2023年《数值分析简明教程》第二版王能超 编著课后习题超详细解析答案.pdf

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1、优秀学习资料 欢迎下载 0.1 算法 1、（p.11，题 1）用二分法求方程013xx在1,2 内的近似根，要求误差不超过 10-3.【解】由二分法的误差估计式311*10212|kkkabxx，得到100021k.两端取自然对数得96.812ln10ln3k，因此取9k，即至少需二分 9 次.求解过程见下表。k ka kb kx)(kxf符号 0 1 2 1.5+1 2 3 4 5 6 7 8 9 2、（p.11，题 2）证明方程210)(xexfx在区间0,1内有唯一个实根；使用二分法求这一实根，要求误差不超过21021。【解】由于210)(xexfx，则)(xf在区间0,1上连续，且01

2、2010)0(0ef，082110)1(1eef，即0)1()0(ff，由连续函数的介值定理知，)(xf在区间0,1上至少有一个零点.又010)(xexf，即)(xf在区间0,1上是单调的，故)(xf在区间0,1内有唯一实根.由二分法的误差估计式211*1021212|kkkabxx，得到1002 k.两端取自然对数得6438.63219.322ln10ln2k，因此取7k，即至少需二分7 次.求解过程见下表。k ka kb kx)(kxf符号 0 0 1 0.5 1 2 3 优秀学习资料 欢迎下载 4 5 6 7 0.2 误差 1（p.12，题 8）已知 e=2.71828 ，试问其近似值7

3、.21x，71.22x，x2=2.71，718.23x各有几位有效数字？并给出它们的相对误差限。【解】有效数字：因为11102105.001828.0|xe，所以7.21x有两位有效数字；因为12102105.000828.0|xe，所以71.22x亦有两位有效数字；因为3310210005.000028.0|xe，所以718.23x有四位有效数字；%85.17.205.0|111xxer；%85.171.205.0|222xxer；%0184.0718.20005.0|333xxer。评（1）经四舍五入得到的近似数，其所有数字均为有效数字；（2）近似数的所有数字并非都是有效数字.2（p.12

4、，题 9）设72.21x，71828.22x，0718.03x均为经过四舍五入得出的近似值，试指明它们的绝对误差(限)与相对误差(限)。【解】005.01，31111084.172.2005.0 xr；000005.02，62221084.171828.2000005.0 xr；00005.03，43331096.60718.000005.0 xr；评 经四舍五入得到的近似数，其绝对误差限为其末位数字所在位的半个单位.3（p.12，题 10）已知42.11x，0184.02x，4310184x的绝对误差限均为求误差不超过解由于则在区间上连续且即由连续函数的介值定理知在区秀学习资料欢迎下载误差题

5、已知试问其近似值各有几位有效数字并给出字近似数的所有数字并非都是有效数字题设均为经过四舍五入得出的近优秀学习资料 欢迎下载 2105.0，问它们各有几位有效数字？【解】由绝对误差限均为2105.0知有效数字应从小数点后两位算起，故42.11x，有三位；0184.02x有一位；而0184.01018443x，也是有一位。1.1 泰勒插值和拉格朗日插值 1、（p.54，习题 1）求作xxfsin)(在节点00 x的 5 次泰勒插值多项式)(5xp，并计算)3367.0(5p和估计插值误差，最后将)5.0(5p有效数值与精确解进行比较。【解】由xxfsin)(，求得xxfcos)()1(；xxfsi

6、n)()2(；xxfcos)()3(；xxfsin)()4(；xxfcos)()5(；xxfsin)()6(，所以 )(5xp 500)5(200)2(00)1(0)(!5)()(!2)()()(xxxfxxxfxxxfxf 5)5(2)2()1(!5)0(!2)0()0()0(xfxfxff 53!51!31xxx 插值误差：)(5xR66060)6(!61)(!6|)sin(|)(!6|)(|xxxxxf，若5.0 x，则)3367.0(5p3303742887.0!53367.0!33367.03367.053，而5665105.01002.2!63367.0)3367.0(R，精度到小

7、数点后 5 位，故取33037.0)3367.0(5p，与精确值330374191.0)3367.0sin()3367.0(f相比较，在插值误差的精度内完全吻合！2、（p.55，题 12）给定节点4,3,1,13210 xxxx，试分别对下列函数导出拉格朗日余项：（1）234)(3xxxf；（2）342)(xxxf【解】依题意，3n，拉格朗日余项公式为 30)4(3)(!4)()(iixxfxR（1）0)()4(xf 0)(3xR；（2）因为!4)()4(xf，所以 求误差不超过解由于则在区间上连续且即由连续函数的介值定理知在区秀学习资料欢迎下载误差题已知试问其近似值各有几位有效数字并给出字近

8、似数的所有数字并非都是有效数字题设均为经过四舍五入得出的近优秀学习资料 欢迎下载)4)(3)(1)(1()4)(3)(1)(1(!4)()()4(3xxxxxxxxfxR 3、（p.55，题 13）依据下列数据表，试用线性插值和抛物线插值分别计算)3367.0sin(的近似值并估计误差。i 0 1 2 ix 0.32 0.34 0.36)sin(ix 0.314567 0.333487 0.352274 【解】依题意，3n，拉格朗日余项公式为 30)4(3)(!4)()(iixxfxR（1）线性插值 因为3367.0 x在节点0 x和1x之间，先估计误差 2)(max()(2)sin()(!2

9、)()(1010101xxxxxxxxxxxxfxR 421021201.0；须保留到小数点后 4 为，计算过程多余两位。x0 x1(x1-x0)2/4y=(x-x0)(x-x1)xy0)(1xP)sin()()sin()(1)sin()sin(01100110100101xxxxxxxxxxxxxxxxxx )(1xP)32.0sin()3367.034.0()34.0sin()32.03367.0(02.01 )32.0sin(0033.0)34.0sin(0167.002.01 3304.0 求误差不超过解由于则在区间上连续且即由连续函数的介值定理知在区秀学习资料欢迎下载误差题已知试问其

10、近似值各有几位有效数字并给出字近似数的所有数字并非都是有效数字题设均为经过四舍五入得出的近优秀学习资料 欢迎下载（2）抛物线插值 插值误差：)(2xR)()(6)cos()()(!3)(210210 xxxxxxxxxxxxf 632101021601.036)()(max(xxxxxx x0 x1Max=3(x1-x0)3/8y=(x-x0)(x-x1)(x-x2)xy0 x2 抛物线插值公式为：)(2xP)sin()()()sin()()()sin()()(202120112101200201021xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx )sin(2)()sin()()si

11、n(2)(02.012011200212xxxxxxxxxxxxxxx)3367.0(2P)36.0sin(7555.2)34.0sin(911.38)32.0sin(8445.302.01025 )36.0sin(7555.2)34.0sin(911.38)32.0sin(8445.302.01025 33037439.0 经四舍五入后得：330374.0)3367.0(2P，与330374191.0)3367.0sin(精确值相比较，在插值误差范围内完全吻合！1.3 分段插值与样条函数 1、（p.56，习题 33）设分段多项式 211210)(2323xcxbxxxxxxS 是以 0,1,

12、2 为节点的三次样条函数，试确定系数 b，c 的值.【解】依题意，要求 S(x)在 x=1 节点 求误差不超过解由于则在区间上连续且即由连续函数的介值定理知在区秀学习资料欢迎下载误差题已知试问其近似值各有几位有效数字并给出字近似数的所有数字并非都是有效数字题设均为经过四舍五入得出的近优秀学习资料 欢迎下载 函数值连续：)1(1111211)1(2323ScbS，即：)1(1 cb 一阶导数连续：)1(12161213)1(22ScbS，即：)2(12 cb 解方程组（1）和（2），得3,2cb，即 21132210)(2323xxxxxxxxS 由于)1(221262123)1(SS，所以 S

13、(x)在 x=1 节点的二阶导数亦连续。2、已知函数211xy 的一组数据，2,1,0210 xxx和2.0,5.0,1210yyy，（1）求其分段线性插值函数；（2）计算)5.1(f的近似值，并根据余项表达式估计误差。【解】（1）依题意，将 x 分为0,1 和1,2 两段，对应的插值函数为)()(21xSxS和，利用拉格朗日线性插值公式，求得 15.05.00101101)(101001011xxxyxxxxyxxxxxS；8.03.02.01215.0212)(212112122xxxyxxxxyxxxxxS（2）93076923076.05.111)5.1(2f，而 35.08.05.1

14、3.0)5.1(2S，实际误差为：05.00423.0|)5.1()5.1(|2Sf。由422)3(322)2(22)1()1()1(24)(,)1()31(2)(,)1(2)(xxxxfxxxfxxxf,可知5.0)1()2(2fM，则余项表达式 5.00625.05.05.0!2|)2)(1(|!2|)(|)(422)2(MxxfxR 1.4 曲线拟合 1、（p.57，习题 35）用最小二乘法解下列超定方程组：求误差不超过解由于则在区间上连续且即由连续函数的介值定理知在区秀学习资料欢迎下载误差题已知试问其近似值各有几位有效数字并给出字近似数的所有数字并非都是有效数字题设均为经过四舍五入得出

15、的近优秀学习资料 欢迎下载 72623531142yxyxyxyx【解】构造残差平方和函数如下：2222)72()62()353()1142(),(yxyxyxyxyxQ，分别就 Q对 x 和 y 求偏导数，并令其为零：0),(xyxQ：)1(176yx，0),(yyxQ：)2(48463yx，解方程组（1）和（2），得 24176.1273173486,04029.3273481746yx 2、（p.57，习题 37）用最小二乘法求形如2bxay 的多项式，使之与下列数据相拟合。【解】令2xX，则bXay为线性拟合，根据公式(p.39,公式 43)，取 m=2，a1=0，N=5，求得 )2(

16、)1(5551251514512512515151251iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiyxyXxbxaXbXayxbaXba；依据上式中的求和项，列出下表 xi yi Xi(=xi2)Xi2(=xi4)Xi yi(=xi2yi)19 19 361 130321 6859 25 32.3 625 390625 20187.5 31 49 961 923521 47089 38 73.3 1444 2085136 105845.2 44 97.8 1936 3748096 189340.8 157 271.4 5327 7277699 369321.5 将所求得的系数代入方程组（1）和（

17、2），得)2(5.36932172776995327)1(4.2715327500baba 97258.080115661.7791878532753277277699553275.36932172776994.271a；05004.080115667.40085953275327727769954.27153275.3693215b；即：205004.097258.0 xy。求误差不超过解由于则在区间上连续且即由连续函数的介值定理知在区秀学习资料欢迎下载误差题已知试问其近似值各有几位有效数字并给出字近似数的所有数字并非都是有效数字题设均为经过四舍五入得出的近优秀学习资料 欢迎下载 2.1 机

18、械求积和插值求积 1、（p.94，习题 3）确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精度：hhhfAfAhfAdxxf)()0()()()1(210；10210)43()21()41()()2(fAfAfAdxxf；1000)()0(41)()3(xfAfdxxf。【解】（1）令2,1)(xxxf时等式精确成立，可列出如下方程组：)3(32)2(0)1(22020210hAAAAhAAA 解得：hAhAA34,3120，即：hhhffhfhdxxf)()0(4)(3)(，可以验证，对3)(xxf公式亦成立，而对4)(xxf不成立，故公式（1）具有 3 次代数

19、精度。（2）令2,1)(xxxf时等式精确成立，可列出如下方程组：)3(1627123)2(232)1(1210210210AAAAAAAAA 解得：31,32120AAA，即：)43(2)21()41(231)(10fffdxxf，可以验证，对3)(xxf公式亦成立，而对4)(xxf不成立，故公式（2）具有 3 次代数精度。（3）令xxf,1)(时等式精确成立，可解得：324300 xA 即：10)32(43)0(41)(ffdxxf，可以验证，对2)(xxf公式亦成立，而对3)(xxf不成立，故公式（3）具有 2 次代数精度。2、（p.95，习题 6）给定求积节点,43,4110 xx 试

20、构造计算积分10)(dxxfI的插值型求积公式，并指明该求积公式的代数精度。【解】依题意，先求插值求积系数：21)4321(243414310210101010 xxdxxdxxxxxA；求误差不超过解由于则在区间上连续且即由连续函数的介值定理知在区秀学习资料欢迎下载误差题已知试问其近似值各有几位有效数字并给出字近似数的所有数字并非都是有效数字题设均为经过四舍五入得出的近优秀学习资料 欢迎下载 21)4121(241434110210100101xxdxxdxxxxxA；插值求积公式：100)43(21)41(21)()(ffxfAdxxfnkkk 当1)(xf，左边=101)(dxxf；右边

21、=1121121；左=右；当xxf)(，左边=101022121)(xdxxf；右边=2143214121；左=右；当2)(xxf，左边=101033131)(xdxxf；右边=1651692116121；左右；故该插值求积公式具有一次代数精度。2.2 梯形公式和 Simpson 公式 1、（p.95，习题 9）设已给出xexfx4sin1)(的数据表，x 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 f(x)1.000 00 1.655 34 1.551 52 1.066 66 0.721 59 分别用复化梯形法与复化辛普生法求积分dxxfI10)(的近似值。【解】（1）用复化梯形法：2

22、8358.172159.0)06666.155152.165534.1(200000.1 125.0)00.1()75.0()50.0()25.0(2)00.0(225.0)()(2)(2)()(225.041,5,1,0555111105TTfffffTbfxfafhxfxfhTnabhnbankkkknk （2）用复化辛普生法：30939.172159.010304.3888.1000000.1 121)00.1()50.0(2)75.0()25.0(4)00.0(65.0)()(2)(4)(6)()(4)(65.021,2,1,022111021121102SfffffSbfxfxfaf

23、hxfxfxfhSnabhnbankknkkkkknk求误差不超过解由于则在区间上连续且即由连续函数的介值定理知在区秀学习资料欢迎下载误差题已知试问其近似值各有几位有效数字并给出字近似数的所有数字并非都是有效数字题设均为经过四舍五入得出的近优秀学习资料 欢迎下载 2、（p.95，习题 10）设用复化梯形法计算积分10dxeIx，为使截断误差不超过51021，问应当划分区间【0,1】为多少等分？如果改用复化辛普生法呢？【解】（1）用复化梯形法，xexfxfxfba)()()(,1,0，设需划分 n 等分，则其截断误差表达式为：enfnabTIRnT332312)01()(max12)(|；依题意

24、，要求51021|TR，即 849.2126101021125252enne，可取213n。（2）用复化辛普生法，xexfxfxfba)()()(,1,0，截断误差表达式为：4454528802880)01()(max)2(180)(|neenfnabSIRnS；依题意，要求51021|SR，即 70666.3144010102128805454enne，可取4n，划分 8 等分。2.3 数值微分 1、（p.96，习题 24）导出三点公式(51)、(52)和(53)的余项表达式)53()(3)(4)(21)()52()()(21)()51()()(4)(321)(21022012100 xfx

25、fxfhxfxfxfhxfxfxfxfhxf【解】如果只求节点上的导数值，利用插值型求导公式得到的余项表达式为 nkjjjkknkkkxxnfxpxfxR0)1()()!1()()()()(由三点公式(51)、(52)和(53)可知，1201,2xxxxhn，则 20201002100)12(03)()(!3)()()!12()()(hfxxxxfxxfxRjj 求误差不超过解由于则在区间上连续且即由连续函数的介值定理知在区秀学习资料欢迎下载误差题已知试问其近似值各有几位有效数字并给出字近似数的所有数字并非都是有效数字题设均为经过四舍五入得出的近优秀学习资料 欢迎下载 202101121011

26、)12(16)()(!3)()()!12()()(hfxxxxfxxfxRjjj 221202222022)12(23)()(!3)()()!12()()(hfxxxxfxxfxRjjj 2、（p.96，习题 25）设已给出2)1(1)(xxf的数据表，x 1.0 1.1 1.2 f(x)0.2500 0.2268 0.2066 试用三点公式计算)2.1(),1.1(),0.1(fff的值，并估计误差。【解】已知1.0,2.1,1.1,0.11201210 xxxxhxxx，用三点公式计算微商：1870.02066.032268.042500.01.021)2.1(3)1.1(4)0.1(21

27、)2.1(2170.02066.02500.01.021)2.1()0.1(21)1.1(2470.02066.02268.042500.031.021)2.1()1.1(4)0.1(321)0.1(fffhfffhffffhf5432)1(24)(;)1(6)(;)1(2)(;)1(1)(xxfxxfxxfxxf，用余项表达式计算误差 0025.0)0.11(31.0243)()0.1(5220hfR00125.0)0.11(!31.024!3)()1.1(5221hfR04967.0)1.11(31.0243)()2.1(5222hfR 3、（p.96，习题 26）设xxfsin)(，分别

28、取步长001.0,01.0,1.0h，用中点公式（52）计算)8.0(f的值，令中间数据保留小数点后第 6 位。【解】中心差商公式：hhafhafaf2)()()(，截断误差：2!3)()(hafhR。可见步长 h 越小，截断误差亦越小。(1)9.08.0,7.08.0,1.020hxhxh,则 695545.0644218.0783327.01.021)7.0sin()9.0sin(21)8.0(hf；(2)81.08.0,79.08.0,01.020hxhxh,则 6967.0710353.0724287.001.021)79.0sin()81.0sin(21)8.0(hf(3)801.0

29、8.0,799.08.0,001.020hxhxh,则 求误差不超过解由于则在区间上连续且即由连续函数的介值定理知在区秀学习资料欢迎下载误差题已知试问其近似值各有几位有效数字并给出字近似数的所有数字并非都是有效数字题设均为经过四舍五入得出的近优秀学习资料 欢迎下载 6965.0716659.0718052.001.021)799.0sin()801.0sin(21)8.0(hf而精确值6967067.0)8.0cos()8.0(f，可见当01.0h时得到的误差最小。在001.0h时反而误差增大的原因是)8.0(hf与)8.0(hf很接近，直接相减会造成有效数字的严重损失。因此，从舍入误差的角度

30、看，步长不宜太小。3.1 Euler格式 1、（p.124，题 1）列出求解下列初值问题的欧拉格式)4.00()1(22xyxy，1)0(y，取2.0h；)2.11()2(2xxyxyy，1)0(y，取2.0h；【解】（1）)(2.0)(22221nnnnnnnnnyxyyxhyhyyy；（2）)(2.0)(22221nnnnnnnnnnnxyxyyxyxyhyy。2、（p.124，题 2）取2.0h，用欧拉方法求解初值问题)6.00(2xxyyy，1)0(y。【解】欧拉格式：)(2.0)(221nnnnnnnnnnnyxyyyxyhyhyyy；化简后，212.08.0nnnnyxyy，计算结

31、果见下表。n 0 1 2 3 xn 0.0 0.2 0.4 0.6 yn 1.0 0.8 0.6144 0.4613 3、（p.124，题 3）取1.0h，用欧拉方法求解初值问题)40(21122xyxy，0)0(y。并与精确解2112xxy比较计算结果。【解】欧拉格式：)211(2.0)211(22221nnnnnnnnnyxyyxhyhyyy；化简后，22112.04.0nnnnxyyy，计算结果见下表。1、（p.124，题 7）用改进的欧拉方法求解上述题 2，并比较计算结果。求误差不超过解由于则在区间上连续且即由连续函数的介值定理知在区秀学习资料欢迎下载误差题已知试问其近似值各有几位有效

32、数字并给出字近似数的所有数字并非都是有效数字题设均为经过四舍五入得出的近优秀学习资料 欢迎下载 【解】因为)6.00(),(2xxyyyxfy，2.0h，且1)0(y，则改进的欧拉公式：2)()(2.0)(),(2.08.0)(),(12222cpnpnpnpnpnpnncnnnnnnnnnnpyyyyxyyyxyhyyxhfyyyxyyxyhyyxhfyy。计算结果见下表。n 0 1 2 3 xn 0.0 0.2 0.4 0.6 yp 1.0 0.6730 0.5147 0.3941 yc 0.76 0.7092 0.5564 0.4319 yn 0.88 0.6911 0.5356 0.4

33、13 与原结果比较见下表 n 0 1 2 3 xn 0.0 0.2 0.4 0.6 yn 1.0 0.8 0.6144 0.4613 yn(改进)0.88 0.6911 0.5356 0.413 3.3 龙格-库塔方法 1、（p.124，题 11）用四阶经典的龙格-库塔方法求解初值问题yy38，2)0(y，试取步长2.0h计算)4.0(y的近似值，要求小数点后保留 4 位数字。【解】四阶经典的龙格-库塔方法公式：),()2,()2,(),()22(631422131212143211hKyxfKKhyxfKKhyxfKyxfKKKKKhyynnnnnnnnnn；列表求得)4.0(y如下：n x

34、n yn 0 0.0 2.000 1 0.2 2.3004 2 0.4 2.4654 求误差不超过解由于则在区间上连续且即由连续函数的介值定理知在区秀学习资料欢迎下载误差题已知试问其近似值各有几位有效数字并给出字近似数的所有数字并非都是有效数字题设均为经过四舍五入得出的近优秀学习资料 欢迎下载 4.1 迭代法及收敛定理 1、（p.153，题 1）试取10 x，用迭代公式),2,1,0(1022021kxxxkkk，求方程02010223xxx的根，要求准确到310。【解】迭代计算结果列于下表 k xk|xk-xk-1|0.001 k xk|xk-xk-1|0.001 1 1.53846 0.5

35、3846 N 6 1.36593 0.00937 N 2 1.29502 0.24344 N 7 1.37009 0.00416 N 3 1.40182 0.10680 N 8 1.36824 0.00185 N 4 1.35421 0.04761 N 9 1.36906 0.00082 Y 5 1.37530 0.02109 N 因为3891000082.0|xx，所以36906.19xx。2、（p.153，题 2）证明方程xxcos21有且仅有一实根。试确定这样的区间,ba，使迭代过程kkxxcos211对,0bax 均收敛。【证明】设：xxgcos21)(，则当Rx时，21,21cos2

36、1)(xxg，且一阶导数xxgsin21)(连续，121|sin21|)(|xxg，所以迭代过程kkxxcos211对Rx 0均收敛。（压缩映像定理），方程xxcos21有且仅有一实根。3、（p.153，题 4）证明迭代过程kkkxxx121对任意初值10 x均收敛于2。【证明】设：xxxg12)(，对于任意1x，因为212212xxxx，所以2)(xg。一阶导数121121)(2xxg，根据压缩映像定理，迭代公式kkkxxx121对任意初值10 x均收敛。假设xxkklim，对迭代式kkkxxx121两边取极限，则有xxx12，则 22x，解得2x，因2x不在1x范围内，须舍去。故2x。求误

37、差不超过解由于则在区间上连续且即由连续函数的介值定理知在区秀学习资料欢迎下载误差题已知试问其近似值各有几位有效数字并给出字近似数的所有数字并非都是有效数字题设均为经过四舍五入得出的近优秀学习资料 欢迎下载 4.2 牛顿迭代法 1、（p.154，题 17）试用牛顿迭代法求下列方程的根，要求计算结果有 4 位有效数字：（1）0133 xx，20 x（2）0232xexx，10 x【解】（1）设13)(3xxxf，则33)(2 xxf，牛顿迭代公式：),2,1,0()1(3123313)()(23231kxxxxxxxfxfxxkkkkkkkkkk，迭代计算过程见下列表。k xk|xk-xk-1|0

38、.0001 k xk|xk-xk-1|0.0001 1 1.88889 0.11111 N 3 1.87939 0.00006 Y 2 1.87945 0.00944 N 因为4231000006.0|xx，所以879.13xx。（2）设23)(2xexxxf，则xexxf32)(，牛顿迭代公式：),2,1,0(322)1(3223)()(221kexxexexexxxxfxfxxkkkkxkkxkxkxkkkkkkk，迭代计算过程见下列表。k xk|xk-xk-1|0.0001 k xk|xk-xk-1|0.001 1 0.26894 0.73106 N 3 0.25753 0.00014

39、N 2 0.25739 0.01155 N 4 0.25753 0.00000 Y 因为4231000000.0|xx，所以2575.04xx。2、（p.154，题 18）应用牛顿法于方程03 ax，导出求立方根)0(3aa的迭代公式，并证明该迭代公式具有二阶收敛性。【证明】（1）设：axxf3)(，则23)(xxf，对任意0 x，牛顿迭代公式 23231323)()(kkkkkkkkkxaxxaxxxfxfxx ,2,1,0k（2）由以上迭代公式，有：3limaxxkk。设)0(32)(23xxaxxg xxg)(；0)1(32)(33axxaxg；3422)(3axaxgax。21)(!2

40、)()()()(xxgxxxgxgxgxxkkkk 3211!2)()(limaxgxxxxkkk，可见该迭代公式具有二阶收敛性。求误差不超过解由于则在区间上连续且即由连续函数的介值定理知在区秀学习资料欢迎下载误差题已知试问其近似值各有几位有效数字并给出字近似数的所有数字并非都是有效数字题设均为经过四舍五入得出的近优秀学习资料 欢迎下载 5.1 线性方程组迭代公式 1、（p.170，题 1）用雅可比迭代与高斯-赛德尔迭代求解方程组：12232121xxxx，要求结果有 3 位有效数字。【解】雅可比迭代公式：)1(212121)2(313231)(1)(1)1(2)(2)(2)1(1kkkkkk

41、xxxxxx，迭代计算结果列于下表。k)(1kx)(2kx|)1(1)(1kkxx|)1(2)(2kkxx 0005.0?0 0 0-1 2/3 1/2 2/3 1/2 N 2 1/2 1/6 1/6 1/3 N 3 11/18 1/4 1/9 1/12 N 4 7/12 7/36 1/36 1/18 N 5 0.60185 0.20833 0.01852 0.01389 N 6 0.59722 0.19908 0.00463 0.00925 N 7 0.60031 0.20139 0.00309 0.00231 N 8 0.59954 0.19985 0.00077 0.00154 N 9

42、0.60005 0.20023 0.00051 0.00038 N 10 0.59992 0.19998 0.00003 0.00025 Y 200.0;600.0)10(22)10(11xxxx；由上表可见，所求根皆为小数点后第 1 位不为零的小数，要取 3 位有效数，则误差限为31021。高斯-赛德尔迭代公式：)1(612121)2(313231)(2)1(1)1(2)(2)(2)1(1kkkkkkxxxxxx，迭代计算结果列于下表。k)(1kx)(2kx|)1(1)(1kkxx|)1(2)(2kkxx 0005.0?0 0 0-1 2/3 1/6 2/3 1/6 N 2 0.6111 0

43、.1944 N 3 0.6019 0.1991 0.0092 0.0047 N 4 0.6003 0.1999 0.0016 0.0008 N 5 0.6000 0.1999 0.0003 0.0000 Y 200.0;600.0)5(22)5(11xxxx；2、（p.171，题 7）取25.1，用松弛法求解下列方程组，要求精度为41021。124204316343232121xxxxxxx 求误差不超过解由于则在区间上连续且即由连续函数的介值定理知在区秀学习资料欢迎下载误差题已知试问其近似值各有几位有效数字并给出字近似数的所有数字并非都是有效数字题设均为经过四舍五入得出的近优秀学习资料 欢迎

44、下载【解】欧先写出高斯-赛德尔迭代：)1(2516164934124116954143443)(3)(2)(2)1()(3)(2)(3)(1)1()(2)1(321kkkkkkkkkkkxxxxxxxxxxx 引入松弛因子，得)2(4541)1(4541)1(4541)1()1()(3)1()(3)1(3)1()(2)1()(2)1(2)1()(1)1()(1)1(1332211kkkkkkkkkkkkkkkxxxxxxxxxxxxxxx 将方程组（1）代入（2），并化简)3(8256411256452516564295161541)(3)(2)1(3)(3)(2)1(2)(2)(1)1(1k

45、kkkkkkkkxxxxxxxxx 计算结果见下表。k)(1kx)(2kx)(3kx|)1(1)(1kkxx|)1(2)(2kkxx|)1(3)(3kkxx e?0 0 0 0-1 5 2.5-3.125 5 2.5 3.125 N 2 1.40625 2.65625-2.14844 N 3 2.15820 3.03223-2.28882 N 4 1.61173 3.15872-2.19860 N 5 1.63577 3.24423-2.19187 N 6 1.54959 3.28508-2.17800 N 7 1.53284 3.30793-2.17320 N 8 1.51561 3.319

46、78-2.17001 N 9 1.50880 3.32615-2.16847 N 0 1.50453 3.32951-2.16762 N 1 1.50245 3.33130-2.16717 N 2 1.50129 3.33225-2.16694 N 3 1.50069 3.33276-2.16672 N 4 1.50037 3.33306-2.16676 N 5 1.50016 3.33318-2.16670 N 6 1.50010 3.33325-2.16668 N 7 1.50005 3.33329-2.16668 0.00005 0.00004 0.00000 Y 求误差不超过解由于则在

47、区间上连续且即由连续函数的介值定理知在区秀学习资料欢迎下载误差题已知试问其近似值各有几位有效数字并给出字近似数的所有数字并非都是有效数字题设均为经过四舍五入得出的近优秀学习资料 欢迎下载 迭代解：.1667.2,3333.3,5001.1)17(33)17(22)17(11xxxxxx 精确解：.1667.2613,3333.3310,5.123321xxx 5.1 线性方程组迭代公式 1、（p.170，题 2）试列出求解下列方程组的雅可比迭代公式与高斯-赛德尔迭代公式，并考察迭代过程的收敛性。17722238231138751043214321321431xxxxxxxxxxxxxx【解】（

48、1）雅可比迭代公式：717727271823814183811838110721101)(3)(2)(1)1(4)(4)(2)(1)1(3)(3)(1)1(2)(4)(3)1(1kkkkkkkkkkkkkkxxxxxxxxxxxxxx (1)JG072727181041840830812110100，187JG，迭代收敛。（2）高斯-赛德尔迭代公式：717727271823814183811838110721101)1(3)1(2)1(1)1(4)(4)1(2)1(1)1(3)(3)1(1)1(2)(4)(3)1(1kkkkkkkkkkkkkkxxxxxxxxxxxxxx (2)将方程组（1）

49、带入（2），经化简后，得：求误差不超过解由于则在区间上连续且即由连续函数的介值定理知在区秀学习资料欢迎下载误差题已知试问其近似值各有几位有效数字并给出字近似数的所有数字并非都是有效数字题设均为经过四舍五入得出的近优秀学习资料 欢迎下载 1120399122439112012132078764193201980117161803110721101)(4)(3)1(4)(4)(3)1(3)(4)(3)1(2)(4)(3)1(1kkkkkkkkkkkkxxxxxxxxxxxx (3)SGG224391120890064193201900161803102110100，153 SGG，迭代收敛。2、（

50、p.171，题 5）分别用雅可比迭代与高斯-赛德尔迭代求解下列方程组：（1）23122121xxxx（2）1152425235321321321xxxxxxxxx【解】（1）雅可比迭代：2312)(1)1(2)(2)1(1kkkkxxxx ，13 G,不收敛。高斯-赛德尔迭代：2312)1(1)1(2)(2)1(1kkkkxxxx 或 5612)(1)1(2)(2)1(1kkkkxxxx，16 G,不收敛。（2）雅可比迭代：511515222125235)(2)(1)1(3)(3)(1)(2)(3)(2)1(1kkkkkkkkkxxxxxxxxx，18 G,不收敛。高斯-赛德尔迭代：求误差不超