2023年三角函数的图像与性质--知识点总结归纳与题型全面汇总归纳1.pdf

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1、学习必备 精品知识点 高考明方向 1.能画出 ysinx，ycosx，ytanx 的图象，了解三角函数的周期性 2.理解正弦函数、余弦函数在0,2 上的性质(如单调性、最大值和最小值，图象与 x 轴的交点等)，理解正切函数 在区间2，2内的单调性 备考知考情 三角函数的周期性、单调性、最值等是高考的热点，题型既有选择题、填空题、又有解答题，难度属中低档，如2014 课标全国14、北京 14 等；常与三角恒等变换交汇命题，在考查三角函数性质的同时，又考查三角恒等变换的方法与技巧，注重考查函数方程、转化化归等思想方法.一、知识梳理名师一号P55 知识点 二、例题分析：学习必备 精品知识点（一）三角

2、函数的定义域和值域 例 1（1）名师一号P56 对点自测 3 函数 ylg(sinx)cosx12的定义域为_ 解析 要使函数有意义必须有 sinx0，cosx120，即 sinx0，cosx12，解得 2k x 2k，32k x32k(kZ)2k x32k，kZ.函数的定义域为x|2k0)相邻两对称轴之间的距离为 2，则 _ 【规范解答】相邻两对称轴之间的距离为 2，即 T4.f(x)sinx 3sinx12sinx32cosxsinx32sinx 32cosx 3sinx 6，又因为 f(x)相邻两条对称轴之间的距离为 2，所以 T4，所以24，即 2.注意：【名师点评】函数 f(x)As

3、in(x)，f(x)Acos(x)图象上一个最高点和它相邻的最低点的横坐标之差的绝对值是函数的半周期|，纵坐标之差的绝对值是 2A.在解决由三角函数图象确定函数解析式的问题时，要注意使用好函数图象显示出来的函数性质、函数图象上特殊点的坐标及两个坐标轴交点的坐标等 考的热点题型既有选择题填空题又有解答题难度属中低档如课标全国北点二例题分析学习必备精品知识点一三角函数的定义域和值域例名师一知识点同一坐标系中作出的图象如图所示结合图象及正余弦函数的周期学习必备 精品知识点 练习:加加练P3 第 11 题 例 2（1）名师一号P57 高频考点 例 3（1）(1)若函数 f(x)sinx3(0,2)是偶

4、函数，则 ()A.2 B.23 C.32 D.53 解：(1)f(x)sinx3是偶函数，f(0)1.sin3 1，3k 2(kZ)3k 32(kZ)又 0,2，当 k0 时，32.故选 C.变式：若函数 f(x)sinx3(0,2)是奇函数，则？例 2（2）名师一号P57 高频考点 例 3（3）(3)如果函数 y3cos(2x)的图象关于点43，0 考的热点题型既有选择题填空题又有解答题难度属中低档如课标全国北点二例题分析学习必备精品知识点一三角函数的定义域和值域例名师一知识点同一坐标系中作出的图象如图所示结合图象及正余弦函数的周期学习必备 精品知识点 中心对称，那么|的最小值为()A.6

5、B.4 C.3 D.2 解：(3)由题意得 3cos2433cos23 2 3cos230，23 k 2，kZ.k 6，kZ，取 k0，得|的最小值为6.注意：【规律方法】(1)若 f(x)Asin(x )为偶函数，则当 x0 时，f(x)取得最大或最小值，若 f(x)Asin(x )为奇函数，则当 x0 时，f(x)0.(2)对于函数 yAsin(x )，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线 xx0或点(x0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验 f(x0)的值进行判断 名师一号P56 问题探究 问题 4 如何确定三角函数的对称轴与对称中心

6、？若 f(x)Asin(x )为偶函数，则当 x0 时，f(x)取得最大值或最小值 若 f(x)Asin(x )为奇函数，则当 x0 时，f(x)0.考的热点题型既有选择题填空题又有解答题难度属中低档如课标全国北点二例题分析学习必备精品知识点一三角函数的定义域和值域例名师一知识点同一坐标系中作出的图象如图所示结合图象及正余弦函数的周期学习必备 精品知识点 如果求 f(x)的对称轴，只需令 x 2k(kZ)，求 x.(补充)结果写成直线方程！如果求 f(x)的对称中心的横坐标，只需令 x k(kZ)即可(补充)结果写点坐标！同理对于 yAcos(x )，可求其对称轴与对称中心，对于 yAtan(

7、x )可求出对称中心 练习 1：名师一号P58 特色专题 典例 3 已知 f(x)sinx 3cosx(xR)，函数 yf(x)|2为偶函数，则 的值为_ 【规范解答】先求出 f(x)的解析式，然后求解 f(x)sinx 3cosx2sinx3.f(x)2sinx 3.函数 f(x)为偶函数，32k，kZ，即 6k(kZ)又|2，6.考的热点题型既有选择题填空题又有解答题难度属中低档如课标全国北点二例题分析学习必备精品知识点一三角函数的定义域和值域例名师一知识点同一坐标系中作出的图象如图所示结合图象及正余弦函数的周期学习必备 精品知识点 练习 2：计时双基练P247 第 3 题 （四）三角函数

8、的单调性 例 1（1）名师一号P56 对点自测 6 下列函数中，周期为，且在4，2上为减函数的是()Aysin2x2 Bycos2x2 Cysinx2 Dycosx2 解析 由函数的周期为 ，可排除 C，D.又函数在4，2上为减函数，排除 B，故选 A.练习 1：计时双基练P247 第 7 题 函数ycosx24的单调递减区间为 练习 2:加加练P1 第 11 题 （2）名师一号P57 高频考点 例 2 已知函数 f(x)4cosx sinx 4(0)的最小正周期为.(1)求 的值；考的热点题型既有选择题填空题又有解答题难度属中低档如课标全国北点二例题分析学习必备精品知识点一三角函数的定义域和

9、值域例名师一知识点同一坐标系中作出的图象如图所示结合图象及正余弦函数的周期学习必备 精品知识点(2)讨论 f(x)在区间0，2上的单调性 解：(1)f(x)4cosx sinx 422sinx cosx22cos2x 2(sin2x cos2x)22sin2x 4 2.因为 f(x)的最小正周期为 ，且 0.从而有22，故 1.(2)由(1)知，f(x)2sin2x4 2.若 0 x2，则42x454.当42x42，即 0 x8时，f(x)单调递增；当22x454，即8x2时，f(x)单调递减 综上可知，f(x)在区间0，8上单调递增，在区间8，2上单调递减 注意：名师一号P56 问题探究 问

10、题 2 如何求三角函数的单调区间？(1)求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”(2)求形如 yAsin(x )或 yAcos(x )(其中，考的热点题型既有选择题填空题又有解答题难度属中低档如课标全国北点二例题分析学习必备精品知识点一三角函数的定义域和值域例名师一知识点同一坐标系中作出的图象如图所示结合图象及正余弦函数的周期学习必备 精品知识点 0)的单调区间时，要视“x ”为一个整体，通过解不等式求解但如果 0，那么一定先借助诱导公式将 化为正数，防止把单调性弄错 例 2 名师一号P58 特色专题 典例 4 (2014 全国大纲卷)若函数 f(

11、x)cos2xasinx 在区间6，2是减函数，则 a 的取值范围是_ 【规范解答】先化简，再用换元法求解 f(x)cos2xasinx12sin2xasinx.令 tsinx，x6，2，t12，1.g(t)12t2at2t2at112t1，由题意知a2 212，a2.a 的取值范围为(，2 课后作业 考的热点题型既有选择题填空题又有解答题难度属中低档如课标全国北点二例题分析学习必备精品知识点一三角函数的定义域和值域例名师一知识点同一坐标系中作出的图象如图所示结合图象及正余弦函数的周期学习必备 精品知识点 一、计时双基练 P247 基础 1-11、课本 P56 变式思考 1 二、计时双基练 P

12、247 培优 1-4 课本 P56 变式思考 2、3 预习 第五节 练习：1、设函数 f(x)2sin(2x5)若对任意 xR，都有f(x1)f(x)f(x2)成立，则|x1x2|的最小值为()A4 B2 C1 D.12 分析：f(x)的最大值为 2，最小值为2，对xR，2f(x)2.取到最值时 x2k，|x1x2|取最小值，即f(x1)为最小值，f(x2)为最大值且(x1，f(x1)，(x2，f(x2)为相邻的最小(大)值点，即半个周期 解析：f(x)的周期 T4，|x1x2|min2T2.故选 B.2、为了使函数)0(sinxy在区间 1,0上至少出现 50次最大值，求的最小值。3、（12

13、 天津文 7）将函数)0(sin)(xxf的图像向右考的热点题型既有选择题填空题又有解答题难度属中低档如课标全国北点二例题分析学习必备精品知识点一三角函数的定义域和值域例名师一知识点同一坐标系中作出的图象如图所示结合图象及正余弦函数的周期学习必备 精品知识点 平移4个单位长度，所得图像经过点)0,43(，则的最小值是 特殊情况-三角函数的奇偶性 例 2(补充)（1）（08.江西）函数sin()sin2sin2xf xxx是（）A以4为周期的偶函数 B 以2为周期的奇函数 C以2为周期的偶函数 D 以4为周期的奇函数 【答案】A（07 年辽宁理）已知函数 2()sinsin2cos662xf x

14、xxxR，（其中0）（I）求函数()f x的值域；（II）若对任意的aR，函数()yf x，(xaa，的图象与直线1y 有且仅有两个不同的交点，试确定的值（不必证明），并求函数()yf xxR，的单调增区间 考的热点题型既有选择题填空题又有解答题难度属中低档如课标全国北点二例题分析学习必备精品知识点一三角函数的定义域和值域例名师一知识点同一坐标系中作出的图象如图所示结合图象及正余弦函数的周期学习必备 精品知识点 答案：（I）2sin16fxx 3,1（II）,2T ,63kkkZ 变式：求函数()yf xx0,2，的单调增区间 考的热点题型既有选择题填空题又有解答题难度属中低档如课标全国北点二例题分析学习必备精品知识点一三角函数的定义域和值域例名师一知识点同一坐标系中作出的图象如图所示结合图象及正余弦函数的周期