x6=30 分）：1、.62limnni 2、设)2)(1(1)(zzzf，求)(zf在 1|0:zzD内的洛朗展开式。3、设1)(2zezfz，求).),(Rezfs 4、求函数)2sin(3z的幂级数展开式。5、求函数63sinzz在|0z内的罗朗展式。6、求复数11zzw的实部与虚部。四、证明题（6+7+7=20分）1、设是函数 f(z)的可去奇点且CAzfz)(lim，试证：)(lim),(ReAzfzzfsz。2、若整函数 f(z)将复平面映照为单位圆内部且0)0(f，则)(0)(Czzf。3、证明0364 zz方程在2

12、|1z内仅有 3 个根。内连续与在复平面内有界若是的阶零点则是的阶极点若在处满足柯西黎若函数在区域内的解析且在内某个圆内恒为常数则在区域内恒等于常数迎下载伊犁师范学院数学系考试试题课程复变函数专业数学与应用数学优秀学习资料 欢迎下载 伊犁师范学院数学系考试试题 课程：复变函数 专业：数学与应用数学 年级：考试形式：闭卷 编号：五 命题教师：二、判断题（3x10=30 分）：1、若函数 f(z)在 z0解析，则 f(z)在 z0的某个邻域内可导。（）2、有界整函数必在整个复平面为常数。（）3、若)(lim0zfzz存在且有限，则 z0是 f(z)的可去奇点。()4、若函数 f(z)在 z0可导，

13、则它在该点解析。（）5、若数列nz收敛，则Renz与Imnz都收敛。（）6、若 f(z)在区域 D 内解析，则|f(z)|也在 D 内解析。（）7、若幂级数的收敛半径大于 0，则其和函数必在收敛圆内解析。（）8、存在整函数 f(z)将复平面映照为单位圆内部。（）9、若函数 f(z)是区域 D 内的解析函数，且在 D 内的某个圆内恒等于常数，则 f(z)在区域 D 内恒等于常数。（）10、)(1|sin|Czz。（）二、填空题（2x10=20 分）1、若C是单位圆周，n 是自然数，则Cndzzz)(10_。2、设Ciyxzyxixyxzf),sin(1()2()(222，则)(lim1zfiz_

14、。3、函数 ez的周期为 _。4、设211)(zzf，则)(zf的孤立奇点有 _。的收敛半径为 _。5、幂级数 0nnnx的和函数为_。6、若函数 f(z)在区域 D 内除去有限个极点之外处处解析，则称它是 D 内的内连续与在复平面内有界若是的阶零点则是的阶极点若在处满足柯西黎若函数在区域内的解析且在内某个圆内恒为常数则在区域内恒等于常数迎下载伊犁师范学院数学系考试试题课程复变函数专业数学与应用数学优秀学习资料 欢迎下载 _。7、若nnzlim，则nzzznn.lim21_。8、)0,(Renzzes_，其中 n 为自然数。9、方程083235zzz在单位圆内的零点个数为 _。10、函数211

15、)(zzf的幂级数展开式为 _。三、计算题（5x6=30 分）：1、设)2)(1(1)(zzzf，求)(zf在 1|0:zzD内的罗朗展式。2、求3|1|1)4)(1(21sinzzzzzdzizdze。3、求函数)2sin(3z的幂级数展开式。4、求函数ze1在|0z内的罗朗展式。5、求方程14258zzz在单位圆内零点的个数。6、求nni21lim。四、证明题（6+7+7=20 分）1、设函数 f(z)在区域 D 内解析，试证：f(z)在 D 内为常数的充要条件是)(zf在 D内解析。2、如 果 函 数)(zf在 1|:|zzD上 解 析，且)1|(|1|)(|zzf，则)1|(|1|)(

16、|zzf。3、证明：方程014258zzz在开单位圆内根的个数为5。内连续与在复平面内有界若是的阶零点则是的阶极点若在处满足柯西黎若函数在区域内的解析且在内某个圆内恒为常数则在区域内恒等于常数迎下载伊犁师范学院数学系考试试题课程复变函数专业数学与应用数学优秀学习资料 欢迎下载 伊犁师范学院数学系考试试题 课程：复变函数 专业：数学与应用数学 年级：考试形式：闭卷 编号：六 命题教师：一、判断题（3x10=30 分）：1、若函数 f(z)在 z0解析，则 f(z)在 z0连续。（）2、若函数 f(z)在 z0处满足 Cauchy-Riemann 条件，则 f(z)在 z0解析。（）3、若函数 f

17、(z)在 z0解析，则 f(z)在 z0处满足 Cauchy-Riemann 条件。()4、若函数 f(z)在是区域 D 内的单叶函数，则)(0)(Dzzf。（）5、若 f(z)在单连通区域 D 内解析，则对 D 内任一简单闭曲线 C 都有0)(Cdzzf。（）6、若函数 f(z)是区域 D 内的解析函数，则它在 D 内有任意阶导数。（）7、若)(0)(Dzzf，则函数 f(z)在是 D 内的单叶函数。（）8、若 z0是 f(z)的 m 阶零点，则 z0是 1/f(z)的 m 阶极点。（）9、如果函数 f(z)在 1|:|zzD上解析，且)1|(|1|)(|zzf，则)1|(|1|)(|zzf

18、。（）10、)(1|sin|Czz。（）二、填空题（2x10=20 分）1、若nnninnz)11(12，则nzzlim_。2、设11)(2zzf，则)(zf的定义域为 _。3、函数 sin z 的周期为_。4、zz22cossin_。5、幂级数 0nnnz的收敛半径为_。6、若 z0是 f(z)的 m 阶零点且m1，则 z0是)(zf的_零点。7、若函数 f(z)在整个复平面处处解析，则称它是_。内连续与在复平面内有界若是的阶零点则是的阶极点若在处满足柯西黎若函数在区域内的解析且在内某个圆内恒为常数则在区域内恒等于常数迎下载伊犁师范学院数学系考试试题课程复变函数专业数学与应用数学优秀学习资料

19、 欢迎下载 8、函数 f(z)=|z|的不解析点之集为_。9、方程083235zzz在单位圆内的零点个数为_。10、公式xixeixsincos称为_。三、计算题（5x6=30 分）：1、.62limnni 2、设Cdzzf173)(2，其中 3|:|zzC，试求).1(if 3、设1)(2zezfz，求).),(Rezfs 4、求函数63sinzz在|0z内的罗朗展式。5、求复数11zzw的实部与虚部。6、求ie3的值。四、证明题（6+7+7=20 分）1、方程0169367zzz在单位圆内的根的个数为 6。2、若函数),(),()(yxivyxuzf在 D 内连续，则二元函数),(yxu与

20、),(yxv都在 D内连续。3、若 z0是)(zf的 m 阶零点，则 z0是 1/)(zf的 m 阶极点。内连续与在复平面内有界若是的阶零点则是的阶极点若在处满足柯西黎若函数在区域内的解析且在内某个圆内恒为常数则在区域内恒等于常数迎下载伊犁师范学院数学系考试试题课程复变函数专业数学与应用数学优秀学习资料 欢迎下载 伊犁师范学院数学系考试试题 课程：复变函数 专业：数学与应用数学 年级：考试形式：闭卷 编号：七 命题教师：一、判断题（3x10=24 分）：1、若函数 f(z)在 z0可导，则 f(z)在 z0解析。（）2、若函数 f(z)在 z0处满足 Cauchy-Riemann 条件，则 f

21、(z)在 z0解析。（）3、如果 z0是 f(z)的极点，则)(lim0zfzz一定存在且等于无穷大。()4、若 f(z)在单连通区域D 内解析，则对 D 内任一简单闭曲线C 都有0)(Cdzzf。（）5、若函数 f(z)是区域 D 内的解析函数，则它在D 内有任意阶导数。（）6、若函数 f(z)在区域 D 内的解析，且在 D 内某个圆内恒为常数，则在区域 D 内恒等于常数。（）7、若 z0是 f(z)的 m 阶零点，则 z0是 1/f(z)的 m 阶极点。（）8、)(1|sin|Czz。（）二、填空题（2x10=20 分）1、若11sin(1)1nnzinn，则limnnz_。2、设2()1

22、zf zz，则)(zf的定义域为_。3、函数ze的周期为_。4、zz22cossin_。5、幂级数220nnn z的收敛半径为_。6、若 z0是 f(z)的 m 阶零点且 m1，则 z0是)(zf的_零点。7、若函数 f(z)在整个复平面处处解析，则称它是_。8、函数 f(z)=|z|的不解析点之集为_。9、方程833380zzz 在单位圆内的零点个数为_。内连续与在复平面内有界若是的阶零点则是的阶极点若在处满足柯西黎若函数在区域内的解析且在内某个圆内恒为常数则在区域内恒等于常数迎下载伊犁师范学院数学系考试试题课程复变函数专业数学与应用数学优秀学习资料 欢迎下载 10、)0,(Resnzze_

23、。三、计算题（5x6=30 分）：1、.62limnni 2、设Cdzzf173)(2，其中 3|:|zzC，试求).1(if 3、设2()1zef zz，求Re(),).s f zi 4、求函数(1)(2)zzz在1|2z 内的罗朗展式。5、求复数11zzw的实部与虚部。6、利用留数定理计算积分：20,(1).cosdxaax 四、证明题（6+7+7=20分）1、方程0169367zzz在单位圆内的根的个数为 6。2、若函数),(),()(yxivyxuzf在区域 D 内解析，),(yxu等于常数，则()f z在D 内恒等于常数。3、若 z0是)(zf的 m 阶零点，则 z0是 1/)(zf

24、的 m 阶极点。五、计算题（10 分）：求一个单叶函数，去将 z 平面上的上半单位圆盘:|1,Im0zzz保形映射为 w平面的单位圆盘:|1ww。内连续与在复平面内有界若是的阶零点则是的阶极点若在处满足柯西黎若函数在区域内的解析且在内某个圆内恒为常数则在区域内恒等于常数迎下载伊犁师范学院数学系考试试题课程复变函数专业数学与应用数学优秀学习资料 欢迎下载 第七套参考答案与评分标准 一、1、错；2、错；3、对；4、对；5、对；6、对；7、对；8、对；9、错；10、错。二、1、ie；2、zi；3、2 i；4、1；5、1；6、m-1；7、整函数；8、整复平面；9、0 个；10、11nn时，1，时，0。

25、三、1、arg25limlim0.66nnninznnie 2、当|3z 时，2()2(371)f zizz，2 分 所以()2(67)fziz，4 分 因此(1)26(1)72(6 13)fiiii 。5 分 3、2Re(),)lim()lim,12zzizizieees f z izizzii 3 分 2Re(),)lim()lim,12zzizizieees f zizizzii 5 分 4、21,(1)(2)21zzzzz 2 分 021,21/22nnzzz 3 分 01,1nnzz 4 分 所以0001(1).(2)(1)22nnnnnnnzzzzzz 5 分 5、2221(1)(

26、1)|11|1|1|zzzzzzwzzz 2 分 222|12Im|1|1|zzizz 3 分 内连续与在复平面内有界若是的阶零点则是的阶极点若在处满足柯西黎若函数在区域内的解析且在内某个圆内恒为常数则在区域内恒等于常数迎下载伊犁师范学院数学系考试试题课程复变函数专业数学与应用数学优秀学习资料 欢迎下载 所以，22|1Re,|1|zwz22ImIm.|1|zwz 5 分 6、设ixze，则1,cos,2dzzzdxxizixze 1 分 所以2120|1|12,cos212zzdzdxdzizizzaxzaza 3 分 2222|11224 Res(,1).21211zdziaiazazzaz

27、a 5 分 四、1、设673()9,()61,f zzg zzz 2 分 则在|1z 上，有673|()|9|98|6|1|()|,f zzzzg z 4 分 应用儒歇定理，得结论成立。6 分 2、由函数()f z的解析性，得(,),(,)u x y v x y在 D 内可微，2 分 又因为(,)u x y等于常数，所以(,)(,)0,0,u x yu x yxy 3 分 再利用 Cauch-Riemann 条件，得(,)(,)0,0,v x yv x yxy 5 分 所以结论成立。7 分 3、由于 z0是)(zf的 m 阶零点，所以11()()().mmmmf zazzazz2 分 因此，1

28、()()().)()(),mmmmmf zzzaazzzzg z 3 分()g z在 z0解析，并且0()0g z，4 分 所以11(),()()mzzf zg z 6 分 即结论成立。7 分 五、首先用分式线性映射111zzz将原区域变为第三象限的区域13arg2z；3 分 再由221zz将上述区域变为上半平面2Im0z；6 分 内连续与在复平面内有界若是的阶零点则是的阶极点若在处满足柯西黎若函数在区域内的解析且在内某个圆内恒为常数则在区域内恒等于常数迎下载伊犁师范学院数学系考试试题课程复变函数专业数学与应用数学优秀学习资料 欢迎下载 最后用映射22ziwzi将上半平面变为单位圆|1w；9

29、分 因此221()1.1()1zizwziz 10 分 内连续与在复平面内有界若是的阶零点则是的阶极点若在处满足柯西黎若函数在区域内的解析且在内某个圆内恒为常数则在区域内恒等于常数迎下载伊犁师范学院数学系考试试题课程复变函数专业数学与应用数学优秀学习资料 欢迎下载 伊犁师范学院数学系考试试题 课程：复变函数 专业：数学与应用数学 年级：考试形式：闭卷 编号：八 命题教师：一、判断题（2x10=20 分）：1、若函数 f(z)在 z0解析，则 f(z)在 z0连续。（）2、若函数 f(z)在 z0处满足 Cauchy-Riemann 条件，则 f(z)在 z0解析。（）3、如果 z0是 f(z)

30、的本性奇点，则)(lim0zfzz一定不存在。()4、若函数 f(z)在区域 D 内解析，并且)(0)(Dzzf，则 f(z)是区域 D 内的单叶函数。（）5、若 f(z)在区域 D 内解析，则对 D 内任一简单闭曲线 C 都有0)(Cdzzf。（）6、若函数 f(z)在单连通区域 D 内的每一点均可导，则它在 D 内有任意阶导数。（）7、若函数 f(z)在区域 D 内解析且0)(zf，则 f(z)在 D 内恒为常数。（）8、存在一个在零点解析的函数 f(z)使0)11(nf且,.2,1,21)21(nnnf。（）9、如果函数f(z)在 1|:|zzD上解析，且)1|(|1|)(|zzf，则)

31、1|(|1|)(|zzf。（）10、sin z是一个有界函数。（）二、填空题（2x10=20 分）1、若nnninnz)11(12，则nzzlim_。2、设()Ln f zz，则)(zf的定义域为_。3、函数 sin z 的周期为_。4、若nnzlim，则nzzznn.lim21_。5、幂级数50nnnz的收敛半径为_。内连续与在复平面内有界若是的阶零点则是的阶极点若在处满足柯西黎若函数在区域内的解析且在内某个圆内恒为常数则在区域内恒等于常数迎下载伊犁师范学院数学系考试试题课程复变函数专业数学与应用数学优秀学习资料 欢迎下载 6、函数211)(zzf的幂级数展开式为_。7、若C是单位圆周，n

32、是自然数，则Cndzzz)(10_。8、函数 f(z)=|z|的不解析点之集为_。9、方程53215480zzz 在单位圆内的零点个数为 _。10、设211)(zzf，则)(zf的孤立奇点有_。三、计算题（5x6=30 分）：1、求3|1|1)4)(1(21sinzzzzzdzizdze。2、设Cdzzf173)(2，其中 3|:|zzC，试求).1(if 3、设2()1zef zz，求Re(),).s f z i 4、求函数210(1)(2)zzz在2|z 内的罗朗展式。5、求复数11zzw的实部与虚部。6、利用留数定理计算积分2012sindxx。四、证明题（6+7+7=20分）1、方程7

33、653155610zzzz 在单位圆内的根的个数为 7。2、若函数),(),()(yxivyxuzf在区域 D 内解析，(,)v x y等于常数，则()f z在D 内恒等于常数。3、若 z0是)(zf的 m 阶零点，则 z0是 1/)(zf的 m 阶极点。五、计算题（10 分）：求一个单叶函数，去将 z 平面上的区域4:0arg5zz保形映射为 w 平面的单位圆盘:|1ww。内连续与在复平面内有界若是的阶零点则是的阶极点若在处满足柯西黎若函数在区域内的解析且在内某个圆内恒为常数则在区域内恒等于常数迎下载伊犁师范学院数学系考试试题课程复变函数专业数学与应用数学优秀学习资料 欢迎下载 第八套试题答

34、案与评分标准 一、1、对；2、错；3、对；4、错；5、对；6、对；7、对；8、错；9、对；10、错。二、1、1 ie；2、0z；3、2；4、；5、1；6、20(1)nnnz；7、11nin时，2，时，0。；8、整复平面；9、5 个；10、,.ni 三、1、11|1|3111sin0|.2(1)(4)43zzzzdzezdzizzz 2、当|3z 时，2()2(371)f zizz，2 分 所以()2(67)fziz，4 分 因此(1)26(1)72(613)fiiii 。5 分 3、2Re(),)lim()lim,12zzizizieees f z izizzii 4、2210111112,(

35、1)(2)11zzzzzz 2 分 101111,11 1/nnzzzz 3 分 222011121112(),1nnzzzzz 4 分 所以121222000101111112.(2)(1)nnnnnnnzzzzzz 5 分 5、2221(1)(1)|11|1|1|zzzzzzwzzz 2 分 222|12Im|1|1|zzizz 3 分 所以，22|1Re,|1|zwz22ImIm.|1|zwz 5 分 内连续与在复平面内有界若是的阶零点则是的阶极点若在处满足柯西黎若函数在区域内的解析且在内某个圆内恒为常数则在区域内恒等于常数迎下载伊犁师范学院数学系考试试题课程复变函数专业数学与应用数学优

36、秀学习资料 欢迎下载 6、2200002,12sin5cos 25cos2(1cos 2)2dxdxd xdtxxtx 1 分 设itze，则1,cos,2dzzzdttiz 2 分 所以 2120|1|12,5cos10152zzdzdtdzizizztzz 3 分 22|11624 Res(,52 6).1011016zdzizzzz 5 分 四、1、设7653()15,()561,f zzg zzzz 2 分 则在|1z 上，有7653|()|15|15135|6|1|()|,f zzzzzg z 4 分 应用儒歇定理，得结论成立。6 分 2、由函数()f z的解析性，得(,),(,)u

37、 x y v x y在 D 内可微，2 分 又因为(,)u x y等于常数，所以(,)(,)0,0,v x yv x yxy 3 分 再利用 Cauch-Riemann 条件，得(,)(,)0,0,u x yu x yxy 5 分 所以结论成立。7 分 3、由于 z0是)(zf的 m 阶零点，所以11()()().mmmmf zazzazz 2 分 因此，1()()().)()(),mmmmmf zzzaazzzzg z 3 分()g z在 z0解析，并且0()0g z，4 分 所以11(),()()mzzf zg z 6 分 即结论成立。7 分 五、首先用平移映射441(11)zz将原区域变

38、为角形区域 10arg5z；3 分 内连续与在复平面内有界若是的阶零点则是的阶极点若在处满足柯西黎若函数在区域内的解析且在内某个圆内恒为常数则在区域内恒等于常数迎下载伊犁师范学院数学系考试试题课程复变函数专业数学与应用数学优秀学习资料 欢迎下载 再由相似映射521zz将上述带形区域变为上半平面2Im0z；6 分 最后用映射22ziwzi将上半平面变为单位圆|1w；9 分 因此5454().()ziwzi 10 分 内连续与在复平面内有界若是的阶零点则是的阶极点若在处满足柯西黎若函数在区域内的解析且在内某个圆内恒为常数则在区域内恒等于常数迎下载伊犁师范学院数学系考试试题课程复变函数专业数学与应用

39、数学优秀学习资料 欢迎下载 伊犁师范学院数学系考试试题 课程：复变函数 专业：数学与应用数学 年级：考试形式：闭卷 编号：九 命题教师：一、判断题（2x10=20 分）：1、若函数 f(z)在 z0解析，则 f(z)在 z0的某个邻域内可导。（）2、若函数 f(z)在 z0处解析，则 f(z)在 z0满足 Cauchy-Riemann 条件。（）3、如果 z0是 f(z)的可去奇点，则)(lim0zfzz一定存在且等于零。()4、若函数 f(z)是区域 D 内的单叶函数，则)(0)(Dzzf。（）5、若函数 f(z)在 z0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数。（）6、若 f(z)在

40、单连通区域D 内解析，则对 D 内任一简单闭曲线C 都有0)(Cdzzf。（）7、若函数 f(z)在区域 D 内的解析，且在 D 内某一条曲线上恒为常数，则f(z)在区域 D 内恒等于常数。（）8、若 z0是 f(z)的 m 阶零点，则z0是 1/f(z)的 m 阶极点。（）9、如果函数 f(z)在 1|:|zzD上解析，且)1|(|1|)(|zzf，则)1|(|1|)(|zzf。（）10、limzze。（）二、填空题（2x10=20 分）1、若2sin(1)1nnnzinn，则nzzlim_。2、设1()sinf zz，则)(zf的定义域为_。3、函数 sin z 的周期为_。4、zz22c

41、ossin_。5、幂级数 0nnnz的收敛半径为_。6、若 z0是 f(z)的 m 阶零点且m1，则 z0是)(zf的_零点。7、若函数 f(z)在整个复平面除去有限个极点外，处处解析，则称它是_。内连续与在复平面内有界若是的阶零点则是的阶极点若在处满足柯西黎若函数在区域内的解析且在内某个圆内恒为常数则在区域内恒等于常数迎下载伊犁师范学院数学系考试试题课程复变函数专业数学与应用数学优秀学习资料 欢迎下载 8、函数()f zz的不解析点之集为_。9、方程832011350zzz 在单位圆内的零点个数为_。10、2Res(,1)1zez_。三、计算题（5x6=30 分）：1、求.212122ii

42、2、设Cdzzf173)(2，其中 3|:|zzC，试求).1(if 3、设2()zef zz，求Re(),0).s f z 4、求函数(1)(2)zzz在1|2z 内的罗朗展式。5、求复数11zzw的实部与虚部。6、利用留数定理计算积分2422109xxdxxx。四、证明题（6+7+7=20分）1、方程7633249610zzzz 在单位圆内的根的个数为 7。2、若函数),(),()(yxivyxuzf在区域 D 内解析，|()|f z等于常数，则()f z在D 内恒等于常数。3、若 z0是)(zf的 m 阶零点，则 z0是 1/)(zf的 m 阶极点。五、计算题（10 分）：求一个单叶函数

43、，去将 z 平面上的带形区域:Im2zz保形映射为 w 平面的单位圆盘:|1ww。内连续与在复平面内有界若是的阶零点则是的阶极点若在处满足柯西黎若函数在区域内的解析且在内某个圆内恒为常数则在区域内恒等于常数迎下载伊犁师范学院数学系考试试题课程复变函数专业数学与应用数学优秀学习资料 欢迎下载 第九套试题参考答案与评分标准 一、1、对；2、对；3、错；4、对；5、错；6、对；7、对；8、对；9、对；10、错。二、1、2sin1ie；2、,zkkZ；3、2；4、1；5、1；6、m-1；7、亚纯函数；8、整复平面；9、8 个；10、2e 三、1、221(cossin)1,442ii 2 分 221(c

44、os()sin()1,442ii 2 分 原式=2。1 分 2、当|3z 时，2()2(371)f zizz，2 分 所以()2(67)fziz，4 分 因此(1)26(1)72(613)fiiii 。5 分 3、220Re(),0)lim.zzd es f zzedz z 5 分 4、21,(1)(2)21zzzzz 2 分 021,21/22nnzzz 3 分 01,1nnzz 4 分 所以0001(1).(2)(1)22nnnnnnnzzzzzz 5 分 5、2221(1)(1)|11|1|1|zzzzzzwzzz 2 分 222|12Im|1|1|zzizz 3 分 内连续与在复平面内

45、有界若是的阶零点则是的阶极点若在处满足柯西黎若函数在区域内的解析且在内某个圆内恒为常数则在区域内恒等于常数迎下载伊犁师范学院数学系考试试题课程复变函数专业数学与应用数学优秀学习资料 欢迎下载 所以，22|1Re,|1|zwz22ImIm.|1|zwz 5 分 6、22424222lim,109109MMMxxxxdxdxxxxx 1 分 设2422(),109zzf zzz 则分子的次数比分母的次数小 2，2 分 所以 242252(Re(),)Re(),3).10912xxdxis f z is f zixx 5 分 四、1、设7653()24,()961,f zzg zzzz 2 分 则在

46、|1z 上，有7653|()|24|24179|6|1|()|,f zzzzzg z 4 分 应用儒歇定理，得结论成立。6 分 2、由函数()f z的解析性，得(,),(,)u x y v x y在 D 内可微，2 分 又因为|()|f z等于常数，所以(,)(,)0,u x yv x yuvxx(,)(,)0,u x yv x yuvyy 3 分 再利用 Cauch-Riemann 条件，得(,)(,)(,)(,)0,0,0,0,u x yu x yv x yv x yxyxy 5 分 所以结论成立。7 分 3、由于 z0是)(zf的 m 阶零点，所以11()()().mmmmf zazza

47、zz2 分 因此，1()()().)()(),mmmmmf zzzaazzzzg z 3 分()g z在 z0解析，并且0()0g z，4 分 所以11(),()()mzzf zg z 6 分 即结论成立。7 分 五、首先用平移映射12zz 将原带形区域变为带形区域10Im2z；2 分 内连续与在复平面内有界若是的阶零点则是的阶极点若在处满足柯西黎若函数在区域内的解析且在内某个圆内恒为常数则在区域内恒等于常数迎下载伊犁师范学院数学系考试试题课程复变函数专业数学与应用数学优秀学习资料 欢迎下载 再由相似映射212zz变带形区域为20Im z；4 分 然后用指数函数23zze将上述带形区域变为上半

48、平面3Im0z；6 分 最后用映射33ziwzi将上半平面变为单位圆|1w；9 分 因此2()22()2.zizieiwei 10 分 内连续与在复平面内有界若是的阶零点则是的阶极点若在处满足柯西黎若函数在区域内的解析且在内某个圆内恒为常数则在区域内恒等于常数迎下载伊犁师范学院数学系考试试题课程复变函数专业数学与应用数学优秀学习资料 欢迎下载 伊犁师范学院数学系考试试题 课程：复变函数 专业：数学与应用数学 年级：考试形式：闭卷 编号：十 命题教师：一、判断题（4x10=40 分）：1、若函数 f(z)在 z0解析，则 f(z)在 z0的某个邻域内可导。（）2、如果 z0是 f(z)的本性奇点

49、，则)(lim0zfzz一定不存在。（）3、若函数),(),()(yxivyxuzf在D内连续，则u(x,y)与v(x,y)都在D 内连续。()4、cos z 与 sin z 在复平面内有界。（）5、若 z0是)(zf的 m 阶零点，则 z0是 1/)(zf的 m 阶极点。（）6、若 f(z)在 z0处满足柯西-黎曼条件，则 f(z)在 z0解析。（）7、若)(lim0zfzz存在且有限，则 z0是函数的可去奇点。（）8、若 f(z)在单连通区域 D 内解析，则对 D 内任一简单闭曲线 C 都有0)(Cdzzf。（）9、若函数 f(z)是单连通区域 D 内的解析函数，则它在 D 内有任意阶导数

50、。（）10、若函数 f(z)在区域 D 内的解析，且在 D 内某个圆内恒为常数，则在区域D内恒等于常数。（）二、填空题（4x5=20 分）1、函数 ez的周期为_。2、幂级数 0nnnz的和函数为_。3、设11)(2zzf，则 f(z)的定义域为_。4、0nnnz的收敛半径为_。5、)0,(Resnzze_。三、计算题（8x5=40 分）：内连续与在复平面内有界若是的阶零点则是的阶极点若在处满足柯西黎若函数在区域内的解析且在内某个圆内恒为常数则在区域内恒等于常数迎下载伊犁师范学院数学系考试试题课程复变函数专业数学与应用数学优秀学习资料 欢迎下载 1、.)(9(2|2zdzizzz 2、求).,